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严格的稳定性分析和误差校正几份结果 线性离散时滞系统 五代辽，王和江枫王张俊彦 线性离散抽象的渐近稳定条件 时滞系统和相应的鲁棒稳定条件 摄动系统（称为此区间系统） 分别设置和证明。基于基本矩阵 该系统，保证系统的等价条件 渐近稳定性，提出并严格证明是 给出。基于这些一般条件，充分条件; 是获得和扩展的结果存在一些参考 指出了是错误的。对于摄动系统， 摄动范围为估计数，其中扰动系统 是强大的稳定性。一些模拟的例子说明 本文得到的结果是有效的。 导言 时间延迟系统的稳定性问题已得到 许多学者研究的结果是，许多设置1 2 3，4 5。一般来说，引进的时间延迟 因素，使分析更复杂。在 现有稳定的标准，主要做法是李雅普诺夫 直接法或Razumikhin定理。论文的作者 已beeb结果发现存在一些错误，将正确的 本文这些错误。 类似于非时滞系统，基本矩阵的 系统应是一个重要工具，研究其稳定性。但 如何分解延误的时间基本矩阵 到有限的形式，以及如何设置系统稳定性准则 相关的基本矩阵的研究较少。 本文结构如下：在第2，符号和 预赛中，给出了将在后者中使用 纸;在第3条，主要是安装程序的稳定性条件 在这里，包括等价条件和充分条件 和误差校正，在第4节，间隔延迟时间系统 讨论范围和上界估计该 扰动因素，它应在保证系统 要健全稳定的结论和未来的工程 总结在第5。 二。符号和预赛 A.系统的方程 一个线性，区间，多变量离散时间延迟控制 零参考输入系统可以表示为 微分差分方程： （k + 1时）=（甲+ 甲）（金）+（乙+ 乙）（金 1）（1） 本工作受国家自然科学基金中国 （60774051） 瓦特四辽，J.Y.王樱王与机电学院 信息工程学院，中原工学院大学，450000 郑州，中国 并与相关的初始值： （ 1）= C的 1; （0）= c0的：（2） 方程（1）被称为一个区间控制系统 零参考输入，x（）2 Rn是状态栏 载体，阿B期2氡 n为常数系统矩阵， 其中氡和氡英镑表示n维欧几里得空间 和n矩阵空间维度分别。 了; B第2 ; 的扰动矩阵， 2氡英镑n是上 矩阵摄动界的矩阵。 该系统（1）控制图如图1所示： 图。 1。该控制系统（1）图 在联合国系统的扰动系统的初始（1） 值（2）如下： （k + 1时）= Ax的（金）+ Bx的（金 1）：（3） 让 xeq（金）=（XT的（金）; XT的（金 1）笔; 和 Aeq = 阿乙 余0 ; 系统（3）可改写如下一阶方程： xeq（金+ 1）= Aeqxeq（金）：（4） 这是假定系统（1）或系统解决方案 （3）或系统（4）存在，并且是唯一的。 B的基本矩阵 1）基本矩阵的定义： 定义1：系统（3），它的基本矩阵 （金）2氡 n是定义如下： （金+ 1）=甲（金）+乙（金 1）; K表二氮;（5）与初始值： （ 1）= 0; （0）=我：（6） 其中N =基频，1，2， 克表示自然数集， 我表示n维单位矩阵。 2）基本矩阵的属性： 定理1：系统（3）解决方案具有以下 形式： （金）= （金）（0）+ （金 1）Bx的（ 1）; K表2 N的：（7） 证明。利用矩阵的基本定义， 人们很容易验证的解决方案（7）满足方程（3）。 这个证明是完整的。 关键是如何找到表达的详细 在应用基础矩阵，下面的定理 解决这个问题。 定理2：系统（3）基本矩阵可以 由矩阵Aeq表示，它具有以下形式： （金）=（我; 0）阿克 当量 我 0 ：（8） 证明。根据条件（5）定义 基本矩阵，可得 式为（k + 1）= Aeq 式（金）; 其中 式（金）= （金） （金 1） ; 通过数学推导，可得 式（金）=阿克 式方程（0）; 通过使用初始值（6），我们得到 式（0）= 我 0 ： 由于（金）=（我; 0）式（金），我们有以下 公式： （金）=（我; 0）阿克 当量 我 0 ： 这个证明是完整的。 三。稳定条件 在本节中，我们将首先成立等价条件 保证系统（3）渐近稳定的，那么， 这些条件为基础，一些充分条件 应该存在的文件中指出了一些错误。 A.定义渐近稳定性 定义2：系统（3）被认为是渐近稳定 当且仅当对任何初始值（2），相应 解x（金）！ 0为K！ 1。 二等价条件 定理3：系统（3），以下条件 相当于： （一）系统（3）是渐近稳定; （二）Aeq是离散的稳定，这是（Aeq）“1; （三）基本矩阵（金）！ 0为K！ 1。 其中（）是矩阵的谱半径。 