第10章2静电场的基本规律.ppt

1 第十章 静电场的基本规律 2 高斯定理 静电场的有源性 3 高斯 CarlFriedrichGauss1777 1855 德国数学家和物理学家 1777年4月30日生于德国布伦瑞克 幼时家境贫困 聪敏异常 受一贵族资助才进学校受教育 1795 1799年在哥廷根大学学习 1799年获博士学位 1833年和物理学家W E 韦伯共同建立地磁观测台 组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网 1855年2月23日在哥廷根逝世 高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学 天文学和大地测量学等领域的研究 著述丰富 成就甚多 他一生中共发表323篇 种 著作 提出404项科学创见 发表178项 在各领域的主要成就有 4 1 物理学和地磁学中 关于静电学 温差电和摩擦电的研究 利用绝对单位 长度 质量和时间 法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究 2 利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像 建立高斯光学 3 天文学和大地测量学中 如小行星轨道的计算 地球大小和形状的理论研究等 4 结合试验数据的测算 发展了概率统计理论和误差理论 发明了最小二乘法 引入高斯误差曲线 此外 在纯数学方面 对数论 代数 几何学的若干基本定理作出严格证明 在CGS电磁系单位制 emu 中磁感应强度的单位定为高斯 1932年以前曾经用高斯作为磁场强度单位 便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献 5 为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线 1 规定 方向 电力线上某点的切线方向为该点的场强方向 大小 通过电场中某点垂直于场强的单位面积的电力线根数等于该点电场强度的大小 1 电力线 电力线稀疏的地方场强小 电力线密集的地方场强大 用矢量一点一点表示场强的缺点 1 只能表示有限个点场强 2 场中箭头零乱 6 2 电力线形状 一对等量异号电荷的电力线 一对异号不等量点电荷的电力线 一对等量正点电荷的电力线 带电平行板电容器的电场 7 3 电力线的性质 1 电力线始于正电荷 或 远 终止于负电荷 或 远 非闭合 2 在没有电荷处同一电场两条电力线不能相交 3 电力线密处场强大 电力线疏处场强小 4 沿电力线方向为电势降低的方向 4 电力线作用 说明场强的方向 说明电场的强弱 说明电场的整体分布 8 1 穿过面元dS电通量 2 电通量 定义 通过任一曲面的电力线的条数称为通过这一面元的电通量 面元在垂直于场强方向的投影是 所以通过它的电通量等于面元的电通量 定义 面元矢量 大小等于面元的面积 方向取其法线方向 电通量 为面元法线方向单位矢量 9 2 穿过任意曲面的电通量 3 穿过闭合曲面的电通量 规定 取闭合面外法线方向为正向 电力线穿出闭合面为正通量 电力线穿入闭合面为负通量 dS有两个法线方向 d 可正可负 10 3 高斯定理 真空中穿过静电场任一闭合曲面的电通量 等于包围在该面内的所有电荷的代数和除以 0 与面外电荷无关 高斯定理可用库仑定律和叠加原理证明 1 定理表述 2 定理证明 11 先证明点电荷情况 穿过球面的电通量 左边 球面上各点E大小相等 又因为 右边 左边 右边 面内电荷对通量的贡献 1 点电荷位于半径为R的闭合球面中心 12 1 当曲面是任意形状时 通过球面的电力线也必然通过曲面 即高斯面不是球面时高斯定理也成立 2 当高斯面内包含的点电荷不止一个时 利用场强的叠加原理 推广 任意闭合曲面内无论有几个点电荷都成立 13 左边 右边 由于闭合面内无电荷 电力线不会在闭合面内断开 穿入与穿出的电力线根数相同 正负通量抵消 左边 右边 面外电荷对电通量无贡献 2 点电荷位于闭合面外 14 由场叠加原理 高斯面上的场强为 面内电荷 面外电荷 是指面内电荷代数和 3 点电荷系 设有1 2 k个电荷在闭合面内 