“摩擦角”及其典型应用解析.pdf

学以致用 问题讨论 摩 擦 角 及 其 典 型 应 用 解 析 粤 一 摩擦角的相关概念 1 全反力 接触 R 面给物体的摩擦力与 支持力的合力称为全 反力 一般用尺表示 亦称为接触反力 2 摩擦角 全反 力与支持力的最大夹 角称为摩擦角 一般用 妒表示 此时 要么物 体已经滑动 必有 t粕卵 令平 cpk arctanp 弘为动摩擦因数 妒 图1 团 称为动摩擦力角 要么物体达到最大静摩擦 力 必有tan妒蚴 譬j魄 9鼬 arct an胁 地为静摩 V 擦因数 称妒 为静摩擦角 一般情况下动摩 擦 因 凯 和 静 摩 擦 因 数 近 似 相 等 通 常 认 为 仇 妒 摩擦角与摩擦因数一样都是表示材 料表面性质的量 3 引入全反力和摩擦角的意义 摩擦力 与支持力是成对出现的 引入摩擦角后 可以 将这对力合成一个力 在物体的平衡态受力 分析中起到问题简化的效果 尤其是物体在 四个力作用下保持平衡的问题中 引入摩擦 角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问 题 这里特别补充说明的是 在物体的三力平 衡问题中 作用在物体上的这三个力合力为 0 若三力不平行 则三力的作用线汇交于一 点 即三力汇交 殷仁勇 母二 摩擦角在工程力学上的应 用 自锁现象 自锁现象是力学中的特殊现象 在生活 和工业生产中应用广泛 一个物体受静摩擦 力作用而静止 当用外力试图使这个物体运 动时 外力越大 物体被挤压的越紧 越不容 易运动 即最大静摩擦力的保护能力越强 这 种现象叫自锁现象 最简 单的自锁情况就是斜面 自锁 如图3所示 由于静 摩擦力不可能超过最大 值 因此全反力尺的作用 线也不可能超出摩擦角 以外 即全反力必在摩擦 角之内 进而可知如果作用予物体的主动力 的合力Q 的作用线在摩擦角之内 则无论这 个力怎样大 总有一个全反力R与之平衡 物 体保持静止 反之 如果主动力的合力Q 的作 用线在摩擦角之外 则无论这个力多么小 物 体也不可能保持平衡 出现自锁现象的实质 原因是自锁条件满足时 保持物体静止的力 会随外力的增大而同比例增大 摩擦因数一 定时 自锁的发生只和摩擦角有关 与力的大 小无关 n 1 千斤顶 中的学问 快 例1在固定的 斜面上放一物体 并对它 施加一竖直向下的压力 如图4所示 已知物体与斜 面间的摩擦因数为p 求斜面倾角目的最大 值 使得当p 时 无论竖直向下的压力有 学以致用 问题讨论 多大 物体也不会滑下 铸 解 析 物 体 受 四 个 力 如 图5所 示 重 力和压力的合力为G F 将 其看做主动力Q Q G F 静摩擦力厂 斜面支持力 斜面倾角0的最大值对应的 条件是静摩擦力厂取最大 值 即9邓 主动力Q 与全 反力R在一条直线上 即 邓 鄹 tan妒 案 斗 arctanp所以 只 要 日 arct飘肛 无论贿多大 物体也不会滑 下 千斤顶 的结 构和原理如图6所 示 不难看出 千斤 顶 螺旋实际上可 以看作是t anOq t 的 弯曲斜面 千斤顶 零 2 破冰船中的道理1t t 6 2 破冰船中的道理 状 例21999年 中国首次北极科学 考察队乘坐我国自行研制的 雪龙 号科学考 察船 雪龙 号科学考察船不仅采用特殊的 材料 而且船体的结构也满足一定的条件 以 对付北极地区的冰块和冰层 它是靠本身的 重力压碎周围的冰块 同时又将碎冰块挤向 船底 如果碎冰块仍挤在冰层与船体之间 船 体由于受到巨大的侧压力而可能解体 为此 船体与竖直方向之间必须有一倾角仅 