曲率半径的物理求法探析.pdf

第 3 2卷第 7期 2 o o 3年 月 中学 物 理 教 学 参 考 Phy s i c s Te a c h i ng i n M i dd l e S c ho ol s Vo 1 32 No 7 J u 1 2 0 0 3 曲 率 半 径 的 物 理 求 法 探 析 李 卫 平 四川 师 范 学 院物 理 系 四川 南 充 6 3 7 0 0 2 曲线 上 各点 的 曲率 半径 是 由 曲线 自身 的形状 所 决 定 的 当 曲线 为质 点 的运 动轨 道 时 轨道 上 各点 的 曲率 半径 也 可 以直接 由轨 道 自身 的形 状 所决 定 所 以 质 点 运 动轨道 上 各点 的 曲率 半径 的计 算 可 以完 全作 为一 个 纯 粹 的数 学 问 题来 处 理 但 是 从 物 理 学 的 角 度 看 质 点 的 运 动轨 道 是 质 点 的运 动 学 特征 的综 合 反 映 是 由 其 动 力学 原 因及初 始运 动 条件 所决 定 的 因此 曲 线 曲 率 半 径 的计 算 又 可 以作 为 一 个 物理 问 题 来 解 决 其 基 本 思 路是 将某 待求 曲率 半 径 的 曲线视 为某 一 质点 运 动 的轨 道 然 后 根 据 质点 运 动 的运 动学 特 征 或 动 力 学 原 因 应 用 运动 学 的规 律或 动力 学 的规 律 予 以解决 本 文 以几 种 二 维 曲线 为 例 探 讨 曲 率半 径 的 运 动 学 求 法 和 动 力学求 法 一 曲率 半径 的 运动 学求 法 将 某待 求 曲率半 径 的 曲线 视为 某一 质 点 的运 动轨 道 后 既然 曲 线 上各 点 的 曲率 半 径 仅 由曲 线 的形 状 所 决 定 亦 即 只 由质 点 的运 动方 向所决 定 而 与质 点 的运 动 快慢 无关 所 以 质点 的 运动 快 慢 的变化 规律 便 是可 以为达 到方 便解 题 的 目的而具 有选 择 性地 赋予 的 例 1 求 滚 轮线 在 最 高点 和最 低 点的 曲率 半径 解 答 滚 轮 线 是 二 维 曲线 即 轮 子 在 直 线 轨 道 M 上 做 纯滚 动 时 轮 子边 缘上 的 点 的运动 轨 迹 设 轮 子半径 为 尺 轮子 边 缘上 的 点 尸对 应 的滚 轮 线 P Q 如 图 1 所 示 为 了计算 方 便 选 择 轮子 的 滚 动为 最简 单 的 动 在Y方 向上 做初 速度 为 矾 的简谐 运 动 小 球运 动 可 视为 两 个 简 谐 运 动组 成 的复 合 运 动 模 型 小 球 到 达 C 点时 F 0 即小 球 恰 好 经过 轴 方 向上 做 简 谐 运 动 的平 衡位 置 故 小球 从 B点 运 动 到 C点 所 经过 的 时 间 为小 球沿 轴 方 向做 简谐 运 动的 周期 的 四分 之一 即 一 T 4 一 2 2 因为 小球 到达 C点 时在 Y轴 方 向 上速 度 为零 所 以 小球 在 C 点 的 速 度 就 是 在 轴 方 向 上 的 最 大 速 度 则 口 c 一 口 l I L L m k 2 构 建双振 子 复合 模 型 解 答 多体振 动 问题 例 6如 图 7所示 质 量 为 2 m 的均 匀 带 电球 M 的 半 径 为 尺 带 电 量 为 Q 开 始 静 止 在 光 滑 的 水 平 面 上 在 通 过 直 径 的 直 线 上 开 一 个 很 小 的 绝 缘 光 滑 的水 平 通 道 现 在 球 M 的最 左 端 A 处 由静 止 图 7 开 始 释放 一质 量 为 m 带 电量 为 一Q 的 点 电荷 若 只 考 虑 两 电荷 问 的相 互 静 电 力 试 求点 电荷 运 动 到 带 电 球 M 的球 心 时两 带 电体 的速 度 分析 与解均 匀带 电球 M 在 球 内离 球心 距离 为 处产 生 的 