北方数学奥林匹克.pdf

北方数学奥林匹克 目录目录 2005 年北方数学奥林匹克 2 2006 年北方数学奥林匹克 4 2007 年北方数学奥林匹克 6 2008 年北方数学奥林匹克 7 2009 年北方数学奥林匹克 10 2010 年北方数学奥林匹克 13 2011 年北方数学奥林匹克 15 2012 年北方数学奥林匹克 17 北方数学奥林匹克 20052005 年年北方数学奥林匹克北方数学奥林匹克 1 AB 是 O 的一条弦 它的中点为 M 过点 M 作一条非直径的弦 CD 过点 C 和 D 作 O 的两条切线 分别与直线 AB 相交于 P Q 两点 求证 PA QB 裘宗沪 供题 2 定义在 R 上的函数 满足 1 0 0 2 对任意 1 1 都有 1 1 1 3 当 1 0 时 都有 0 求证 1 19 1 29 1 2 7 11 1 2 其中 刘贵 谭祖春 供题 3 在公差为 0 的整数等差数列 1 2 3 2 中 任取 n 2 个数 证明 其中必存在两个数 满足不等式 1 2 刘康宁 安振平 供题 4 已知 n 位数的各位数字只能取集合 1 2 3 4 5 中的元素 设含有数 字5 且在 5 的前面不含 3 的 n 位数的个数为 求 蒋西明 供题 5 如果三个正实数 x y z 满足 2 2 25 4 2 2 36 2 2 169 4 求 的值 张同君 供题 北方数学奥林匹克 6 设0 2 2 2 2 1 求证 2 1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 1 2 1 2 谭祖春 供题 北方数学奥林匹克 20062006 年年北方数学奥林匹克北方数学奥林匹克 1 如图 1 AB 为 O 的直径 非直径的弦 E 是 OC 的中 点 连结 AE 并延长交 O 于点 P 连结 DP 交 BC 于点 F 求证 F 是 BC 的中点 图 1 2 设 p 是大于 2 的质数 数列 满足 1 1 2 4 求 证 当 1 5时 16 81 3 已知AD是 ABC的边BC上的高 且 求 的 取值范围 4 设函数 2 若存在实数 m 使得 1 4 且 1 1 4 求 2 4 的最大值和最小值 5 已知正数 a b c 满足 3 求证 2 9 2 2 2 2 9 2 2 2 2 9 2 2 2 5 6 组委会说明试题有误 7 是否可以将正整数1 2 64分别填入8 8的 64 个方格 使得凡 具备 形的四个方格 方向课以任意转置 内的数之和都能被 5 整除 8 已知数列 满足 1 1 2006 2 0 1 2 求证 F P E D C A O B 北方数学奥林匹克 1 1 2008 2006 1 E F 分别是 AB AC 延长线上的点 且满足 90 1 求证 2 设 的平分线与 EF 交于点 P 求证 CP 平分 图 1 刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题 3 已知有 26 个互不相等的正整数 其中任意六个数中都至少有两个 数 一个数整除另一个数 证明 一定存在六个数 其中一个数能被 另外五个数整除 张同君 供题 4 船长和三位水手共得到 2009 枚面值相同的金币 四人商定按照如 下规则对金币进行分配 水手 1 水手 2 水手 3 每人写下一个正整 P F E A B C 北方数学奥林匹克 数分别为 1 2 3 满足 1 2 3 且 1 2 3 2009 船 长在不知道水手写的数的情况下 将 2009 枚金币分成 3 堆 各堆数 量分别为 1 2 3 且 1 2 3 对于水手 1 2 3 当 0 且 2 2 2 3 求证 2009 2008 1 1 2 杨海滨 贾应红 供题 7 记 为不超过实数 m 的最大整数 设 x y 均为正实数 且对所有 的正整数 n 都有 1成立 证明 xy 1 且 y 是大于 1 