k 1 k 2 n个电荷在闭合面外 左边 右边 左边 右边 证毕 15 连续带电体 16 1 高斯面为闭合面 2 式中的电场强度是高斯面上某点的场强 是由空间所有电荷产生的 与面内面外电荷都有关 3 电通量 则只与面内电荷有关 与面外电荷无关 4 0 不一定面内无电荷 可能是面内电荷等量异号 5 0 不一定高斯面上各点的场强为0 可能是场强沿着切线方向 6 高斯定理反映了静电场是有源场这一基本性质 3 明确几点 17 利用高斯定理求场强的关健 选取合适的高斯面 利用高斯定理求场强要求电荷的分布具有一定的对称性 库仑定律适用静电场 高斯定理适用静电场和变化电场 1 电场具有高度对称性 高斯面经过所研究的场点 2 高斯面应选取规则形状 如球对称场取球面 轴对称场取柱面 3 高斯面上各点的场强可以选择为 4 选取高斯面原则 1 大小相等 方向与高斯面法线方向一致 于是有 2 高斯面上某部分各点场强方向与高斯面法线方向垂直 18 例一带电量为q的点电荷位于边长为a的正方形中心轴上且与正方形中心的距离为a 2 求通过此正方形平面的电通量 19 例1 半径R 带电量为q的均匀带电球体 计算球体内 外的电场强度 1 球体外部r R 作半径为r的球面 面内电荷代数和为 球面上各点的场强E大小相等 方向与法线同向 解 场源的对称性决定着场强分布的对称性 它具有与场源同心的球对称性 故选同心球面为高斯面 场强方向沿着径向 且在球面上的场强处处相等 20 2 球体内部r R 作半径为r的球面 面内电荷代数和为 与电荷q全部集中在中心的场的分布相同 r R 21 结论 球体内 E r 球体外 E q集中在球心的点电荷的电场 推论 均匀带电球面的电场 结论 球面内 E 0 球面外 E q集中在球心的点电荷的电场 22 例2 无限长带电直线 线电荷密度为 计算电场强度E 解 作半径为r高为h的闭合圆柱面 侧面上各点的场强E大小相等 方向与法线相同 23 例3 无限大带电平面 面电荷密度为 求平面附近某点的电场强度 解 如图所示作闭合圆柱面为高斯面 24 例4 两无限大带电平面 平行板电容器 面电荷密度分别为 和 求 电容器内 外的电场强度 解 该系统不具有简单的对称性 不能直接应用高斯定律 然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出 然后再用叠加原理求两个带电平面产生的总场强 需注意方向 直流电路中的平行板电容器间的场强 就是这种情况 由图可知 在A区和B区场强均为零 C区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板 场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍 25 例5 求无限长均匀带电圆柱面的电场 解 1 分析对称性 E垂直带电圆柱面 2 取高斯面 柱面 3 计算通量 场强 推广 无限长均匀带电直导线周围的电场 思考 无限长带电柱体周围的电场分布 E r r图线 结论 柱体内 E r 柱体外 E 集中在轴线的无限长均匀带电直导线的电场 26 注意 有限长带电柱面 柱体不能用高斯定理求场强 非均匀带电柱面不能用高斯定理求场强 27 环路定理 静电场的保守性 28 1 在点电荷的场中场力做功 在点电荷q产生的电场中将检验电荷q0从a点沿任意的路径移动到b点 电场力作功为 由于 由图中可见 dlcos dr 1 电场力的功 29 2 对于点电荷系产生的电场 试验电荷受库仑力做功 这时将试验电荷沿任意路径从a点移到b点电场力做功为 电场力的功只与q0始末位置有关 而与q0所经过的路径无关 结论 电场力为保守力 静电场为保守场 30 2 静电场的环路定理 在静电场中 场强沿任意闭合路径的线积分等于零 这称静电场的环路定理或环流定理 证明 将电荷q0沿任意的闭合路径绕行一周电场力作功 证毕 31 3 由环路定理可证明电场的一重要性质 电力线为非闭合曲线 反证法 假设电力线为闭合曲线 沿电力线移动单位正电荷一周 作功 与环路定理矛盾 电力线为非闭合曲线 2 静电场力是保守力 静电场是有源无旋场或有源保守场 3 环路定理的物理意义 1 