（运筹学与控制论专业论文）体制转换模型在时间序列的趋势判定中的应用.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范闸内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文作为资料在图二传馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向教育部 指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学 术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库， 通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩； 提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：毯馥 2 0 1 0 年5 月2 1 日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目体制转换模型在时间序列的趋势判定中的应用 姓名张静 l 学号l 2 1 2 0 0 7 0 1 6 9 i 答辩日期i 2 0 1 0 年5 月2 5 日 论文类别博士口学历硕士口硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所信息技术科学学院l 专业l运筹学与控制沦 联系电话 e m a i l j t y _ _ z j 12 6 c o m 通信地址( 邮编) ： 备注： l 是否批准为非公开论文l 否 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：二韭馥2 0 1 0 年5 月2 1 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年月日至2 0年月日 审批表编号批准日期2 0年月日 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密l o 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 摘要 摘要 本文提出了一种利用体制转换模型对金融时间序列中的趋势进行判断的新 的方法。 现有的对趋势进行判断的方法主要是利用自回归模型中趋势分量的变化来 区分不同的趋势。但这种方法存在一个极大的问题：即使同为上涨( 或下跌) 趋势，也会因趋势分量的不同而被区别对待，被辨识为不同的状态，在面对变 化剧烈的金融时间序列时，这个问题尤为严重。过多的状态会导致计算过于复 杂，甚至无法得出有意义的结果。而本文通过设计一个状态映射，将不同的上 涨( 或下跌) 趋势映射到由原始价格序列计算出来的多周期对数收益率序列的 同一个状态上，解决了这个问题。同时本文还将这一方法进行了拓展，提出了 结合技术分析和体制转换模型进行趋势判断的基本思路：当金融时间序列处于 不同的趋势状态时，将在技术指标序列的数值上显示出不同的特征，相应的趋 势状态发生变化，表现在技术指标序列上就是其数值特征发生了变化，用体制 转换模型辨别出技术指标序列数值特征的变化，就相当于辨别出趋势的变化。 本文首先使用多周期对数收益率结合体制转换模型完成了对原始价格序列 的趋势判断；然后从极大似然估计的角度对模型的累积参数进行了优化，并设 计了检验方法，对本模型捕捉原始价格序列趋势状态的能力进行了定量检验和 对比分析；最后，通过模拟交易证明了利用本模型提供的信号进行交易的收益 优于买持有策略。 关键词：体制转换模型技术分析金融预测 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rp r o p o s e san e wa p p r o a c ht oj u d g et h et r e n ds w i t c h i n go ff i n a n c i a l t i m es e r i e sb yu s i n gr e g i m es w i t c h i n gm o d l e t h eb e s tw a ya v a i l a b l et oj u d g et h et r e n ds w i t c h i n gi su s et h et r e n dc o m p o n e n t s o ft h ea u t o r e g r e s s i o nm o d e lt od i s t i n g u i s hd i f f e r e n tt