电磁场与电磁波完整PPT课件.ppt

电磁场与波 绪论 1 本课程与相关课程的关系 电磁场与电磁波 高等数学 大学物理 通信原理 微波技术与天线 光纤通信 2 理论体系严谨抽象 复杂要求数学功底 推理能力训练分析问题 解决问题的科学方法预习 复习 独立完成作业精读一至二本教学参考书懂 记 算 比 熟 课程特点及学习要求 3 场与实物的共同特征场与实物之间的差异 场的物理本质 4 1 形式 结构多种多样 2 有一定的质量 能量和动量 满足p mv w mv2 3 具有微粒性和波动性 4 只能由一种形态转换成另一形态或相互转化 场与实物的共同特征 5 场与实物之间的差异 1 任何实物接触时都会产生机械作用 但不同的场接触时不产生机械作用 且不同的场有不同的特征性质 2 一切实物占有空间 不能同时被另一实物占有 相反 同一空间可以同时存在着许多不同的场 而未发现其相互影响 而且 场和实物可以相互渗透 二者可占有同一空间 6 3 一切实物在外力作用下可变速运动 电磁场在真空中只能以光速运动 否则就根本不存在 即没有静止质量存在 4 实物具有比场大得无比的质量密度和能量密度 虽然不可能量度场的质量 但容易发现场的能量 大c2倍 7 场是物质的一种形态 和另一种形态 实物同时存在 密切联系着 一定条件下相互转换 8 电磁场与电磁波理论发展简史 1 电磁场理论的早期研究19世纪以前 电 磁现象作为两个独立的物理现象 没有发现电与磁的联系 但是由于这些研究 特别是伏打1799年发明了电池 为电磁学理论的建立奠定了基础 9 2 电磁场理论的建立18世纪末期 德国哲学家谢林认为 宇宙是有活力的 而不是僵死的 他认为电就是宇宙的活力 是宇宙的灵魂 电 磁 光 热是相互联系的 奥斯特是谢林的信徒 他从1807年开始研究电磁之间的关系 1820年 他发现电流以力作用于磁针 10 安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直 并定量建立了若干数学公式 法拉第探索了磁生电的实验 1831年他发现 当磁捧插入导体线圈时 导线圈中就产生电流 这表明 电与磁之间存在着密切的联系 11 麦克斯韦深入研究并探讨了电与磁之间发生作用的问题 引进位移电流的概念 发展了场的概念 在此基础上提出了一套偏微分方程来表达电磁现象的基本规律 称为麦克斯韦方程组 是经典电磁学的基本方程 12 3 电磁场理论的应用和发展1887年 德国科学家赫兹用火花隙激励一个环状天线 用另一个带隙的环状天线接收 证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言 无线电报1895年 意大利马可尼成功地进行了2 5公里距离的无线电报传送实验 马可尼以其在无线电报等领域的成就 获得了1909年的诺贝尔奖金物理学奖 无线电报的发明 开始了利用电磁波时期 有线电话1876年 美国A G 贝尔在美国建国100周年博览会上展示了他所发明的有线电话 此后 有线电话便迅速普及开来 13 广播1906年 美国费森登用50千赫频率发电机作发射机 用微音器接入天线实现调制 使大西洋航船上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐 1919年 第一个定时播发语言和音乐的无线电广播电台在英国建成 次年 在美国的匹兹堡城又建成一座无线电广播电台 电视1884年 德国尼普科夫提出机械扫描电视的设想 1927年 英国贝尔德成功地用电话线路把图像从伦敦传至大西洋中的船上 兹沃霄金在1923和1924年相继发明了摄像管和显像管 1931年 他组装成世界上第一个全电子电视系统 14 选矿器 硫酸盐矿 石英 含石英硫酸盐矿 15 阴极射线示波器 16 磁分离器 17 回旋加速器 18 磁悬浮列车 19 此外 电磁兼容 军事 医疗等 20 主要参考书 1 郭辉萍等 电磁场与电磁波 西安电子科技大学出版社 2 马冰然 电磁场与微波技术 上册 华南理工大学出版社 3 谢处方 电磁场与电磁波 高等教育出版社 4 邹澎等 电磁场与电磁波 清华大学出版社 5 毛均杰等 电磁场理论 国防科技大学出版社 21 第1章矢量分析与场论 一 矢量和标量的定义 二 矢量的运算法则 三 矢量微分元 线元 面元 体元 四 标量场的梯度 六 矢量场的旋度 五 矢量场的散度 七 亥姆霍兹定理及重要的场论公式 22 一 矢量和标量的定义 1 标量 只有大小 没有方向的物理量 矢量表示为 所以 一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积 其中 为矢量的模 表示该矢量的大小 为单位矢量 表示矢量的方向 其大小为1 2 矢量 不仅有大小 而且有方向的物理量 如 力 速度 电场等 如 温度T 长度L等 23 例 在直角坐标系中 x方向的大小为6的矢量如何表示 图示法 力的图示法 24 二 矢量的运算法则 1 加法 矢量加法是矢量的几何和 服从平行四边形规则 a 满足交换律 b 满足结合律 25 三个方向的单位矢量用表示 根据矢量加法运算 所以 在直角坐标系下的矢量的表示 其中 26 矢量 模的计算 单位矢量 方向角与方向余弦 在直角坐标系中三个矢量加法运算 27 2 减法 换成加法运算 逆矢量 和的模相等 方向相反 互为逆矢量 在直角坐标系中两矢量的减法运算 28 3 乘法 1 标量与矢量的乘积 2 矢量与矢量乘积分两种定义 a 标量积 点积 两矢量的点积含义 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积 其结果是一标量 29 在直角坐标系中 已知三个坐标轴是相互正交的 即 有两矢量点积 结论 两矢量点积等于对应分量的乘积之和 推论1 满足交换律 推论2 满足分配律 推论3 当两个非零矢量点积为零 则这两个矢量必正交 30 推论1 不服从交换律 推论2 服从分配律 推论3 不服从结合律 