电场强 度 为E h Q x R 点 电荷 在 此处 所 受 的电 场 力为 F 一是 Q x R 此 时 带 电球 M 所 受 的 电 场 力也 为 F 一是 Q x R 因而 可 将 此 系统 构 建 为 类 似 慧 M 点 做 简 谐 运 动 由 质 心 运 动 定 理 可 知 系统 的 质 心 O 点 静 止 不动 图 8 质 心 O 点 距 开始 静止 的球 心 0点 的 距离 为 则 堕一旦 一 M m 3 以质心 o 为 双振 子 振动 的平 衡 位置 令 Q R N 相 对质 心 振动 等效 弹簧劲 度 系数 为 3 k 2 振 幅 为 A 一2 R 3 球 肘 相 对 质 心 振 动 等效 弹 簧 劲度 系 数 量 3 振 幅为 AJ If R 3 N 到 达 球心 时 对 应 于 两 振 子 都 到达 平 衡 位置 由简谐 运动 知 识 得 此 时 点 电 荷 球 M 的速 度分 别 为 t 一 A m k N一 2 R 2 m 3 k o 3 t f A 2 m k R 2 m 3 k 3 S 维普资讯 匀 速 滚动 设轮 心 相 对 直线 轨 道 MN 做匀 速 运 动 的 速 M P Q 图 1 度 为 口 P点 相 对 于直 线 轨道 MN 的运 动速 度 等于 P 点 相 对 于轮 心 的运 动速 度 与轮 心相 对 于 直线 轨 道 MN 的运 动 速 度 之 矢 量 和 P 点 在 滚 轮 线 的最 高 点 的速 度 方 向水 平 向右 其 大小 为 t l 2v0 而 P 点 在滚 轮线 的最低 点 时 的速度 大 小 为 口 2 0 P点 相 对 于直线 轨 道 MN 的加 速 度 口等于 P点 相 对 于 轮 心 的加 速度 n 与 轮心 相 对于 直线 轨 道 的加 速度 之矢 量 和 因后 者为 零 故 有 口 一口 n 是 轮子 边缘 上 的 P点 相对 于 轮 心做 匀 速 圆周 运 动时 的向心 加 速度 方 向随 时 间变 化 大 小恒 为 r 0 2 一 P 点在 曲线 最 高点 和在 最低 点 的加 速度 n就是 指 向 曲率 圆 圆心 的 向心 加 速度 因此 曲线 最 高点 的 曲率 半径 为 譬 一 曲线最 低 点 的 曲率半 径 为 口 一 0 L ID 2一口 例 2求 抛 物 线 Y 七 一 是 一 顶 点 处 的曲 率半 径 解 析抛物 线 图象 如 图 2所 示 该 曲线 可 视 为 质 点 做 斜 抛 运 动 时 的轨 道 设 运 动 轨 道 为 该 曲 线 的质 点做 斜抛 运 动 的方程 为 v o t y v o y t 虿 1 由 于 此 方 程 与 抛 物 线 方 程 图 2 表 达 的 是 同一 曲线 故将 此 方程 代 入抛 物线 方 程 得 专 一 v k v o z tz 一 比较等 式两 端 t t 的 系数 可得 到 52 由此 即有 l g k VO x 2 VO y 女 口 轰 这 就 是 质 点 做 抛 物 线 运 动 的 各个 时 刻 的水 平 速 率 当质点 运动 至 轨道 最 高点 时 其 速度 方 向水 平 大 小 为 2 7 其加 速 度 g完 全是 指 向该 处 曲率 圆 圆心 的 向 心 加 速度 于 是 轨道 曲线 的最 高 点 的 曲率半 径 为 P一警一 一 去 例 3将 椭 圆 未 豢 1 视 为 在 轴 方 向 和 轴 方 向上 的分 运 动 分别 做 简谐 运 动 即 x Ac o s ca t Y Bs i n 的 质点 的 合 运 动 轨 迹 求 其顶 点 处 的 曲 率 半 解 析该 椭 圆 图象 如 图 3所示 质 点 在 2 7 Y方 向 的速 度 加速度 分 别 为 一 A l 图 3 口 一 一 As i n 口 一 Bc os 口 一 一 Ac o s 一 一 2 7 口 一 一 Bs i n f 一 一 