第九章 真空中的静电场.pdf

1 第九章第九章 真空中的静电场 真空中的静电场 一 选择题 一 选择题 B 1 基础训练 基础训练 1 图中所示为一沿 x 轴放置的 无限长 分段均匀带电直线 电荷线 密度分别为 x 0 和 x 0 则 Oxy 坐标平面上点 0 a 处的场强E 为 A 0 B i a 0 2 C i a 0 4 D ji a 0 4 提示 左侧与右侧半无限长带电直线在 0 a 处产生的场强大小 E E 大小为 0 1 22 EE a 方向如图 矢量叠加后 合场强大小为 0 2 E a 合 方向如图 B 2 基础训练 基础训练 2 半径为 R 的 无限 长 均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的 大小 E 与距轴线的距离 r 的关系曲线为 提示 由场分布的轴对称性 作闭合圆柱面 半 径为 r 高度为 L 为高斯面 据 Guass 定理 S 0 E dS i i q rR 时 有 2 0 r 2 rL L E 即 0 r 2 E rR 时 有 2 0 R 2 rL L E 即 2 0 R 2r E C 3 基础训练 3 基础训练 3 如图所示 一个电荷为 q 的点电荷 位于立方体的 A 角上 则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于 A 0 6 q B 0 12 q C 0 24 q D 0 48 q A b c d a q E E E合 合 O x y 0 a O x y 0 a E O r C E 1 r R E O r A E 1 r R E O r B E 1 r R E O r D E 1 r R 2 提示 添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体 使A处于大立方体的中心 则大立 方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面 由Gauss定理知 通过该高斯面的电通 量为 0 q 再据对称性可知 通过侧面abcd的电场强度通量等于 0 24 q D 4 基础训练 6 基础训练 6 在点电荷 q的电场中 若取图中P点处为电势零点 则M点 的电势为 A a q 0 4 B a q 0 8 C a q 0 4 D a q 0 8 提示 2 2 00 48 Pa M Ma qq VE dldr ra B 5 自测提高 6 自测提高 6 如图所示 两个同心的均匀带电球面 内球面半径为R1 带电荷 Q1 外球面半径为R2 带有电荷Q2 设无穷远处为电势零点 则在内球面之内 距离球心为r处的 P点的电势U为 A r QQ 0 21 4 B 20 2 10 1 44R Q R Q C 0 D 10 1 4R Q 提示 根据带点球面在求内外激发电势的规律 以及电势叠加原理即可知结果 D 6 自测提高 8 自测提高 8 8 点电荷 q位于圆心O处 A B C D为同一圆周上的四点 如图 9 38 示 现将一试验电荷从A点分别移动 到B C D各点 则 A 从A到B 电场力作功最大 B 从A到C 电场力作功最大 C 从A到D 电场力作功最大 D 从A到各点 电场力作功相等 提示 根据电场力做功与电势差之间的关系式 0 PQPQ Aq VV 以及A B C D四点电势相等即可知结果 C 7 自测提高 10 自测提高 10 如图所示 在真空中半径分别为R和 2R 的两个同心球面 其上分别均匀地带有电荷 q和 3q 今将一电荷为 的 带电粒子从内球面处由静止释放 则该粒子到达外球面时的动能为 A R Qq 0 4 B R Qq 0 2 C 0 8 Qq R D R Qq 0 8 3 提示 静电力做功 ABAB QUQ VV 等于动能的增加 其中 000 3 4428 A qqq V RRR 000 32 42428 B qqq V RRR AB VV 为内球面 外球面的电势 代上即得结果 a a q PM 3q q Q R 2R Q2 Q1 O P r R2 R1 AB D C O q 图 9 38 图 9 38 3 二 填空题二 填空题 1 基础训练 9 基础训练 9 已知空气的击穿场强为 30 kV cm 空气中一带电球壳直径为 1 m 以无限远 处为电势零点 则这球壳能达到的最高电势是 1 5 10 6V 提示 带电球壳的电势 0 4 Q V R 球壳表面场强为 2 00 4 Q E R 联立两式知 VER 2 基础训练 13 基础训练 13 两个平行的 无限大 均匀带电平面 其电荷面密度分 别为 和 2 如图所示 则A B C三个区域的电场强度分别为 EA 0 3 2 EB 0 2 EC 0 3 2 设方向向右为正 提示 A B