r e n d h o w e v e r ，t h i sm e t h o dh a s b i gf l a w e v e nt h et r e n dw i t hs a m ed i r e c t i o n ，w i l la l s ob ei d e n t i f i i e dt od i f f e r e n ts t a t e ， b e c a u s eo ft h ed i f f e r e n tt r e n dc o m p o n e n t s e s p e c i a l l yt ot h ef i n a n c i a lt i m es e r i e s ，t 1 1 i s p r o b l e mi sp a r t i c u l a r l ys e r i o u s t h ep l e t h o r i cs t a t e sw i l ll e a dt oe x o r b i t a n tc o m p l e x c a l c u l a t i o n s ，e v e nu n a b l et oo b t a i ns i g n i f i c a n tr e s u l t s b yu s i n ga ni n g e n i o u ss t a t e s m a p p i n g ，t h i sp a p e rt a k et h ed i f f e r e n ti n c r e a s e ( o rd e c r e a s e ) t r e n dm a p p i n gt o t h e s a m es t a t eo ft h em u l t i p l yp e r i o d i cl o g - r e t u r n ss e q u e n c ew h i c hc a l c u l a t e db yt h e p r i m i t i v ep r i c es e q u e n c e ，a n d s o l v e dt h i sp r o b l e m m e a n w h i l e ，t h i sp a p e ra l s o e x p a n dt h i sm e t h o d ，p r o p o s e dab a s i ct h r e a dt oj u d g et h et r e n ds w i t c h i n gt h r o u g h c o m b i n et e c h n i c a la n a l y s i sw i t hr e g i m e - s w i t c h i n gm o d e l ：w h e nt h ef i n a n c i a lt i m e s e r i e ss t a yi nd i f f e r e n tt r e n ds t a t e s ，t h en u m e r i c a ls e q u e n c eo ft h et e c h n i c a li n d i c a t o r s w i l lr e p r e s e n t sd i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c s ，t h ec o r r e s p o n d i n gc h a n g ei nt h et r e n ds t a t e ， e x p r e s s e di nt h et e c h n i c a li n d i c a t o r si st h en u m e r i c a ls e q u e n c ec h a r a c t e r i s t i c sh a v e c h a n g e d w h e nu s er e g i m e - s w i t h i c i n gm o d e lt oi d e n t i f i e dt h ev a l u ec h a r a c t e r i s t i c s c h a n g eo f t h et e c h n i c a li n d i c a t o r ss e q u e n c e ，i d e n t i f i e dt h es w i t c h i n go ft r e n d s t h i sp a p e rp r a c t i c et h i st h r e a d ，u s em u l t i p l yp e r i o d i cl o g r e t u m