推论4 当两个非零矢量叉积为零 则这两个矢量必平行 b 矢量积 叉积 含义 两矢量叉积 结果得一新矢量 其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积 方向为该面的法线方向 且三者符合右手螺旋法则 31 在直角坐标系中 两矢量的叉积运算如下 两矢量的叉积又可表示为 32 3 三重积 三个矢量相乘有以下几种形式 矢量 标量与矢量相乘 标量 标量三重积 矢量 矢量三重积 a 标量三重积 法则 在矢量运算中 先算叉积 后算点积 定义 含义 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 33 注意 先后轮换次序 推论 三个非零矢量共面的条件 在直角坐标系中 b 矢量三重积 34 例1 解 则 设 35 例2 已知 求 确定垂直于 所在平面的单位矢量 36 三 矢量微分元 线元 面元 体元 例 其中 和称为微分元 1 直角坐标系在直角坐标系中 坐标变量为 x y z 如图 做一微分体元 线元 面元 体元 37 2 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中 坐标变量为 如图 做一微分体元 线元 面元 体元 38 3 球坐标系 在球坐标系中 坐标变量为 如图 做一微分体元 线元 面元 体元 39 a 在直角坐标系中 x y z均为长度量 其拉梅系数均为1 即 b 在柱坐标系中 坐标变量为 其中为角度 其对应的线元 可见拉梅系数为 在球坐标系中 坐标变量为 其中均为角度 其拉梅尔数为 注意 每个坐标长度增量同各自坐标增量之比 称为度量系数或 40 在正交曲线坐标系中 其坐标变量不一定都是长度 其线元必然有一个修正系数 这些修正系数称为拉梅系数 若已知其拉梅系数 就可正确写出其线元 面元和体元 体元 线元 面元 正交曲线坐标系 41 四 标量场的梯度 1 标量场的等值面 可以看出 标量场的函数是单值函数 各等值面是互不相交的 以温度场为例 热源 等温面 42 b 梯度 定义 标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数 其方向为该点所在等值面的法线方向 数学表达式 2 标量场的梯度 a 方向导数 空间变化率 称为方向导数 为最大的方向导数 标量场的场函数为 43 甲 每米的温度变化为乙 每米的温度变化为丙 每米的温度变化为同一温度场中 其等温面沿不同方向的变化率不同 方向性导数不同 44 计算 在直角坐标系中 所以 梯度也可表示 45 在柱坐标系中 在球坐标系中 在任意正交曲线坐标系中 在不同的坐标系中 梯度的计算公式 在直角坐标系中 46 某二维标量场梯度 47 五 矢量场的散度 1 矢线 场线 在矢量场中 若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合 则该曲线成为矢线 2 通量 定义 如果在该矢量场中取一曲面S 通过该曲面的矢线量称为通量 表达式 若曲面为闭合曲面 48 讨论 a 如果闭合曲面上的总通量 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量 意味着闭合面内存在正的通量源 b 如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量大于穿出的通量 那么必然有一些矢线在曲面内终止了 意味着闭合面内存在负源或称沟 c 如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量等于穿出的通量 49 3 散度 a 定义 矢量场中某点的通量密度称为该点的散度 b 表达式 c 散度的计算 在直角坐标系中 如图做一封闭曲面 该封闭曲面由六个平面组成 矢量场表示为 50 在x方向上 计算穿过和面的通量为 因为 则 在x方向上的总通量 51 在z方向上 穿过和面的总通量 整个封闭曲面的总通量 同理 在y方向上 穿过和面的总通量 52 该闭合曲面所包围的体积 通常散度表示为 4 散度定理 物理含义 穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分 53 柱坐标系中 球坐标系中 正交曲线坐标系中 直角坐标系中 常用坐标系中 散度的计算公式 54 六 矢量场的旋度 1 环量 在矢量场中 任意取一闭合曲线 将矢量沿该曲线积分称之为环量 可见 环量的大小与环面的方向有关 2 旋度 定义 一矢量其大小等于某点最大环量密度 方向为该环的法线方向 那么该矢量称为该点矢量场的旋度 表达式 55 旋度计算 以直角坐标系为例 一旋度矢量可表示为 场矢量 其中 为x方向的环量密度 旋度可用符号表示 56 其中 可得 同理 所以 旋度公式 57 为了便于记忆 将旋度的计算公式写成下列形式 类似的 可以推导出在广义正交坐标系中旋度计算公式 对于柱坐标 球坐标 已知其拉梅系数 代入公式即可写出旋度的计算公式 58 3 斯托克斯定理 物理含义 一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分 59 方向相反大小相等结果抵消 60 亥姆霍兹定理的简化表述如下 若矢量场F在无限空间中处处单值 且其导数连续有界 而源分布在有限区域中 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定 并且 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和 即 七 亥姆霍兹定理 61 矢量场的分类 根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类 1 调和场 若矢量场F在某区域V内 处处有 F 0和 F 0则在该区域V内 场F为调和场 注意 