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例说平面向量的非正交分解湖北省天门市高中复读中心 王克进 431700摘要 虽然在新课程标准中对平面向量的非正交分解只要求了解，但作为对平面向量基本定理的考查，平面向量的非正交分解在近几年高考试卷中频繁出现。为此，本文着重探讨了在现行教材体系下，平面向量非正交分解的若干途径。关键词 平面向量；非正交分解1、问题引入平面向量的正交分解是向量分解的一种特殊情形，是平面向量的坐标表示及坐标运算的基础，在解题中通常把向量分解为不共线的两个正交向量，将繁琐的推理或证明转化为简单的向量运算，但在近几年各省市高考卷中作为基底的向量未必垂直，例如，07年陕西卷理科第15题，09年安徽卷文理科第14题.这些问题虽然是考查平面向量的基本定理和向量的运算法则，但其表示形式实质上就是向量的非正交分解。2、非正交分解的若干途径由平面向量基本定理，对平面上的任意向量都可分为两不共线向量使，因此平面向量分解的实质就是求解给定基底下的线性系数。以下是平面向量非正交分解的若干途径。（1）利用平行四边形法则，三角形法则处理。通过构造平行四边形或三角形，利用向量加法、向量减法、数乘向量把所求向量用基底表示。例1.（09安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，且，其中，则= 。解：如图易知 ，DABCEF 故（2）利用共线向量定理处理。由共线向量定理可知若两向量共线，则其中一个向量必可由另一个向量线性表出。因此可根据共线条件用待定系数法求出，。例2. 已知点O是梯形ABCD对角线的交点，设与同向的单位向量，与同向的单位向量为，试用，表示解：设 ADFBFCFOF 与共线 存在实数使 同理由与共线有 （3）利用坐标运算处理。平面向量正交分解的目的是把向量转化为有序实数对即坐标，平面上以原点为起点的任一向量的坐标可以认为是这一向量分别在两个互相垂直的单位向量上的投影，通过建立平面直角坐标系，把向量分解问题转化为实数的运算问题，从而求出线性系数。例3.（09安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为120，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若，其中，则x+y的最大值是 。OABCxy解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系则可知 设则有所以所以当时，取得最大值2。（4）利用平面向量的数量积处理。若已知有关向量的模与夹角，则可利用数量积列方程求解线性系数。例4（题同例3）解：设 的最大值为2。（5）利用平面向量的投影处理。方向上的投影实质上是方向上的单位向量的数量积，与投影有关问题可以转化为数量积处理。例5.（09黄冈市交流卷）已知O为的外心，若 .CABOMN解：取AB、AC中点为M、N，则OMAB，ONAC 故3、平面向量非正交分解下的坐标表示OxyP例6、如图，设Ox，Oy是平面内相交成60角的两条数轴，分别是与x,y轴正方向相同的单位向量，若向量则把有序数对(x,y)叫做向量在坐标系中的坐标。（1）若点P在坐标系中的坐标为（3,2），求。（2）求以0为圆心，1为半径的圆在坐标系中的方程。解：（1） （2）设圆上的动点，则又 所求圆的方程为本题由新课标必修（4）102页第4题改编，其本质是平面向量的斜角坐标。在平面斜角坐标系中，分别取x、y轴方向相同的单位向量作为基底，对于平面内一个向量由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得，这样我们把有序数对（x,y）叫做的斜角坐标，记作 虽然在新课程标准中，向量的非正交分解只要求了解，但作为平面向量基本定理的应用，在现行普通高中新课标教材体系下，利用向量的加减运算法则，共线向量定理，坐标运算及数量积等基本知识能够处理平面向量的非正交分解，即使引入斜角坐标作为自定义型题，利用平面向量的相关知识也不难解决。参考文献1、江苏省普通高中数学