环流为零说明将单位正电荷沿任意的闭合路径绕行一周电场力所作的功为0 运动电荷的场不是保守场 而是非保守场 将在磁场部分讨论 32 由于电场力是保守力 可引入势能的概念 1 电势能 静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度 静电场中 检验电荷q0从a点沿任意路径移动到b点 电场力作功Aab 电荷q0在静电场中从a点沿任意路径移动到b点时 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Wa Wb的关系为 式中 Epa Epb是电荷q0分别在a点和b点时 q0与电场所组成的系统的静电势能 33 电势能是一个相对量 必须选择势能零点作为参考 令 即选定b点为电势能零点 电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为 意义 电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功 对有限带电体 通常规定无穷远处为电势能零点 即 无限带电体不能取无穷远处为电势能零点 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所共有 注意 电势能是标量 可正可负 34 2 电势U 将上式同时除以q0 令b点为电势能零点 引入电势定义为 单位 伏特 V 注意 1 电势的大小等于将单位正电荷从r移到0势能点时电场力所作的功 2 电势是标量 有正负无方向 3 电势的计算与电势零点的选取有关 4 电势的计算与试验电荷q0无关 是描述静电场的另一种方法 电势能则与试验电荷q0有关 35 5 正电荷的场中各点电势为正 负电荷的场中各点电势为负 6 电势满足叠加原理 点电荷系在空间某点的电势为各点电荷在该点产生电势的代数之和 36 3 电势差Uab 电势差Uab大小等于将单位正电荷从a点移动到b点时电场力所作的功 电场力的功等于电势差与检验电荷电量的乘积 空间任意两点间的电势之差称 也称电压 注意 1 电势差具有绝对意义 与电势零点的选择无关 2 对于无限分布的带电体 不能取无穷远点为电势的0点 这时只有电势差有意义 3 实际工作中常以仪器设备的外壳 大地作为电势零点 这时内部的电压就是相对外壳或大地的电压 37 当已知电势分布时 可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功 强调 例 用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产生的电场中的电势分布 负点电荷周围的场电势为离负电荷越远 电势越高 正点电荷周围的场电势为离正电荷越远 电势越低 解 38 4 电势迭加原理 由场强叠加原理和电势的定义 可得电势叠加原理 表达式 1 电势是标量 迭加的结果是求代数和 2 要求各个点电荷的零电势点必须相同 强调 39 2 场源为点电荷时的电势分布 3 场源为点电荷系时的电势分布 5 电势的计算 1 由电势定义 40 4 场源为任意带电体时的电势分布 方法一 用电势叠加法计算 方法二 用电势定义法计算 已知场强分布时用该法更简单 注意电荷元的选取 5 场强的线积分法 具有高度对称性的场 由 注意分区积分 41 例1 在正方形四个顶点上各放置 q q q q四个电荷 求正方形中心o点的电势U 解 由 第一类问题 点电荷系电势的计算 42 例1 在正方形四个顶点上各放置带电量为 q的四个电荷 各顶点到正方形中心O的距离为r 求 1 O点的电势 2 把检验电荷q0从无穷远处移到O点时电场力所作的功 3 电势能的改变 解 1 根据电势迭加原理 2 根据电势差的定义 3 根据 第一类问题 点电荷系电势的计算 即O点的电势能更高 43 例2 均匀带电圆环 半径为R 带电为q 求圆环轴线上一点的电势U 解1 将圆环分割成无限多个电荷元 环上各点到轴线等距 第二类问题 积分法 连续带电体 如果圆环带电不均匀 该点电势又为多少 解2 已知细环轴线上一点P的场强 如果圆环不均匀带电 本解过程是否正确 44 例3 均匀带电圆盘 半径为R 带电为q 求圆盘轴线上一点的电势U 解 