“数的整除”易错题集锦.doc

“数的整除”易错题集锦一.填空(1)100以内14的倍数有( ),21的倍数有( )它们的公倍数有( ),14和21的最小公倍数是( ).(2)8和9的最大公约数是( ),最小公倍数是( ).(3)18和54的最大公约数是( ),最小公倍数是( ).(4)三个质数的最小公倍数是105,这三个数是( ),( ),( ).(5)自然数a和b,若ab=4,那么a与b的最小公倍数是( ).(6)A=2335;B=223511,那么A与B的最小公倍数是( ).(7)如果a,b两数是互质数,那么它们的最大公约数是( ),最小公倍数是( ).(8)如果甲数能被乙数整除,甲,乙两数的最大公约数是( ).(9)2和5的公倍数特点是( ),2和5的最小公倍数是( ).(10)11和15的最大公约数是( ).最小公倍数是( ).(11)48和16的最大公约数是( ),最小公倍数是( ).(12)3,7和10的最大公约数是( ),最小公倍数是( ).(13)7,21和42的最大公约数是( ),最小公倍数是( ).二.判断下面各题.正确的在( )里画,错误的在( )里画.(1)如果两个数互质,那么它们没有公约数和最大公约数( ).(2)两个不同的质数一定是互质数.( )(3)两个合数一定不是互质数.( )(4)互质的两个数一定都是质数.( )(5)互质的两个数的乘积是它们的最小公倍数.( )(6)两个自然数的积,一定是这两个数的公倍数.( )(7)两个数的公约数一定比这两个数都小.( )(8)两个数的积,一定是这两个数的最小公倍数.( )三.选择.将正确答案的题号写在括号内(1)自然数a除以自然数b,商是5,那么a和b的最小公倍数是( ).a b 5b(1)若a,b,c都是自然数,ab=c,那么( ).a是b和c的最大公约数.a是b和c的最小公倍数.b是c和a的最大公约数.a是a,b,c的最小公倍数.b和c都是a的约数.b是a和b的最大公约数.四.实际应用1.从四月一日开始,小明的妈妈每4天休息一天,他的爸爸每6天休息一天,等爸爸妈妈全休息时,全家一起去公园玩,那么最早要到几日小明全家才能一起去玩 分析:小明爸爸和妈妈全都休息的时间既是4的倍数,也是6的倍数,也就是4和6的公倍数.题目中要求最早全家到公园去玩,因此爸爸,妈妈的共同休息日应该是4和6的最小公倍数.解:4, 6=12答:最早要到4月12日小明全家才能到公园玩.2.人民公园是1路,3路,8路汽车的起点站.1路汽车每3分钟发一辆车,3路汽车每5分钟发一辆车,8路汽车每6分钟发一辆车.1,3,8路汽车在8时55分同时各出发一辆汽车后,求下一次这三路汽车又在同一时刻发车是几时几分.分析:解答此题的关键,是要先求出这三路汽车从8时55分同时各发出一辆汽车后,到下一次又在同一时刻发车,经过多少时间,显然,经过的时间应该是3,5,6的最小公倍数.解:3,5,6=30 8时55分+30分=9时25分答:下一次这三路汽车又在同一时刻发车的时间是9时25分.3.一种长方形的木板条,长64厘米,宽40厘米,用这样的木板条拼成一个正方形,至少需长方形木板多少板 分析:解答此题的关键是要先求出正方形木板的边长.由于长方形木条不能横截或竖截,所以正方形的边长应是长方形木条的长(64)和宽(40) 的公倍数,以它们公倍数做边长,就能保证拼成的是正方形.而题目问至少需要长方形木条多少块,要满足这个条件,就要使拼成的正方形的边长尽可能的小,从而可知,拼成的正方形木板的边长应是长方形木板条的长和宽的最小公倍数.解:64,40=22285=320(32064)(32040)=58=40(块)或320320(6440)=1024002560=40(块)答:至少需要长方形木块40块.4.一次野营会餐时,每两人合用一只饭碗,三人合用一只菜碗,四人合用1只汤碗会餐时共用了65只碗.问参加会餐的一共有多少人 分析:参加会参的人,一定是2的倍数,也是3的倍数,同时也是4的倍数,那么参加会参的一定是能同时被2,3,4的整除,也就是参加会餐的人是2,3,4的公倍数.