C三个区域的场强 为两 无限大 均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量 叠加 3 基础训练 17 基础训练 17 AC为一根长为2l的带电细棒 左半部均 匀带有负电荷 右半部均匀带有正电荷 电荷线密度分别为 和 如图所示 O点在棒的延长线上 距A端的距离为l P点 在棒的垂直平分线上 到棒的垂直距离为l 以棒的中点B为电势 的零点 则O点电势Uo 4 3 ln 4 0 P点电势Up 0 提示 题中棒的中点B为电势的零点与 远处为电势的零点是 一致的 根据对称性及电势叠加原理 易知P点电势为0 O点电势为 23 2 00 44 ll ll dxdx xx 4 自测提高 13 自测提高 13 如图 9 42 所示 一电荷线密度为 的无限长带电 直线垂直通过图面上的A点 一带有电荷Q的均匀带电球体 其球心处于O 点 AOP是边长为a的等边三角形 为了使P点处场强方向垂直于OP 则 和Q的数量之间应满足Q a 关系 且 与Q为 异 号电荷 提示 作场强矢量叠加图知 要使P点处场强方向垂直于OP 必须满足 2 00 2 24 Q aa 5 自测提高 14 自测提高 14 一半径为R的带有一缺口的细圆环 缺口长度为 d d 电偶极子正负电荷之间距离 移到B点 求此 过程中电场力所作的功 解 用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势 3 0 4 rrpU 式中r 为从电偶极子中心到场点的矢径 于是知 A B 两点电势分别为 2 0 4 RpUA AB R p y R x d dEx dEy O dE dq y R x O O y x a 2a E1 E2 1 2 6 2 0 4 RpUB pp q从A移到B电场力作功 与路径无关 为 2 0 2 RqpUUqA BA 5 基础训练 24 基础训练 24 图示为一个均匀带电的球层 其电荷体密度为 球层内表面半径为R1 外 表面半径为R2 设无穷远处为电势零点 求空腔内任一点的电势 解 由高斯定理可知空腔内E 0 故带电球层的空腔是等势区 各点电势均为U 在球层内取半径为r r dr的薄球层 其电荷为 dq 4 r2dr 该薄层电荷在球心处产生的电势为 00 d4 dd rrrqU 整个带电球层在球心处产生的电势为 2 1 2 2 00 00 2 dd 2 1 RRrrUU R R 因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为 2 1 2 2 0 0 2 RRUU 若根据电势定义 lEU d计算 也可 6 基础训练 25 基础训练 25 图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均 匀带电细棒 其电荷线密度为 0 x a 0为一常量 取无穷远 处为电势零点 求坐标原点O处的电势 解 在任意位置x处取长度元dx 其上带有电荷dq 0 x a dx 它在O点产生的电势 x xax U 0 0 4 d d O点总电势 la a la a x x axdUU d d 4 0 0 a la alln 4 0 0 7 基础训练 27 基础训练 27 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面 半径分别为R1 0 03 m和R2 0 10 m 已知两者的电势差为450 V 求内球面上所带的电荷 解 设内球上所带电荷为Q 则两球间的电场强度的大小为 2 0 4r Q E R1 r R2 两球的电势差 2 1 2 1 2 0 12 4 d R R R R r drQ rEU 210 11 4RR Q 12 12210 4 RR URR Q 2 14 10 9 C O R1 R2 O a l x 7 8 基础训练 28 基础训练 28 在一个平面上各点的电势满足下式 2 1 22 22 yx b yx ax U x和y 为这点的直角坐标 a和b为常数 求任一点电场强度的Ex和Ey两个分量 解 根据EU 知 1 2222 2 222 x dUa xybx xy E dxxy 1 22 2 222 2 y dUyaxb xy E dyxy 附加题附加题 1 基础训练 29 基础训练 29 如图所示 半径为R的均匀带电球面 带有电荷q 沿某一半径方向上有一 均匀带电细线 电荷线密度为 长度为l 细线左端离球心距离为r0 设球和线上的电荷分布不受 相互作用影响 试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 设无穷远处的电势为 零 解 设x轴沿细线方向 原点在球心处 在x处取线元dx 其上电荷为xqdd 该线元在