将圆盘分割成无限多个同心圆环 电荷面密度 由上题结论 45 法二 讨论 当x R时 级数展开 带电体距场点很远时 可视为点电荷 当x R时 能否从本题结果讨论 46 对于无限大均匀带电平板 已知其场强 如图建立坐标系 则有 47 例4 求均匀带电球体 R q已知 均匀 的电势分布 解 思考 均匀带电球面 情况如何 48 例5 均匀带电球壳半径为R 电量为q 求 球壳内 外的电势分布 高斯面 解 球壳内 外的场强 作高斯球面 第三类问题 场强线积分法 具有高度对称的场 I区 球面内 II区 球面外 49 I区 球壳内电势 选无穷远为电势0点 II区 球壳外电势 选无穷远为电势0点 50 51 无限带电体电势0点不宜选无穷远 例6 无限长带电直线线电荷密度为 求电势分布 解 无限长带电直线的场强 选无穷远为电势0点 电势0点不宜选无穷远点 也不宜选在导体上 52 选Q点为电势0点 P点在Q点左侧 P点在Q点右侧 电势0点位置不同 Up也不同 反映了电势的相对性 当电荷分布扩展到无穷远时 电势零点不能再选在无穷远处 53 例7 一半径R的无限长均匀带电圆柱面 电荷线密度为 以圆柱面为电势零点 求空间任一点r的电势分布U r 解 圆柱面内任一点 r R 圆柱面外任一点 r R R 1m时 54 例8 真空中一均匀带电细直杆 长度为2a 总电量为 Q 沿ox轴固定放置 如图 一运动粒子质量为m 带有电量 q 在经过x轴上的C点时 速率为v 试求 1 粒子在经过x轴上的C点时 它与带电杆之间的相互作用电势能 设无穷远处为电势零点 2 粒子在电场力作用下运动到无穷远处的速率v 设v 远小于光速 解 1 在杆上取线元dx 其上电量 55 带电粒子在C点时 它与带电杆相互作用电势能为 2 带电粒子从C点起运动到无限远处时 电场力作功 电势能减少 粒子动能增加 联解两式得粒子在无限远处的速率 56 三 等势面电势梯度 57 1 等势面 场强和电势的积分关系式 等势面 将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫做等势面 即的空间曲面称为等势面 等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线 规定 画等势面时 相邻两个等势面的电势差为常数 引 等势面与电场线的关系 等势面与电场线处处正交 电场线指向电势降低的方向 等势面和电场线密集处场强量值大 稀疏处场强量值小 58 等势面 等值同号的点电荷 59 等势面 平行板电容器 点电荷的电场 60 等势面的性质 证明 1 在静电场中 沿等势面移动电荷时 静电场力对此电荷不作功 2 除电场强度为零处外 电力线与等势面垂直 证明 3 由于规定了两个相邻等势面的电势差相等 所以等势面较密集的地方 场强较大 等势面较稀疏的地方 场强较小 因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点 电场力做功为零 而路径不为零 61 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功 电势能减少 4 电力线的方向指向电势降低的方向 证明 假设电荷q0由2移到1 的方向为电势降低的方向 2 电势梯度 取两个相邻近的等势面1和2 电势分别为U和U dU 且dU 0 规定 等势面的法线正方向为指向电势升高的法线方向 62 定义电势梯度矢量 大小 方向 写成矢量式 算符 电势梯度是一个矢量 方向沿电力线的切向并指向电势升高的方向 如果过P1沿方向的电势增加率为 与的夹角为 沿着等势面的正法线方向 有 63 3 场强与电势的微分关系 根据场强与电势的积分关系 有 即 电场强度的方向与电势梯度矢量的方向相反 即与反向 写成矢量式 电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量的负值 场强与电势的微分关系 在直角坐标系中 64 在任意方向上 场强的分量为 注意几点 1 表示电场强度的方向为电势降低的方向 2 沿等势面法线方向场强最大 3 等势面密处 场强大 电力线也密 等势面疏处 场强小 电力线也疏 65 4 场强反映场点处的电势的 变化率