而2,3,4的最小公倍数是12.参加会餐的人是12的倍数.122=6(只)饭碗123=4(只)菜碗124=3(只)汤碗12个人共用了6只饭碗,4只菜碗,3只汤碗,即12人共用6+4+3=13(只)饭.由于会餐时共用了65只碗,是13只饭碗的5倍,因此参加会餐的人也一定是12的5倍.解:2,3,4=12122=6(只)123=4(只)124=3(只)65(6+4+3)=6513=5125=60( 人)答:参加会餐的有60人.5.加工一种机器零件经过四道工序,第一道工序,平均每人每小时加工16个;第二道工序平均每人每小时加工12个;第三道工序,平均每人每小时加工20个;第四道工序,平均每人每小时加工15个.每道工序至少要安排多少人才算合理 分析:题目问题的意思是,费时的工序安排的人要多,省时的工序安排的人要少.使每道工序既不出现有人无活干的现象,也不出现有活无人干的现象.最合理人员分配方案是,每道工序在交给下一道工序零件时,正好接受上一道工序送来的零件.因此,每一道工序加工零件总数,应是每道工序平均每人每小时加工零件个数的公倍数.题目问每道工序至少安排多少人才最合理.那么每一道工序加工的零件总数,应是每一道工序平均每人每小时加工零件个数的最小公倍数.解:16,12,20,15=22354=240第一道工序应安排:24016=15(人)第二道工序应安排:24012=20(人)第三道工序应安排:24020=12(人)第四道工序应安排:24015=16(人)答:第一道,第二道,第三道,第四道工序分别安排15人,20人,12人,16人.6.有甲,乙两数,它们的最大公约数是6,最小公倍数是72,求甲,乙二数.解法一:72=22233=22(23)3=46346=2463=18答:甲,乙二数分别是24和18.解法二:726=1212=223因为2与6(23=6)不是互质数,所以只有4(22=4)与3才是互质数.64=2463=18答:甲,乙二数分别是24和18.评析:解法一把甲,乙二数的最小公倍数分解质因数,从这个质因数连乘式中找出它们的最大公约数,再组成一个连乘式.这个连乘式中除去有它们的最大公约数外,必须有两个互质数.用这个两个互质数分别乘以它们的最大公约数,就可以求出这两个数.解法二用甲,乙二数的最小公倍数除以它们的最大公约数,所得的商必是甲,乙二数取出最大公约数后,所剩下的两个互质数的积.因此,把所求得的商再分解质因数,并搭配成两个互质数,最后用这个互质数分别乘以它们的最大公约数,就可以求出这两个数了.7.父亲和儿子年龄的最大公约数是6,最小公倍数是462,求父亲和儿子的年龄.解: 4626=27722772=2233711=(23)(23)711237=422311=66答:父亲66岁,儿子42岁.评析:解答这个问题,需要先掌握一个定理:两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积,等于这两个数的乘积.根据这个定理,可知父亲和儿子的年龄的乘积是:4626=2772把2772分解质因数:2772=2233711已知父亲和儿子年龄的最大公约数是6,6是由质因数2和3相乘得到的.这就是说,父亲的年龄与儿子年龄既有公约2,又有公约数3,这就是他们年龄的乘积中有两个质因数2和两个质因数3的道理.由此可知,父亲年龄的质因数分解式中,应有质因数2,3和11,儿子年龄的质因数分解式中,应有质因数2,3,7.2311=66,237=42.经验算,66和42的最大公约数是6,最小公倍数是462,符合题意.于是可知,父亲年龄是66岁.儿子年龄是42岁.8.有甲,乙,丙三个人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果三人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟以后,三个人第一次相遇 解:300(120-100)=30020=15(分钟)300(120-70)=30050=6(分钟)300(100-70)=30030=10(分钟)15,6,10=253=30答:30分钟以后,三个人第一次相遇.