Y 在 图中 的顶 点 1处 A Y 一0 即 可对 应 t 一0时 刻 因此 仉 0 B 口 一 一 A 口 一 0 所 以 质点 的速度 大小 为 口一 口 B 加 速 度 n 即 为向 心加 速 度 大 小为 口 一 l 口 I 一 A 于是 可 得顶 点 1处 的 曲率 半径 为 口 B B I D 一 一 一 通 过类 似 的计 算 可得 顶点 2处 的 曲率半 径 为 A0 P 2 一百 从 以上 几 例 中不 难 总 结 出 用 运 动学 的方 法 求 曲 率 半 径 就 是通 过 分 析 质点 在 曲线 运 动 中 的 运 动 学特 征 确定 其在 运 动 轨 道上 某 点 处 的 速 度大 小 和指 向 曲 维普资讯 率 圆 圆心 的 向心 加 速度 的大 小 进 而利 用 向 心加 速 度 2 公式 n 一 求 得该 点 处 的 曲率半 径 JD 二 曲率 半 径 的动 力 学求 法 要 用 运 动 学 的 方法 求 曲率 半 径 就 必 须 知 道其 运 动轨 道 与待 求 曲线 相 同 的质 点 在该 轨 道上 的 运动 学 特 征 然 而 质点 的运 动 轨道 及 其在 该 轨 道上 的运动 学 特 征 从本 质 上说 是 由质 点 运动 的动 力学 条件 及 初始 运 动 条 件所 决 定 的 所 以 当知道 质 点 的某 运动 轨 道所 对 应 的 动 力学 条件 及 初 始 运 动 条 件 时 便 可 以从 动 力 学 的 角 度 去 求 得 曲线 的 曲率 半 径 而无 需 知 道 其 在 运 动 轨 道 上 各处 的 运动 学 特征 很 多时 候 质 点 在其 运 动轨 道 上 各 处 的运 动学 特 征是 难 以得 知 的 这 时 从 动 力学 的 角 度 出发 去 求得 曲线 的曲 率 半 径 便 是 惟 一 可 行 的物 理方 法 2 2 例 4将 椭 圆 一 1视 为 行 星在 恒 星 引 力 作 用 下绕 太 阳运 动 的轨 道 求 椭 圆顶 点 处 的 曲率半 径 解 析如 图 4所 示 恒 星位 于 椭 圆的焦 点 S处 恒 星 的质 量 记 为 M 行 星 的质 量 记 为 m 在顶 点 1 2之 间 由 机 械 能 守 恒及 开普 勒 第 二 定 律 或 质 点 的 动 量矩守 恒 定 律 得 图 4 V l2 一 G 一 V 22 Gm y b 一 l A C 一 2 As i n 口 其 中 C 为椭 圆 的焦距 即 c 一 n a一 由 以上 方程 可求 得 B a M GM 一 百 2 顶 点 1 处 的曲 率半 径 JD 可 由行 星在 该 处所 受 的 万 有 引力 等 于行 星 在该 处 的 向心 力求 得 即 my 0 GM m A C 2 则 等 顶点 2处 的 曲率 半径 可 由曲率 圆的 向心 力公 式 求 得 即 一 F2 s i n 口 等式 右 端 的F s i n a为行 星在 顶 点 2 处 所 受 万有 引 力 F 的 向 力 分 量 则 A J 2 一百 2 例 5将椭 圆 X y 1 视 为下 述 小 球相 对 地 面 运动 的 轨道 求其 顶 点处 的 曲率 半径 如 图 5所 示 有 一 由 内壁 光 滑 的细 管 做成 的半 径 为 R 的圆 环 形轨 道 它 与 长 方形 底 座 固定 在 一起 放 在 光 滑 的水平 面 上 环 与底 座 总 质量 为 M 轨 道 内有 一 质 量 为m 的 光滑 小 球 开 始时 静 置于 最 高处 后 因受 微小 扰 动 而朝 右 滑下 在 以后 的运 动 过 程 中 底 座 的底 面 始 终 全部 与 地 面接 触 图 5 图 6 解 析首 先证 明小球 相 对 于地 面 的运 动轨 道 为一 椭 圆 如 图 6所 示 在 地 面 参照 系 中建 立 加 坐 标 系 o 点 在 环心 的初 始位 置 轴 水 