数学之美论文资料-节选.doc

题目： 数学之美 美在古诗词谈中国古代语言文化中所闪耀的数学魅力摘要：很多人将数学看作是科学的皇冠，是一切自然科学的基础学科。但是，在本文作者看来，数学有它另一面的风采。本文没有从技术层面对数学问题进行深入的探讨，而是着眼于我国古代语言艺术中的数学影踪，发掘和体会其中的巧妙与智慧之处，充分展示出数学之美！ 关键词：成语、古诗词、语言文化、完美结合、数字妙用 所谓先秦文化，魏晋风范，临安风骨，唐宋遗风，明清志异，中国的古代文化作品中从来就不缺少数学的身影。这些神奇的数字，或者是由此而转化的各种数学题目，总是让人魂牵梦绕，回味无穷。有可能，聪明的你会惊诧于古人的深奥智慧，擅用数学与语言文化的完美结合，创造出令后世惊叹、流传千古的绝句！下面就由本文作者，做一次您的导游，在浩如烟海的古籍中搜寻数学的影踪，带您共赏中国古代语言文化中所闪耀的数学魅力！ 1、 成语里的数学运用 成语是语言里的“大族”。在汉语丰富多彩的成语海洋中，我们经常可以看到一些用数字构成的成语。从其形式结构来看，四字格的短语形式居多。其中两个数字一般是分别镶嵌在成语的下、三位置上。例如：“三言两语”、“千呼万唤”(联合结构)，“一字千金”、“千虑一得”(主谓结构)，“一泻千里”、“一掷百万”(动宾结构)等。 上述类型成语中的两个数字关系，大致可以分为下列四类： 1、数目相同，描述强调。如“一唱一和”、“十全十美”。 2、数目相近，语义联贯。如“五湖四海”、“七上八下”。 3、数目成倍，对比泛指。如“一麟半爪”、“五风十雨”。 4、数目悬殊，夸张突出。如“九牛一毛”、“挂一漏万”。 数，是表示事物的量的基本数学概念，但运用在成语中的数词并不完全是代表它所指事物的确数，往往只是一般的虚指。例如“一树百获”中的“一”可以理解为“一次”，而“百”呢，就不能单纯地看作是“一百次”。它并非实指种植一次收获一百次，而是虚指可以有很多的收获，以此来比喻培养人才可以长期收益。成语中的数字大多属于此类，如“韦编三绝、四分五裂、七情六欲、八面威风、十全十美、百思不解、千变万化”等。但是有些古代沿习下来的成语中数字是实指的，例如：“八仙过海”是八个神仙过海，“三气周瑜”是气了三次，“六出祁山”是六次山出兵。这些数词都是实指，一眼就可以看清。有一些成语中的数词，原来是实指，以后才演变为虚指。如“六韬三略”中的六韬、三略都是古代的兵书名，原系实指几部兵书，后来则用“六韬三略”泛指所有的兵书、兵法，“六”、“三”也就变成了虚指。再如“十室九空”，原意是说十户人家九户空，后世则用来形容人民遭到灾祸和压榨后贫困、死亡、流离失所的凄凉景况。“十”、“九”也变成了虚指。 2、 数学给诗增韵味 经过精心选择提炼的数词，在优秀诗人的驱遣下，可以产生丰富隽永的诗情。庚信小园赋中的“一寸二寸之鱼，三竿两竿之竹”，被前人称之为“读之骚逸欲绝”。郑谷把僧齐己的早梅诗“前村深雷里，昨夜数枝开”中的“数枝开”改为“一枝开”，齐己因而拜郑谷为“一字师”。这里“数”改为“一”，更能贴切地表达出诗人蓦见而喜、喜中有惊的心情。同时，用“一枝”也更显示出所咏的确是“早梅”，艺术画面新鲜诱人，从而使全诗文气流畅、韵味平添，收到“恰然心会，妙处难与君说”的艺术效果。 古典诗词中常用数字，或直抒诗人的喜怒哀乐，或直绘笔下的艺术形象，从而达到加重感情色彩，渲染气氛或突出主题，开辟意境的作用。请看柳宗元的江雪诗：“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。”“千山”、“万径”的世界是如此广阔无垠，而一“绝”、一“灭”的现实又是这样荒寒冷落。因为“千山”、“万径”画面美而凄冷欲绝，才愈衬托出雪天寒江独钓的孤高诗情。“诗中有画”，“画中有诗”；意中有境，境中含意。诗中的形象是优美的，含有一种不同凡响的幽静美；其意境又是深邃的，具有一种不甘屈服的思想上的寄托。此诗堪称“奇绝”，这同数字“千山”、“万径”的运用是分不开的。 “故国三千里，深宫二十年，一声何满子，双泪落君前。”这是唐代诗人张祜写的宫词诗。诗中句句用了数词。“三千”指离家之远，“二十”指入宫之久，“一”、“双”指声泪俱下，怨情之悲。全诗四句二十字，从空间之大写到时间之长，再写到凄切哀怒情感之悲，四个数词充分发挥了修辞作用。首先，“三千”、“二十”表多的数词与“一”、“双”表少的数词在诗中相辅相成，两两相对组成对偶句式；其次，四个数词，在表达上有实有虚，虚实结合，数“多”者表虚也，数“少”者表实也。