空间向量夹角的应用.doc

空间向量夹角的应用教案设计第二册（下 ）“空间向量的坐标运算”第二课时A1zC1D1F1B1 E1BDBCyAx南 昌 二 中数 学 组 邹 亭 亭空间向量夹角的应用教案设计 第二册（下B）“空间向量的坐标运算”第二课时一、教材分析 1、教材的地位与作用本节课是在已完成了“平面向量的数量积公式、夹角公式，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积”等内容的教学以后进行的，是空间向量的坐标运算的第2课时，是空间向量在立体几何中的简单应用。按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、演绎推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量法处理立体几何问题，实现了几何问题代数化，把对空间图形的研究从“定性推理”转化为“定量计算”，即将复杂的几何论证转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度，学生易于操作，容易接受。2、教学目标（1）知识目标：使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；提高学生选择恰当的方法求两条异面直线夹角的技能；（2）能力目标：在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力；通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系；通过空间向量的坐标表示法的学习，使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力。（3）情感目标：通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的求知欲，充分体现学生的主体地位；通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，提高学生学习数学的兴趣。3、教学重点、难点、关键重点：空间向量夹角公式及其坐标表示法；选择恰当的方法求两条异面直线的夹角。难点：两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的联系与区别；恰当的构建空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标。关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标，将几何问题转化为代数问题。二、教法分析1、诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 2、分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，培养学生的互相合作精神。 3、讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。三、学法分析自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。 建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思、参与学习，认识和理解数学知识、 学会学习，发展能力。 四、教学手段借助多媒体计算机辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。五、教学程序教学环节教学程序教学设想（一）创设情境,引入课题创设情境：（多媒体展示）问题1：如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1 D1中，求证：与垂直。问题2：若将E点在AA1，A1B1上移动，若移至A1B1的E1处，如图2，又如何确定与的夹角？F1A1EDC1CB1D1BADC1CB1A1D1F1E1BAE图1 图21、学生回顾上节课学习的:两个非零向量02、由教师提出当点E在AA1、A1B1上移动时，与还是否垂直?3、以将点E移至E1处为例，我们又将如何确定与的夹角？应该会让学生联想到平面向量的夹角公式。从而很自然的引出本节课的课题，拉开了本节课教学的序幕。 （二）类比推广,探究新知教学环节问题3：对于平面内两个向量的夹角问题我们是如何求得的?问题4：是否可以将平面内求得两个向量的夹角公式推广到空间?公式的形式有何变化？空间向量的夹角公式：对于空间两个非零向量，其夹角为，仍有，用坐标表示为 。教学程序通过与平面向量的夹角公式的类比，让学生猜想空间两个非零向量的夹角公式，起到温故知新的作用。希望提高学生的类比转化能力。教学设想（三）简单应用,及时巩固求下列两个向量夹角的余弦值：（1）， （2）。为了及时巩固空间向量的夹角公式，我设计了以下两道直接利用公式求空间向量夹角的练习题，以达到学以致用，熟能生巧的目的。 (四)应用例解,深入探究例1如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求BE1与DF1所成角的余弦值。 ABDC1CB1A1D1F1E1分析：AyDBzA1C1CD1F1xE1B1DAC1CBB1A1D1F1E1EF 问题5：此题所求的是两条异面直线的夹角，而不是两个空间向量的夹角，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？一方面解决课题引入中的问题，另一方面体现空间向量的应用。学生可能想到的解法有：方法一：传统的几何法-平移法，即将两条异面直线平移直至构成一个三角形，利用余弦定理而求得；方法二：向量法由学生建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，从而求得对应向量的坐标，代入公式，由于学生所取向量的方向不一样，求出而有的学生求出的是由此提出问题5由师生共同比较两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角的联系与区别，以突破本节课的难点之一。教学环节教学程序教学设想(四)应用例解,深入探究小结：利用空间向量解决立体几何中两异面直线夹角问题的一般步骤是：(1) 当的构建空间直角坐标系，求得所对应点的坐标；(2)用坐标表示空间向量及其数量积；(3)代入空间向量夹角公式的坐标形式；(4)将空间向量的夹角转化为两条异面直线的夹角。课堂反馈练习：DAC1CBB1A1D1M如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，求对角线DB1与CM所成角的余弦值。例2已知直三棱柱（侧棱A A1 ，B B1 ，CC1与上下底面都垂直）ABC-A1B1C1中，AB=BC=1， ，侧棱长A A1=2，D为BC的中点，求异面直线AB1与DC1所成的角。C1ACBB1A1 问题6：可以如何构建恰当xzC1ACBB1A1yD的空间直角坐标系？DCxDBB1C1zAA1yzyxC1ACBB1A1oD使学生养成对新的一种方法及时总结的学习习惯，使得学生达到系统掌握的目的。同时将利用向量求两条异面直线的夹角的方法推广到一般。为学生解决异面直线夹角问题提供新视角。让学生分组讨论，寻求解决这个问题的多种途径，再对各种途径进行比较。教师巡视，收集样本，用投影仪显示学生解答。归纳学生的方法，大致可分为几何法、向量法两类。通过本题，建议学生在实际运用中，选择恰当的方法，使得我们解题过程变得更简单。倡导一种自主探索、动手实践、合作交流的学习数学的方式。由于学生初次接触到这样一个几何体，学生开始时可能会感到有些茫然不知所措，所以教师将通过提出问题6将学生带入到一个建系的过程中去，建系是本节课的另一个难点，同时也是关键。通过学生探究几何图形,并思考讨论,由学生的认知水平,学生可能给出左边三种建系方法。三种建系方法进行对比，让学生感悟坐标系的建立并不是唯一的，解题时要选择恰当的坐标系。从而突破了本节课的另一个难点，提高学生分析问题、解决问题的能力。教学环节教学程序教学设想(五)互动回顾（1）空间向量的夹角公式及其坐标表示；（2）构建恰当的空间直角坐标系，正确写出点的坐标及向量的坐标；（3）两条异面直线的夹角与两个向量的夹角之间的区别；（4）掌握类比猜想的方法，将平面问题向空间问题推广，将几何问题向代数问题转化，提高类比转化的能力。通过对本节课的知识和方法的回顾，让学生自己归纳小结本节课的内容，培养学生归纳总结的能力。(六)布置作业必做题：1.设点O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，1，1)，C(0，0，1)，异面直线OA与BC夹角为，则的值为（ ）A.60 B. 120 C. -60 D. 240DAC1CBB1A1D1MN2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，请用不同的方法求异面直线AC与BD1所成的角。DAC1CBB1A1D1 题2图 题3图3.如图，在正方ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与D1N所成角的正弦值。选做题：C1CBB1A1D1FEDAC1CBB1A1D1沿着正方体ABCD-A1B1C1D1对角面A1BCD1去截正方体，得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，E、F分别是A1D1，D1C1的中点，求异面直线