10 梁的弯曲应力.pdf

第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 第十章梁的弯曲应力 10 1 梁的弯曲正应力 10 2 梁的弯曲切应力 10 3 梁的强度设计 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 工程实际中 存在大量的受弯曲的杆件 如火车轮轴 桥式起重机大梁等 这些杆件 在杆的轴线平面内受到外力在杆的轴线平面内受到外力 作用 使杆的轴线由原来直变曲作用 使杆的轴线由原来直变曲 这种变形称为弯曲变形弯曲变形 凡以弯曲变形为主的杆件 通常称为梁梁 下一页 上一页 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 梁的纵向对称面梁的纵向对称面 梁的横截面竖向对称轴与梁的轴线组成的平面 平面弯曲 当外力作用在纵向对称平面内时 梁发生弯曲变形后 轴线也将保持在此对称平面内 梁的轴线成为一条平面曲 线 这种弯曲叫做对称弯曲 也称为平面弯曲 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 剪力剪力剪力剪力以使杆段有顺时针转动趋势 发生左上右下的错 动者 为正 反之为负 FS FS d x 左上右下错动 FS FS d x 左下右上错动 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 弯矩弯矩弯矩弯矩以使梁的微段发生上凹下凸的变形 即梁的 上部受压而下部受拉时为正 反之为负 d x M M 上凹下凸的变形 d x M M 上凸下凹的变形 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 假想地将杆件切开 并任选一段为研究对象假想地将杆件切开 并任选一段为研究对象 画所选隔离体的受力图画所选隔离体的受力图 FN FS 与与M宜均设为正宜均设为正 由由 Fx 0计算计算FN 由由 Fy 0计算计算FS 计算方法与步骤 由由 MC 0计算计算M C为截面形心为截面形心 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无 剪力的弯曲 横截面上只有正应 力而无剪应力的弯曲 剪力剪力 Fs 切应力切应力 弯矩弯矩 M 正应力正应力 2 横力弯曲 剪切弯曲 横力弯曲 剪切弯曲 a a F BA F M x Fs x Fa F F 梁的横截面上既有弯矩又有 剪力的弯曲 横截面上既有正应 力又有剪应力的弯曲 一 纯弯曲和横力弯曲的概念一 纯弯曲和横力弯曲的概念 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 弯 曲 试 验 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 试验现象 u 横线为直线 仍与纵线正交 v 靠顶部纵线缩短 靠底部纵 线伸长 纵线伸长区 截面宽度减小 纵线缩短区 截面宽度增大 弯曲假设 u 横截面变形后保持平面 仍与纵线正交 弯曲平 面假设 v 各纵向 纤维 处于单向受力状态 单向受力假设 纯弯与正弯矩作用 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 可以看出 梁下部的纵向纤维受拉伸长 上部的纵向纤维 受压缩短 其间必有一层纤维既不伸长也不缩短 这层纤维称 为中性层中性层 中性层和横截面的交线称为中性轴中性轴 即图中的z轴 梁的横截面绕z轴转动一微小角度 中性层 中性轴 1 1 2 2 ab c d 1 1 2 2 c a d b M M 横线 纵线 z z z 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 1 正应力的分布 正应力的分布 由平面假设可知 矩形截面梁在纯弯曲时的应力分布有如 下特点 1 中性轴上的线应变为零 所以其正应力亦为零 2 距中性轴距离相等的各点 其线应变相等 根据胡克定 律 它们的正应力也相等 1 1 2 2 ab c d 1 1 2 2 c a d b M M 横线 纵线 中性层中性轴 z 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 3 在图示的受力情况下 中性轴上部各点正应力为负值 中性轴下部各点正应力为正值 拉应力 4 正应力沿y轴线性分布 即 Ky 或 K y K为待定常 数 M M y z 中性轴 1 1 2 2 ab c d 1 1 2 2 c a d b M M 横线 纵线中性层中性轴 z Ky 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 1 推导思路推导思路 几何关系几何关系 物理关系物理关系 力学关系力学关系 正应变与中性层曲率间的关系 正应力与中性层曲率间的关系 确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式 平截面假定平截面假定 Hooke 定律定律 横截面上轴力 弯矩与正应力的关系横截面上轴力 弯矩与正应力的关系 10 1 梁的弯曲正应力 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 几何关系 平截面假设平截面假设 