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文档简介

1 4解析函数 上一节我们学习了复数的导数 导出柯西 黎曼方程 本节我们学习解析函数的概念 解析函数的概念 解析函数的性质 1 若函数f z u iv 在趋于B上解析 则 u x y C1 v x y C2 C1C2为常数 是B上的两组正交曲线族 两边分别相乘 得 即 梯度 正交 分别是曲线u 常数和v 常数的法向矢量 因此 U 常数和v 常数是互相正交的两曲线族 2 若函数f z u iv在区域B上解析 则u v均为B上的调和函数 调和函数指如果某函数H x y 在区域B上有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程则称H x y 为区域B上的调和函数 后边我们将证明 二阶偏导数 存在且连续 对柯西 黎曼方程 前一式子对x求导 后一式子对y求导 相加可以消除v 得到 同理可得 以上说明u x y 和v x y 都满足二维的拉普拉斯方程 即都是调和函数 又由于是同一个复变函数的实部和虚部 所以又特别称之为共轭调和函数 若给定一个二元的调和函数 可以看做某个解析函数的实部 虚部 利用柯西 黎曼条件求出相应的虚部 实部 也就确定了这个解析函数 给定的二元函数u x y 是解析函数的实部 求相应的虚部v x y 二元函数v x y 的微分式是 由柯西 黎曼条件可得 是全微分 可以用下列方法计算出 1 曲线积分法全微分的积分与路径无关 可选取特殊积分路径使积分路径容易算出 2 凑全微分法微分的右端凑成全微分显式 v x y 自然求出 3 不定积分法 以上方法同样适用于从虚部v求实部u的情况 例1 已知解析函数f z 的实部u x y x2 y2 求虚部和解析函数 解 验证u是调和函数 满足拉普拉斯方程 确实是某解析函数的实部 根据柯西 黎曼条件有 1 曲线积分法先计算u的偏导数 由此可得 dv 2ydx 2xdy 右边是全微分 积分值 与路径无关 为便于计算 取如图路径 C为积分常数 2 凑全微分法由上已知 dv 2ydx 2xdy 很容易凑成全微分形式d 2xy 则 dv d 2xy 此时显然有v 2xy C 实质上也是曲线积分法 在容易凑微分的时候很方便 3 不定积分法上边算出 第一式对y积分 x看做参数 可得 其中为x的任意函数 再 对x求导 由柯西 黎曼条件知道 从而有 可得v 2xy C 解析函数为 例2 已知解析函数f z 的虚部 求实部u x y 和解析函数f z 解 直角坐标系下 的计算比较烦琐 改用极坐标系 求u x y 的方法和例1一样 可以用三种方
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