不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场 调和场 有源无旋场 无源有旋场 有源有旋场 62 2 有源无旋场 如果 则称矢量场F为无旋场 无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度 即 函数u称为无旋场F的标量位函数 简称标量位 无旋场F沿闭合路径C的环量等于零 即 这一结论等价于无旋场的曲线积分与路径无关 只与起点P和终点Q有关 标量位u的积分表达式 63 由 有 64 3 无源有旋场 函数A称为无源场F的矢量位函数 简称矢量位 无源场F通过任何闭合曲面S的通量等于零 即 4 有源有旋场 一般的情况下 如果在矢量场F的散度和旋度都不为零 即 如果 则称矢量场F为无源场 无源场F可以表示为另一个矢量场的旋度 即 65 可将矢量场F表示为一个无源场Fs和无旋场Fi的叠加 即 其中Fs和Fi分别满足 于是 因而 可定义一个标量位函数u和矢量位函数A 使得 66 重要的场论公式 1 两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零 任何矢量场的旋度的散度恒为零 67 在圆柱坐标系中 在球坐标系中 在广义正交曲线坐标系中 2 拉普拉斯算子 在直角坐标系中 68 3 常用的矢量恒等式 69 基本要求 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的几何意义掌握矢量积 标量积的计算了解矢量场散度的定义 掌握其计算方法和物理意义 掌握散度定理的内容 并能熟练运用 了解矢量场旋度的定义 掌握其计算方法和物理意义 掌握斯托克斯公式的内容 并能数量应用 70 了解标量场的梯度的定义 掌握其计算方法和物理意义了解曲面坐标系中矢量的表示方法 三种坐标系的转换了解曲面坐标系中散度 旋度的表示线元 面积元 体积元的表示正确理解亥姆霍兹定理的内容 并能正确应用 71 作业P18 20 1 2 2 4 1 41 51 15 1 1 16 2 1 17 2 1 191 23 72 第二章静电场和恒定电场 Electrostatics 由静止的不随时间变化的电荷产生的电场 2 1电场强度与电位函数2 2静电场的基本方程2 3电介质的极化与电通量密度2 4导体的电容2 5静电场的边界条件2 6恒定电场 73 选矿器 74 阴极射线示波器原理 75 2 1电场强度与电位函数 2 1 1库仑定律 Coulom sLaw 是静电现象的基本实验定律 表明固定在真空中相距为R的两点电荷q1与q2之间的作用力 正比于它们的电荷量的乘积 反比于它们之间距离的平方 作用力的方向沿两者间的连线 两点电荷同性为斥力 异性为吸力 两个点电荷的相互作用 76 点电荷 点电荷 当电荷体体积非常小 可忽略其体积时 称为点电荷 点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上 电磁场的源量SourceofElectromagneticfield 电荷和电流是产生电磁场的源 77 2 1 2电场 1 点电荷的电场强度设q为位于点S x y z 处的点电荷 在其电场中点P x y z 处引入试验电荷qt 根据库仑定律 qt受到的作用力为F 则该点处的电场强度 electricFieldIntensity 定义为 将观察点P称为场点 其位置用坐标 x y z 或r来表示 把点电荷所在的点S称为源点 其位置用坐标 x y z 或r 来表示 源点到场点的距离矢量可表示为R r r 78 直角坐标系中 其大小为又因为所以 79 当空间中同时有n个点电荷时 场点的电场等于各点电荷qi在该点产生的电场强度的矢量和 即 2 分布电荷的电场强度假设电荷是集中在一个点上 从宏观的角度讲 电荷是连续的分布在一段线上 一个面上或一个体积内的 80 分布电荷的电场强度 1 体电荷 体电荷 电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体 体电荷密度的定义 在电荷空间V内 任取体积元 其中电荷量为 视为点电荷 则它在场点P r 处产生的电场为 81 体电荷产生的场 体积V内所有电荷在P r 处所产生的总电场为 82 2 面电荷 面电荷 当电荷只存在于一个薄层上时 称电荷为面电荷 面电荷密度的定义 在面电荷上 任取面积元 其中电荷量为 面电荷所产生的电场强度 83 3 线电荷 线电荷 当电荷只分布在一条细线上时 称电荷为线电荷 线电荷密度的定义 在线电荷上 任取线元 其中电荷量为 线电荷所产生的电场强度 84 例 有限长直线上均匀分布着线密度为 l的线电荷 求线外一点的电场强度 采用柱坐标 在直线上选一线元 其上的电荷 由它在场点产生的电场强度为 由于直线电荷具有轴对称性 因此电场可分解为如下两个分量 85 由于直线无限长 则 结论 无限长线电荷产生的电场沿径向发散 这是由源的性质决定的 86 2 1 3电位函数 定义1 在静电场中 某点P处的电位定义为把单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功 若正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W 则P点处的电位为 当电荷不延伸到无穷远处时 一般把电位参考点Q选在无限远处 这将给电位的计算带来很大的方便 此时 任意P点的电位为 87 点电荷产生的电位 电位与电场强度之间的关系 88 2 线电荷的电位表达式为3 面电荷的电位表达式为4 体电荷的电位表达式为 以下表达式的参考点选在无穷远处 若源延伸到 则重选 以表达式简捷 有意义为原则 89 2 1 4电偶极子 1 电偶极子定义相距很近的两个等值异号的电荷 2 电偶极子产生的电位 3 电偶极矩矢量大小 p qd方向 由负电荷指向正电荷 90 电偶极子产生的电场强度 91 2 