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第一章多项式 1 1 1数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围 学习数学也是如此 比如 先学习自然数 然后整数 再正有理数 有理数 实数 复数 再比如讨论多项式的因式分解 方程的根的情况 都跟数的范围有关 例如 2 我们目前学习的解析几何 数学分析都是在实数范围内来讨论问题的 但在高等代数中 通常不做这样的限制 在代数中 我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算 即代数运算 是否还在这个集合之中 代数运算 设A是一个非空集合 定义在A上的一个代数运算是指存在一个法则 它使A中任意两个元素都有A中一个元素与之对应 即运算是否封闭 运算封闭 如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在这个集合中 则称该集合对这个运算封闭 例如两个整数的和 差 积仍是整数 但两个整数的商就不一定是整数 这证明整数集对加 减 乘三种运算封闭 但对除法并不封闭 而有理数集对加 减 乘 除 除数不为0 四种运算都封闭 同样 实数集 复数集对加 减 乘 除四种运算都封闭 3 根据数对运算的封闭情况 我们把数集分为两类 数环和数域 一 数环 设S是由一些复数组成的一个非空集合 则称S是一个数环 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数集 C都是数环 例如 1 除了Z Q R C外是否还有其他数环 问题 2 有没有最小的数环 例1 设a是一个确定的整数 令 定义1 4 则S是一个数环 特别 当a 2时 S是全体偶数组成的数环 问题 3 一个数环是否一定包含0元 例2 证明 是一个数环 问题 5 定理1 1 1 设S是一个非空数集 S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中 二 数域 定义2 设F是一个含有不等零的数的数集 如果F 则称F是一个数域 有理数集Q 实数集R 复数集C都是数域 例如 则称F是一个数域 中任两个数的和 差 积 商 除数不为0 仍在F中 且是三个最重要的数域 6 2020 1 9 7 问题 7 除了Q R C外 是否还有其他的数域 例3 证明 是一个数域 证明要点 8 8 一个数域必包含哪两个元素 问题 9 最小的数域是什么 定理1 1 2 任何数域都包含有理数域Q 证明 设F是一个数域 则 于是 对 故 10 在判断一个数集是不是数域时 实际上 问题 9 要检验几种运算 设F是一个含有非零数的数集 则F 定理1 1 3 问题 例 对任意素数P 是一个数域 在R与C之间不可能有别的数域 设有数域F 使 故 设x a bi 且 数不为零 仍属于F 是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商 除 10 可见F C 问
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