第一章 流体的物理性质.pdf

1 区分固滞与流动 须内定长度及时间的标准 日常情况 典型长度 米 厘米 典型时间 分 秒 Why 如 1 冰河的运动 冰河的流动速度可达每天10厘米至10米 2 流体在 万分之一秒 短时间可承受拉力 第一章流体的物理性质第一章流体的物理性质 1 1 流体的连续介质模型 2 即使在流体范围内 也要掌握典型长度和典型时间 在不同的典型长度及时间内 可作不同简化 以水为例 海 洋学家与水利工程师分析的方法不同 水利工程师与造船工 程师的发现方法又略有不同 不仅因为研究的目标不同 而 且问题的典型长度及典型时间有很大差异 3 流体的运动流体的运动 微观上 不均匀性 离散性 随机性 宏观上 均匀性 连续性 确定性 研究流体宏观运动研究流体宏观运动 统计物理 从分子和原子的运动出发 采用统计平均的 方法建立宏观物理量满足的方程 并确定流体性质 连续介质假设 认为流体微团 质点 连续地无间隙地 充满流体所在的整个空间 流体微团所具有的宏观物理 量 如m v T等 满足一切应该遵循的物理定律及物理性 质 4 设其尺寸为L2 考察密度与流体微团尺寸的关系 m x y 流体微团是微观上充分大 包含有足够多的分子数目 少 量分子出入不影响稳定的平均值 宏观上充分小 没有空 间尺寸 类似质点 的分子团 5 空间 L2 L1分子运动尺度L2L3特征尺度 统计平均后有稳定值看作均匀质点 失效 L1 L3 如高空飞行器 分子平均自由程与所研究物体的特征尺寸差不多同量级 质量密度图 1 L 3 LL 2 L 流体微团的尺寸L2 微观上充分大 宏观上充分小 6 流体微团的统计平均时间t2 微观上充分长 宏观上充分小 时间 t2t1分子碰撞时标t2t3特征时标 统计平均后有稳定数值可将t2看成一瞬间 一个本来是大 量的离散分子 或原子的运动 问题 连续充满整个 空间的流体质 点的运动 其 物理量都是空 间坐标和时间 的连续函数 可利用 强有力 的数学 工具 连续介 质假设 7 适用性 当我们不是考虑与粒子结构尺度有同样尺度而是比 此尺度大得多的尺度的现象时 连续介质假设就成立 飞机 船舶在空气 水中的运动 其特征尺度例如船长 远大于粒子结构 尺度 空气和水被认为是连续介质 血液在动脉中的流动 红血球的直径约为8 10 4cm 它在直径约为0 5cm 的动脉中流动 血液就被当作连续介质 研究星系结构时 恒星间的距离约为4 1018cm 它们在直径约为 4 1022cm的银河系中运动 星系也是一种连续介质 研究高空稀薄气体中的物体运动时 分子平均自由程很大 与物体特征尺 度尺度为同量阶 这时便不能视稀薄气体为连续介质 血液在微血管 其直径可达10 4cm量阶 中的运动 也不能把血液当作连 续介质 8 外力 作用在微团内均布质量的质心上 通常和微 团的体积成正比 周围流体和物体作用在流体微团表面上的 力 与作用面大小成正比 体积力 表面力 1 2 作用在流体上的体积力和表面力 9 最常见的为重力 Vm Q VgG v v VG 微团单位体积上作用的体积力称为体积力强度 V F f V V v v lim 0 为上所受体积力F v V 体积力的合力 V V dVfF vv 体积力的合力矩 V V dVfrL v v v 为任意一流体微团相对于参考点的向径r v 1 体积力和体积力强度体积力和体积力强度 mgG v v 10 A F T A n v v 0 lim 下标表示表面力作用面的法向量 A n 一般与不平行 故存在法向分量 也就是正应力 拉或压 和切应力 摩擦力 n T v nn T v n n T v 作用面法线方向分量 作用面切向分量 也称剪应力 与粘性有关 vv v nnnn TnTT 第一个下标表示作用面的法线方向 第二个下标表示力的方向 2 表面力和应力表面力和应力 