“三千”和“二十”皆为虚数，夸张故乡的遥远，时间的久长，浓缩了宫女远别故土、幽禁深宫的复杂内容，表达了她们乡情之长，宫怨之深。“一”与“双”皆为实数，“一”表示每听见那为封建帝王赏心悦目的何满子舞曲时，就呜咽着，就“双”泪直流，通过“一”、“双”两个数词，让宫女积蓄已久的悲情喷薄而出，一泻为快，揭示了宫女的深沉哀怨，生动再现出典型环境中人物的典型性格特征。 数字作为一种重要的遣词造句手段，在构成诗词结构美上还有不可忽视的作用。杜甫绝句“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门舶东吴万里船”。首句写“两个”黄鹂，从“点”着墨，先写近景；二句写“一行”白鹭，从“线”入笔，接写远景；第三句写“千秋”雪，突出时间永恒，是写“面”；第四句写“万里”船，显得空间广阔，是写“体”。这样，全诗点、线、面、体相互交织，远、近、时、空相互对照，结构灵巧，一气呵成，从而构成了这首诗的立体美和参差美。而柳宗元诗句“一身去国六千里，万死投荒十二年”，上下左右数字的搭配都是绝对对称的，这是一种形式美和外在美。 3、对联诗歌中的数学题 1、据说清乾隆曾经宴请65岁以上的老人到京城。有一位老寿星年高141岁，乾隆看到了非常高兴，就以这位寿星的岁数为题，说出上联，并要纪晓岚对出下联。 乾隆帝的上联是：花甲重开，又加三七岁月。 纪晓岚的下联是：古稀双庆，更多一度春秋。 上、下两联都是一道多步计算应用题，答案都是141岁。上联的“花甲”是指60岁，“重开”就是两个60岁，“三七”是21岁，就是60273141（岁）。下联的“古稀”是指70岁，“双庆”就是两个70岁，多“一度春秋”就是多1岁，也就是7021141（岁）2、下面一副对联，也是两道算题，并巧妙用上一、三、七、九、十各数，不嫌生拼硬凑。 尺蛇入穴，量量九寸零十分； 七鸭浮江，数数三双多一只。 上联是讲蛇的长度，九寸加十分是一尺（旧制长度单位进率是1尺10寸，1寸10分）；下联是讲鸭的只数，三双加一只是七只。 3、百羊问题 明代大数学家程大位著的算法统宗一书，有一道诗歌形式的数学应用题，叫百羊问题。 甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后， 戏问甲及一百否？甲云所说无差谬， 所得这般一群凑，再添半群小半群， 得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？ 此题的意思是：一个牧羊人赶着一群羊去寻找青草茂盛的地方。有一个牵着一只羊的人从后面跟来，并问牧羊人：“你的这群羊有100只吗？”牧羊人说：“如果我再有这样一群羊，加上这群羊的一半又1/4群，连同你这一只羊，就刚好满100只。”谁能用巧妙的方法求出这群羊有多少只？此题的解是： （1001）（111/21/4）36只4、李白打酒 李白街上走，提壶去打酒； 遇店加一倍，见花喝一斗； 三遇店和花，喝光壶中酒。 试问酒壶中，原有多少酒？ 这是一道民间算题。题意是：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量单位，1斗10升），这样遇店见花各3次，把酒喝完。问壶中原来有酒多少？ 此题用方程解。设壶中原来有酒x斗。得（2x1）21210，解得x7/8。5、百馍百僧 明代大数学家程大位著的算法统宗中有这样一题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无增；小僧三人分一个，大小和尚各几丁？这题可用假设法求解。现假设大和尚100个， （3100100）（313）75（人）小和尚人数1007525（人） 大和尚人数6、及时梨果 元代数学家朱世杰于1303年编著的四元玉鉴中有这样一道题目： 九百九十九文钱，及时梨果买一千， 一十一文梨九个，七枚果子四文钱。 问：梨果多少价几何？ 此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。问买梨、果各几个，各付多少钱？ 解： 梨每个价：11912/9（文） 果每个价：474/7（文） 果的个数：（12/91000999）（12/94/7）343（个） 梨的个数：1000343657（个） 梨的总价：12/9657803（文） 果的总价：4/7343196（文）7、隔壁分银 只闻隔壁客分银，不知人数不知银， 四两一份多四两，半斤一份少半斤。 试问各位能算者，多少客人多少银？ 此题是民间算题，用方程解比较方便。 设客人为x人。则得方程： 4x48x8 解： x3，43416 答：客人3人，银16两。 （注：旧制1斤16两，半斤8两）8、宝塔装灯 这是明代数学家吴敬偏著的九章算法比类大全中的一道题，题目是： 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？ 解各层倍数和：1248163264127顶层的盏数：3811273（盏）3、 结束语 中华文化，博大精深，源远流长；数学之美，玄哲妙理，光彩异样。中国古代语言艺术恰似一条绵长绚烂的丝绸锦帛，数学之美亦如那丝帛之上鬼斧神工的点睛之笔。二者的完美结合，相得益彰，文理并存，既让人领略了语言艺术的感染力又使人体会到了数学妙用的渗透力。我们泱泱中华的魅力文化，闪耀着数学的魅力，在千世万载的流传中，会使后人铭记。待千百年后，我们的子子孙孙，闲居散座于夜影孤灯下，亦会暗暗惊诧于那字里行间的数学之美！那些隐藏在深处的秘密浅谈美术和音乐中的数学之美数学中的美究竟有哪些，究竟怎么得到，究竟怎么感受，又如何学习？我认为这是数学之美这门课的源点。在平常生活中人们总是把美术、音乐等能调动人体感官的事物和美联系起来，却很少将数学这门稍显枯燥的课程和美联系起来。其实美是世界上最基本的存在，所以数学中的美是必定存在的，只是需要慧眼去发掘而已，而在我们日常生活中方方面面都浸透着数学，也方方面面的浸透着美，所以数学之美是有非常多的种类的。美术略显泛黄的画布上有着绝美的面庞和动人的的风景，一双巧手，几支画笔，些许颜料，将曾经那些灯火阑珊和伊人的背影一一描绘，将所有的情感和说不出口的话语，都绘于画布上，那些曾经的柔软，曾经的轻狂都随着岁月流逝，而在那沉默不语的纷繁万千的色彩和线条中，你是否能学找出数学的影子呢？ Part 1 透视原理 达芬奇是一位众所周知的伟大画家。他的一生有许多故事流传至今，从最初的画鸡蛋到震惊世界的名作蒙娜丽莎的微笑以及最后的晚餐，无疑不透着神秘的色彩。有关于蒙娜丽莎的微笑的微笑的秘密的解密，有无数版本，不过可以证实的是达芬奇在画这幅作品的时候，使用了达芬奇使出招牌绝技“晕涂法”(Sfumato)，整幅画融合了共40层超薄油彩，而且达芬奇可能先把油彩涂在手指，再抹在画上。科学家透过高能X光，详细分析蒙娜丽莎脸上不同层次的颜料排列及成份。科学家发现，画作共享了40层极纤薄的油彩，每层厚度仅2微米(头发厚度的1/50)。油彩由些微不同的颜料组成，营造出蒙娜丽莎嘴角模糊和阴影效果，令人隐约感到她在微笑，但仔细看时笑容就消失无踪。 而在另一名作最后的晚餐中，更是表现出其数学功底，在达芬奇的草稿中可以看到画布上放射的虚线及没影点(正好在耶稣头部中央)。同样运用了透视原理的还有拉斐尔的雅典学派 由这些画可以看出从中世纪到文艺复兴中间绘画艺术的变革，可以说是自觉地应用数学的过程。到1754年，当透视方法趋于成熟之时，一位英国画家柯尔比写了一本叫泰勒博士透视方法入门的透视学著作，此书的卷首扉页插图，就告诉人们如果不用透视学画出来的画会有多么荒唐。在透视学的基础上后又产生了射影几何，射影几何在19世纪是最活跃的数学分支，对现代数学产生了深刻的影响 Part 2 黄金分割 黄金分割是一个可谓是众所周知的比例。黄金比例的定义为：黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为10.618或1.6181，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。这个带着传奇色彩的比例在各个方面都运用地非常广泛，维纳斯和蒙娜丽莎的脸部都遵从黄金分割，许多闻名世界的建筑比如中国的紫禁城，法国的埃菲尔铁塔，古埃及的金字塔，巴黎的圣母院等都是使用了黄金分割，就连战争中武器装备的射程和战争布局都非常多的使用黄金分割 黄金分割在人体中也是有非常明显的体现的，我们用视觉判断出的漂亮的人的器官身材比例一般都是比较接近黄金分割的。 在人体中大概有如下“黄金”黄金点：(1)肚脐：头顶足底之分割点； (2)咽喉：头顶肚脐之分割点； (3)、(4)膝关节：肚脐足底之分割点； (5)、(6)肘关节：肩关节中指尖之分割点； (7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上之分割点； (9)眉间点：发际颏底间距上1/3与中下2/3之分割点； (10)鼻下点：发际颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底颏底间距上1/3与中下2/3之分割点； (12)颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下1/3与上中2/3之分割点； (13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点； (14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。 