平 向右 j 轴 竖 直 向 上 相 应 地 在 运 动 的 圆 环 中 建立 0 j 坐 标 系 O 始 终 在 环 心上 轴平 行 于 轴 轴平 行 于j 轴 小 球在 运动 过 程 中相 对 于 地 面 参 照 系 的 坐 标 记 为 相 对 于 圆环 参 照 系的 坐标 记 为 j 圆 环运 动 过 程 中 相 对 于地 面 参 照 系 的坐 标 记 为 y c 由 于 系统 在 水 平 方 向 不 受外 力 的作 用 故 系统 的质 心 相 对 于 地 面 参 照 系在 水 平方 向 不会 移 动 故 有 mx M xc 0 将 一 一 代 人上 式 可 得 M m 如 将上 式 与 一 一 起 代人 到小 球相 对 圆 环 参照 系 的 轨道 方 程 即 村 j m 一 R 便得 小 球相 对 于地 面 参 照系 的运 动 方程 为 荷 蔷 显 然 这 是 一 个 半 长 轴 为 B R 在 j 轴 方 向 上 半 短轴 为 A一 在 轴 方 向上 的椭 圆曲线 5 3 维普资讯 设 小 球 在 1处 时 圆环 相 对 地 面 向 右 的 加 速 度 为 a 小球 相 对 于 圆环 参 照 系 向下 的 速度 大 小 为 小球 与 圆环 的法 向 水 平 作 用 力 为 则 在 圆 环 参 照 系 中 小 球 受 圆 环 水 平 向左 的 作 用 力 和 向 左 的 惯 性 力 ma 由小球相 对 圆环 心 0 做 圆周运 动 有 N m a M 一 警 在 地 面参 照 系 中有 N Ma 因 为小球 在 1 处 只具 有 相 对于 地 面 的 向下 的速 度 根 据 水平 方 向上 动 量 守恒 可 知 此 时小 球 和 圆环 均 无 水 平方 向运 动 故 由机械 能守 恒 得 m y m g R 即口 一2 R g 于是 可求 得 一 在 地面 参 照系 中 由于 小球 此 时竖 直 向下运 动 曲 率 圆 圆心 必 在过 1处 的 水平 线 上 向 心 加 速 度 仅 由 力 N 引起 故有 N 一 1 则 一 一 即 o l 一 箸 在 2 处 小 球 和 圆环 相对 地 面参 照 系的速 度 记为 水 平 向左 和 U M 水 平 向右 由水平 方 向动 量守 恒 有 肘 口 my 一 0 小球 相 对 圆环参 照 系 向左运 动 的 速度 为 M m 一 m 一 一 在 圆环 参 照 系 中小 球做 圆周 运 动 圆环 对 小 球 的 竖 直 向上 的作 用 力 记 为 此 时 圆环 参 照 系 为惯 性 系 则有 N m g 一 等 在地 面参 照 系 中也是 与 mg一起 为 小球 的 曲率 圆运 动提供 向心力 因此 又有 一g一 以 上 两 式 比 较 后 即 得 P z一 摹R 将 与 的关 系代 入 后 便 得 到 M R 百A 210 2 I J 百 例 6 将 抛物 线 五 视 为行 星在 恒 星引 力 作用 下 的运 动轨 道 求 抛 物线 顶 点处 的 曲率半 径 54 解析如 图 7所 示 设 恒 星 的质量 为 位 于抛 物 线 的 焦点 F处 行 星的质 量 为 m 行 星与恒 星的 间距 为 r 当行 星 运 行 至抛 物 线 的 顶 点 O 处 时 行 星 与恒 星 相 距r 一 袁 系 统 的 能 量 为 1 m 2 一 G M m 1 m 2 一 G 由此得 到 行 星运 行 至 抛物 线 顶 点的 速 度大 小 为 一 一彳 m F 一 图 7 行星 在抛 物 线顶 点做 曲率 圆运 动 的向心 力 由恒 星 的引 力提 供 于 是有 G 苛一 等 所 以抛物 线 顶点 处 的 曲率半 径 为 z j 1 一而 一 而 一 一 从 以 上几 例 不 难 总结 出 用 动 力 学 的方 法求 曲率 半径 就是 通 过分 析决 定 质点 曲线运 动 的动 力学 原 因 确 定其 在运 动