杆的横向尺寸对其纵向共振频率的影响.pdf

收稿日期 2000 09 13 杆的横向尺寸对其 纵向共振频率的影响 刘世清 南华大学南校区基础课部物理教研室 湖南 衡阳 421001 摘 要 利用能量法讨论了均匀弹性杆的横向尺寸对其纵振动的影响 并给出了计及横向效应一 端固定一端自由的杆纵向共振频率的修正公式 关键词 弹性杆 能量法 径向振动 共振频率 中图分类号 O321 文献标识码 A 文章编号 1003 7551 2000 04 0018 03 1 引言 关于均匀弹性杆纵振动的共振频率 一般文献都忽略其横向影响而作为纯一维问题来处 理 事实上 由于泊松效应 弹性杆在纵振动过程中其截面还会变形 杆作纵向形变振动时 其 中质点除作轴向纵振动外 同时还可作沿半径方向的径向振动 即所谓纵横振动 这种纵振动 的横向效应必将引起附加的径向振动动能 从而会改变弹性杆的振动惯性 进而影响杆中纵振 动的传播 如纵波波速 固有频率等 而且这种附加效应与弹性杆的横向尺寸有关 本文运 用Rayleigh 能量法导出了这一关系 2 径向振动附加动能 沿半径方向的振动对纵振动的影响 可从振动能量的变化来分析 由于杆中质点作纵振 动的同时作径向振动 使系统的振动动能发生某种变化 动能的变化 将改变系统的振动惯性 为此 可以通过计算质点径向振动的附加动能 再求其对应的附加等效质量 然后求弹性杆的 总等效质量 即可求出杆的纵向共振频率 首先作如下约定 1 杆中传播的是平面波 即处于同一截面上的质点 振动前后始终处于同一平面上 且纵 向位移 ur x t 与半径方向坐标 r 无关 即杆无扭转 2 径向应变均匀 径向位移 ur x t 和弹性杆半径 R 成正比 并假定径向振动和纵向振动 频率一致且同相位 图 1 杆的径向振动分析 18 第 24卷 第 4 期 广 西 物 理 GUANGXI WULI Vol 24 No 4 2000 现考虑一圆形截面均质弹性杆 其半径为 R 长为 l 根据以上假定 如图 1 所示 由弹性 理论知 杆的径向应变为 Err L Exx L5ux x t 5x 1 其中 Exx为纵向应变 ux x t 为纵向位移函数 L为弹性杆的泊松比 由于径向应变均 匀 于是杆的径向位移分布函数为 ur r t rErr rL5u x x t 5x 2 由 2 式对时间微分 得杆的径向振速分布函数为 5ur r t 5t rL 52ux x t 5x5t rL 5u x 5x 3 式中 u x 5ux 5t 为杆中纵向振速分布函数 假定杆长 l 截面积 S 体密度 Q在小幅纵振动 中近似不变 如图 1所示 取 dx 元段 并在杆中取一半径为 r 薄圆环 元质量 dm 为 dm Q dSdx Q 2P rdrdx 由于截面振动位移沿径向对称 因而半径为 r 薄圆环上各点具有相同的径向位移和振动速度 由 3 式和上式得元质量 dm 的径向振动动能为 dE 1 2 dm 5ur 5t 2 1 2 2P rQ drdx r2L 2 5u x 5x 2 P Q L2 5u x 5x 2r3drdx 4 总的径向振动附加动能增量为各元段径向振动动能之和 即为 Ek kdE P Q L 2 R 0 r3dr l 0 5u x 5x 2 dx P Q L2R4 4 l 0 5u x 5x 2 dx 5 由 5 式可知 只要求得函数 5u x 5x 2 即可求出杆径向振动的附加总动量 3 杆的纵向共振频率与其横向尺寸的关系 以下利用能量法求计及径向振动后杆的纵振动的等效质量 若不计径向振动 杆作纯纵 向振动的动能可由下式求出 1 Ek 1 2 Q S l 0 u x x t 2dx 6 Rayleigh 能量法是一种求系统低阶共振频率的常用方法 但利用能量法求振动系统的共振 频率时 必须先求出系统的振型函数或位移分布函数 下面讨论一种常见边界条件下均匀杆 纵向共振频率与其横向尺寸的关系 对于一端固定一端自由的杆 其纵振动位移分布函数可 写为 2 3 4 ux x t Asin 2n 1 2 P l x cos Xt U n 1 2 3 7 式中 A 为振幅 n 为振动阶 7 式对时间 t 微分 得杆中纵向振速分布函数表达式为 u x x t X Asin 2n 1 2 P l x sin Xt U n 1 2 3 8 由 5 6 8 三式分别可求得 Ek 1 2 Q SlL 2 4 2n 1 P 2 2 R l 2 X2A 2sin2 X t U n 1 2 3 9 19 第 4期 杆的横向尺寸对其纵向共振频率的影响 Ek 1 2 Q Sl 2 X 2A2sin2 Xt U 10 设杆作纯纵向振动的等效质量为 me 而计及径向振动所引起的附加效应后杆振动的等效质量 为 mce 由 9 10 两式可得 mce me Ek Ek Ek 1 1 32 L P 2n 1 2 D l 2 11 其中 D 2R 为圆截面杆的直径 由于系统的共振频率反比于其等效质量的平方根 于是可得 考虑径向振动后杆的纵向共振频率为 fnc me mce 1 2f n 1 1 1 32 L P 2n 1 2 D l 2f n n 1 2 3 12 其中fn 2n 1 Cl 4 为不计横向效应一端固定一端自由的杆纵向共振频率 5 Cl Y Q 为杆中纵波波速 若径长比 D l 很小 由 12 式可得低频近似关系为 fncU 1 1 64 L P 2n 1 2 D l 2 fn 13 上式即为考虑了径向振动后杆的纵向共振频率与其横向尺寸之间的关系 fnc fn与径长比 D l 之间的关系曲线如图 2 图 3 所示 其中 取泊松比 L 0 3 n 分别取 1 和 5 图 2 n 1 f1c f1与 D l 关系曲线图 3 n 5 f5c f5与 D l 关系曲线 4 结束语 在考虑因径向振动所引起的附加效应后 杆的等效质量要增加 从而使其纵向共振频率降 低 符合一般振动规律 由图 2 图 3 可知 随横向尺寸的增大 振动阶数 n 的增高 径向振动 对杆的纵振动共振频率的影响越明显 如当径长比 D l 0 2 对 n 1 的基频振动 f1与f1c 的相对偏差约为 0106 而当 D l 0 2 对于 n 5 f5与 f5c的相对偏差约为 414 当 n 5 D l 0 3 时 f5与f5c的相对偏差达 9165 可见 仅当杆作低阶振动 且径长比不大时 径向振动的影响才可忽略不计 同理可求得其他边界条件下杆的纵向共振频率与其横向尺寸 的关系 应指出 12 式仅仅是对杆的纵向共振频率的近似修正 比不计横向效应更接近杆的 精确频率 参考文献 1 黄 彬1 振动分析及应用 M 1 北京 海潮出版社 19921241 2471 2 许本文1 焦群英1 机械振动与模态分析基础 M 1 北京 机械工业出版社 19981126 1291 3