第四章 漩涡理论与势流理论.doc

Chapter 4Vortex Theory and Potential Theory第四章 漩涡理论与势流理论流体由于具有易变形的特性，因此流体的流动要比刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度w0的流动，无旋流动是指w=0 的流动。实际上，粘性流体的流动大多数是有旋流动。流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，在流体力学中无旋流动的研究具有重大的意义。对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。 本章首先对流体微团的运动进行分析，同时得出无旋运动和有旋运动的概念。然后讨论理想流体运动的基本方程和求解。在此基础上本章侧重讨论旋涡基本理论和平面势流基本理论。4.1 流体微团的运动分析 在流体流动时，流体微团除了可以像刚体那样平动和转动之外，还伴有变形运动，如图4-1所示。由于有变形运动，流体微团的旋转也不像刚体转动那样简单。如果从流体微团中引出若干条直线，它们的旋转角速度可以各不相等，所以流体微团的旋转角速度是指过同一点，若干条直线旋转角速度的平均值。由于流体所具有的易流动性，流体微团即使是在一个很小的力的作用下，只要时间足够长，就可以发生足够大的变形。因此，在对流体微团进行变形 Fig. 4-1 流体微团运动运动分析时，不是看其变形量的大小，而是看其变形速度的大小。作为分析流体微团运动的基本量，引入线变形速度e，剪变形角速度g和平均旋转角速度w。4.1.1 线变形速度如图4-2所示，首先考虑最简单的一维流动情况。在t时刻，在x轴上取一微小线段AB=Dx，A点的速度为vx，按泰勒级数展开，B点的速度可表示为，经过D t时间之后，AB线段运动到新的位置AB。AB线段经过D t时间之后，其长度的改变量为 Fig. 4-2 Linear Deformation Velocity单位长度在单位时间内长度的改变量为 (4.1)把ex叫做线段AB的线变形速度。ex是正值时为拉伸，负值时为压缩。将上述推广到三维空间的情况。三维空间的流体微团，不仅具有x方向上的线变形速度，还有y方向和z方向上的线变形速度。在三维空间中，流体微团的速度是空间坐标的函数，即所以，流体微团在x、y、z方向上的线变形速度分量分别为 (4.2)下标x、y、z表示变形发生的方向。所以流体微团的线变形速度是单位长度在单位时间内长度的改变量。 Fig. 4-3 Fluid Element Deformation 若在流场中取一平行六面体的流体微团，如图4-3所示，图(a)为初始状态。作为一种特殊情况，当时，流体微团变形之后仍为平行六面体，当时，为膨胀变形，变形如图(b)所示，当时，为压缩变形。当时，变形情况如图(c)所示。对于不可压缩流体，由于在变形过程中，体积不发生改变，所以有展开上式，并略去高阶无穷小量，得 即 (4.3a)或 (4.3b)这就是不可压缩流体的连续性方程，与方程(3.29)一致。4.1.2 剪变形角速度 首先仍以最简单的平面问题为例。如图4-4所示，图中OACB为初始状态的流体微团。经过Dt时间之后，流体微团变形如图4-4（b）中虚线所示，OB边转过的角度为a，OA边转过的角度为b。 Fig.4-4 在Dt时间内，流体微团中直角AOB的改变量的一半为 单位时间内改变量的一半为 对于三维空间，类似有 (4.4)上式就是流体微团的剪变形角速度。剪变形角速度是流体微团中某一直角的减小速度的一半。下标x、y、z表示剪切变形发生面的法线方向。4.1.3 平均旋转角速度由于流体微团在运动过程中发生变形，在流体微团中某一点引出的若干条直线所转过的角度各不相等。流体微团的旋转，是指过同一点，若干条直线旋转的平均值，等于过该点的直角角平分线转过的角度。在图4-4中，当a=b时，角平分线没有发生转动，这是一种纯剪切运动状态。作为一般情况，如图4-5所示，矩形OACB是初始位置。经过Dt 时间之后，流体微团运动到OACB，根据几何关系，在Dt时间内，角平分线转过的角度 Fig. 4-5单位时间内角平分线转过的角度为将这一结果推广到三维空间，则有 (4.5)上式就是流体微团的平均旋转角速度三个分量表达式。可将方程(4.5)用矢量式表示为 (4.6)流体微团在运动过程中，可同时发生线变形运动，剪切变形运动和旋转运动。而线变形速度、剪变形角速度、平均旋转角速度分别是度量这三种运动的特征量。Example 4.1 It is known that the velocity distribution of a planar flow field is .Analyze the deformation and rotation happen during the motion of fluid element.例41 已知平面流场的速度分布为 试分析流体微团在运动过程中所发生的变形与旋转。Solution: Linear deformation velocity 解：线变形速度 Angular velocity of shearing deformation 剪变形角速度 Average angular rotating velocity 平均旋转角速度 4.2 理想流体的有旋流动和无旋流动4.2.1 有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。在图4-6(a)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动；在图4-6(b)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动。 Fig. 4-6 Rotational and Irrotational Flow速度场是一个矢量场，根据矢量场的旋度的概念，速度矢量的旋度为将上式与平均旋转角速度相比较，得 (4.7)所以，平均旋转角速度不仅是分析流体微团在运动过程中旋转运动的特征量，也是判断流体流动是有旋流动还是无旋流动的标准。判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足 即对于无旋流动 w=0 or或 rotv=0 对于有旋流动 w0 or或 rotv04.2.2 旋涡的基本概念在第三章我们给出了描述速度场的流线、流管、流量等基本概念。速度场和旋涡场都是体现流动特征的矢量场，因此，描述速度场和旋涡场的基本概念之间，具有一一对应的关系。例如 速度场（v） 旋涡场（w）速度 平均旋转角速度流线 涡线流管 涡管这样，就很容易理解旋涡的一些基本概念了。1. 