异面直线所成的角和线面角(文).doc

异面直线所成的角和线面角平移法：体内平移中位线平移法1、如图各棱都相等的三棱锥SABC，E,F分别为SC,AB的中点，求1）异面直线EF与SA所成的角（ ）A450 B 300 C 60 0 D 9002、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB=60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，=60.（1）求四棱锥的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.ABCD(第9题)E6683、如图，四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC6，BD8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值 4、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；体内平移平行四边形平移法5、如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点求与所成的角。B1(第6题)A1ABC1D1CDMN6、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成角的余弦值体外补形平移：7、如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在RtPDB中，即故填FEDCBA8、如图ABCD，ABEF是边长为a的正方形，直线FA垂直平面ABEF的所有直线，求异面直线AC和BF所成的角练习：.如图长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b(ab),AA1=c，求异面直线D1B和AC所成角的余弦值。ADBCC1A1D1B19、A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点(第5题)F1ABCD1C1A1B1若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值是10、已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。（1） 求异面直线AB1与BC1所成角（2）11、如图，在三棱锥中，底面，是的中点，已知，求：（1）三棱锥的体积（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） 垂面法（异面垂直）12、如图各棱都相等的三棱锥SABC，求异面直线SC与AB所成的角（ ）A450 B 300 C 60 0 D 900线面角的求法1定义法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 1、（ 如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45, SBC=60, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。解:（1） SCSB,SCSA, 图1SC平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上的射影， SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60。（2） 连结SM,CM，则SMAB,又SCAB,AB平面SCM,面ABC面SCM过S作SHCM于H, 则SH平面ABCCH即为 SC 在面ABC内的射影。 SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin SCH=SHSCSC与平面ABC所成的角的正弦值为77（“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2、如图：已知直三棱柱ABCA1B1C1，ABAC，F为棱BB1上一点，BFFB121，BFBC2a。（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EFFC1；（II）试问：若AB2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60角，为什么？证明你的结论3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。4、如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）证明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥P-ABCD的体积. 中国教*育出#版%【答案】【解析】（）因为又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积在等腰三角形中，所以故四棱锥的体积为.5、如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。【解析】（1）（i）因为， 平面ADD1 A1，所以平面ADD1 A1.又因为平面平面ADD1 A1=，所以.所以.（ii） 因为，所以，又因为，所以，在矩形中，F是AA的中点，即.即，故.所以平面.(2) 设与交点为H，连结.由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，得，在直角中，得，所以BC与平面所成角的正弦值是.2. 利用公式sin=h其中是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。利用三棱锥的等体积，省去垂足可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法-等体积法。从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角。因为垂线段的长度实际就是点面距h！利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解。6、（ 如图2） 长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。解：设点 B 到AB1C1D的距离为h,VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1h= 13 SBB1C1AB，易得h=125 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则sin=hAB=45 图2AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 45 7、在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1EG.（）确定点G的位置；（）求直线AC1与平面EFG所成角的大小. 8、如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形， （I）证明：平面SAB； （II）求AB与平面SBC所成的角的大小。3. 利用公式cos=cos1cos2 如图所示：PA是平面的一条斜线，A为斜足，过P作平面的垂线，垂足为B，PC为平面内的一条线，若PAC=，PAB=，CAB=，探究cos,cos,cos三者的关系PABC过B作BCAC，连结PCBPAOCcos=, cos =, cos=推得：cos= cos cos变式1：探究如图所示：PA是平面的一条斜线，A为斜足，PA和BAC两边所成的角相等，探讨PA在平面的投影的位置变式2：PA是平面的一条斜线，A为斜足，PA和BAC两边所成的角相等为300，BAC=900，求PA和平面所成角的余弦值MBACS变式3：已知球的直径SC=4,A,B是该球面上两点，AB=，ASC=BSC=300,则三棱锥S-ABC的体积为（ ） 类比例题4和变式1知变式1图是例题4的两个图对在一起，很快得变式1的结论P点在的平分线上；类比变式1和变式2，运用例题4的结论，设PA和平面所成角为，得cos=coscos=;变式3综合性稍强，挖掘出SBCSAC，ASC=BSC=300，BS=AS=2，又 cos=， cos= cos cos， cos=, sin=,三棱锥S-ABC的体积=1、（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60, ，求直线OA 与 面OBC所成的角的余弦值。解：AOB=AOC OA 在面OBC 内的射影在BOC 的平分线OD上，则AOD即为OA与面OBC所成的角，可知 DOC=30 ,cosAOC=cosAODcosDOC cos60=cosAODcos30 cosAOD= 33 OA 与 面OBC所成的角的余弦值为33。 图42、如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，求斜线和平面所成角。解：，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角， 又，即斜线和平面所成角为3、如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角。解（法一）连结与交于，连结