圆周角与圆心角.doc

第9讲 圆心角与圆周角本课是在学习了圆，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。【知识点清单】 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆的旋转不变性：把圆绕着圆心旋转 角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的 。则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。2.圆心角：顶点在 的角。3.弦心距：从圆心到 的距离叫作弦心距，弦心距可以说成是圆心到弦的垂线段的长度。4 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（即四量定理）：在 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个 、 、 或 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等5的弧：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每1份的圆心角是的角；把整个圆也被分成360份，我们把每一份这样的弧叫作 的弧。6.圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数 。圆周角及其相关定理1圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角。注意：(1)圆周角必须具备两个特征：顶点在圆周上；角的两边都和圆相交。如下图中的角 2圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理的证明：（添加以圆周角的顶点为端点的直径为辅助线分类讨论）因为在0中，同一弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有三种情况：圆心在圆周角的“一边上” （如图） 圆心在圆周角的“内部” （如图）圆心在圆周角的“外部（如图）3. 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。【典例精析】考点1: 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基本理解【例1】判断题:(1)相等的圆心角所对弦相等（ ） (2)相等的弦所对的弧相等（ ）(3) 相等弦的弦心距相等（ ） (4)同圆或等圆中，两弦相等，所对弧也相等（ ）变式训练:1.下列说法中，正确的是（ ）A等弦所对的弧相等 B等弧所对的弦相等C圆心角相等，所对的弦相等 D弦相等所对的圆心角相等 CD=2AB AB和CD E同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等2.已知 是同圆中的两条弧，且 那么弦CD与2AB的大小关系为 图1OBDAC【例2】(09南充)如图1，AB是的直径，点C、D在上，求变式训练:1. 如图2，在O中，BOC=50, OCAB, ACO= 。2弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 图2 考点2:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的证明、计算 EC=2EA【例4】如图，AB为直径，ABOC, AB=24cm，EF过CO的中点D，EFAB,求证： 求EF的长。变式训练:已知：O中，弦ABCD于P，且AB=CD，OEAB于E，OFCD于F求证：四边形0EPF是正方形. 连OP，若O半径为5 cm，cm，求AB的长。考点3: 证明两弧相等 AC=BD【例5】AB是O的直径，E、F分别是AO、BO的中点，且ABCE，ABDF 求证：方法归纳：证明两弧相等有如下几种思路：等弧的定义；证圆心角相等或所对的弦相等，或所对的弦的弦心距相等；运用平行弦夹等弧考点4：四量关系定理的综合运用【例6】 在ABC中，AB=AC,AB交O于G、H两点，AC交O于F、E两点，GH=EF,BH=CE如图1，求证：AO垂直平分BC如图2，BF与CG交于点M，连结AM并延长分别交GF、BC于点N、D，若BH=1,GH=3,GA=2,求MN:MD的值。图1 图2 变式训练:如图O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE=DF (1)求证：EF的垂直平分线必过圆心 (2)若AB与CD在O内相交于P，同样延长AB、CD，使BE=DF，那么是否还有(1)中相同的结论，请说明理由(如图2) 图1 图2考点5：圆周角的概念理解【例7】下面命题中，正确的命题个数为（ ） (1)顶点在圆周上的角是圆周角 (2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半 (3)的圆周角所对的弦是直径 (4)圆周角相等，则它们所对的弧也相等 A1个 B2个 C3个 D4个【例8】已知：如图1，AB为O的直径，弦CD交AB于P，APD=,COB=则ABD= 。变式训练:1.下列命题中，真命题的是（ ） A同圆中，同一条弦所对的圆周角相等 B相等的圆周角所对的弧相等 C等弧所对的圆周角相等 D长度相等的弧所对的圆周角相等2.如图2，A、B、C是0上的三点，以BC为一边，作CBD=ABC，过BC上一点P，作PEAB交BD于点E若AOC=60，BE=3，则点P到弦AB的距离为_。 图1 图2考点6: 圆周角与垂径定理：【例9】如图，AB为直径，ABOC, AB=24cm，EF过CO的中点D，EFAB,求ABE的度数。变式训练:如图，AB、AC是O的两条弦，M、N是分别是弧AB、弧AC的中点，M、N交AB、AC于E、F，求证：AEF是等腰三角形。（2种证法）【以练励学】1下列说法错误的是（ ）A等弧所对圆周角相等 B同弧所对圆周角相等C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D同圆中，等弦所对的圆周角相等2如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OEAB，F为OE的中点，CDAB，则弦CD的长为（ ）A2BCD23已知：如图2，O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则O的半径为（ ）A4cm B5cmC4cmD2cm图1 图2 图34、O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ） AD BC A30 B150 C30或150D605.（2007天津）已知，如图3， 与 的度数之差为20，弦AB与CD交于点E，CEB=60，则CAB等于（ ）