物理关系 Hooke 定律定律 xmnd d d ynm E d dx xd dx xd dx xd dx x d dx xd dx x dx d dx x x x x y y y z y E dx d dx x x x x y y y d d d z 2 正应力公式推导正应力公式推导 d d d y mn mnnm y x x x dx d dx x y y y m m m n n n d d d m n y y y 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 dx d dx x x x x y y y d d d z 2 正应力公式推导正应力公式推导 y E E y y y dx d dx x x x x z dA y y y dx d dx x x x x z dA 力学关系 横截面上轴力 弯矩与正应力的关系 1 正应力的合力构成截面上的轴力正应力的合力构成截面上的轴力 0d N AF A A A d 0 z S Ay E A d 0 z S E Ay E A d 重要结论重要结论 中性轴必定过形心 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 2 正应力公式推导正应力公式推导 y y d dx x x x z dA y E E 2 正应力对正应力对 z 轴 中性轴 的合力矩轴 中性轴 的合力矩 构成截面上的弯矩构成截面上的弯矩 Mz AyM A z d Ay E A d 2 Ay E A d 2 z I E MzMM z z MzMM z z 力学关系 横截面上轴力 弯矩与正应力的关系 重要公式重要公式 z I yM z z z EI M 1 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 z I My y x M Z A y 横截面上正应力分布规律 1 中性轴是过横截面形心的一条直线 中性轴上 正应力为零 2 以中性轴为界 横截面上的一侧受拉 一侧受压 3 离中性轴越远 正应力的绝对值越大 在横截面上离中性轴 最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 正应力在横截面上的分布规律 z I yM z 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 10 1 2 梁的正应力计算梁的正应力计算 1 正应力公式使用注意点 梁的正应力公式应在弹性范围内使用 对于横力弯曲 梁的 正应力公式是近似的 但 是其误差一般在工程允许 的范围内 在应用正应力公式时 可不考虑公式中的负号 而根 据所考虑位置处的拉压状况直接确定正应力的正负 z z I I y y MM z z 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 x M 2 最大正应力计算 中性轴 中性轴是是对称轴的对称轴的情况情况 maxmax max z I yM Mmax 在梁的所有横截面中 选择弯矩为最大值的截面 ymax 在弯矩最大的横截面上 选择离中性轴最远的点 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 3 惯性矩的对比计算 惯性矩的对比计算 截面惯性矩定义为 Ay2dA 它是面积对中性轴的 二次矩 它们的表达式相似 计算方法也类同 因此只须用面积来置换质量 就可将转动惯量改 写成惯性矩 Z maxmax max I yM max Z Z y I W Z max max W M 截面弯曲系数截面弯曲系数 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 C z y h b 以高为h 宽为b的矩形 为例 z轴通过形心且平行 于底边 y轴过形心垂直于z 轴 则对z轴的惯性矩为 Iz Ah2 12 以A bh代人得 Iz bh3 12 相应地 Wz bh2 6 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 Cz y D 32 3 D Wz z O D d y 圆形截面和圆环形截面对任一 圆心轴是对称的 所以对任一过圆 心轴的惯性矩都相等 分别为 Iz D4 64 Iz D4 d4 64 若设圆环的直径比d D 则相 应的截面抗弯系数为 1 32 4 3 D Wz 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 BA l 3m q 60kN m x C 1m M x m67 5kN8 2 ql 30 z y 180 120 K 1 C 截面上K点正应力 2 C 截面上最大正应力 3 全梁上最大正应力 FS x 90kN 90kN mkN605 0160190 C M 1 求支反力 kN90 Ay FkN90 By F 45 33 Z m10832 5 12 18 0 12 0 12 bh I MPa7 61Pa107 61 10832 5 10 30 2 180 1060 6 5 33 Z KC K I yM 解 解 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 BA l 3m q 60kN m x C 1m M x m67 5kN8 2 ql 