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数字信号处理 习题解答 1 第1章时域离散信号与时域离散系统 2 给定信号 2n 5 4 n 1 60 n 4 0其它 1 画出x n 序列的波形 标上各序列值 2 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x n 序列 3 令x1 n 2x n 2 试画出x1 n 波形 4 令x2 n 2x n 2 试画出x2 n 波形 5 令x3 n x 2 n 试画出x3 n 波形 解 1 x n 序列的波形如题2解图 一 所示 2 x n 3 n 4 n 3 n 2 3 n 1 6 n 6 n 1 6 n 2 6 n 3 6 n 4 x n 2 第1章时域离散信号与时域离散系统 3 x1 n 的波形是x n 的波形右移2位 再乘以2 画出图形如题2解图 二 所示 4 x2 n 的波形是x n 的波形左移2位 再乘以2 画出图形如题2解图 三 所示 5 画x3 n 时 先画x n 的波形 即将x n 的波形以纵轴为中心翻转180 然后再右移2位 x3 n 波形如题2解图 四 所示 题2解图 一 题2解图 二 3 第1章时域离散信号与时域离散系统 题2解图 三 题2解图 四 3 判断下面的序列是否是周期的 若是周期的 确定其周期 1 解 1 因为 所以 这是有理数 因此是周期序列 周期T 14 4 第1章时域离散信号与时域离散系统 5 设系统分别用下面的差分方程描述 x n 与y n 分别表示系统输入和输出 判断系统是否是线性非时变的 1 y n x n 2x n 1 3x n 2 解 1 令输入为x n n0 输出为y n x n n0 2x n n0 1 3x n n0 2 y n n0 x n n0 2x n n0 1 3 n n0 2 y n 故该系统是非时变系统 5 第1章时域离散信号与时域离散系统 因为y n T ax1 n bx2 n ax1 n bx2 n 2 ax1 n 1 bx2 n 1 3 ax1 n 2 bx2 n 2 aT x1 n ax1 n 2ax1 n 1 3ax1 n 2 bT x2 n bx2 n 2bx2 n 1 3bx2 n 2 所以T ax1 n bx2 n aT x1 n bT x2 n 故该系统是线性系统 6 第1章时域离散信号与时域离散系统 6 给定下述系统的差分方程 试判定系统是否是因果稳定系统 并说明理由 2 y n x n x n 1 解 该系统是非因果系统 因为n时间的输出还和n时间以后 n 1 时间 的输入有关 如果 x n M 则 y n x n x n 1 2M 因此系统是稳定系统 7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h n 和输入序列x n 如题7图所示 要求画出y n 输出的波形 题7图 7 第1章时域离散信号与时域离散系统 解 解法 一 采用列表法 y n x n h n x m h n m 8 第1章时域离散信号与时域离散系统 y n 2 1 0 5 2 1 4 5 2 1 n 2 1 0 1 2 3 4 5 解法 二 采用解析法 按照题7图写出x n 和h n 的表达式分别为x n n 2 n 1 2 n 3 h n 2 n n 1 n 2 由于x n n x n x n A n k Ax n k 故y n x n h n x n 2 n n 1 n 2 2x n x n 1 x n 2 将x n 的表示式代入上式 得到y n 2 n 2 n 1 0 5 n 2 n 1 n 2 4 5 n 3 2 n 4 n 5 9 第1章时域离散信号与时域离散系统 8 设线性时不变系统的单位脉冲响应h n 和输入x n 分别有以下三种情况 分别求出输出y n 1 h n R4 n x n R5 n 2 h n 2R4 n x n n n 2 3 h n 0 5nu n xn R5 n 解 1 y n x n h n R4 m R5 n m 先确定求和域 由R4 m 和R5 n m 确定y n 对于m的非零区间如下 0 m 3 n 4 m n 根据非零区间 将n分成四种情况求解 10 第1章时域离散信号与时域离散系统 n7时 y n 0 最后结果为0n7 n 10 n 3 8 n4 n 7y n 的波形如题8解图 1 所示 2 y n 2R4 n n n 2 2R4 n 2R4 n 2 2 n n 1 n 4 n 5 y n 的波形如题8解图 2 所示 y n 题8解图 1 题8解图 2 11 第1章时域离散信号与时域离散系统 3 y n x n h n R5 m 0 5n mu n m 0 5nR5 m 0 5 mu n m y n 对于m的非零区间为0 m 4 m n n 0时 y n 0 0 n 4时 1 0 5 n 1 0 5n 2 0 5n 12 第1章时域离散信号与时域离散系统 n 5时 最后写成统一表达式 y n 2 0 5n R5 n 31 0 5nu n 5 13 13 有一连续信号xa t cos 2 ft j 式中 f 20Hz j 2 1 求出xa t 的周期 2 用采样间隔T 0 02s对xa t 进行采样 试写出采样信号的表达式 3 画出对应的时域离散信号 序列 x n 的波形 并求出x n 的周期 解 1 xa t 的周期为 第1章时域离散信号与时域离散系统 2 3 x