s ，as p e c i f i c t e c h n i c a li n d i c a t o r s ，c o m b i n ew i t hr e g i m e - s w i t c h i n gm o d e l ，a c h i e v e dt h et r e n d s w i t c h i n gj u d g e m e n to fp r i m i t i v ep r i c es e q u e n c e ，a f t e r t h a t ，o p t i m i z e dt h em o d e l p a r a m e t e r si nt e r m so fm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o na n dt h e nd e s i g n e dt h em e t h o d o fi n s p e c t i o n ，p r a c t i c eaq u a n t i t a t i v et e s ta n dc o m p a r i s o na n a l y s i so nt h i sm o d e li n o r d e rt oe v a l u a t ei t sa b i l i t yf o rc a p t u r et h et r e n d so fp r i m i t i v ep r i c es e q u e n c e f i n a l l y , t h r o u g hm o c kt r a d i n g ，p r o v e dt h a tt h et r a d i n gs t r a t e g yw h i c hu s i n gt h es i g n a lo f f e r e d b yt h i sm o d e li sb e t t e rt h a nb u y h o l d i n gs t r a t e g y k e yw o r d s ：r e g i m e s w i t c h i n gm o d l e t e c h n i c a la n a l y s i sf i n a n c i a lf o r e c a s t i i 目录 目录 第一章绪论1 第一节论文选题背景1 第二节论文研究的意义3 第三节论文的主要内容和撰写思路4 第四节论文的主要工作和创新点5 第二章体制转换模型的理论框架7 第一节体制转换模型的发展综述。? ：。j 7 第二节体制转换模型的推导8 2 2 1 两个状态的情况8 2 2 2 推广到n 个体制的情况1 0 2 2 3 推广到多阶的情况1 0 第三节本章小结1 1 第三章求解体制转换模型所用到的数学方法12 第一节极大似然估计法1 2 3 1 1 极大似然原理12 3 1 2 似然函数与极大似然估计1 2 3 1 3 求极人似然估计的一般步骤1 4 第二节无约束极值问题1 4 3 2 1 极值问题相关的数学基础1 4 3 2 2 无约束极值问题的描述1 6 3 2 3 变尺度法的基本原理1 6 3 2 4 变尺度法的计算步骤1 8 3 2 5 无约束极值问题运算中处理概率用到的变换j 1 8 i i i 目录 第三节本章小结1 9 第四章资产收益率2 0 第一节简单收益率与连续复合收益率2 0 4 1 1 单周期简单收益率2 0 4 1 2 多周期简单收益率2 0 4 1 3 连续复合收益率2 1 第二节多周期连续复合收益率的动态累积序列2 1 第三节本章小结2 3 第五章体制转换模型在趋势判定中的应用2 4 第一节问题的提出2 4 5 1 1 概j 苤2 4 5 1 2 关于体制转换模型与技术分析结合点的深入思考2 6 第二节模型的设定及参数估计2 9 5 2 1 数据的选取2 9 5 2 2 多周期对数收益率序列所处体制的削断模型的设定3 0 5 2 3 模型的参数估计及意义3 0 第三节模型的优化3 2 5 3 1 模型优化的概述3 2 5 3 2 从极大似然估计的角度对累积周期进行优化3 2 5 3 3 从极大似然估计角度优化后模型估计的结果3 4 第四节本章小结3 5 第六章模型的检验3 6 第一节拟合效果检验3 6 6 1 1 检验方法的设计3 6 6 1 2 检验结果3 7 6 1 3 对检验结果的分析3 9 6 1 4 结论4 0 l v 目录 第二节模拟交易测试4 0 6 2 1 测试方法的设计4 0 6 2 2 模拟交易的结果4 1 6 2 3 进行模拟交易结果分析的原则4 2 6 2 4 模拟交易分析的结论4 2 第三节本章小结4 3 总结与展望4 4 参考文献4 5 致谢4 7 个人简历4 8 v 第一章绪论 第一章绪论 第一节论文选题背景 时间序列模型现今已经在金融预测领域得到了广泛的应用。