有限体表面微元面积上单位面积的表面力称为表面力的局 部强度 又称为应力 定义如下 A 11 应力的性质应力的性质 1 相邻两微元面上的表面应力是作用力和反作用力 所以大小相等方向相反 2 相邻微元面上的正应力 切应力值相等 12 证明 1 令 则 并将应力写作 A nn vv A nn vv A nn TT vv A nn TT vv 则有 0 lim nn A F TT A v v 2 在面上的正应力等于 A nn T n nn TTn v v 在面上的正应力为A nnn TTn v v n nnnnnn TTnTnTnT vvv vvv 切应力同理 13 一点的应力是矢径和表面法向单位矢量这两个矢量 的函数 n T v r v n v 事实上 只要知道通过一点三个互相垂直坐标面上的应力值 则任一以为法线方向的表面上的应力都可通过它们及表示 出来 也就是说三个矢量或九个分量完全地描写了一点的应力 状态 n v n v 3 一点的应力张量及其性质一点的应力张量及其性质 14 假设微元体处于体积力强度 的外力场中 为微元体的 质量 为微团加速度 为体 积 f v Vm a v V 332211 ATATATATVfVa nn vvvvv v 有限 为三阶小量 为 二阶小量 当时 三阶小 量略去 fa v v V i A 0 V 0 332211 ATATATAT nn vvvv 15 而 ini nAA ii TT 为方向余弦 i n TnnTnTnTnTT iin v v vvvvv 332211 coscoscos zyxn TTTT直角坐标中 vvvv coscoscos coscoscos coscoscos zzyzxznz zyyyxyny zxyxxxnx TTTT TTTT TTTT 任一点的应力 33 23 13 32 22 12 31 21 11 T T T T T T T T T T ij Tij是一点的应力张量 不再与n有关 并只是空间点位置与时间有关 由9 个分量组成的这个应力张量完全表达了给定点及给定时刻的应力状态 三个矢量 九个分量 16 例 流体内某处的应力张量的分量可以表示成矩阵 102 021 210 P 试问作用于平面的外侧 离开原点的一侧 上的应力矢量是什么 这个平面上应力向量的法向和切向 分量是什么 13 zyx 解 对平面的外侧的法向单位矢量为13 zyx kjikjin vvvvvv v 3 11 1 3 131 1 2 故 375 11 1 102 021 210 131 11 1 Pnpn vv 17 4 应力张量的对称性应力张量的对称性 自习 设应力矢量在平面的法向上的分量为13 zyx 11 29 3215 11 1 11 1 11 3 11 1 375 11 1 npp nnn vv 设切向分量为 n p 故 11 26 11 29 11 83 2 2 2 nnnn ppp v 18 无粘性无切应力 根据的方向与法线方向重合的性质 易见直角坐标系三 个坐标面的应力 其法向应力不等于 零 而切向应力皆为零 n T v n v zyx TTT vvv zzyyxx TTT cos cos cos zznzyynyxxnx TTTTTT 而 cos cos coscos nnnznnnynnnnx TTTTTTT w 5 理想流体的应力张量理想流体的应力张量 作用在任一表面上的应力只有法向分 量 切向分量等于零 也就是说 在理 想流体内部 应力到处与它所作用的面垂 直 ds n T v nn T 19 nnzzyyxx TTTT 由于任意选取 这便证明了同一点上各个不同方向上的法 向应力相等 n v pTTTT nnzzyyxx 令法向应力的共同值以表示 则 p 静止流体内任一点的应力 ijij ppI p p p T 