n 的数字频率 0 8 故 因而周期N 5 所以x n cos 0 8 n 2 画出其波形如题13解图所示 14 第1章时域离散信号与时域离散系统 题13解图 14 已知滑动平均滤波器的差分方程为 1 求出该滤波器的单位脉冲响应 2 如果输入信号波形如题14图所示 试求出y n 并画出它的波形 解 1 将题中差分方程中的x n 用 n 代替 得到该滤波器的单位脉冲响应 即 15 第1章时域离散信号与时域离散系统 2 已知输入信号 用卷积法求输出 输出信号y n 为 表1 4 1表示了用列表法解卷积的过程 计算时 表中x k 不动 h k 反转后变成h k h n k 则随着n的加大向右滑动 每滑动一次 将h n k 和x k 对应相乘 再相加和平均 得到相应的y n 滑动平均 清楚地表明了这种计算过程 最后得到的输出波形如前面图1 3 2所示 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化 使波形变化缓慢 题14图 16 第1章时域离散信号与时域离散系统 17 第2章时域离散信号和系统的频域分析 5 设题5图所示的序列x n 的FT用X ej 表示 不直接求出X ej 完成下列运算或工作 1 4 确定并画出傅里叶变换实部Re X ej 的时间序列xa n 解 1 4 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分 即 题15图 18 第2章时域离散信号和系统的频域分析 按照上式画出xe n 的波形如题5解图所示 题15解图 6 试求如下序列的傅里叶变换 19 第2章时域离散信号和系统的频域分析 解 2 8 设x n R4 n 试求x n 的共轭对称序列xe n 和共轭反对称序列xo n 并分别用图表示 解 20 第2章时域离散信号和系统的频域分析 题8解图 xe n 和xo n 的波形如题8解图所示 21 第2章时域离散信号和系统的频域分析 13 已知xa t 2cos 2 f0t 式中f0 100Hz 以采样频率fs 400Hz对xa t 进行采样 得到采样信号和时域离散信号x n 试完成下面各题 1 写出的傅里叶变换表示式Xa j 2 写出和x n 的表达式 3 分别求出的傅里叶变换和x n 序列的傅里叶变换 解 1 上式中指数函数的傅里叶变换不存在 引入奇异函数 函数 它的傅里叶变换可以表示成 22 第2章时域离散信号和系统的频域分析 2 3 式中 23 第2章时域离散信号和系统的频域分析 式中 0 0T 0 5 rad上式推导过程中 指数序列的傅里叶变换仍然不存在 只有引入奇异函数 函数才能写出它的傅里叶变换表示式 24 第2章时域离散信号和系统的频域分析 14 求出以下序列的Z变换及收敛域 1 2 nu n 2 2 nu n 1 3 2 nu n 4 n 5 n 1 6 2 n u n u n 10 解 1 2 25 第2章时域离散信号和系统的频域分析 3 4 ZT n 10 z 5 ZT n 1 z 10 z 6 26 第2章时域离散信号和系统的频域分析 15 求以下序列的Z变换及其收敛域 并在z平面上画出极零点分布图 1 x n RN n N 4 2 x n Arncos 0n j u n r 0 9 0 0 5 rad j 0 25 rad 解 1 由z4 1 0 得零点为 由z3 z 1 0 得极点为z1 2 0 1 27 第2章时域离散信号和系统的频域分析 零极点图和收敛域如题15解图 a 所示 图中 z 1处的零极点相互对消 题15解图 28 第2章时域离散信号和系统的频域分析 2 零点为 极点为 极零点分布图如题15解图 b 所示 29 2020 1 8 30 第2章时域离散信号和系统的频域分析 16 已知 求出对应X z 的各种可能的序列表达式 解 X z 有两个极点 z1 0 5 z2 2 因为收敛域总是以极点为界 因此收敛域有三种情况 z 0 5 0 5 z 2 2 z 三种收敛域对应三种不同的原序列 1 收敛域 z 0 5 令 31 第2章时域离散信号和系统的频域分析 n 0时 因为c内无极点 x n 0 n 1时 c内有极点0 但z 0是一个n阶极点 改为求圆外极点留数 圆外极点有z1 0 5 z2 2 那么 32 第2章时域离散信号和系统的频域分析 2 收敛域0 5 z 2 n 0时 c内有极点0 5 n 0时 c内有极点0 5 0 但0是一个n阶极点 改成求c外极点留数 c外极点只有一个 即2 x n Res F z 2 2 2nu n 1 最后得到 33 第2章时域离散信号和系统的频域分析 3 收敛域z 2 n 0时 c内有极点0 5 2 n 0时 由收敛域判断 这是一个因果序列 因此x n 0 或者这样分析 c内有极点0 5 2 0 但0是一个n阶极点 改求c外极点留数 c外无极点 所以x n 0 最后得到 34 第3章离散傅里叶变换 3 已知长度为N 10的两个有限长序列 做图表示x1 n x2 n 和y n x1 n x2 n 循环卷积区间长度L 10 解 x1 n x2 n 和y n x1 n x2 n 分别如题3解图 a b c 所示 题3解图 35 第3章离散傅里叶变换 14 两个有限长序列x n 和y n 的零值区间为x n 0n 0 8 n y n 0n 0 20 n对每个序列作20点DFT 即X k DFT x n k 0 1 19 Y k DFT y n k 0 1 19试问在哪些点上f n 与x