设船 体与冰块之间的动摩擦因数为肛 试求使压 碎的冰块能被挤压向船底时角a应满足的条 件 器解析将图4逆时针旋转 900 就得到破冰船破冰的示意图如 图7所示 左边小三角形为冰块 右 边的三角形为船头的截面 冰块受 力如图8 受到三个力 冰层对冰块 的水平向后的挤压力F 船体对冰 块的侧压力 v 以及沿 船体方向的摩擦力 R 冰块的重力和浮力可 以忽略 本例与上例 正好相反 不能出现自 一0 矿 一 F 锁 主动力F的反向延长线不能出现在摩擦 角范围内 临界条件是静摩擦力 取最大值 即9邓 主动力屿全反力R在一条直线上 即d蒯 tan p牟 串 待ana禅 V 总 三 摩擦角在高考物理中的应用 状 例3物 体 放 在 水 平 面 上 用 与 水 平方向成300力拉物体时 物体匀速前进 若 此力大小不变 改为沿水平方向拉物体 物体 仍能匀速前进 求物体与水平面之间的动摩 擦因数肛 广 镊 解析引进全反力尺 对物体两个平 衡状态进行受力分析 再进行矢量平移 构建 平衡的矢量三角形 得到如图9所示的左图和 中间图 注意 重力G 是不变的 而全反力尺的 方向不变 瑚大小不变 妒m 指摩擦角 再将 两图重叠成图中的右图 由于灰色的三角形 是一个顶角为30 的等腰三角形 其顶角的角 平分线必垂直底边 故有妒m 150 z t anl 50 0 268 姚 图9 邑 讨 论 如 果F的 大 小 是 可 以 选 择 的 那么能维持物体匀速前进的拉力F最小 值是多少 i 篓答案图中虚线的长度即如 Fm G si nt pm G sinl 5 炔 例4如 图10所 示 一上表面粗糙的斜面 体上放在光滑的水平地图10 面上 斜面的倾角为e 另一质量为m 的滑块 恰 好 能 沿 斜 面 匀 速 下 滑 若 用 一 推 力 腓 用 在滑块上 使之能沿斜面匀速上滑 且要求斜 面体静止不动 就必须施加一个大小为P三 4m gsi n 0CO S口的水平推力作用于斜面体 求 满足题意的这个蹦大小和方向 垮解析引入摩擦角和整体法观念 如图11所示 设瑚方 向与斜面倾角为O f角 对整体 水平方向平 衡 有Fcos 0一a P 再 隔离滑块 分析受力时 图1l 引进全反力R和摩擦角妒 由于简化后只有三 个力 R 昭和F 可以将矢量平移后构成一 个三角形 如图12所示 在图右边的矢量三角 形中 有面 2面丽mg2忑m丽g 由几何关系p 口 得F mg厕 方向和 斜面夹角a arct an cot0 指向斜面内部 在 为 擦 梯 夹 时 上 他上到什么位置 梯子开始滑动 学以致用 问题讨论 解 析 1 引 入 摩 擦 角 根 据 三 力 汇交 作出力的三角形 如图 14所示 其中 为竖直墙面 对楼梯的支持力 F为水平面 对楼梯的作用力 摩擦角妒 arct anke 由几何关系可得 r 兰cosOo L si noo tanp所以有 2 2 如图15所示 将梯 子和人的重力用其等效重力 G 代替 当等效重力的重心 还在梯子重心下面时梯子还 不会滑倒 当等效重力的重 心还在梯子重心上面时梯子 图15 就会滑倒 所以当人上到梯子一半且OL 2时 梯子开始滑动 例6如图16所 示 每侧梯长为Z的折梯置 于铅垂平面内 已知A B 两处动摩擦因数分别为 胁 0 24上B O 6 不计梯重 图16 求人能最多爬多高而梯子不滑倒 骘解析由题意可得铷 arct an o 230 如果眦开始往上爬 爬到如图16所示时梯子将滑到 此时隔离左 边梯子 受力如图16所示 设此时人离A 端的 水平距离为s