00 00 00 各向同性 20 1 3 流体的易流性和压缩性 粘性3 流体的易流性和压缩性 粘性 易流性 易流性 固体在剪切力作用下发生剪切变形后可达到新 的平衡状态 而流体静止时不能承受切向应力 不管 多小的切应力 只要持续地增加 都能使流体发生任 意大的变形 流体的此宏观性质称为易流性 压缩性 压缩性 流体微团 质点 的体积或密度在一定压力差或温度 差的条件下可改变的这个性质称为压缩性 通常用压 缩性系数或体积弹性模数E来度量它的大小 可压缩流 不可压缩流 真实流体均可压 pp pp v v 1 11 v vE 21 p vT 液体在通常的压力或温度下 压缩性很小 如水在100个 大气压下 容积缩小0 5 温度从20 100 容 积降低4 故一般近似看成不可压 除非水下强爆 炸 气体压缩性大得多 但若小 小 且无大 亦可 近似为不可压 22 粘性 粘性 相对运动时流体能承受切应力 类似于固体的摩擦力 且抵抗相对滑动速度 称为粘性应力 这种抵抗变形的性 质称为粘性 理想流体 粘性流体 牛顿 1687 首次对最简单的剪 切运动作了个著名实验 与C板接触的流体粘在C板上 以 速度U随C板运动 与B板接触的 流体粘在B板上 速度为零 两板 间流体速度呈线性分布 y b U u b yu B 23 比值F A与比值U b成正比 b U A F 粘性系数 流体对平板C单位面积上的作用力 b U A F p yx 推广到相邻两层间 dy du p yx 牛顿切应力公式 仅 适用于简单剪切流 24 液体的随T 而 气体随T 而 除粘性外 流体还有热传导及扩散等性质 这些均源于分 子不规则运动 在各层流体间交换接近均匀 液体分子间吸引力比气体大得多 分子间吸引力是构成粘性的主要因 素 当T 分子间隙 吸引力 故粘性 而气体分子间 吸引力微不足道 构成粘性的主要因素是气体分子间作杂乱运动时 在 不同流速的流层间进行的动量交换 T越高 动量交换越急剧 故这种性质统称为分子运动的输运性质 理想流体忽略了粘性 即忽略了分子运动的动量输运性质 故也不应考虑扩散和热传导 界面 高T 低T 界面 高低 界面 大 小 v v 25 流体和固体或流体和另一互不掺混流体交界面处的力学和热 力学现象称为界面现象 1 4 流体的界面现象和性质4 流体的界面现象和性质 设想在液面内画一截线 截线两边 的液面存在着相互作用的拉力 此 力与截线垂直并与该处液面相切 这种力称为表面张力 毛细现象 在垂直细管中见到液体 高于或低于周围连通的液面 26 界面上流体的性质 1 液 固界面上流体温度和速度的连续性液 固界面上流体温度和速度的连续性 宏观的微元界面两侧的流体应处于热力学平衡状态 即 界面两侧的流体分子运动处于统计平衡态 微元界面两 侧的流体速度和温度相等 如不考虑界面上的表面张 力 微元界面两侧应力向量大小相等 方向相反 nn nn nn PP VV TT vv vv nn nn pp nVnV v v v v 0 27 若液体表面为曲面 M为曲面上一点 作两个垂 直于切平面且相互正交的平面 它们和曲面的交 线为AB CD 以M点的中心作一矩形元 其对 边分别平行于AB CD 长为ds1和ds2 设AB CD的曲率分别为R1 R2 曲面上的流体和曲面 下的流体作用在M点上的压力分别为P1 P2 作 用在矩形四边的张力分别为Tds1 Tds2 且沿着 AB CD的切线方向 2 互不掺混流体界面上的表面张力和界面上的应力平衡条件互不掺混流体界面上的表面张力和界面上的应力平衡条件 作用在ds2的合力 1 1 222 2 2 R ds ds dds d ds sin 作用在ds1的合力 2 2 111 2 2 R ds ds dds d ds sin 28 表面张力合力 21 21 11 dsds RR T 方向向