在这些计量模 型中以a r m a 模型族出现得最早、发展最为完善、应用最为普遍。由于a r m a 模型族属于线性模型且发展时间较长，因而在理论推导、参数估计和统计检验 等环节已经有了相当完善的理论体系，模型相关的估计算法、统计检验的统计 量等也全部整合到相关的统计或计量软件包中，这也使得这些线性模型的应用 相当广泛。但线性模型长于拟合某个固定趋势下的数据，而对变化剧烈且频繁 的金融数据来说，线性模型的描述历史数据和预测的能力显得过于简单，无法 描述金融时间序列频繁的变化。而且金融时间序列的很多非线性特性也是线性 模型难以描述的，例如金融数据的波动性特征。 为了弥补传统的线性模型的不足，计量模型也向两个方面发展来适应这种 特点，一个思路是改变基础模型结构，以描述金融时间序列的众多非线性特征， 最具有代表性的就是e n g e l ( 1 9 8 2 ) 【lj 提出的自回归条件异方差a r c h 模型。e n g e l 在观察收益率序列时发现了波动聚集现象，也就是大波动后接着一系列大的波 动，小的波动后面紧跟一系列小的波动，这种现象表明了收益率的波动性具有 持续性。a r c h 模型刻画了这种波动的持续性，在风险控制、资产定价等领域 获得了极大的成功。a r c h 模型等非线性模型描述了金融时间序列的非线性特 征，相比线性模型有了很大的进步，但是从根本上讲仍然是固定参数模型，不 能反映模型参数的变化。和金融时间序列富于变化的实际情况相比，仍无法满 足需求。 另一个思路是引入状态的概念，当金融时间序列在一段时间内比较好的符 合某参数向量下的某一模型时，看作变量处于某种状态之下，而在另一个时间 段内比较好的符合另一个参数向量下的该模型时，则认为变量发生了状态的转 换。最简单的情况下这种状态的转换可以用一个一阶马尔可夫链来描述，这就 是马尔可夫体制转换模型。体制转换模型属于变参数模型，h a m i l t o n ( 1 9 8 9 ) 1 2 1 将 体制转换与自回归模型相结合，将自回归模型的参数的变化看作是一个离散状 第一章绪论 态马尔可夫过程的结果，描述了变量的趋势的转变；h a m i l t o n ( 1 9 9 4 ) 3 1 将体制转 换与a r c h 模型结合，描述了波动率在不同大小的波动状态之间转换。体制转 换模型不是一个独立的模型，需要和其他模型结合起来使用。 体制转换模型在实际应用中也存在缺陷，首先体制转换模型只有和其他的 模型相结合才能具有实际的意义，这增加了体制转换模型描述和理解的难度， 也增加了应用的难度，许多主流的计量统计软件都未将体制转换模型作为标准 模块给出，使用者需要自己编程来进行建模和分析，这也极大限制了体制转换 模型的应用。其次体制的数量在模型中往往是有限的，而且数目比较少，因为 体制数目过多会使得模型过于复杂，对模型参数的估计也会变得非常困难甚至 无解。而金融时间序列的多变性显然很难被归纳到较少的体制中，要么选择变 化不多的数据，要么截取数据变化较少的一段来进行拟合，否则就会出现参数 估计值方差过大的情况而降低模型的精度，有时甚至无法得出结果。当笔者采 用与h a m i l t o n ( 1 9 8 9 ) 2 】相似的模型定义了涨和跌两种状态来拟和本文所采用的 上证超大盘指数3 0 分钟数据( 见图5 1 ) 的时候，由于数据变化剧烈使得模型 无法输出有意义的结果。这种情况使得体制转换模型在金融预测中的应用受到 了一定的限制，体制转换与a r c h 模型结合也主要应用于度量金融资产的风险、 资产定价等方面，目前尚未发现体制转换模型对制定交易策略方面有成功的应 用。 从以上分析我们看到体制转换模型在金融预测方面取得了许多成果，但却 在交易策略制定方面尚未提供有效的方法。这主要是由于计量模型与技术分析 指导下的交易操作存在着不同的理念造成的。计量模型的精度体现在提高预测 的数值精度，即预测值与实际值差异最小化。而技术分析指导下的交易操作却 采用了完全不同的思维模式：预测只是为制定交易策略提供依据( 即管理决策) 。 例如可以考虑如下最简单的交易策略： 当价格处于上涨趋势中，买入，直到趋势反转再卖出 当价格处于下跌趋势中，卖出，直到趋势反转再买入 很多技术指标的基本预测方法就是利用技术指标的变化来判断价格处于何 种趋势状态，进而利用上述简单的交易策略指导交易的。在技术分析中衡量预 测成功与否的标准不是价格预测的精确性，而是根据预测制定的交易策略的效 益。这就使得问题变得非常有趣，一个精确的预测，结合不恰当的交易策略可 能会带来亏损，而一个并不十分精确的预测结果如果策略得当，却可能带来大 2 第一章绪论 的收益【4 】【5 】。