第19课时 解直角三角形的应用.doc

虹口区2009届中考数学第一轮复习材料第19课时 解直角三角形的应用长青学校 顾金明【复习要求】主要内容课标要求知道理解掌握运用解直角三角形两锐角关系（互余）三边关系（勾股定理）边角关系（锐角三角比）解 形直 的角 应三 用角仰角俯角坡角坡度【教学重点、难点】重点是运用解决直角三角形的方法进行有关几何计算。难点是解直角三角形的应用。【教学过程】1直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余AB90；(2)三边满足勾股定理a2b2c2；(3)边与角关系sinAcosB，cosAsinB，tanAcotB，cotAtanB.例1 在RtABC中，C=900，B=300，a=8，解这个直角三角形.说明：1、本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切. 2、通过变换角和边的量来训练，以引起学生对解直角三角形的理解与认识，从而达到复习的目的。图1例2（上海06年）已知：如图1，在中，是边上的高，为边的中点，求（1）线段的长；（2）的值解：（1）在中，（2）方法一过点作，垂足为， ， 在中，方法二在中，是斜边上的中线， 图2同源题选（一）：1（2000）在正方形ABCD中，ABD的余弦值等于_答案：2（2001）如图2，在ABC中，C90,点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC求：（1）DC的长；（2）sin B的值答案： 16； 3（2004）在ABC中，A90，设B，AC，则AB_(用和的三角比表示)答案：4（2005）已知RtABC中，C90，AC2，BC3，那么下列各式中，正确的是（ ）图3A BCD答案：C5（2007）如图3，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，求：（1）点的坐标；（2）的值答案：（4，3）； 2解直角三角形的应用（1）仰角、俯角； 如图，在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.60例3如图，在地面上离旗杆BC底部10米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为60，已知测角仪AD的高为1.5米，求旗杆BC的高（结果保留根号）.解 从测角仪D处作DEAB，交BC于点E.根据题意，可知DE=AB=10（米），BE=AD=1.5（米），CDE=60.在RtDCE中,tanCDE=，得CE=DE tanCDE=10tan60=10 (米).则BC=BE+CE=1.5+10 (米).答:旗杆BC的高为1.5+10米.说明：注意帮助学生寻找相应的直角三角形，并把已知元素与未知元素以解直角三角形的边角关系位载体构建模型，从而达到应用的目的。同时在题中所求是旗杆高度，所以还要帮助学生分析得出最后旗杆高度不要忘记测角仪的高度。3045例4 如图,甲乙两幢楼之间的距离CD等于40米,现在要测乙楼的高BC(BCCD),所选观察点A在甲楼一窗口处,ADBC.从A处测得乙楼顶端B的仰角为30,底部C的俯角为45.求乙楼的高度(精确到1米).解 从观察点A处作AECD,交BC于点E.根据题意,可知AE=CD=40(米), BAE=30, CAE=45.在RtABE中,tanBAE=，得BE=AEtanBAE=40tan30=(米).在RtACE中,tanCAE=，得CE=AEtanCAE=40tan45=40(米).则BC=BE+CE=40+63.1(米).答:乙楼的高度约为63.1米.说明:在实际问题数学化，运用仰角、俯角概念解直角三角形时，要首先找出它们所在的直角三角形，表示时注意“水平线”，再结合图形中的已知元素，解出要求的未知元素.同时在学生审题时，强调注意题后对结果精确度的要求，培养严谨的学习态度.同时也要注意计算结果的合理化与科学性。同源题选（二）：1. 在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为 米（用含的三角比表示）答案：2.在距地面100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30和60，则塔高为_米;答案：3. 已知：如图，建筑物AB高为200米，从它的顶部A看另外一建筑物CD的顶部C和底部D，俯角分别为30和45，求建筑物CD的高答案：4如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角=30,从乙楼底部D测得甲楼顶部A的仰角=60.已知甲楼的高AB=24米,则乙楼的高CD为多少米?答案：325如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45，楼底D的俯角为30求楼CD的高(结果保留根号).答案：36ABD4530C第5题图ABCD第3题图ABCD第4题图（2）坡度、坡角。如图，坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（L）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=.坡度通常写成1:m的形式，如i=11.5坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作.坡度i与坡角之间的关系: i=tan.例5某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面上面是一块平地，如图所示，BCAD，斜坡AB长22米，坡角BAD=60，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造。经专业人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡。（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1米）；（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡角A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少（精确到0.1米）？答案：（1）20.4米 （2）8.9米说明：坡角、坡度的理解与运用结合实际，利用相关知识构建解题模型，从而做到学以致用，关键是学生对于题中所给数据能否结合图形加以理解是解决本题的关键。最后要学生充分认识，解直角三角形的运用最终还是要找到相应的直角三角形，以解直角三角形的知识进行解决。例6如图防洪大堤的横截面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=12，迎水坡DE的坡角为45。（1）求斜坡AB的长；（2）求迎水坡DE的坡度i。答案：（1）米；（2）11。说明：实际生活中,在修路、挖河、开渠等设计图纸上,都需要注明斜坡的倾斜程度,使用着坡度.结合本例学生能够理解坡度、坡角在实际中应用。【达标训练】1（上海05年）如图1，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，高度BC为_米(结果用含的三角比表示).2（上海00年）如果等边三角形的高是3cm，那么它的边长是_cm3（上海01年）某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60，此时飞机与该地面控制点之间的距离是 米 4（上海03年）将两块三角板如图放置，其中CEDB90，A45，E30，ABDE6。求重叠部分四边形DBCF的面积。ABC图65（上海04年）某山路坡面坡度,沿此山路向上前进200米,升高了_米6（上海08年）在中，（如图6）如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于 7（2008）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）已知图纸上的图