证明。 （一）=）（二）：假设系统（3）是渐近 稳定，泰国是x（金）！ 0为K！ 1。的解 方程（4） xeq（金）=阿克 eqxeq（0）; 由此，我们有阿克 当量！ 0 =）（Aeq）“1; （二）=）（三）：从（Aeq）“1，很明显，阿克 当量！ 0 进而通过使用（8），我们有（金）！ 0为K！ 1; （三）=）（一）：卡莱尔瞥见该系统解决方案（3） （7），（金）！ 0意味着（金）！ 0对任何初始值x（ 1） 和X（0）。 注1：定理3是更多的理论意义，但 在应用上，它是不方便的特征值计算 矩阵Aeq，或者是难以计算的根本 矩阵（k）由公式（8）。下面，我们 提出了一个必要条件，不计算 特征值或计算的基本矩阵，是非常 方便的验证中的应用。 三充分条件 推论1：系统（3），如果存在的一些规范 矩阵K 钾，使得 隔+ kBk“1（9） 然后系统（3）稳定。 证明。在该条件下隔+ kBk“1，我们将使用 数学推导证明以下不等式： K表（双组份）的k （隔+ kBk）K的（10） K表（2K的+ 1）K的（隔+ kBk）的k +1; K表2 N的：（11） 公式（10）和式（11）举行对k = 0 使用（5） （6）。 假设公式（10）和式（11）任意k举行， 然后选择使用（5）和假设扣除 K表（2（金+ 1）的k = k的（组（2K + 1）+ 1）K的 = kA的（2K的+ 1）+乙（双组份）九龙 珏（珏+ kBk）的k +1 + kBk（隔+ kBk）的k 珏（珏+ kBk）钾kBk（隔+ kBk）的k （隔+ kBk）的k +1; K表（2（金+ 1）+ 1）K的 = kA的（2K的+ 2）+乙（2K的+ 1）K的 珏（珏+ kBk）的k +1 + kBk（隔+ kBk）的k +1 =（隔+ kBk）（k +1）的1： 这表明，公式（10）和（11）仍然对k +1举行。 由数学推导的原则，这两个公式按住N和所有的k 2 （金）！ 0。利用定理3， 系统（3）稳定。这个证明是完整的。 例1：让我们考虑线性离散时滞 系统，由方程给出： （k + 1时）= Ax的（金）+ Bx的（金 1）; 其中的矩阵如下： 阿= 0:2 0 0 0:4 为B = 0:1 0:1 0:12 0:4 ： 对于1 -矩阵K k1的规范，我们有 kAk1 + + kBk1 = 0:4 0:5 = 0点09“1; 该推论条件满足，系统 渐近稳定。 模拟结果显示在图2 0 10 20 30 40 50 60 0 0.5 一 1.5 2 2.5 三 X2的（金） X1的（金） 图。 2。该解决方案X1的（金）和X2（k）项的范例1系统 注2：该条件珏+ kBk“1是一个足够的 条件保障体系（3）渐近稳定，但 是没有必要的。下面的两个例子表明， 该系统是稳定或不稳定的，如果这种情况 一点儿也不举行。同时，这两个例子是 反例证明文献1的结论 错了。 例2：验证以下2阶系统将 稳定。 （k + 1时）= 1:2 0 1:3 0 （金）+ 0:3 0 0 0:4 （K表 1）： 在这里，在这种情况下，系统矩阵 阿= 1:2 0 1:3 0 为B = 0:3 0 0 0:4 ; 和隔= （一）= 1:3 1为不不稳定，kBk = 0:4， 隔+ kBk = 1:7 1中的必然结果是条件 不满意。 该解决方案的模拟显示在下面 图图。 3： 此图表明，该系统是渐近 稳定。或等价地，我们可以计算出特征值 对Aeq，看（Aeq）“1，保证系统 渐近稳定应用定理3。 0 20 40 60 0 0.5 一 1.5 2 2.5 X1的（金） X1的解决方案（金） 0 20 40 60 0 0.5 一 1.5 2 2.5 X2的（金） 该解决方案X2的（金） 图。 3。该解决方案X1的（金）和X2（k）项的范例2系统 示例3：确认以下2阶系统将 不稳定。 （k + 1时）= 0点六分0 0 0:3 （金）+ 0:5 0 0 0时06 （K表 1）： 在这里，在这种情况下，系统矩阵 阿= 0点六分0 0 0:3 为B = 0:5 0 0 0时06 ; 和隔= （一）=点06“1正稳定，kBk = （乙）= 时06分“1正稳定，隔+ kBk = 1:2 1的条件 该推论是不满意。 该解决方案的模拟显示在下面 图图。 4： 0 20 40 60 -30 -20 -10 0 10 20 30 X1的（金） X1的解决方案（金） 0 20 40 60 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 X2的（金） 该解决方案X2的（金） 图。 