四章 量子力学中的力学量的算符表示.ppt

Chapter4MathematicsFoundationsofQuantumMechanicsI 量子力学中的数学基础 Linearoperator 4 1PropertiesofOperaotors Operatorinquantummechanicsdenotesanoperationofwavefunction suchas Whatisoperator Linearoperatorisself adjoint 自共轭 orHermitian 厄密的 Inquantummechanics alloperatesareHermitianoperators Hermitianoperator 厄密算符 x px V x Hermitianoperator Inanyquantumstates themeanvalueofHermitianoperatorisreal 1 Sum 2 product 4 1 2CombiningTwoOperators 3 UnitoperatorI 4 operatorcommutator 算符对易性 So Ingeneral theproductoftwooperatorsdonotcommute 对易 Forexample Wecansimilarlyobtain But Insummary operatorcommutatorsatisfy 4 1 3BraandKetNotation 左矢和右矢符号 Ascalarproductofthesquare integrablefunctioncanbeexpressed Theorthonormalityrelationoftwowavefunctions ThemeanvalueofL 1 positionandmomentumoperators P73 Positionoperator Itscomponents Momentumoperator Itscomponents 4 1 4Operatorinquantummechanics Commutatorofxandp 2 Angular momentumoperators 角动量算符 P75 Itcomponents i j k 1 2 3 123任何两个角标对换 改变正负号 若两个角标相同则为零 Thefirsttermbecomes Thesquareoftheangularmomentumoperator Thesecondterm Thesumoftwotermsis0 so Similarly InCartesiancoordinate Inpolarcoordinate 3 Kineticoperator IfV r isonlythefunctionofdistance V V r andLisdependenton and so L V r 0 Wecaneasilyobtain L p2 0 so L p2 0 L V r 0 4 Totalenergyoperator Hamiltonianoperator 4 2EigenvalueandEigenfunction 本征值和本征函数 IfLisaconstantvalue itsdeviation L 0 sowecanfindthecorrespondingwavefunction L 在波函数 L中 我们将平均值换成测量值 该方程称为本征值方程 L称为本征值 L称为本征函数 一个算符L 本征值为L 相应的本征函数 L 有无数多个 L 可以是分离的 也可以是连续的 当它为连续时 它可以取Ln L Ln 1之间的任何值 厄密算符本征函数的性质 只考虑分立谱 可以证明属于不同本征值的本征函数之间是正交的 本征值L为实数 我们取第一个方程的复共轭 subtract Integrateoverthewholevolume 由于 是厄密算符 那么左边两个积分在整个空间的积分 是相等的 即 WerequiredLn Lm hence Twowavefunctionareorthogonal 分立谱的本征函数是平方可积的 结合上面的结果 我们得到 对一个本征值Ln 若同时有几个本征函数与之对应 我们将这样的态称之为简并态 degeneratestates 为精确起见 如果不同的本征函数 n1 n2 n3 属于同一本征值Ln 我们称之为n重简并 n folddegeneracy 简并态的物理意义为观测量L的某个确定值的几率可以在不同态中实现 前面我们已经证明了属于不同本征值的波函数是正交的 那么属于同一个本征值Ln的简并波函数 nk 有 一般来说 nk不正交 但找到正交函数的几率总是存在的 2 TranslatethetextcontentsonthepageP68 69 1 Provethefollowingformulas 1 2 L p2 0 Exercise TheproofofHermiticityofmomentumoperator ThisprovesthatobeystheHermiticityrelation TheCommutatorofPosition andMomentumOperators so Position andMomentumOperatorsdonotcommute sotheycan tbeexactlymeasuredatthesametime MomentumEigenfunction Cisconstant thespectrumofmomentumiscontinuous 量子力学中最常见的几个物理量 位置 动量 角动量和能量 其中位置和动量的取值 本征值 是连续变化的 角动量和能量的本征值是分立的 而能量的本征值则兼而有之 以动量本征态为例 一维粒子的本征值为p的本征函数 p可以取 中连续变化的一切实数 不难看出 C取决于p值 为了确定C 我们考虑积分 Normalizationoftheeigenfunctionofmomentumoperator P100 Accordingtothedefinitionof x 那么三维空间的动量算符写为 Example1 AparticlewiththemassmmotionsinthepotentialfieldV r Problem estimateitsgroundstateenergyusingtheuncertaintyprinciple Solution totalenergyoperatoris TheeigenvalueofHunderanyenergyeigenfunctionisgivenby Fortheestimationtheradiusingroundstateisapproximatelyregardedasr R Duetothemeanvalueofmomentumofboundstatebeingzero wecanobtain usingtheuncertaintyprinciple ThevalueRmustbesatisfytheconditionthatEisminimumextremum i e Soweget Finallyweobtaintheapproximateenergyvalueofgroundstate Example2 Problem calculatethevaluesofthefollowingexpression Wherenispositiveinteger isparametervariable Solution Inthefollowingcalculation weleaveoutthesuperscript ofoperator Letntransformto n 1 Soweget Repeatabovecalculating AccordingtoThaler sexpansion Set n 1 m wecanobtain Exercise Usinguncertaintyprinciple pleaseestimatethegroundstateenergyofheliumatom 氦原子 Provethefollowingequations 3 Setthemechanicsquanti