评析:解答这个题目首先要了解一个事实:当甲第一次追上乙时,则甲比乙正好多行一圈(300米).同样的,当甲第一次追上丙或乙第一次追上丙时,也是正好比丙多行一圈.由已知条件可知,甲每分钟比乙多行20米,几分钟甲比乙多行了300米呢 从而可知,甲第一次追上乙要用15分钟.同理,甲第一次追上丙要用6分钟,乙第一次追上丙要用10分钟.要求甲,乙,丙三人多少分钟第一次在跑道上相遇,就是求15,6,10的最小公倍数.9.动物园的饲养员给三群猴子分花生.若只分给第一群,则每只猴子可得12粒;若只分给第二群,则每只猴可得15粒;若只分给第三群,则每只猴子可得20粒.那么平均分给三群猴子,每只可得几粒 解:12,15,20=2235=60设共有几粒花生,n是60的m倍,(m为整数)则有n=60m第一群猴子的只数是:60m12=5m;第二群猴子的只数是:60m15=4m;第三群猴子的只数是:60m20=3m三群猴子的总只数是:5m+4m+3m=12m60m12m=5(粒)答:平均分给三群猴子,每只可得5粒.评析:解题时有些同学束手无策,原因是花生总数及猴子总数的不确定性.解决这个难点的办法,可以用字母表示数.设共有花生几粒,由题意可知,花生的总数n应是12,15和20的公倍数.三个数的公倍数必定是它们最小公倍数的倍数.12,15,20的最小公倍数是60.因此花生粒数n应是60的倍数.设n是60的m倍.知道花生的总粒数,又知道每只猴子分别的粒数,就可以求出三群猴子每群有多少只,再求三群猴子的总只数.用花生的总粒数除以猴子的总只数就是问题所求.在整个过程中,充分利用字母表示数.恰当地运用字母表示数,不但会给解题带来方便,而且对今后的学习也是很有好处.10学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？11老虎和豹进行跳远比赛;老虎每次跳 米,豹每次跳 米,它们每秒只跳一次.比赛途中,从起点开始,每隔 米设有一个陷阱.它们之中谁先掉进陷阱 一个掉进陷阱时另一个跳了多远？ 12已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公倍约数的差为114,求这两个自然数.（这两个自然数为24和30.）13有甲,乙,丙三种溶液,分别重36 千克,48千克和24 千克.现要将它们全部分别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同.问:每瓶最多装多少千克？ 14甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛,学校用汽车把学生送往考场.甲校用的汽车,每车坐15人,乙校用的汽车,每车坐13人,结甲校比乙校少派一辆汽车.后来每校各增加一个人参加竞赛,这样两校需要的汽车就一样多了.最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛,乙校又要比甲校多派一辆汽车.问最后两校共有多少人参加竞赛 ？（最后甲乙两校共有184人参加竞赛.）15大雪后的一天,小飞和爷爷一起测量一个圆形花圃的周长,他俩的起点和走的方向完全相同,小飞每步长48厘米,爷爷每步长72厘米,由於两人脚印有重合,所以各走完一圈后雪地下只留下40个脚印,求花圃的周长 ？（花圃的周长为1440厘米）16甲数有9个约数,乙数有10个约数,甲,乙两数的最小公倍数是2800,求甲,乙两数各是多少 ？（甲数是100,乙数是112.）17一对啮合齿轮,一个有132个齿,一个有48个齿,其中啮合的任意一对齿从第一次相接到再次相接,两个齿轮各要转动多少圈 ？（大齿轮要转4圈,小齿轮转11圈）18有两个油桶,一个容量为27升,另