30 z y 180 120 K 2 C 截面上最大正应力 FS x 90kN 90kN mkN605 0160190 C M 解 解 C 截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩 45 Z m10832 5 I MPa55 92Pa1055 92 10832 5 10 2 180 1060 6 5 33 Z max max I yMC C 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 BA l 3m q 60kN m x C 1m M x m67 5kN8 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN mkN605 0160190 C M 解 解 3 全梁最大正应力 最大弯矩 mkN5 67 max M 截面惯性矩 45 m10832 5 z I MPa17 104Pa1017 104 10832 5 10 2 180 105 67 6 5 33 Z maxmax max I yM 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 2b b 例例如图梁的 为105 MPa 试确定尺寸 b 故取 b 45 mm 先确定危险截面 mm7 44 1052 1025 63 2 3 3 6 3 max M b mkN256 max M 32 3 maxmax max b M W M 32 3 2 2 6 1 bbbW M x 5 kN m 6 25 kN m 1m3m1m q 10 kN m 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 图示悬臂梁 试求a a截面上A B C D四点的正应力 并 绘出该截面的正应力分布图 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 x M 中性轴 中性轴不是不是对称轴的对称轴的情况情况 应注意最大拉应力与最大压应力可能不在同一个横 截面上 3 最大最大正应力计算正应力计算 maxmax max z I yM 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 z t t I Mymax max z c c I Mymax max yc max yt max y z b 1 O 2 maxt maxc 对可能产生最大正应力的横截面分别进行计算 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 0 8kN D 1m1m C A 1m 2kN B 解解1 由静力平衡 方程求出梁的支反力 FA 0 6kN FB 2 2kN 作弯矩图 得最大正弯矩在截面 C处 MC 0 6kN m 最大负弯矩在截面B 处 MB 0 8kN m FAFB 0 6 0 8 y1 zC 6cm y2 2 求截面上的最大拉应力和压应力 显然截面C和截面B均 为危险截面 都要进行强度计算 T形截面外伸梁尺寸及受载如图 截面对形心轴z的惯性矩 Iz 86 8cm4 yl 3 8cm 求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力 x M kN m 0 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 2 计算截面上应力 0 8kN D 1m1m C A 1m 2kN B FAFB 0 6 0 8 y1 zC 6cm y2 x M kN m 0 截面B处 最大拉应力发生于截面 上边缘各点处 得 最大压应力发生于截面下边缘各点处 得 MPa3 20 108 86 22108 0 4 6 2 max z Bt B I yM MPa0 35 108 86 38108 0 4 6 1 max z Bc B I yM 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 2 计算截面上应力 0 8kN D 1m1m C A 1m 2kN B FAFB 0 6 0 8 y1 zC 6cm y2 x M kN m 0 截面C处 虽然C处的弯 矩绝对值比B处的小 但最大拉应力发生于截 面下边缘各点处 而这 些点到中性轴的距离比 上边缘处各点到中性轴 的距离大 所以还需校 核最大拉应力 由于所以 MPa3 26 108 86 38106 0 4 6 1 max z Ct C I yM 12 yyMM BC c B c Cmaxmax b x F b y d d1 Sz 面积面积 对中性轴对中性轴z的静矩的静矩 Fx bFxdd 0 A AFd A z Ay I M d z z I AMS 弯曲切应力公式 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 bI SF y z z A S x M bI AS y z z d d x F b y d d1 z z I AMS F y h y h bSz 22 1 2 2 2 S 4 1 2 3 h y bh F y A FS max 2 3 12 3 bh Iz 2 2 42 y hb 工程力学工程力学 第第10章章梁的弯曲应力梁的弯曲应力 z y