4。该解决方案X1的（金）和X2（k）项的范例2系统 此图表明，该系统并不稳定。或 等价地，我们可以计算出特征值和Aeq 看到（Aeq）= 1:0681 1时，系统并不稳定使用 定理3。 四结果存在误差校正 为了方便指出的错误，我们国家的 主要结果在参考文献1了。 主要在1的稳定性条件 对于系统（3），如果 （a）两个矩阵A和B是独立稳定; 符合下列三个条件之一成立，那么 系统是渐近稳定： （二）马克西再我（一）+ （二）“1; （三） 2（一）+ 2（乙）“1; （四）马克西再我（一）+ 2（乙）“1。 其中， 2（甲）= 1 2马克西我（阿 + A）是矩阵测度 有关上2的矩阵范数。注3：首先，我们指出的条件（一）不 一个必要条件，确保系统渐近 稳定，见例2 （一）= 1:3 1; A不是一个离散 稳定矩阵，但系统是渐近稳定呢。 例如3，我们有： 马克斯 我 再我（一）= 0:3; 2（甲）= 0:3; （乙）= 0时零六; （乙）= 0:5 马克斯 我 再我（一）+ （乙）= 0时09分“1; 2（一）+ 2（乙）= 0点08分“1; 马克斯 我 再我（一）+ 2（乙）=点08分“1： 所有这三个条件（二），（三），（四）项所持有，但我们有 例子表明，在3系统是发散的。 四。区间系统的鲁棒稳定性 到现在为止，我们已经讨论了渐近稳定性 哪些不被干扰的测量系统的误差， 或系统的参数估计，等等。但是在一些 应用程序，这是敏感的稳定扰动。在 本节中，我们假设条件（9）成立，并估计 上界范围的扰动，其中 摄动系统的鲁棒稳定性。 首先，我们给出了系统的鲁棒稳定的定义 （1）。 定义3：系统的初始条件（1）（2） 说是强劲的稳定且仅当对任何一个矩阵 和乙，了; 乙2 ; ，该系统是渐近 稳定。 设k K2的是2范数矩阵，即 kAk2 =燮 jxj = 1 fjAxjg = p 最大（ATA）的; 其中j j表示向量的欧几里得范数。 引理1：如果甲2 ; ，则K Ak2 K的K2的。 证明。考虑两个矩阵A，B期2碘化N 满意 jAj 乙（elementwise），即jaij bij ;我; = 1; 2; ;全 现在对所有的x与jxj = 1， jAxj2 = Xn的 我= 1 0 Xn的 = 1 aijxj 一 一 2 Xn的 我= 1 0 Xn的 = 1 jaij jjxj 一 一 2 Xn的 我= 1 0 Xn的 = 1 bij jxj 一 一 2 =贤（jx1j; jx2j; ; jxnj）Tj2 0 kBk2 vuut Xn的 = 1 jxj J2台 一 一 2 = kBk2 2： 因此， jAxj kBk2，8倍，使得jxj = 1 =）kAk2 kBk2，因为kAk2 = supjxj = 1fjAxjg。 因为，按照定义，强欧塞尔 （elementwise），然后由 上述不等式，钾 Ak2 K的K2的。这个完整的证明。 定理4：系统（1）初始条件（2），如果 K表 K2的 1 kBk2 kAk2 2 成立，则该系统的鲁棒稳定性。 证明。对于使用任何矩阵A和 乙， 财产的矩阵范数，及引理1，可以得到： kA的 Ak2 + + + Bk2 kb的 kAk2 + K的 Ak2 + kBk2 + K的 Bk2 kAk2 + kBk2 + 2K的 K2的“1 上述最后一个不等式成立的条件是显而易见的，从 这个定理。 利用推论1，摄动系统（1）渐近 对于任何矩阵 乙A和稳定，只要 定理的条件满足，那就是，在 定理的条件下，系统的鲁棒稳定性。这 完成证明。 注4：该定理给出了上界范围 扰动。也就是说，如果任何满足这个矩阵摄动 上条件，然后摄动系统的鲁棒稳定性。 五，结论与未来 A.结论 在这个文件中，表达的基本矩阵 系统（3）获得，如图（8）;等效 对系统（3）渐近稳定的条件是 基本（金）矩阵！ 0为K！ 1，这是基础 理论研究;保障体系的一个充分条件 （3）设置渐近稳定性，仅计算 一些矩阵范数，而不是特征值扰动系统 （1），它是强大的稳定，从而对定理的条件长 四是满意的。 一些模拟实例验证了 结果的有效性得到的文件。 B.今后的工作 如何找到适当和充分的条件，以确保 系统渐近稳定是一个重要的问题在系统 设计，是本专题的未来工作。 六。致谢 笔者非常感谢贡献 国立研究机构和评审的意见。 参考文献 1 D.Lj.Debeljkovie，米Aleksendrie，N.Yi勇，QLZ