涡线 某一瞬时的涡线是这样的一条曲线，在该曲线上各点的平均旋转角速度矢量与该曲线相切，如图4-7所示。与流线一样，在定常流场中，涡线的形状保持不变，在非定常流场中，涡线的形状是变化的。 Fig. 4-7 Vortex Line类似流线方程，涡线的方程可写为2. 涡管在旋涡场中通过任一不是涡线的封闭曲线的每一点作涡线，这些涡线所形成的管状表面称为涡管，如图4-8所示。3. 涡束截面积无限小而强度(涡通量)为有限值的涡管。 Fig. 4-8 Vortex Bunch4.2.3 速度环量 为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一速度环量。 在流场中任取封闭曲线K，如图4-9所示。速度沿该封闭曲线的线积分称为 速度沿封闭曲线K的环量，简称速度环量，用G表示，即 (4.8)式中 在封闭曲线上的速度矢量； a速度与该点上切线之间的夹角。速度环量是个标量，但具有正负号。速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧，如图4-7所示。当沿顺时针方向绕行时，式(4.8)应加一负号。实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。 Fig.4-9 Velocity Circulation 由于和，则代入式（4.8），得 (4.9)4.2.4旋涡强度沿封闭曲线的速度环量与有 旋流动之间有一个重要的关系，现仅以平面流动为例找出这个关系。如图 4-10所示，在平面Oxy上取一微元矩形封闭曲线，其面积 A=dxdy，流体在A点的速度分量为vx和vy，则B、C和D点的速度分量分别如下：、 、 Fig. 4-10于是，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量将点的速度值代入上式，略去高于一阶的无穷小各项，根据方程(4.5)的第三式，得 (4.10)然后将式(4.10)对面积积分，得 (4.11)上式即为所谓的反映速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理，其表明：沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度I，即或 (4.12)式中wnw在微元面积dA 的外法线n上的分量。 由式(4.8)可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量，以表示之。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在z轴方向的分量为 对于流体的三维流动，同样可求得x和y轴方向涡量的分量。于是得 (4.13)即 (4.14)这意味着，在有旋流动中，流体流动速度的旋度称为涡量。由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。 在此举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义，以及有旋流动和无旋流动的区别。Example 4.2As shown in Fig. 4-11, a flow rotates counterclockwise like a rigid body at angular velocity w. Find velocity circulation along a closed curve in the flow field, and demonstratethe flow is rotational flow. 例4.2 一个以角速度w按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如图4-11所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动 . Fig. 4-11 Example 4.2 Solution:Randomly take two circles of radius r1and r2 in flow field, their velocities are and respectively, velocity circulation along the circumference ABCDA of the sector area highlighted by inclined lines is解：在流场中对应于任意两个半径r1和r2的圆周，其速度各为 和，沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量It is obvious that flow in the region is rotational. Since the sector area is可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积 Thus 于是 The above equation is just a demonstration of Stocks theorem, and the conclusion may be popularized to any region in the circle.上式正是斯托克斯定理的一个例证，以上结论可推广适用于圆内任意区域内。Example 4.3 A planar flow rotates concentrically about point O, the magnitude of peripheral velocity at each point is in inverse proportion to radius, that is , where C is constant, as shown in Fig. 4-12. Find the velocity circulation of a closed curve in the flow field, and analyze the flowing status.例4.3 一流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即，其中C为常数，如图4-12所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。