面部黄金分割律 面部三庭五眼 黄金矩形： (1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长； (2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长； (3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长； (4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长； (5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长； (7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。 黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。 0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。 音乐悠悠的琴声总让人或共鸣或神伤，奏琴者如蝶翼般上下翻飞的手指总是承载着流传千古的情，变幻莫测的音符在空气中形成如同魔咒般的旋律，那么在那精灵般的音乐中又是否存在数学呢？ Part 1 宫商角徵羽 中国古代的五调是人们非常熟悉的，而这五种音调是如何形成的呢？ 三分损益法是中国古代制定音律时所用的生律法。 根据某一标准音的管长或弦长，推算其余一系列音律的管长或弦长时，须依照一定的长度比例，三分损益法提供了一种长度比例的准则。此方法的记载最早见于春秋时期管子地员篇，是同关于宫、徵、商、羽、角五音的记载联系在一起的；到吕氏春秋音律篇，又开始与关于黄钟、林钟等十二律长度规范的记载联系在一起。按三分损益法生律的次序 ， 求上方五度音之律 ， 古代称为“下生”；求下方四度之律，古代称为“上生”。从一律出发，下生5次，上生6次，便可得出十二律。 Part 2 十二平均律 是指将八度的音程(二倍频程)按频率等比例地分 成十二等份，每一等份称为一个半音即小二度。一个大二度则是两 等份。 将一个八度分成12等份有着惊人的一些凑巧。它的纯五度音程 的两个音的频率比(即 2 的 7/12 次方)与 1.5 非常接近，人耳基 本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别。 同时，“十二平均律”的纯四度和大三度，两个音的频率比分别与 4/3 和 5/4 比较接近。也就是说，“十二平均律”的几个主要的 和弦音符，都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的，只有极小的差别，这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件，因 为这些乐器是靠自然泛音级(如前文所述，自然泛音序列，其频率 是基音频率的整数倍序列，成等差数列)来形成音阶的。 数学的美是即抽象又具体的物质，它有可能浮于事物表层，也有可能隐于事物深处，我们必须要耐心才能将其总结和运用，世界如同万花筒般多变，稍微旋转就有可能变成与原来不同的模样，我们只能尽可能的完全的总结，尽可能的往深处发掘事物表象下所隐藏的数学之美，并加以归纳和利用，才能为我们的真正想做的事情所用。 我眼中的数学美 摘要:数学是我们从小到大都接触的一门学科，它在我们的学生生涯中占了很重的位置。我们往往把数学理解成很枯燥乏味的东西，对它丝毫没有兴趣，但是事实并非如此。数学本身包含着很多很多的美，只要我们细心体会，数学的美无处不在。 关键词:简洁美;,统一美;协调美,对称美;奇异美等、数学美的作用。 正文:当你倘佯在音乐的殿堂,聆听优美动听的乐曲时,你会体会到音乐带给你的“美”的享受;当你漫步在文学的天地,欣赏着那“惊天地,泣鬼神”的绝妙语句,一定能够领悟文学带给你的的“美”美的事物，总是为人们乐意醉心追求的。其实,“哪里有数学,哪里就有美”,这是古代哲学家对数学美的一个高度评价.数学中同样存在着能够启迪智慧,陶冶情操的“美”。 