的无 Q O B C A P 北方数学奥林匹克 理数 刘康宁 供题 8 求能被 209 整除且各位数字之和等于 209 的最小正整数 张 雷 供题 北方数学奥林匹克 20102010 年年北方北方数学数学奥林匹克奥林匹克 1 已知数列 满足 1 2 22 1 2 2 2 3 求 通项 1 2 吴树勋 供题 2 已知 PA PB 是 O 的切线 切点分别是 A B PCD 是 O 的 一条割线 过点 C 作 PA 的平行线 分别交弦 AB AD 于点 E F 求证 李新焕 供题 3 求所有的正整数 使得1 2 3 5 成立 张 雷 供题 4 在7 7的方格表的 64 个网格线交点 称为 结点 处放棋子 每点至多放 1 枚 一共放了 k 枚棋子 若无论怎样放 总存在 4 枚棋 子 它们所在的结点构成一个矩形 矩形的边平行于棋盘网格线 的四个顶点 试求 k 的最小值 张利民 供题 5 设正实数 a b c 满足 2 2 9 求证 2 2 2 2 3 3 2 3 3 张 雷 供题 6 已知 O 是 ABC 的内切圆 D E N 是切点 连结 NO 并延长 交 DE 于点 K 连结 AK 并延长交 BC 于点 M 求证 M 是 BD 的中点 康春波 供题 北方数学奥林匹克 7 求 满足 1的 所以正整数解 其中 和 分别表示正整数 m n 的最小 公倍数和最大公约数 王 全 供题 8 设 0 1 且 1 2 1 2 1 2 试求 的最小值和最大值 刘康宁 安振平 供题 北方数学奥林匹克 20112011 年年北方数学奥林匹克北方数学奥林匹克 1 已知数列 的通项 3 2 2 设 1 1 试求 2 1 之间的递推关系 2 求 2011整数部分的个位数字 刘洪柱 供题 2 如图 1 ABC 的内切圆分别切 BC CA AB 于点 D E F P 为内切圆内一点 线段 PA PB PC 分别于内切圆交于点 X Y Z 证明 XD YE ZF 三线共点 图 1 徐庆金 供题 3 求不定方程1 2 7 2的全部正整数解 翁世有 供题 4 设 n 个集合 1 2 是集合 1 2 29 的一个分划 且 1 2 中任意个元素之和都不等于 30 求 n 的最小可能值 注 若 集 合 A 的 非 空 子 集 1 2 2 满 足 1 2 则称 1 2 是集合 A 的一个分划 张 雷 供题 Z Y X D E F I A BC 北方数学奥林匹克 5 若正整数 a b c 满足 2 2 2 则称 为勾股数组 求含 有 30 的所有勾股数组 杨春宏 供题 6 如图 2 过点 P 引的切线 PA 和割线 PBC 垂足为 D 证明 AC 是 ABD 外接圆的切线 图 2 吕建恒 供题 7 在 ABC 中 证明 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 安振平 供题 8 已知 n 是正整数 实数 x 满足 1 2 1 求 x 的值 张利民 供题 D B A O P C 北方数学奥林匹克 20122012 年年北方数学奥林匹克北方数学奥林匹克 1 如图 1 在 ABC 中 90 I 是内心 直线 BI 交 AC 于 D 作 DE 平行于 AI 交 BC 于 E 直线 EI 交 AB 于 F 证明 DF 垂直于 AI 图 1 2 正整数 1 2 满足 1 2 2 2 2 111 求 1 2 的最大可能值 3 设 2 2 求证 1 若 3 则 3 2 若 则 4 平面上有 4 条直线 对于直线 a b 在余下的 n 2 条直线 中 如果至少存在两条直线与直线 a b 都相交 则称直线 a b 是相 合的直线对 否则称其是相离的直线对 若 n 条直线中相合直线对的 个数比相离直线对的个数多 2012 求 n 的最小可能值 直线对中的两 条直线不计顺序 5 已知数列 0 0 1 1 2 在数列 中任意取 定一项 构造数列 0 2 1 1