Solution:The velocity circulation along the boundary of the sector area is解：沿扇形面积周界的速度环量 Fig. 4-12 Example 4.3It can be seen that flow in this region is irrotational. This conclusion may be popularized to any area that does not include the circle center O, such as ABCDA. If the area includes point O( r=0), since its velocity is infinite, it should be disposed as an exception. Now we calculate the velocity circulation along a closed circumference of radius r可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内，例如ABCDA。若包有圆心( r=0)，该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径r的圆周封闭曲线的速度环量 The above expression demonstrates that the velocity circulation along any circumferential curve in flow field will not be zero, and equals a constant, therefore the flow is rotational. But the velocity circulation along any circumference that does not include point O must equal zero, circle center is an isolated vortexpoint, and is called singular point. 上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。4.3 无旋流动的速度势函数如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度w在任意时刻处处为零，即满足的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。4.3.1 速度势函数引入由数学分析可知，是成为某一标量函数 全微分的充分必要条件。则函数j称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函数j的流动为有势流动。根据全微分理论，势函数j的全微分可写成于是有 (4.15)按矢量分析 (4.16)对于圆柱坐标系，则有 (4.17)从而 从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数j。4.3.2 速度势函数的性质1. 不可压缩流体的有势流动中，势函数j满足拉普拉斯方程，是调和函数。 将式(4.15)代入到不可压缩流体的连续性方程(3.29)中，则有 (4.18)式中为拉普拉斯算子，式(4.18)称为拉普拉斯方程，所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。2. 任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数j值之差，而与曲线的形状无关。根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即。3. 等势面与流线垂直将流场中速度势相等的点连接起来，形成一个三维曲面，称为等势面。在平面流动中，称为等势线。在等势面上 j（x，y，z）= C或 因为 代入上式，得即 (4.19)因为dl是等势面上的有向线段，所以上式说明等势面与流线垂直。4. 速度势在任何方向上的偏导数，等于速度在该方向上的投影。根据数学上方向导数的概念，速度势j在任意方向l上的方向导数为所以 4.4 平面流动的流函数4.4.1 流函数的引入对于流体的平面流动，其流线的微分方程为，将其改写成下列形式 (4.20)在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程，即 或 (4.21) 由数学分析可知，式（4.21）是成为某函数全微分的充分必要条件，以表示该函数，则有 (4.22)函数y称为流场的流函数。由式(4.22)可得 (4.23) 由式(4.22)，令dy=0 ，即y=常数，可得流线微分方程式(4.20)。由此可见, y(x,y)=常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（x0,y0）代入流函数y，便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。 对于极坐标系，方程（4.22）与（4.23）可写成 (4.24) (4.25) 在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势一样，可由曲线积分得出。 至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数y(x,y) ，由式(4.23)或式(4.24)就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数y。 这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，但流线还是存在的。 4.4.2 流函数的性质1. 对于不可压缩流体的平面流动，流函数y永远满足连续性方程。将式(4.23)代入式(4.21)，得 即流函数永远满足连续性方程。2. For planar potential flow of incompressible fluid, stream function y satisfies Laplaces equation, and is a harmonic function.对于不可压缩流体的平面势流，流函数y满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。对于平面无旋流动，因为，则 将式(4.23)代入上式，得 It is clear that the stream function of incompressible irrotational planar flow also satisfies Laplaces equation, and is a harmonic function.