一、 数学的美与毕达哥拉斯 哪里有数学，哪里就有美。人类对数学的认识最早是从自然数开始的。这看似极普通的自然数里面，其实就埋藏着数不尽的奇珍异宝。古希腊的毕达哥拉斯学派对自然数很有研究，当他们将这数不尽的奇珍异宝的一部分挖掘出来并呈现于人类面前时，人们就为这数的美震颤了。毕达哥拉斯将自然界和和谐统一于数。他认为，数本身就是世界的秩序。他的名言是：凡物皆数。在一次集会上，一位学者提出了他的疑问：在我结交朋友时，也存在着数的作用吗？“朋友是你灵魂的倩影，要象220与284一样亲密。”望着困惑不解的人们，毕达哥拉斯解释道：神暗示我们，220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和为284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰为220。这就是亲密无间的亲和数。真正的朋友也象它们那样。学者们为毕达哥拉斯的妙喻折服了，更为这“你中有我，我中有你”的美妙的亲和数惊呆了，震撼了。 二、 简洁美 数学中的概念许许多多,但每个概念都是以最精炼、最概括的语言给出的。如几何中线段垂直平分线的概念:“垂直于这条线段并且平分这条线段的直线等。如在图的初步知识教学中,可以先让学生去探究过两点的直线有多少条?然后再让学生用自己的语言来概括这个结论,最后教师再给出“两点确定一条直线”,短短的一句话,简练严谨,内涵丰富,充分让学生体会了数学定理的简洁之美;又如九年级上圆的定义“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”,若无“集合”则形成了点,构不成圆,一字之差则情况相差万里,充分体现了数学概念的简洁美。 欧拉给出的公式：V堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数、棱数、面数，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2R 三、 对称美 对称美是数学美的有一大特点。数学的对称美分为两种：一种是数（式）的对称性美，主要体现在数（式）的结构上，例如，加法的交换律a+b=b+a，乘法的交换律ab=ba，a与b的位置具有对称关系，另一种是图形的对称性，整体美、简洁美，图形的对称是指组成图形的部分与部分之间、整体与整体之间的一种统一和谐关系。例如轴对称图形和中心对称图形等，这些图形匀称美观，所以在日常生活中用途非常广泛，许多建筑师和美术工作者常常采用一些对称图形，设计出美丽的装饰图案。 对称的建筑物，对称的图案，是随处可见的。绘画中利用对称，文学作品中也有对称手法。在数学中则表现在几何图形中有点对称、线对称、面对称。在几何图形中对称的图形给人以美的享受，而不对称的现象中同样存在着美，这就是黄金分割的美或者更深层次的对称美。如：一条线段关于它的中点对称，这条线段若左端点的坐标为0，右端点的坐标为1，那么中点在0.5处。又如：似乎黄金分割点（在0.618处）不是对称点，但若将左端记为A，右端记为B，黄金分割点记为C，则AC=ABBC而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点，因为，再进一层看，D又是AC的黄金分割点；C是DB的黄金分割点。类似地一直讨论下去，这可视为一种连环对称。如今，设计师和艺术家们已经利用这一规律创造出了许多令人心碎的建筑和无价的艺术珍宝。 四、 和谐美万物都是和谐统一的，现代也提倡建立社会主义和谐社会，可知，和谐的重要性。数学中也包含着和谐美。最著名的和谐美的例子就是黄金分割比了。 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为10.618或1.6181，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及金字塔，还是巴黎圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。还有，在古希腊神庙的设计中就用到了黄金分割。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。数字0.618更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题(如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且还使优选法成为可能。