例如：k e l l y ( 1 9 5 6 ) 1 6 1 及后来的研究者们描述了在一系列的具有正值 期望的交易行为中，为使长期收益最大化，而控制每次交易行为所占用资金比 例的计算公式。通过k e l l y 给出的公式，一个准确率为5 1 、损益比为1 ：l 的 预测，通过每次使用全部资金的2 进行交易，可以使长期收益最大化。另一个 方面，即使一个准确率为8 0 损益比为1 ：1 的预测，如果每次都是用全部资金 进行杠杆交易，则很可能因一次失误而损失全部的本金。也就是说，虽然精度 越高越有利是肯定的，但一个并不精确的结果，并非毫无用处。而往往并不精 确的结果更容易得到。 在这种思维模式下，我们看到了技术分析与体制转换模型的结合点：趋势 的判定。技术分析的预测方式可以归结为利用技术指标的状态的变化对价格序 列所处趋势状态的一种判断，显然技术指标的状态与价格序列的趋势状态是对 应的。而体制转换模型正好具有区分状态转换的能力，只要找到适当的对技术 指标所处状态的判断模型，就可以结合体制转换模型，形成对价格序列所处趋 势状态的判断。本文正是基于这样的一种考虑，尝试在技术分析和体制转换模 型之间寻求一种结合。 第二节论文研究的意义 基于对通过交易能产生的巨大利益的预期，如何有效的进行金融预测一直 是诸多交易机构、研究机构和投资者们的研究重点。在具体实践中，逐渐形成 了基本面分析、技术分析、计量模型分析三种主要的预测形式，其各自都有自 己的优势与不足。寻求它们之间的结合，以弥补各自的不足，发挥彼此的优势 就显得非常重要。 从根本上说，技术分析与计量模型分析是两种截然不同的思路模式。技术 分析是归纳重复发生的价格模式的一种方法，这些价格模式之所以产生，主要 是因为市场参与者在拟定决策时，都具有类似的心理结构，因而在整个历史上， 市场对类似的情况通常都会产生特定的反应。而技术分析的最大贡献则是提供 了一种方法，衡量这种反应的趋势，其对未来的预测是基于经验的。而计量模 型分析的方式则是基于统计理论和概率论，对经济变量进行定量的分析。其对 未来的预测是基于统计和概率的。由于这两种预测方法的思路截然不同，它们 之间的结合也有着一定的障碍。 3 第一章绪论 本文对多周期累积对数收益率序列这一技术指标序列数据进行体制转换建 模，用计量模型分析的方式，辨别出该序列数据表现出来的体制的转换，而这 种体制转换可以直接或间接的映射到相应的价格模式( 即趋势) 的转变。利用 这个思路完成技术分析与体制转换模型结合的关键就在于找到趋势的转变在技 术指标序列中的反应。不同的趋势将在技术指标序列的数值上呈现不同的特点， 而这种特点的转变可以通过体制转换模型辨识出来，同时也就等价于辨识出了 原始价格序列的趋势转变。从这个角度来说，本文采用的方法，是将技术分析 与计量模型结合起来的一种尝试。 另一方面，随着计算机在交易过程中的作用越来越重大，程序化交易的规 模不断扩大，程序化交易已经成为重要的交易途径，本文所做的尝试也为程序 化交易的编程拓展了新的思路。 第三节论文的主要内容和撰写思路 本文在回顾了体制转换模型的发展历程和理论框架的基础上，较为详细的 整理了体制转换模型建模、参数估计、求解等过程中需要用到的运算方法和理 论，结合金融预测的具体需求( 指导交易的金融预测不是具体价位的精确预测， 而是对趋势或者符号的预测) ，结合技术分析和计量模型的特点，提出了利用多 周期复合收益率这一类似技术指标的构造数据序列来建模并映射预测原始价格 序列所处趋势状态的新的模型。做出了对技术分析方法计量建模的初步尝试。 第二章介绍了体制转换模型的理论框架和推导过程( 以自回归体制转换为 例) ，对体制转换模型的框架进行了较为细致的描述；第三章介绍了在求解体制 转换模型中需要用的统计学知识极大似然估计法，以及求解极大似然估计 的最优化算法：第四章介绍了资产收益率的基本概念，引出了本文使用的数据 多周期复合收益率累积序列的构造方法，并分析了这样处理数据的理由和 优势；第五章总结回顾了金融预测的三种常用方法的预测模式和思路，并根据 技术分析与计量分析的预测思路中具有共性的地方进行细化，寻找到它们的结 合点：趋势的判定，抽象出了利用技术指标序列建模，并利用其状态的转换来 映射原始价格序列的趋势转变，进而进行趋势判定的基本思路。描述了用多周 期累积复合收益率建模对原价格序列进行趋势判定的具体做法，并用该方法对 上证超大盘指数3 0 分钟线数据进行拟合，根据累积周期的不同进行了优化分析； 4 第一章绪论 第六章采用实证的方式在模型对趋势状态预测的准确率和模拟交易的效果两个 方面进行了检验，并通过对检验结果的分析证明了模型的有效性；最后概括了 本文所提出的方法中存在的缺陷和不足，并对模型的改进方向提出了展望。 