可见，不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程，也是一个调和函数。 Fig.4-13 Stream Function因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足边界条件的拉普拉斯方程。 3. 平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数y的物理意义。 如图4-13所示，在两流线间任取一曲线AB，则通过曲线AB单位厚度的体积流量为 (4.26)由式(4.26)可知，平面流动中两条流线间单位宽度通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。4.4.3 j和y的关系1. 满足柯西-黎曼条件 如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式(4.15)和式(4.23)，可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系 (4.27) (4.28) 这是一对非常重要的关系式，在高等数学中称作柯西-黎曼条件。因此，j和y互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样有力的工具求解此类问题。 当势函数j和流函数y二者知其一时，另一个则可利用式(4.27)的关系求出，而至多相差一任意常数。1. 流线与等势线正交 Fig. 4-14 Flow Net式(4.27)是等势线簇j (x,y)=常数和流线簇y(x,y)=常数互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网，如图4-14所示。 Example 4.4Velocity distribution of an incompressible planar flow is . Find :(1) whether there exist stream function and velocity potential in the planar flow; (2) the expressions of j and y if they do exist; (3) if the absolute pressure at point A(1m, 1m) in the flow field is 1.4105Pa, density of the fluid is 1.2kg/m3, what is the absolute pressure at point B(2m, 5m)?例4.4 有一不可压流体平面流动的速度分布为。(1) 该平面流动是否存在流函数和速度势函数；(2)若存在，试求出其表达式；(3)若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为1.4105Pa，流体的密度1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？Solution: (1) From continuity equation of incompressible planar flow解 由不可压流体平面流动的连续性方程The flow meets continuity equation, thus there exist stream function. 该流动满足连续性方程，故存在流函数。 For planar flow, , and because 对于平面流动 ，又因为 So the flow is irrotational, there exist velocity potential function. 该流动无旋，存在速度势函数。(2) According to the total differential of stream function, we obtain 由流函数的全微分得：By integration, we have 积分，得 According to the total differential of velocity potential , we obtain由速度势函数的全微分得：By integration, we have积分，得 Example 4.5Assume velocity distribution of a planar flow is Find: (1) whether it satisfies continuity equation; (2) velocity potential j; (3) stream function y.例4.5 设平面流动的速度分布为 求：（1）是否满足连续方程；（2）速度势j；（3）流函数y。Solution:(1) Since 由于 The flow satisfies continuity equation. 流动满足连续方程。(2) For planar flow, wx=wy=0. Since 对于平面流动，wx=wy=0。又So the flow is irrotational, there exist velocity potentialj:所以流动是无旋流动，存在速度势j：Take integral path as shown in Fig.4-15, the x in the second term on the right-hand side of the above equation is constant, thus取积分路径如图4-15所示，上式右端第二项中x Fig. 4-15为常数，所以(3) Since continuity equation is satisfied, there must exist stream function y. Because the integration is independent of integral path, we may take the same integral path shown in Fig. 4-15.因为满足连续性方程，故存在流函数y。由于积分与路径无关，可以取图4-15相同的积分路径。Example 4.6Stream function of incompressible planar flow is y=5xy, (1) Prove the flow is a potential flow, then find velocity potential function; (2) Find velocity at point (1, 1); (3) If pressure at point (1, 1) is 105Pa, the density of the fluid is r=1000kg/m3. Find the pressure at the stagnation point in flow field.