黄金分割已经与我们的生活密切相关，对我们的生活造成了重大的影响。 五、 奇异美 奇异性就是新颖性、开拓性。我们以“2”的出现为例。在无理数未出现前,人们认为任何两条线段的长都是可公约的。但后来有人发现正方形的对角线和边是不可公约的。及“2”不能表示成两整数之比,这种奇异的结果导致数系的扩大,使人们从有理数的狭小的圈子跳出来,产生了知识的新飞跃,由此我们不难理解为什么数学上以奇为美。著名的雪花曲线是奇异美的典型代表。 六、 数学美的作用 数学的美不仅仅需要去体会，还要去学习。“爱美之心，人皆有之”。特别是对于年少的我们。揭示数学美，有利于提高我们钻研数学的主动性，启迪我们的思维，陶冶思想情操，为人生道路的发展提供指明灯。有些时候人们可能不理解。为什么要开数学这门课。数学作为千百年来的一门重要学科，在人类的发展中作出了重大的贡献。 作为新时代的大学生，学好数学是一门本职，数学的博大精深是任何一门学科都无法比拟的。 罗丹说：自然总是美的。伽利略则宣称道：自然这本书是用数学语言写成的。哪里有数，哪里就有美。数学总是美的，数学是美的科学。数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的。它可以改变人们认为对数学枯燥无味的成见,让人们认识到数学也是一个五彩缤纷的美的世界。如果说数学使许多人心旷神怡,并为之付出毕生的精力,从而促进了数学学科的飞速发展,那么,它也一定能够激发更多的有志青年追求知识,探索未来的强烈愿望,因为“美”在数学中存在。 我眼中的数学美摘要： 人类作为宇宙间一个奇迹的表现，对自然和宇宙的探索达到一种令人类自身都感到惊叹不已的程度，这不是偶然的，这个奇迹的背后便是另一个奇迹数学。数学对人类的影响是毋庸置疑的，甚至可以说是决定着人类在自然选择中的生存，当人类有了足够的能力能生存下来以后，数学又为人类自身的发展提供了原动力。 关键字：数学美 内涵 发展 影响 数学和其他科学一样，是人类共同的精神财富，数学是人类智慧的结晶。它表达了人类思维中生动活泼的意念，表达了人类对客观世界深入细致的思考，以及人类追求完美和谐的愿望。早在古希腊时代，哲学家柏拉图把数学看作是文化的最高理想。他说：“几何学可以将灵魂引向真理，并且创造出理性精神”。他认为学习数学不只是为了求真，也是为了求善、求美。他认为人通过研究几何同时也不断地塑造自己，使自己成为更高尚、更丰富、也更有力量的人。既人们在认识宇宙同时，也认识人类自己。在这个认识过程中，数学起着独特的作用。现在它几乎是任何科学都不可缺少的，它是现代科学技术的语言和工具，它的成果为众多学科所共识，积极推动着这些学科理论的建立和深化，它的思维方式和方法渗透到各学科，为这些学科的发展增添了活力。 数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。数学的对象必须是明确无误的概念，作为以推理为出发点的命题必须明确、清晰，推理过程的每一步骤都必须明确可靠、容不得半点的含糊，整个认识过程必须前后一贯而不容许自相矛盾。当然，任何一个法律文件、一篇有说服力的学术文章也必须概念清晰、逻辑严谨，但是数学对知识可靠性的要求更高、更明确。正因为如此，数学方法成为人们一种典范的认识方法，帮助人们正确地、客观地认识宇宙和人类自己。几千年来，人类的思想发生了巨大变化，人类的知识在不断地增长。而在由历史积累而形成的人类知识文化宝藏中，数学思想和方法却一直延续发展了几千年，表现出了强大的生命力。 数学不断地追求最简单、最深层次这是认识的根本。用简洁的数学公式来表示复杂的事物、理解变化的客观规律。在科学技术领域内，人们现在己经能习惯地用非常简洁的数学公式来表示牛顿定律，以此来描述物体多种多样的运动，解释各种现象，同时借助于数学探求事物的机理，预测事物未来的发展变化，探求超出人类感官所及的宇宙的根本。人们借助计算机通过建立数学模型进行数学计算，在数学思想方法的启发和帮助下，解决各式各样的问题。人们在认识客观世界的探索中越来越相信，世界的合理性可以用数学来描述。 数学不仅研究客观世界的数量关系和空间形式，而且也研究它自己。数学史中出现过的一个又一个悖论，记录了数学在研究自身的过程中所经历的一次又一次的危机，危机似乎动摇了数学的基础，而数学正是在不断严格地审视自己、不断地克服自身一个又一个矛盾的过程中夯实了自己的基础，使之变得更为扎实、牢靠。一些公理化体系就是数学对自己的基础出现多次“危机”后深思熟虑的结果。在探讨数学自身的过程中，也形成了像数理逻辑这样的数学新分支，推动了数学自身的发展。