第四节论文的主要工作和创新点 论文主要工作： 一、回顾了体制转换模型发展历史及其推导的过程，并将其整个推导过程 中所要用的基础知识进行了收集和整理，这些基础知识主要是极大似然估计法 和无约束条件极值问题，比较全面的描述了体制转换模型的全貌。 二、总结了金融预测的几种方式的优势与劣势，鉴于体制转换模型能够提 供状态转换的判别能力，而技术分析的目标之- 正是判断价格序列的趋势状态， 找到了体制转换模型与技术分析的结合点趋势状态的判定，归纳出对技术 指标进行体制转换建模的基本思路。 三、介绍了多周期累积对数收益率序列的构造方法，通过观察该序列与原 始价格序列趋势状态存在的对应关系，构建了对该序列状态的判定模型，并结 合体制转换模型，实现了对原始价格序列的趋势判定。分析了累积周期对本模 型的影响和作用，从极大似然估计的角度对模型的累计周期参数进行了优化， 并使用优化后的累积周期对原始数据重新建模并估计参数向量。 四、设计了对模型捕捉趋势的能力进行检验的方法，使用不同的累积周期 建立相应的模型并检验其捕捉不同级别趋势的能力，通过其结果的横向与纵向 的比较，验证了本模型在趋势判定方面的有效性。利用本模型发出的信号进行 了模拟交易实验，通过模拟交易的结果，再次验证了本模型的有效性。 本文的创新点在于： 一、在数据的选取上，与金融时间序列分析中常用的收益率序列或对数收 益率序列不同，本文采用了一种新的构造数据，多周期累积对数收益率序列， 每一个数据本身都包含了前面若干周期的信息，使得趋势的意义更明显，同时， 数提更新的速度也较快( 每个周期提供一个数据) 。而这种构造数据的方式又类 似于技术指标的计算，完全可以将多周期累积对数收益率序列看做一个新的技 术指标，从而将技术分析与计量分析结合起来，提出了对技术分析的方法进行 计量建模的思路，并做出了初步的尝试。 第一章绪论 二、对模型的目标、结果的选取和评价标准上仅关注其对原始价格序列所 处趋势状态的判断而忽略对具体价格的预测，从而使得其结果更方便于指导实 际交易操作。 三、进行上述趋势状态判定的基础是通过建立一个映射，该映射将技术指 标的状态与原始价格序列所处的趋势状态对应起来，通过建立对技术指标序列 的体制转换模型，辩识出技术指标状态的体制转换，就相当于辩识出原始价格 序列趋势状态发生了转换。这种思路正是利用技术分析进行趋势判断的基本思 路，只是通常并没有仔细分辨这种映射在头脑中的细致过程，而是直接将其对 应起来。本文首次将这种映射的思路细化出来，并利用体制转换建模的方式来 实现。 6 第二章体制转换模型的理论框架 第二章体制转换模型的理论框架 第一节体制转换模型的发展综述 由于经济时间序列尤其是宏观经济和金融时间序列的行为经常发生显著的 变化，因此对其的研究中，只用一个固定的密度函数或者一个单一的参数集的 传统框架已经不能满足需求了，在分析中考虑结构的转换是非常必要的。这引 发了对变参数模型的兴趣的爆发。 一个著名的模型集合是带有潜在状态变量的转换回归模型，这类模型的参 数在固定数量的状态之间离散的切换，并且由一个不可观测的状态变量来控制 这种切换。切换回归在计量经济学中有悠久的历史，至少可以追溯到q u a n d t ( 1 9 5 8 ) 。g o l d f e l da n dq u a n d t ( 1 9 7 3 ) 介绍了这类模型的一个特别有用的版本，也 就是后面提到的马尔可夫转换模型，此模型的潜在的状态变量遵循一个马尔可 夫链来控制着状态的切换，并因此具有连续的依赖性。 在一篇很有影响力的文章( h a m i l t o n1 9 8 9 ) 5 b ，h a m i l t o n 将马尔可夫转换模型 扩展到具有相关性的数据的情况，尤其是自回归( c h a n g j i nk i m ，2 0 0 3 ) 。自从该 论文发表以来，许多研究者使用马尔可夫转换来为经济时间序列中的状态转换 建模。有研究显示h a m i l t o n ( 1 9 8 9 ) 这篇论文已经超过了2 5 0 个引用，许多研究将 某种马尔科夫体制转换( m a r k o vr e g i m ec h a n g e ) 应用在实证模型中。 不同的体制可以用同一模型的不同参数来描述，体制转换模型通过概率的 方式来描述这种模型参数转变过程的规律，根据不同的体制的定义会产生不同 的体制转换模型，这使得体制转换模型变的非常灵活。例如：h a m i l t o n ( 1 9 8 9 ) 瞄j 将体制转换与自回归模型相结合，将自回归模型的参数的变化看作是一个离散 状态马尔可夫过程的结果，用两状态四阶滞后的m a r k o v 模型研究了美国经济波 动；h a m i l t o n ( 1 9 9 4 ) t 3 】将体制转换与a r c h 模型结合，将不同的波动率状态参数 的变化作为不同的体制，进而提出了基于波动性状态转换的s w a r c h 模型， k i m ，n e l s o n 和s t a r t z ( 1 9 9 7 ) 用异方差的三状态m a r k o v 模型研究了1 9 2 6 - - - - 1 9 8 6 年间美国股市的月收益，结果显示该模型非常好的刻画了股市月收益的数据生 成过程。 