n y n 值相等 为什么 解 记fl n x n y n 而f n IDFT F k x n 20y n fl n 长度为27 f n 长度为20 由教材中式 3 4 3 知道f n 与fl n 的关系为 36 第3章离散傅里叶变换 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上 才满足f n fl n 所以f n fl n x n y n 7 n 19 18 用微处理机对实数序列作谱分析 要求谱分辨率F 50Hz 信号最高频率为1kHz 试确定以下各参数 1 最小记录时间Tpmin 2 最大取样间隔Tmax 3 最少采样点数Nmin 4 在频带宽度不变的情况下 使频率分辨率提高1倍 即F缩小一半 的N值 37 第3章离散傅里叶变换 解 1 已知F 50Hz 因而 2 3 4 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变 应该使记录时间扩大1倍 即为0 04s 实现频率分辨率提高1倍 F变为原来的1 2 38 第4章快速傅里叶变换 1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 s 每次复数加需要1 s 用来计算N 1024点DFT 问直接计算需要多少时间 用FFT计算呢 照这样计算 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时 估计可实现实时处理的信号最高频率 解 当N 1024 210时 直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2 1024 1024 1048576次复数加法运算次数为N N 1 1024 1023 1047552次直接计算所用计算时间TD为TD 4 10 6 10242 1047552 10 6 5 241856s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为 39 第4章快速傅里叶变换 快速卷积时 需要计算一次N点FFT 考虑到H k DFT h n 已计算好存入内存 N次频域复数乘法和一次N点IFFT 所以 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为 所以 每秒钟处理的采样点数 即采样速率 40 第4章快速傅里叶变换 应当说明 实际实现时 fmax还要小一些 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率 而且在采用重叠相加法时 重叠部分要计算两次 重叠部分长度与h n 长度有关 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间 41 第5章时域离散系统的网络结构 1 已知系统用下面差分方程描述 试分别画出系统的直接型 级联型和并联型结构 式中x n 和y n 分别表示系统的输入和输出信号 解 将原式移项得 将上式进行Z变换 得到 42 第5章时域离散系统的网络结构 1 按照系统函数H z 画出直接型结构如题1解图 1 所示 题1解图 1 2 将H z 的分母进行因式分解 43 第5章时域离散系统的网络结构 按照上式可以有两种级联型结构 画出级联型结构如题1解图 2 所示 题1解图 2 44 第5章时域离散系统的网络结构图 3 将H z 进行部分分式展开 45 第5章时域离散系统的网络结构图 根据上式画出并联型结构如题1解图 3 所示 题1解图 3 46 第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 5 已知模拟滤波器的系统函数如下 1 2 试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器 设T 2s 解 用脉冲响应不变法 1 按脉冲响应不变法设计公式 Ha s 的极点为 47 第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 将T 2代入上式 得 2 48 第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 或通分合并两项得 用双线性变换法 1 49 第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 50 第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 2 51 第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 8 题8图是由RC组成的模拟滤波器 写出其系统函数Ha s 并选用一种合适的转换方法 将Ha s 转换成数字滤波器H z 最后画出网络结构图 解 模拟RC滤波网络的频率响应函数为 显然 Ha j 具有高通特性 用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混叠失真 所以应选用双线性变换法 将Ha j 中的j 用s代替 可得到RC滤波网络的系统函数 题8图 52 第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 用双线性变换法设计公式 可得 H z 的