2静电场的基本方程 2 2 1电通 量 和电通 量 密度把一个试验电荷qt放入电场中 让它自由移动 作用在此电荷上的静电力将使它按一定的路线移动 称这个路线为力线 LineofForce 或通量线 FluxLine 1 电力线 electriclineofforce 电力线上各点的切线方向表示电场中该点场强的方向 92 电力线的性质 电力线不会中断 电力线不会相交 单值 电力线不会形成闭合曲线 它起始于正电荷 或 处 终止于负电荷 或 处 定义 2电通量 ElectricFlux 或场线 FieldLine 表示电通量 通过任一面元的电力线的条数称为通过这一面元的电通量 通常人为规定一个电荷产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大小 93 3 电通量的性质与媒质无关大小仅与发出电通量的电荷有关如果点电荷被包围在半径为R的假想球内 则电通量必将垂直并均匀穿过球面单位面积上的电通量 即电通密度 反比于R2 孤立正电荷的电通 94 4 电通密度D 电位移矢量 点电荷q在半径R处的电通密度为 D的单位为C m2则穿过某个曲面S的电通量定义为 95 面元是矢量 或写成方向的规定 闭合曲面外法线方向 自内向外 为正 非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则 96 电场是矢量 与面元的夹角为通过面元的电通量为 电通量是标量 97 电通量有正负 取决于场强与面元方向夹角对于闭合曲面 为正时表明穿出该曲面 反之为进入 98 通过任一曲面S的电通量 把该曲面分割成很多小元求得每一个小面元的电通量求积分若是闭合曲面 99 2 2 2静电场的高斯定律Gausstheorem 数学表达式 二证明 可用库仑定律和叠加原理证明 1 证明包围点电荷的同心球面的电通量等于 球面上各点的场强方向与其径向相同 球面上各点的场强大小由库仑定律给出 100 此结果与球面的半径无关 换句话说 通过各球面的电力线总条数相等 从发出的电力线连续的延伸到无穷远 2 证明包围点电荷的任意闭合曲面的电通量等于 立体角solidangle 101 立体角 因为电力线不会中断 连续性 所以通过闭合曲面和的电力线数目是相等的 102 由于电力线的连续性可知 穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等 所以当闭合曲面无电荷时 电通量为零 3 证明不包围点电荷的任一闭合曲面的电通量恒等于零 4 证明 多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和 利用场强叠加原理可证 103 说明 高斯定律中的场强是由全部电荷产生的 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷 闭合曲面外的电荷对电通量无贡献 高斯定律表示的是电场与场源电荷关系的客观规律 104 三 利用高斯定律求静电场的分布 均匀带电球壳 均匀带电细棒 105 例一 均匀带电的球壳内外的场强分布 设球壳半径为R 所带总电量为Q 解 场源的对称性决定着场强分布的对称性 它具有与场源同心的球对称性 固选同心球面为高斯面 场强的方向沿着径向 且在球面上的场强处处相等 QK 1 高斯面 高斯面 当高斯面内电荷为0 当高斯面内电荷为Q 所以 106 结果表明 QK 1 均匀带电球壳外的场强分布正象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的场强分布一样 在球面内的场强均为零 107 例二 均匀带电的球体内外的场强分布 设球体半径为R 所带总带电为Q 解 它具有与场源同心的球对称性 固选取同心的球面为高斯面 108 空间任意存在正电荷密度的点都发出电通量线 若电荷密度为负值 电通量线指向电荷所在的点电荷是静电场的发散源 四 高斯定律的微分形式 109 2 2 3电场强度的环量 设电大强度为E l为场中任意闭合路径 电场强度沿闭合路径的积分称为电场强度的环量 根据斯托克斯定理有 静电场是无旋场或保守场 110 电介质 绝缘体 无自由电荷 根据物质的分子结构 将电介质分成无极分子和有极分子两大类 1 有极分子和无极分子电介质 有极分子 分子的正电荷中心与负电荷中心不重合 负电荷中心 正电荷中心 2 3电介质及其极化 由于分子的热运动 不同电偶极子的偶极矩的方向是不规则的 因此就宏观来说 它们所有分子的等效电偶极矩的矢量和为零 因而对外不呈现电性 有极分子正负电荷的中心不相重合而形成一个电偶极子 111 在外加电场力的作用下 无极分子正 负电荷的作用中心不再重合 有极分子的电矩发生转向 这时它们的等效电偶极矩的矢量和不再为零 如图 b 所示 这种情况称为电介质的极化 Polarized 2 电介质的极化 1 无极分子的位移极化 2 有极分子的取向极化 无极分子 分子的正电荷中心与负电荷中心重合 束缚电荷理想的电介质 IdealDielectric 内部没有自由电子 它的所有带电粒子受很强的内部约束力束缚着 因此称为束缚电荷 BoundCharge 112 束缚电荷产生的场 极化后介质中的合成电场小于外加电场 极化前不呈现电性 束缚面电荷 113 3 电极化强度矢量 1 电极化强度矢量 单位体积内分子电矩的矢量和 2 空间任一点总电场 总电场 外电场 束缚电荷电场 3 电极化强度与总电场的关系 极化率 4 极化率与相对介电常数的关系 114 4 极化介质所产生的位 极化介质内取一微小体积元dV dV 内电偶极矩为dp PdV 电偶极矩dp在P点产生的电位相当于一个电偶极子产生的电位 其表达式为考虑到 则有利用矢量恒等式 115 因此 整个极化电介质在P点所产生的电位表达式为说明 极化介质在P点产生的电位是两项的代数和 定义为束缚面电荷密度 为束缚体电荷密度 于是可得 116 