平面解析几何中的中心对称和轴对称.doc

平面解析几何中的中心对称和轴对称龙碧霞 一、中心对称定义：把一个图形绕某个点旋转180后能与另一个图形重合。这两个图形关于这个点对称。这个点叫着对称中心。性质：关于某个点成中心对称的两个图形。对称点的连线都经过对称中心。且被对称中心平分。一般有三种情况。（1） 点关于点对称。点P（x,y）关于点M(a,b)对称的点Q的坐标是Q(2a-x,2b-y)。（由中点坐标公式很容易得到）如点（）关于（，）对称的点是（），（2） 直线关于点对称：直线l:Ax+By+C=0 关于点P（a,b）对称的直线为l的方程是：A（2a-x）+B(2b-y)+C=0 .即 Ax+By-2aA-2bB-C=0。推导过程：方法一：在直线l上任意取一点,最好是特殊点。如取M(0,-)则点M关于点P对称的点N的坐标是N（2a,2b+）.点Nl根据中心对称的定义。l/l.可设直线l的方程为Ax+By+D=0.将点N坐标代入得2aA+B(2b+）+D=0.于是 D=-2aA-2Bb-C所以 l的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0方法二：在直线l上任意取两点并求出它们关于点P（a,b）对称的点由两点式易得直线为l的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0方法三：设直线为l上任意一点为（x,y），其关于点P（a,b）对称的点M (x,y)在直线为l上求出点M的坐标后代入直线l:Ax+By+C=0即得l的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0例如：求直线l；3x+y-2=0关于点A（-4，4）对称的直线l方程。解法一：关于点A对称的两直线l与l互相平行。于是可设l的方程为：3x+y+C=0在直线l上任取一点M（0，2），其关于点A对称的点N的坐标为N（-8，6），因为N点在直线l上。所以3（-8）+6+C=0，所以 C=18，故 直线l的方程为 3x+y+18=0.解法二：在直线l；3x+y-2=0上取两点M（0，2），N（1，-1）易得它们关于点A（-4。4）对称的点分别为：M（-8。6），N（-9，9）。 由两点式得直线l的方程为： 3x+y+18=0.解法三：设直线为l上任意一点为（x,y）其关于点A（-4，4）对称的点M (-8-x,8-y)在直线为l上即 3（-8-x）+（8-y）-2=0整理得 直线l的方程为 3x+y+18=0.特别地：直线Ax+By+C=0关于原点对称的直线方程是：Ax+By-C=0（ 在上面的问题中令a=0.且b=0即得）如：直线3x+y-2=0关于原点对称的直线方程是3x+y+2=0（3）曲线关于点对称。曲线f(x,y)=0关于点P（a,b）对称的曲线方程是f（2a-x,2b-y）=0推导过程：设所求曲线上任意一点M(x,y),其关于点P（a,b）对称的点M (x,y)在曲线f(x,y)=0上用点关于点对称的方法求出点M的坐标后代入曲线f(x,y)=0中即得所求曲线方程特别地曲线f(x,y)=0关于原点（，）对称的曲线方程是f（-x,-y）=0二、轴对称。定义:把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合。这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。性质：关于某条直线对称的两个图形，对称线段平行且相等；对称线段或其延长线相交，交点一定在对称轴上；对称点的连线都被对称轴垂直平分；等等。一般也有三种情况：（1）、点关于直线对称。点P（a,b）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为（x,y）根据轴对称的性质。点P与点Q关于直线l对称，则直线l垂直平分线段PQ。即 线段PQ的斜率与直线l的斜率-之积为-1。且线段PQ的中点（，）在直线l上。因此 Q的坐标可由以下方程组求得；（-）=-1A+B+C=0推导过程：根据轴对称的性质。点P与点Q关于直线l对称，则直之积为-1。且线段PQ的中点（，）在直线l上。（2）直线关于直线对称。Ax+By+C=0关于x轴对称的直线的直线方程是：Ax-By+C=0（1） Ax+By+C=0关于y轴对称的直线的直线方程是：Ax-By-C=0（2） Ax+By+C=0关于直线y=x对称的直线的直线方程是：Bx-Ay-C=0（3） Ax+By+C=0关于直线y=-x对称的直线的直线方程是：Bx+Ay-C=0（4） 直线l ：Ax+By+C=0关于直线l: Ax+By+C=0对称的直线l的方程。的求法有两种情况；（a）、l/l时 因为l与l关于l对称，由对称的性质易知l/l，且l到l与l的距离d与d相等。可设l的方程为 Ax+By+D=0（D C），在l上任取一点如R（0，-)，则点R到l与l的距离就是l到l与l的距离。由点到直线的距离公式不难求出D= 于是l的方程为：Ax+By+=0例：求直线l：2x-y-3=0 关于l: 4x-2y+5=0对称的直线l的方程。解：由题意知l/l，l与l关于l对称，故l/l，可设l的方程为：2x-y+D=0（D -3），在直线l上任取一点（0，）。则l到l的距离d= ， l到l的距离d= 由d=d得 = 即D=8 因此 直线l的方程为：2x-y+8=0（b）、ll=P 时，有以下几种解法：（1）、由ll=P。可求出交点坐标。再找出l上任意一点（点P除外）关于l对称的点的坐标（用点关于直线对称的方法）。再根据两点式求出直线l的方程。（2）、由对称性可知l到l的角等于l到l的角，且l过l与l的交点P，由到角公式易求出l的斜率，求出交点P的坐标后。可由点斜式求得直线l的方程。（3）、用轨迹的思想求解。通常设直线l上的任意一点M（x,y），点M关于l对称的点的为N（x,y），则N l，用x和y表示出点N的坐标后。代入l的方程中即得直线l的轨迹方程。例：求直线l：2x+y-4=0,关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线l的方程。解法一：解方程组 2x+y-4=0 得l与l的交点P的坐标是（3，-2），3x+4y-1=0在直线l：3x+4y-1=0上任意取一点如M（2，0），点M关于直线l对称的点N的坐标是（），由两点式易求得直线l的方程为2x+11y+16=0.解法二:由已知易3x+4y-1=得直线l与l的斜率分别是-2、-，由对称的性质知l到l的角等于l到l的角，令直线l的斜率为k，由到角公式得= 解得k=- 由解法一知l与l的交点P的坐标是（3，-2），由点斜式 易求得直线l的方程为2x+11y+16=0.解法三：在直线l上任取一点P（x,y）.其关于直线l对称的点P（x,y），由对称的性质知直线l垂直平分线段PP，且点P在直线l上。即线段PP的中点（，）在直线l上，且直线PP的斜率与直线l的斜率-之积为-1。通过解方程组（-）=-13+4-1=0得x= y=-将P（x,y）的坐标代入直线l：2x+y-4=0中即得直线l的方程为2x+11y+16=0.（3） 曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线的方程是:f(x-,y-)=0推导过程:设所求曲线上任意一点M(x,y),则M关于直线Ax+By+C=0对称的点M (x,y).在曲线f(x,y