7 第二章体制转换模型的理论框架 第二节体制转换模型的推导 一般来说，由于对体制的定义不同，体制转换模型的推导过程会有差别， 主要体现在各状态下的密度的计算上，根据体制的定义不同，需要用不同的函 数来计算各状态的密度。为了描述体制转换模型的推导过程，我们利用体制转 换模型与一阶自回归模型的结合为例来阐述这个问题，其他的情况下需要根据 不同的体制的定义来计算相应各体制下的密度。 2 2 1 两个状态的情况 为描述一个时间序列变量y ，行为的变化，可以将其行为的变化归结于其所 处的状态( 可观测或不可观测) 的改变。假设y ，最典型的行为可以描述为一阶 自回归 只= q + 只一l + q ( 2 1 ) 其中q n ( 0 ，盯2 ) ，可以在t = 1 ，2 ，t o 时刻来描述乃的行为。在t o 时n y , 的 行为发生了显著变化，变化之后可以用 只= c 2 + c y , 一l + b ( 2 2 ) 来描述在f = t o + 1 ，t o + 2 ，时n y , 的行为。 参数取不同的值，将代表不同的意义，例如：假设 代表一个国家的g d p ， 而c i 为正数、c 2 为负数，则式( 2 1 ) 描述的是经济增长的状态，而式( 2 2 ) 描述的 是经济衰退的状态。c l 和c 2 也可以同符号，这种情况则表现为不同的增长速度 或衰退速度。 为了将( 2 1 ) 和( 2 2 ) 统_ 起来，可以用一个更大的模型来包含它们 以= 巳+ 矽以一l + q ( 2 3 ) 其中，s ，表示变量少，在t 时刻所处的状态。当t - - 1 ，2 9 t o 时s ，= 1 ，y f 的行为可以用式( 2 1 ) 来描述，即c s ，- - - c l ；而当f = t o + l ，t o + 2 ，时s ，= 2 ， 少f 的行为可以用式( 2 2 ) 来描述，即c s ，= c 2 。 在这样的公式描述下，我们看到由c l 到c 2 的转换是一个确定性的事件。但 我们并不希望这是一个必然事件，而希望用概率的形式描述这种转变的发生。 为了达到这个目的，需要构造s ，在两个状态之间切换的概率。 8 第二章体制转换模型的理论框架 考虑最简单的情况，我们可以认为这个状态转换的过程由一个两状态一阶 马尔科夫链控制，即 p r ( s , = s l s , 一。= f ，s 一2 = 尼，只一。，乃一：，) = p r ( s , = j l s , 一，= ，) = 岛 ( 2 4 ) 其中p r ( s , = j l s , 一。= f ，s 一2 = 七，乃- l ，只_ 2 ，) 表示在，时刻由状态砰专变到状 态的条件概率。 假设我们能直接观察到y ，但仅能通过推理来获得s ，的值，那么必须构造 两个概率值分别对应j = l ，2 ，令其和为1 白，= p r ( s , = l q ，；0 ) ( 2 5 ) 其中q ，= ，y l - i m ，y o ) 表示在f 时刻所有观察值的集合。而。为由总体参 数构成的向量，在这里o = ( 盯，c i ，乞，p p 2 ：) 可以先假定其是已知的。 这个推理由f = 1 ，2 ，t 依次迭代执行。其中第f 步的输入为 参，f - l = p r ( s , 一l = if 2 , q ；o ) ；f = 1 ，2 ( 2 6 ) 输出为( 2 5 ) 。实施这个迭代所需要的关键量是各体制( 状态) 下的密度 叫班吐0 ) - 去唧卜丁( y , - c j - # y , - ! ) 2i ( 2 7 ) ，= 1 ，2 当给定输入( 2 6 ) ，可以通过 22 厂( 儿i q 川；o ) = 岛专川 ( 2 8 ) i = 1 y = l 计算第t 个观察值的条件密度，进而得到想要的输出 二：垫塑bj , t 厂( m i q ；o ) ( 2 9 ) 整个迭代的过程将逐一计算出变量y ，在某个已知的初始总体参数构成向 量0 = ( 仃，矽，q ，c ，p 1 ，p ，) 的条件下，在每个时刻处于各体制下的概率。在前面我 们假定0 为已知，但实际情况是观测数据的0 值并非己知，我们假定的0 值也未 必就是最适合观测数据的模型参数。这就需要通过估计来求得一个最恰当的o 值，也就是对模型参数的估计。可以通过极大似然估计法来进行这个估计。 