数学发展的历史正是体现了人类追求真理而不断探索的精神。 数学的基础是逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性，这种思维方式是数学外在的表现。而实质上也和其他文化领域一样，其自身的发展受到不同的时代精神、不同的思维方式的影响。反过来它也影响着人的精神和思维，影响一个民族文化进步。解析几何和微积分的创立，使变量成为数学的研究对象。数学思想、内容、方法上的革新，使数学的面貌焕然一新。而数学研究运动、变化的思想和方法，以及数学所取得的进展，对打破科学研究中形而上学的枷锁，把辩证法引入到科学的思维中，起到了推波助澜的作用。今天，恐怕没有一个有文化的人不懂得“增长速度”，“变化率”的含义，人们己经习惯从运动和变化的观点来研究事物。数学促进了几乎所有学科的发展，直接或间接地影响了每一个有文化的人的思维。影响人类的精神生活，提高和丰富了人类的整个精神文明水平。 面对飞跃发展的科学技术，人必须具备必要的数学知识和技能，以训练心智、陶冶情操，更好的理解周围的世界，从而更客观的认识人类社会。例如“今年前六个月的居民存款比去年同期增速下降1个百分点。”“今天降水概率是50%”。“信息高速公路”、“数字信息”等他们的含义都是什么？数学对人的文化素质的影响，至少表现在如下几个方面： （1）有利于培养严谨的思维方式。尽管大多数人将来不会成为数学家，但是条理性、逻辑性作为一种文化素质对人们将来从事任何一种职业都是需要的。同时，数学思维能力的培养对人的智力发展起着关键的作用。如圆是一个完美的图形，可用方程 来表示，我们可以从这个方程中找出圆的所有美妙的性质，进一步还可以用方程来表示球，那么我们为什么不考虑下列方程 以及。仅仅靠类比就使我们从三维空间进入了高维空间，从有形进入了无形，从现实进入了虚拟世界。 （2）有利于培养新精神。数学是人类理性文明高度发展的结晶，又是人类创新的锐利工具。无论数学知识的应用或是数学知识的发展，都需要研究新问题，根据实际情况做出恰如其分的分析，并由此找到解决问题的途径。这就体现出人的巨大创造力。 （3）有利于培养科学的审美观。人对美的理解各不相同，但总之美和完善、完美、和谐、秩序等相联系。而数学本身体现出的简洁美(抽象美、符号美、统一美等)、和谐美(对称美、形式美等)、奇异美。说到数学美 ，人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割；雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何；数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想” 数学美可以分为形式美和内在美。 数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美，数学中的对称美反映的是自然界的和谐性，在几何形体中，最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美，数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点，许多纷繁复杂的现象，可以归纳为简单的数学公式。 数学的内在美有数学的和谐美，数量的和谐，空间的协调是构成 数学美的重要因素。数学中的严谨美，严谨美是数学独特的内在美， 我们通常用“滴水不漏”来形容数学。它表现在数学推理的严密，数 学定义准确揭示概念的本质属性，数学结构系统的协调完备等等。总 之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想 是神奇的，数学是一个五彩缤纷的美的世界。数学所揭示的规律会加 深学生对美的理解， 而学习数学的过程也会使学生体验数学作为人类 智慧的结晶所洋溢出的精神美。 数学精神是一种理性精神， 对完善人的精神品格有着不可估量的 作用， 主要体现在严谨求实、 理智自率、 直着求真、 开拓创新等方面， 通过解题实践既巩固了知识，培养了能力，同时也发展了坚持公正、 忠于科学、一丝不苟、不懈探索的优良品质，这都是造就人不断追求 进取的品质所必备的前提。数学最终会带领人们走向美好的明天！ 数学中的对称美摘要：对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连。