束缚电荷密度的产生是由于无极分子电荷对的分离和有极分子电偶极矩的有序排列 如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度 则电介质中的电场E是自由电荷和束缚电荷共同作用的结果 即 5 电介质中的电场与电通量密度 本构方程 117 6 任意介质中的静电场方程 118 2 4导体的电容 在很多情况下 电荷分布在导体上或导体系统中 因此导体是储存电荷的容器 储存电荷的容器称为电容器 Capacitor 实际上 相互接近而又相互绝缘的任意形状的导体都可构成电容器 任意形状导体构成的电容 119 一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电位之比定义为电容 其表达式为其中C为电容 单位为F Qa表示导体a的电荷 单位为C Uab表示导体a相对于导体b的电位 单位为V 上式为由两个平板导体构成的电容器的电容 1电容的表达形式 120 2平行双导线电容的表达形式 设平行双导线中每根导线的直径为d 双导线间的距离为D 其间充填有介质 设平行双导线间的电压为U 单位长度的电荷为 l 则双导线间的电场强度为 121 将上式积分即得双导线间的电压 根据电容的定义得平行双导线单位长度的电容为 122 同轴线 3同轴线电容的表达形式 123 4 四导体系统的电容 124 2 5静电场的边界条件 1 电通量密度D的法向分量在介电常数分别为 1与 2的媒质1与媒质2的分界面上作一个小的柱形闭合面 分界面的法线方向n由媒质2指向媒质1 因柱形面上 下底面积 S很小 故穿过截面 S的电通量密度可视为常数 假设柱形面的高h 0 则其侧面积可以忽略不计 电通量密度的边界条件 125 设分界面上存在的自由面电荷密度为 s 根据高斯定理有或用电位函数表示的边界条件分界面在两种理想电介质之间当分界面在两种不同介质之间时 若非特意放置 分界面上一般不存在自由面电荷 此时 穿过介质分界面的电通量密度的法向分量是连续的分界面在理想电介质1与导体2之间 126 2电场强度E的切向分量 静电场是保守场 将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径abcda 其中ab和cd的长度为 l ab的方向为at 闭合路径所包围的矩形平面的方向为s bc和da的长度为h 电场强度的边界条件 127 分界面的法线方向为n 由媒质2指向媒质1 s为闭合路径的法线方向 at为分界面的切线方向 当h 0时bc和da对积分的贡献可忽略不计 因此有即或 128 3分界面上电场的方向 设分界面两侧的电场与法线n的夹角分别为 1和 2 则整理得 边界条件是场方程在媒质分界面上的一种表现形式 只有满足基本方程 且满足边界条件的场矢量才是静电场问题的解 例2 5 例2 6P38 39自学 129 2 6恒定电流的电场 分类 传导电流与运流电流 传导电流是导体中的自由电子 或空穴 或者是电解液中的离子运动形成的电流 运流电流是电子 离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流 130 运动的电荷形成电流 电流大小用电流强度I描述 电流强度I的定义 设在时间内通过某曲面S的电量为 则定义通过曲面S的电流为 电流强度的物理意义 单位时间内流过曲面S的电荷量 恒定电流 电流大小恒定不变 即 一 电流与电流密度Electroniccurrent density 引入电流密度矢量描述空间电流分布状态 131 1 体 电流密度 设垂直通过 S的电流为 I 则该点处的电流密度为 体电流 电荷在一定体积空间内流动所形成的电流 132 体电流密度VolumeElectroniccurrentdensity 或者 体电流密度定义 设正电荷沿方向流动 则在垂直方向上取一面元 若在时间内穿过面元的电荷量为 则 为空间中体电荷密度 为正电荷流动速度 也适用于运流电流 133 载流导体内每一点都有一个电流密度 构成一个矢量场 称这一矢量场为电流场 电流场的矢量线叫做电流线 通过面积S的电流等于电流密度在S上的通量 体电流密度与流过任意面积S的电流强度I的关系 134 2 面 电流密度SurfaceElectroniccurrentdensity 设垂直通过 L的电流为 I 则该点处的电流密度为 当电荷只在一个薄层内流动时 形成的电流为面电流 135 面电流密度 或者 电流在曲面S上流动 在垂直于电流方向取一线元 若通过线元的电流为 则定义 1 的方向为电流方向 即正电荷运动方向 讨论 136 2 若表面上电荷密度为 且电荷沿某方向以速度运动 则可推得此时面电流密度为 注意 体电流与面电流是两个独立概念 并非有体电流就有面电流 3 线电流与电流元 电荷只在一条线上运动时 形成的电流即为线电流 电流元 长度为无限小的线电流元 137 二 恒定电场的基本方程1 电流连续性方程 在电流场中有一闭合曲面S 由电荷守恒定律 电流连续性方程 138 139 要该积分对任意的体积V均成立 必须有被积函数为零 电流连续性方程微分形式 电流连续性方程积分形式 140 恒定电场的电流连续性方程 141 欧姆定律的微分形式电功率密度 一段载流I导体 端电压为U 电阻为R 由欧姆定律 欧姆定律微分形式 142 电导率为无限大的导体称为理想导电体 在理想导电体中 无需电场推动即可形成电流 所以在理想导电体中是不可能存在恒定电场的 否则 将会产生无限大的电流 从而产生无限大的能量 但是 任何能量总是有限的 电导率为零的媒质 不具有导电能力 这种媒质称为理想介质 理想介质内无电流存在 电导率不为零的媒质 具有导电能力 这种媒质称为导电介质 143 表常用材料的电导率 144 按电导率对介质的分类 理想导体理想介质 绝缘介质 导电媒质 与介质的极化特性一样 媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀 线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点 这些特性的含义与前相同 上述公式仅适用于各向同性的线性媒质 145 焦耳定律电功率密度 当导体两端的电压为U 流过的电流为I时 则在单位时间内电场力对电荷所作的功 电功率 在导体中 沿电流线方向取一长度为 L 截面为 S的体积元 该体积元内消耗的功率为 146 载流导体内任一点的热功率密度为 焦耳定律不适应于运流电流 因为对于运流电流而言 电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能 而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能 焦耳定律的微分形式 147 恒定电流场的基本方程电位方程 载流导电媒质中恒定电场的基本方程 不包括电源 积分形式 微分形式 本构关系 148 电位及电位方程 对于均匀的导电媒质 恒定电场的电位满足拉普拉斯方程 149 三 接地电阻 1定义所谓接地 就是将金属导体埋入地内 而将设备中需要接地的部分与该导体连接 称埋在地内的导体或导体系统称为接地体或接地电极 电流由电极流向大地时所遇到的电阻称为接地电阻 当远离电极时 电流流过的面积很大 而在接地电极附近 电流流过的面积很小 或者说电极附近电流密度最大 2接地电阻图示接地电阻主要集中在电极附近 150 3接地电阻及跨步电压设经引线由O点流入半球形电极的电流为I 则距球心为r处的地中任一点的电流密度为电场强度为由于电流沿径向一直流出去 直至无穷远处 电流在大地中的电压为 得接地电阻为 例2 7P43 43自学 151 2导电回路的总功率电流是静电力与非静电力共同作用的结果 于是 包含电源的欧姆定律的微分形式为即含电源的闭合回路中的总电场为 若回路中有恒定电流I且是均匀分布的 则相应的总功率为 四 电动势 1导电回路中的电场电场是驱使电荷运动不可缺少的 以金属为例 金属中质量较大的正离子 在晶格 CrystalLattice 中的正常位置是相对固定的 无助于形成电流 因此金属中的电流是自由电子在电场作用下逆电场方向运动形成的 等效为正电荷沿电场方向运动 回路中的电动势 152 五 恒定电流场的边界条件 由积分形式 可得恒定电流场中不同导电媒质分界面的边界条件 153 即 恒定电流场的边界条件为 恒定电流场中不同导电媒质分界面两侧的电场强度切向分量连续 但其法向分量不连续 而电流密度的法向分量连续 但其切向分量不连续 154 在恒定电场中 分界面处用电位表示的边界条件为 应用边界条件 可得分界面处的折射定理 155 1 理想介质与良导体 156 可知E2不垂直导体表面 导体表面不是等位面 导体也不是等位体 这是由于 1有限 导体中沿电流方向存在电场 而在静电场中 导体内电场强度为零 介质中的场强总是垂直导体表面 导体是等位体 其表面是等位面 在这一点 恒定电场与静电场有根本的区别 由上知 在均匀导体内电流沿平行于导体表面流动 157 2 载恒定电流的均匀导电媒质内部无 体 电荷存在 即 载恒定电流的均匀导电媒质内部无 体 电荷存在 电荷分布在载流导体的表面 158 3 有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时 其电流密度和电场强度要发生突变 故分界面上必有电荷分布 159 分界面上的面电荷密度 当时 分界面上的面电荷密度为零 可见 在两种导电媒质分界面上一般有一层自由电荷分布 如果导电媒质不均匀 在媒质中还会有体电荷的存在 160 六 恒定电流场与静电场的比拟 161 物理量的对偶关系 静电场恒定电场 对偶原理如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式 并具有对应的边界条件 那么它们解的数学形式也将是相同的 这就是对偶原理 亦称为二重性原理 具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程 在对偶方程中 处于同等地位的量称为对偶量 例2 8P46自学 162 小结 理解并掌握库仑定律理解场的叠加原理 会计算点电荷 连续分布电荷的电场强度理解电位概念 掌握电位与电场强度的关系 会计算点电荷系统和规则连续分布电荷系统的电位掌握静电场的基本性质和基本方程熟练运用高斯定律求解静电场问题了解电介质极化的物理过程 会计算极化强度 极化电荷理解电容概念 会计算电容 163 掌握不同介质分界面上场的边界条件理解恒定电场概念 电流密度概念掌握电流连续性原理的积分和微分形式 掌握欧姆定律 焦耳定律的微分形式理解接地电阻的概念 并会计算掌握导电媒质中恒定电场的基本方程 理解恒定电场与静电场的对比 164 作业P47 49 2 22 62 92 102 142 162 172 18 165 给定边界条件下求有界空间的静电场和电源外恒定电场的问题 称之为边界值问题 第3章边值问题的解法 166 3 1边值问题的提法 分类 3 1 1边值问题的分类1狄利克雷问题 给定整个场域边界面S上各点电位的 函数 值2聂曼问题 给定待求位函数在边界面上的法向导数值3混合边值问题 给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合另外 若场域在无限远处 电荷分布在有限区域 则有自然边界条件若边界面是导体 边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或另一部分导体表面的电荷量 167 3 1 2泊松方程和拉普拉斯方程 1泊松方程 Poisson sEquation 在线性 各向同性 均匀的电介质中 称之为静电场的泊松方程 它表示求解区域的电位分布取决于当地的电荷分布 2拉普拉斯方程 Laplace sEquation 电荷分布在导体表面的静电场问题 