在迭代过程中，可以同时计算出就特定0 值而言的被观测数据的样本的条件 9 第二章体制转换模型的理论框架 对数似然函数 7 l o g f ( y l ，y 2 ，y , l y o ；o ) = z 1 0 9 ( y , l q ；o ) ( 2 1 0 ) t = l 进而对0 值的最优估计可以通过最优化方法对式( 2 1 0 ) 数字最大化来获得。 迭代初始值专。的选择上可以简单的设置成缶。= ，如果假定马尔科夫链是 遍历的，还可以使用非条件概率专。= p r ( s o = f ) 2 云i ：p z ，或者用极大似然法来 l 一 估计当。 2 2 2 推广到n 个体制的情况 考虑一个( ，1 ) 向量y ，为观测值，其密度依赖于个不同的体制，令 q ，= y t , y r - l y 。 表示到时刻t 为止的所有观察值；p 为一个( ) 转移矩阵， 其第i 行第j 列为岛；t l r 为- - d ( n x l ) 向量，它的第j 个元素厂( 以l s = ，q f 一。；o ) 为体制j 下的密度；缶k ：为- - + ( n x l ) 向量，其第j 个元素为p r ( s = i q ，；o ) 。那 么式( 2 8 ) 、式( 2 9 ) 可以推广为 f ( y ，i q ；o ) = 1 ( p ho l l f ) ( 2 11 ) = 端 ( 2 1 2 ) p2 丽蕊丽 u 1 句 其中f 表示( n x l ) 的单位向量，o 表示逐个元素相乘。 对未来状态的预测为 二 = p 亏出(213+lit ) 一1 出 。， 总的来说，推广到个体制的情况下，并不增加计算的复杂度。 2 2 3 推广到多阶的情况 在m a r k o v 体制转换模型中，假定体制的转换是具有依赖性的，如果，时刻 的体制只依赖于r 一1 时刻的体制，那么模型的变化是一阶的；如果t 时刻的体制 只依赖f l 和，一2 时刻的体制，那么模型的变化是二阶的。通过对体制的重新定 l o 第二章体制转换模型的理论框架 义可以将多阶情况变换到一阶个体制的形式上去。下面以二阶为例，描述具 体的变换方法如下： 设模型是二阶的，即f 时刻的体制依赖于，_ l 和，一2 时刻的体制，重新定义 一个新的状态变量g ，其取值为 = 1w h e n s = 1a n ds l = 1 2w h e ns = 2a n d s t l = 1 3w h e n s = 1a n ds l = 2 4w h e ns = 2a n ds l = 2 相应的g 就被变换成了服从4 个体制的一阶m a r k o v 链的新的状态变量。其 转移矩阵p 为 p ： p l l 0 p 1 2 0 0 p 2 l 0 p 2 2 p 1 1 0 p 1 2 0 0 仍l 0 p 2 2 这样的变换之后，模型估计的递推算法不变，只需要根据不同的模型和构 建的新的体制的定义，改变各体制下的密度的计算公式( 2 7 ) 即可。需要特别提出 的是，进行这样的变换的前提条件：“，时刻的体制依赖于r 一1 和f 一2 时刻的体 制 ，同时也意味着只依赖于整个历史数据只，y t - 2s y l ，也可以近似的认为片依 赖于历史数据以- p m 一2 。这类似于a r m a 模型的情形。 第三节本章小结 本章首先回顾了体制转换模型的发展历史，并以两状态一阶自回归的体制 转换模型为例推演了体制转换模型的建模与估计的方法，通过推演过程，可以 看出了体制转换模型的变化体现在实施模型估计的迭代过程中的一个关键量， 即各体制下的密度。这个关键量的变化将构建不同的体制转换模型；接下来将 模型估计的迭代过程推广到向量运算的模式，这个过程同时也就将体制的数目 推广至个：最后讨论了模型阶数的问题，当变量 具有历史依赖性的情况下， 通过一个变换来重定义体制，可以将多阶问题转换为一阶问题，在这里需要指 出的是，变量 的历史依赖性不能也不可能短于体制s 的历史依赖性，反之则 是可以的。 第三章求解体制转换模型所用到的数学方法 第三章求解体制转换模型所用到的数学方法 第一节极大似然估计法 极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法。1 8 2 1 年首 先由德国数学家c f g a u s s 提出，英国的统计学家r a f i s h e r ，在1 9 1 2 年再次 提出了这个思想，并在1 9 2 2 年的论文【7 】中正式发表，探讨了这种方法的一些性 质，极大似然估计这一名称也是f i s h e r 给出的。 3 1 1 极大似然原理 极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果a ，b ， c ，。若在一次试验中，结果a 出现，则一般认为试验条件对a 出现有利， 也即a 出现的概率很大。我们可以举一个更直观一些的例子来说明这