关键词：对称图形、数学、对称美大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等等，对称本身就是一种和谐、一种美。在数学中的应用也非常广泛，如：大家都非常熟悉的轴对称图形等等，其实根据对称原理在小学数学中各知识领域，均可发现这一规律的应用。如何让学生掌握对称这一基本原理去解决一些实际问题，找到事物之间的内在统一性，用数学的思想去内化这一即简单，又蕴涵深刻哲理的原理，这需要我们深层了解隐藏在问题后面的本质特征，现根据笔者在教学中发现的一些案例，来阐述如何发现数学中的对称美。 一、从回文数中得到启发，巧解等差数列 回文数有许多如0：2002年就是一个回文数，下一个回文数就要等到2112年，整数乘法中最有趣的一个回文数就是：11=1，1111=121，111111=12321。根据这一规律可以巧算出：111111111111111111=12345678987654321，学生对于回文数这一特殊结果，大都觉得非常惊讶，对此产生浓厚的兴趣，感叹数的对称美。对称作为一种美,在宇宙万物中成为一个永恒的定理，就象有阴就有阳，有黑就有白一样，说的更玄乎一些，像现代物理学理论中所推论的那样有正物质就有反物质，如，我们生活中所看到感受到的一切客观事物都是正物质，同样宇宙中也存在我们看不见的能量和正物质一样相等的反物质，这样宇宙才均衡，就像宇宙中有你，同样也存在着“反你”，如果有一天“你们”一握手，那么你和“反你”就顿时消失，就像5+（-5）=0一样，说来有些荒唐，可是这种设想在解答一些难题时，却显得巧妙、易懂。如在小学对程度比较好的学生上等差数列求和时，大都用公式：（首项+末项）项数2来教学，可对于小学生要掌握和理解有一定困难。如一道“有女不善织”的古代算术题：有位妇女不善织布，她每天织的布都比上一天要减少一些，减少的数量是相等的，她第一天织了五尺，最后一天织了一尺，一共织了三十天，她一共织了多少尺布？这题的难点在于除了第一天和最后一天，中间每天织的布不是整数，而且每天比上一天少织多少布也不易求。可运用对称的思想是这样解答的：假设还有另一位姑娘也和这位妇女一样织布，只不过她与这位妇女织布的情况刚好相反：姑娘每天织的布都比上一天要增加一些，增加的数量是相等的，她第一天织一尺，最后一天织五尺，也织了三十天，由此可知，姑娘和妇女所织布的总长度是相等的，妇女所织的布每天减少的数量与姑娘织布每天增加的布的数量是相等的，因此每天两人共织的布为六尺，三十天共织630=180尺，每人织90尺。这题的巧妙之处在于将抽象的一组等差数列求和转化为形象生动的形似回文数一般的对称求和方法，也和物理学中所说的正物质和反物质有异曲同工之妙。其实做为等差数列求和都可以用这种思路解答，运用对称的思维来理解等差数列比单纯讲求和公式要形象、生动的多。二、从轴对称图形中发现对称原理的运用根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。用对称图形表示对偶。数学的对称美自然地表现在数学元素的“对偶”和数学命题的对偶上。但是“对偶”没有几何的直观。如何使数学中的“对偶”有视觉上的对称美,并且利用这种美发现数学问题? 射影几何学在这方面有极好的应用。 例1在欧氏平面几何中,对命题“过两点可以作一条直线”。我们把其中“点”换成“直线”,“直线”换成“点”,再适当改变关系词,则命题变为“两直线交于一点”。而这个命题显然是错误的,因为两直线平行时就没有交点。这说明在这个命题中,点与直线的关系不是对称的。设想两平行直线在无穷远点相交,这时点与直线就形成对称关系。狄沙格正是在此设想下初步建立了射影几何理论。我们把例1中的对偶关系用下面的图直观的表现出来:上行表示过两点可以确定一条直线,箭头的含义是“确定”。左、右两个箭头表示交换点与直线的位置。下行表示“两直线交于一点”,箭头的含义是“相交”,这是根据设想做出的,这个设想使图(1)成为完美的矩形,并且点与直线的对偶关系转化为了 几何上的对称。数学中的对称美为数学研究提供了一种独特的方法,即对称法。简单的说,对称法就是运用对称性的思维方法。例1中所做的“设想”就是使用了对称法。数学家利用这一方法,揭示和发现了很多的数学奥秘,得到非常有用的理论和结论。也正是对称法,启发我们将“对偶”转化为“对称”。除了射影几何外,现代代数学中也有此类应用。 例2 1 设k是域, A 是一个k - 空间。称A 是一个k - 代数,如果A 中元素有乘法运算和单位元, 并且乘法运算满足结合律。我们用映射A A A表示乘法运算,用映射: A k表示A 中单位元,则结合律和单位元分别可表述为下面