11.3(2)两条直线的夹角.doc

11.3(2) 两条直线的夹角 教学目标设计1、 理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.2、 进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.3、 通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.教学过程设计一、复习引入1、复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.2、当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？ 2回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？（角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形 ）二、学习新课（一）关于两直线的夹角1、概念形成平面上两条直线和相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是 ，而两条相交直线夹角的取值范围是（.那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？2、夹角公式的推导 设两条直线的方程分别为：（不全为零）：（不全为零）.设与的夹角为，与的一方向向量分别为与，其夹角为，且=,=，当时，则如图甲所示;当时，则,如图乙所示.于是得:.即为直线与的夹角公式.特别地,当且仅当时, 与的夹角为,即与垂直.也就是说:垂直垂直(其中,分别为与的一个法向量)而由,易得当时,有,即当两条直线的斜率都存在时, 与垂直的充要条件是其中分别为直线与的斜率. 说明允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.3、例题分析例1、求下列各组直线的夹角：（1）， ； （2）， ；解：设与的夹角为，则由两条直线的夹角公式得(1)即为所求;(2) 即为所求.说明还可以数形结合(图略)，求得的倾斜角,得出与的夹角为）例2、若直线：与：互相垂直，求实数的值.解：先把直线的方程化为一般形式：.两直线垂直,，为所求例3、已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程.(与课本P20/例4类似)解：（方法一）设的方程为（其中为的一法向量），则即化简为 解方程，得当时，则，此时方程为当时，方程为，即综上, 的方程是或.（方法二）设点斜式，按直线的斜率是否存在分两类讨论 若直线的斜率不存在，则过点直线的方程为，设它与直线的夹角，则，满足题意. 若直线的斜率存在，那么设直线的方程为,即,设它与直线的夹角，则 则即,解得, 所以直线的方程为,化简得 , 由可知, 的方程是或.说明 启发学生探讨“求过某定点，且与已知直线夹角为的直线方程”这类基本问题的处理方法；一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；分析思路，启发学生一题多解.若设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式.例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值，本例为，目的让学生熟悉反三角的表示.例4、已知的三个顶点为(1) 求中的大小;(2)求的平分线所在直线的方程.解:（1）方法一:直线的方程为:，直线的方程为:, 设它们的夹角为,又为锐角,所以=，则即为所求;方法二:数形结合,因为即为所求. （2）方法一：设角平分线所在直线方程，即.由角平分线与两边成等角，运用夹角公式得 解得 ,由题意,舍所以角平分线的方程为：.方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为, 又已知它过点（2，1），所以，角平分线的方程为：说明巩固提高.因为本题中,直线的方程为:,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法.小题（1）,求三角形的内角,一般先求过的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角；小题（2）,注意结合图形,正确取舍.三、巩固练习：11.3（2） 四、课堂小结1本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的