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文档简介

2 4柯西积分公式 证 说明 柯西公式将解析函数在任一内点的值用沿闭合曲线L的回路积分表示出来 解析函数各点的值通过柯西 黎曼方程互相联系 由于z0的选取是任意的 把z0写成z积分变数改用表示 公式可写成 如果f z 在L所围区域上存在奇点 就要考虑挖去奇点后的复通区 域 在复通区域上f z 解析 柯西公式仍然成立 将L理解为所有境界 线 并且方向取为正向 柯西公式适用于L所围的内部区域 也可推广到L的外部包含无限远点的区域 柯西公式的一个推论是解析函数可求导任意多次 由于z为区域的内点 积分变数在区域的境界线上 积分号下的函数 在区域上处处可导 因此可在积分号下对z求导 反复在积分号下求导可得 推论 模数原理 设f z 在某闭区域上为解析 则 f z 只能在境界线上取极大值 刘维尔定理 设f z 在全平面上解析 并且有界 即 则f z 必为常数 解 例1 解 例2 例3 解 1 在C内的z 1处不解析 但在C内处处解析 2 在C内处不解析 在C内以i和 i为中心分别作一正向圆周C1 C2 那么函数在C C1 C2所围成的区域内是解析的 由复通区域上的柯西定理 同样可得 所以 作业
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