例4.6 不可压缩平面流场的流函数为y=5xy，（1）证明流动有势，并求速度势函数；（2）求（1，1）点的速度（单位为m/s）；（3）如果点（1，1）的压强为105Pa，r=1000kg/m3。试求流场中的驻点压强。Solution: (1) Since 解： 因为And because the flow is two-dimensional flow, wx=0, wy=0, , therefore the flow is potential flow, there exist velocity potential function.又因为是平面流动，wx=wy=0，故流动为有势流动，存在速度势函数。（2） velocity components at point (1, 1) are vx=5(m/s) and vy=-5(m/s)（1，1）点的速度分量为vx=5(m/s)，vy=-5(m/s) （3）Suppose pressure at the stagnation point is p0, from Bernoullis equation for incompressible fluid, we obtain 设驻点的压强为p0，由不可压缩流体的伯努利方程，得4.5 基本平面势流及其叠加4.5.1 直均流所谓直均流，就是流体质点以相同的速度相互平行地作等速直线运动。如图4-16所示，取流体运动方向为ox轴，其速度分布为vx=v0，vy=0.因为所以是无旋运动，存在速度势j=v0x (4.29)当j=常数时，x=常数，所以等势线是xC的一族与y轴平行的直线，如图4-16中的虚线所示。将速度分布函数代入人连续性方程，因为满足 存在流函数y y=v0y (4.30) Fig. 4-16 Parallel Flow当y=常数时，y=常数，所以流线是平行x轴的直线族，如图4-16中箭头线所示。4.5.2 源和汇 如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点，如图4-17(a)所示；相反，若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点，如图4-12(b)所示。显然，这两种流动的流线都是从原点 O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度vr 。现将极坐标的原点作为源点或汇点，得极坐标系中的速度分布 (4.31)可以证明该流场满足速度势和流函数的存在条件，速度势为 (4.32) Fig. 4-17 (a) Source (b) Sink或者 (4.33)当j=常数时，r=常数，所以等势线是rC的一族同心圆。C为任意常数。流函数为 (4.34)当y=常数时，q=常数，所以流函数的等值线是q=常数的射线族，如图4-17所示。列出流场中任一点与无穷远点间的伯努利方程，得式中p为无穷远处（速度为零）的压强，则任意一点的压强可表示为 (4.35)由上式可知，压强随距离r减小而减小，在处压强变为零。 Fig. 4-18 Pressure Distribution of a Sink图4-18 为汇的压强分布图。4.5.3 点涡 设有一旋涡强度为I的无限长直线涡束，该涡束以等角速度w绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流。由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆，如图4-14所示。根据斯托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，即 Fig. 4-19 于是 (4.36)因此涡束外的速度与半径成反比。若涡束的半径 ，则成为一条涡线，这样的流动称为点涡，又称为纯环流。但当时，所以涡点是一个奇点。现在求点涡的速度势和流函数。由于由 积分后得速度势 (4.37)又由于 由积分后得流函数 (4.38)当时，环流为反时针方向，如图4-14所示；当时，环流为顺时针方向。由式(4.37)和式(4.38)可知，点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。 设涡束的半径为r0，涡束边缘上的速度为，压强为p0；时的速度显然为零，而压强为p。代入伯努里方程（3.41），得涡束外区域内的压强分布为 (4.39)由上式可知，在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压强为或 (4.40) 所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。又由式(4.39)可知，在处，压强，显然这是不可能的。所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。由式(4.40)可得涡核的半径。由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。平面定常流动的欧拉运动微分方程为将涡核内任一点的速度vx=-wy和vy= wx代入上两式，得 以dx和dy分别乘以上两式，然后相加，得或积分得在r=r0处，p=p0、vq=v0，代入上式，得最后得涡核区域内的压强分布为 (4.41)或 (4.42)于是涡核中心的压强 所以 可见，涡核内、外的压强降相等，都等于用涡核边缘速度计算的动压头。涡核内、外的速度分布和压强分布如图4-20所示。 Fig. 4-20 4.6 基本平面势流的叠加既然在上述章节所给出的基本流函数与势函数可以用来表征某些简单的流动，那么也可以将这些基本流动进行叠加，从而得到更复杂的流态。由方程(4.15)与(4.23)可知，速度是流函数或势函数的线性函数。另外，拉普拉斯方程也是线性函数。根据拉普拉斯方程的线性关系可知，如果已知两个解，则该两个解的任何线性组合也构成一个解。这意味着通过叠加、即将简单的解相加，可以构造出方程更复杂的解。换句话说，如果存在两个无旋不可压的速度场，则速度的矢量合也是无旋不可压流动方程的有效解。设有势函数j1、 j2、 j3等等，这些函数的叠加便构成一个新的势函数j=j1+j2+j3+ (4.43)从而 因此 (4.44)流函数也存在类似的关系。由于所有势函数满足拉普拉斯方程，则 (4