在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零 即 V 0 因而有 2 0称为拉普拉斯方程 168 3 2唯一性定理 1定理内容在静电场中 每一类边界条件下 泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的 即静电场的唯一性定理 2证明过程利用反证法来证明在第一类边界条件下 拉普拉斯方程的解是唯一的 考虑一个由表面边界S包围的体积V 由格林第一定理 169 整理 因为 所以 设在给定边界上的电位时 拉普拉斯方程有 1和 2两个解 由于拉普拉斯方程是线性的 两个解的差 1 2也满足方程 在边界S上 电位所以 在边界S上的值为则得 170 3 1 3静电场边界值问题的间接解法 171 例1 已知无限长同轴电缆内 外半径分别为和 如图所示 电缆中填充均匀介质 内外导体间的电位差为 外导体接地 求其间各点的电位和电场强度 解 根据轴对称的特点和无限长的假设 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程 采用圆柱坐标系 积分 由边界条件 则 172 3 3镜像法 理论依据 惟一性定理是镜像法的理论依据 镜像法概念 在一定条件下 可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用 且保持原有边界上边界条件不变 则根据惟一性定理 空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到 这些等效电荷称为镜像电荷 这种求解方法称为镜像法 173 174 应注意的问题 镜像电荷位于待求场域边界之外 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间 该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致 实际电荷 或电流 和镜像电荷 或电流 共同作用保持原边界处的边界条件不变 175 待求场域 上半空间边界 无限大导体平面边界条件 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 在空间的电位为点电荷q和镜像电荷 q所产生的电位叠加 即 电位满足边界条件 导体平面边界上 176 上半空间的电场强度 电位 177 导体表面感应电荷导体表面上感应电荷总量导体表面上感应电荷对点电荷的作用力 178 2线电荷对无限大接地导体平面的镜像 将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合 根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理 可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷 其电荷密度为上半空间的电场待求场域中的电位 179 3点电荷对半无限大接地导体角域的镜像 由两个半无限大接地导体平面形成角形边界 当其夹角为 而为整数时 该角域中的点电荷将有个个镜像电荷 该角域中的场可以用镜像法求解 当n 4时 该角域外有3个镜像电荷q1 q2和q3 位置如图所示 其中 180 当n 6时 n不为整数时 镜像电荷将有无数个 镜像法就不再适用了 当角域夹角为钝角时 镜像法亦不适用 角域外有5个镜像电荷 大小和位置如图所示 所有镜像电荷都正 负交替地分布在同一个圆周上 该圆的圆心位于角域的顶点 半径为点电荷到顶点的距离 181 4 点电荷对导体球面的镜像 设一点电荷q位于半径a为的接地导体球附近 与球心的距离为d 如图所示 待求场域为r a区域 边界条件为导体球面上电位为零 设想在待求场域之外有一镜像电荷q 位置如图所示 根据镜像法原理 q和q 在球面上的电位为零 182 点电荷与接地导体球周围的电场 183 在球面上任取一点c 则 空间任意点的电位 184 导体球不接地 185 导体球不接地 根据电荷守恒定律 导体球上感应电荷代数和应为零 就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷q q 球外任一点电位 球面上任一点电位 为了保证球面为等位面的条件 镜像电荷q 应位于球心处 186 例3 有一接地导体球壳 内外半径分别为a1和a2 在球壳内外各有一点电荷q1和q2 与球心距离分别为d1和d2 如图所示 求 球壳外 球壳中和球壳内的电位分布 球壳外 边界为r a2的导体球面 边界条件为根据球面镜像原理 镜像电荷的位置和大小分别为球壳外区域任一点电位为 解 187 球壳内 边界为r a1的导体球面 边界条件为根据球面镜像原理 镜像电荷的位置和大小分别为球壳内区域任一点电位为 球壳中 球壳中为导体区域 导体为等位体 球壳中的电位为零 用镜像法解题时 一定要注意待求区域及其边界条件 对边界以外的情况不予考虑 188 5线电荷对导体圆柱面的镜像 待求区域 边界条件 柱面上电位为零设想镜像线电荷位于对称面上 且与圆柱轴线距离为b 则导体柱面上任一点的电位表示为其中 作业 无限长接地导体圆柱的半径为a 在距离轴线为d d a 处有一无限长线电荷与圆柱平行 计算空间各部分的电位 自学 189 两平行线电荷的电位分布 在柱面上取两个特殊点M和N 则 空间电位为 其中 190 四 分离变量法 理论基础惟一性定理分离变量法的主要步骤根据给定的边界形状 选择适当的坐标系 正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式 及给定的边界条件 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程 并给出常微分方程的通解 其中含有待定常数 利用给定的边界条件 确定通解中的待定常数 获得满足边界条件的特解 191 