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如何计算三条共顶点射线所构成二面角的大小清远市第一中学郭智君三条共顶点的射线，它们之间可以构成二面角。如图（1），射线、可 构成的二面角有：二面角、二面角、二面角，这些二面角的大小的计算也是值得研究的。我就以已知三条射线之间的夹角来研究它们所构成二面角的大小。设共顶点的三条射线、之间的夹角分别为，我们不妨研究二面角的余弦值。在研究过程中，我发现对三个角、进行分情况讨论来研究要方便得多，现把研究结果整理如下：情况一：、均为锐角，。如图（2），不妨在射线上任取一点（点除外），作交于点，再作交于点，则为二面角的平面角。设。不妨设，则，在中，即在中，即所以=化简，得所以二面角的余弦值为情况二：、均为钝角，。如图（3），在射线的反向延长线上取一点，作交于点，再作交于点，则为二面角的平面角。设。不妨设，则，在中，即在中，即所以=化简，得由此可知，二面角的余弦值同样为情况三：、中一个为锐角，另一个为钝角，不妨设为锐角，为钝角， 。如图（4），在射线上任取一点（点除外），作交于点，再作交的反向延长线于点，则为二面角的平面角的补角，则。不妨设，则，在中，即在中，即所以=化简，得此时，二面角的余弦值同样为情况四：、中有一个为直角时，不妨设，。当时，显然二面角的大小为，二面角的余弦值显然满足。当时，下面以为例说明求二面角的余弦值的方法。如图（5），以射线为轴，以射线为轴，建立空间直角坐标系，并且以、为棱，以为对角线长构造出长方体。设，则，此时二面角的大小为向量与向量的夹角，设其大小为。则有，。又因为在长方体中，所以所以不妨取，则所以二面角的余弦值为当时，可类似在空间直角坐标系中构造一个以为对角线的长方体，用空间向量的坐标运算方法计算出二面角的余弦值同样为。综述，二面角的余弦值满足。情况五：当时，显然
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