直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法 本征方程的求解 1 当时 本征函数 本征方程 本征值 192 2 当时 设 或 由 本征方程为 则 193 3 当时 设 由 本征方程为 或 则 194 应用叠加定理 可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解 三种解的特点 第一种解中 X x 和Y y 为常数或线性函数 说明它们最多只有一个零点 第二种解中 X x 为三角函数 有多个零点 Y y 为双曲函数 最多只有一个零点 第三种解中 X x 为双曲函数 最多有一个零点 而Y y 为三角函数 有多个零点 195 解 选直角坐标系 电位函数满足二维拉普拉斯方程边界条件 例 一接地金属槽如图所示 其侧壁和底壁电位均为零 顶盖与侧壁绝缘 其电位为U0 求槽内电位分布 196 设 代入式 1 中得 根据边界条件 2 与 3 可知 函数X x 沿x方向有两个零点 因此X x 应为三角函数形式 又因为X 0 0 所以X x 应选取正弦函数 即 由边界条件 3 得 197 对应的Y y 函数为双曲函数 且Y 0 0 于是Y y 的形式为 此时 电位可表示为由边界条件 5 知其中 198 对上式两边同乘以 再对x从0到a进行积分 即 199 满足边界条件的特解为 200 要求 掌握边值问题的概念 了解边值问题的分类掌握泊松方程 拉普拉斯方程理解唯一性定理理解镜像法原理 熟悉典型的像电荷分布理解分离变量法原理 熟悉分离变量法求解步骤 201 作业 3 13 23 43 63 8 1 202 第四章恒定电流的磁场 基本方程磁介质的磁化 磁场强度边界条件自感 互感 203 磁分离器 204 第一节恒定磁场的基本方程 产生磁场的电流恒定所产生的磁场也不随时间变化 安培力定律 205 206 真空磁导率 电流元在空间产生的磁场 207 磁通密度 毕奥 萨伐尔定律 磁感应强度叠加原理 任意载流导线在点P处的磁感强度 208 磁通密度矢量积分式 用不带撇的坐标表示场点 用带撇的坐标表示源点 线 体 面电流产生的磁通密度一般表达式 单位T Wb m2 G 小104 209 例判断下列各点磁感强度的方向和大小 1 5点 3 7点 2 4 6 8点 毕奥 萨伐尔定律 210 毕奥 萨伐尔定律应用举例 例载流直导线的磁场 解 方向均沿x轴的负方向 211 的方向沿x轴的负方向 212 无限长载流长直导线 半无限长载流长直导线 213 无限长载流长直导线的磁场 电流与磁感强度成右螺旋关系 214 4 1 2磁通密度的散度及磁通连续性原理 215 磁通连续性原理 磁场的高斯定理 由于上式中积分区域V是任意的 所以对空间的各点 有 上式是磁通连续性原理的积分形式 它表明 由恒定电流产生的场是无散场或连续的场穿进一封闭面的磁通量 穿出此封闭面的磁通量磁通线永远是连续的 216 安培环路定理 1 长直电流的磁场 1 1环路包围电流 安培 217 在垂直于导线的平面内任作的环路上取一点 到电流的距离为r 磁感应强度的大小 由几何关系得 长直电流的磁场 218 如果闭合曲线不在垂直于导线的平面内 结果一样 长直电流的磁场 219 如果沿同一路径但改变绕行方向积分 结果为负值 表明 磁感应强度矢量的环流与闭合曲线的形状无关 它只和闭合曲线内所包围的电流有关 长直电流的磁场 220 结果为零 表明 闭合曲线不包围电流时 磁感应强度矢量的环流为零 若环路不包围电流 长直电流的磁场 221 2 安培环路定理 Amperecirculationtheorem 电流I的正负规定 积分路径的绕行方向与电流成右手螺旋关系时 电流I为正值 反之I为负值 在磁场中 沿任一闭合曲线矢量的线积分 也称矢量的环流 等于真空中的磁导率 0乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流的代数和 安培环路定理 222 空间所有电流共同产生的磁场 在场中任取的一闭合线 任意规定一个绕行方向 L上的任一线元 空间中的电流 环路所包围的所有电流的代数和 物理意义 安培环路定理 223 几点注意 环流虽然仅与所围电流有关 但磁场却是所有电流在空间产生磁场的叠加 任意形状稳恒电流 安培环路定理都成立 安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定磁场 恒定电流本身总是闭合的 因此安培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线 静电场的高斯定理说明静电场为有源场 环路定理又说明静电场无旋 稳恒磁场的环路定理反映稳恒磁场有旋 高斯定理又反映稳恒磁场无源 安培环路定理 224 1 分析磁场的对称性 2 过场点选择适当的路径 使得沿此环路的积分易于计算 的量值恒定 与的夹角处处相等 3 求出环路积分 安培环路定理的应用 4 用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负 最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强度的大小 应用安培环路定理的解题步骤 225 1 长直圆柱形载流导线内外的磁场 设圆柱电流呈轴对称分布 导线可看作是无限长的 磁场对圆柱形轴线具有对称性 当 长圆柱形载流导线外的磁场与长直载流导线激发的磁场相同 226 当 且电流均匀分布在圆柱形导线表面层时 当 且电流均匀分布在圆柱形导线截面上时 在圆柱形载流导线内部 磁感应强度和离开轴线的距离r成正比 227 2 载流长直螺线管内的磁场 设螺线管长度为l 共有N匝 228 3 载流螺绕环内的磁场 设环上线圈的总匝数为N 电流为I 229 2 安培环路定理的微分形式 其中的电流I为穿过以闭合曲线C为边界的曲面上电流的代数和 即电流与闭合曲线相交链 230 因上式的