（应用数学专业论文）时滞cohengrossberg神经网络的局部稳定性及其吸引域问题.pdf

硕上学位论文 摘要 在人工神经网络的实现过程中，由于信号传输的速度有限，时滞通常是不可避 免的因此，在定性分析这些网络时，考虑时间延迟的影响是非常霞要的，这也引起 了国内外学者的广泛关注 最常见的c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型在并行处理、联想记忆，特别是最优化 计算等方面都有相当广泛的应用研究很多文献都介绍了时滞c o h e n - g r o s s b e r g 神 经网络模型的全局渐近稳定或指数稳定问题，并给出了保证全局渐近稳定或指数稳 定的充分条件而对于局部稳定性问题则很少有人涉足，在此情况下，本论文尝试对 具常时滞c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络和具分布时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的平 衡点的局部稳定性进行探讨，得到了其平衡点达到局部稳定和局部指数稳定的充分 条件，并判断出其达到局部指数稳定时的吸引域范围通过对二者结果的对比分析， 归纳出一个重要结论，即在假设的条件满足的情况下，具常时滞c o h e n g r o s s b e r g 丰$ 经网络模型的平衡点局部稳定的充分条件同样适用于具分布时滞c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络模型 本论文主要由4 部分组成 第l 章为绪论，主要包括人工神经网络发展史、课题背景和本文主要研究内容 的简要介绍及一些基本定义和引理 第2 章讨论了具常时滞c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络模型在两类范数定义下的局 部稳定性和局部指数稳定性，通过构造l y a p u n o v i i 药数以及应用一些不等式技巧等， 得到了模型的平衡点达到局部稳定的一些充分条件，这些条件独立于时滞 第3 章讨论了具分布时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型在两类范数定义下的 局部稳定性和局部指数稳定性，得到了模型的平衡点达到局部稳定的一些充分条 件，这些条件不仅独立于时滞，并与常时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型的局部 稳定性条件相同，这是本文得到的一个重要结论 最后的结论部分，对全文进行了简要总结，并提出今后的研究方向 关键词：c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络；常时滞；分布时滞；l y a p u n o v 泛函； 局部稳定；局部指数稳定；吸引域 i i 硕上学位论文 a b s t r a c t i nt h er e a l i z a t i o no ft h ep r o c e s so ft h ea r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，t h ep r o p - a g a t i o nd e l a yi si n e v i t a b l e b e c a u s ei nt h ea b s e n c eo ft i m ed e l a ya n dt h eg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn e u r a ln e t w o r k s ，t h e r ew i l lo c c u r r e do s c i l l a t i o na f t e rt h e i n t r o d u c t i o no ft i m e - d e l a y a sar e s u l t ，w h e nw es t u d yt h en e t w o r kf o rq u a l i t a t i v e a n a l y s i s ，c o n s i d e r i n gt h ei m p a c to ft i m ed e l a yi sv e r yi m p o r t a n t ，t h i sa l s oa r o u s e d w i d ea t t e n t i o nf r o ms c h o l a r sa th o m ea n da b r o a d t h em o s tc o m m o no ft h ec o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r km o d e li np a r a l l e l p r o c e s s i n g ，a s s o c i a t i v em e m o r y , i np a r t i c u l a rt h eo p t i m i z a t i o nc a l c u l a t i o n sh a v ea w i d er a n g eo fa p p l i e dr e s e a r c h ，al o to fl i t e r a t u r ei n t r o d u c e dd e l a yc o h e n g r o s s b e r g n e u r a ln e t w o r km o d e lf o rt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo re x p o n e n t i a ls t a b i l i t y p r o b l e m ，a n dg i v e sag u a r a n t e ef o rg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo re x p o n e n t i a ls t a - b i l i t yf o rs o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a sf o rt h el o c a ls t a b i l i t y ，t h e r ea r ef e wp e o p l e t og e ti n v o l v e d i nt h i sc a s e ，t h i sa r t i c l et r i e st ot a k et h ec o h e n g r o s s b e r gn e u r a l n e t w o r k sw i t hr e g u l a rt i m e - d e l a ya n dt h ec o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sw i t h c o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e dd e l a y ss o l u t i o n sf o re x p l o r i n gt h el o c a lc o n v e r g e n c e ，e q u i - l i b r i u mp o i n th a sb e e nr e a c h e di t sl o c a ls t a b i l i t ya n dl o c a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ，a n dt h ee s t i m a t i o no fs i z eo ft h ea t t r a c t i o nb a s i n t h e ns u mu pa ni m p o r t a n tc o n c l u s i o n ，a s s u m i n gt h a tt h ec o n d i t i o n sa r ef u l f i l l e d ， t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rl o c a ls t a b i l i t yo ft h ec o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s w i t hr e g u l a rt i m e - d e l a ya p p l yt ot h ec o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sm o d e lw i t h c o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e dd e l a y s t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m sw h i c h w i l lb ei n v e s t i g a t e da n dt h em a i nw o r k so ft h i sp a p e r f o rc o n v e n i e n c eo fe x p r e s - s i o n s ，w ea l s oi n t r o d u c es o m en o t a t i o n sw h i c hw i l lb eu s e di nt h i st h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h el o c a ls t a b i l i t ya n dl o c a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo ft h ec o h e n - g r o s s b e r gn e u r a l ln e t w o r k sw i t hr e g u l a rt i m e - d e l a yu n d e rt w o d e f i n i t i o n so ft h en o r l t l b yc o n s t r u c t i n gal y a p u n o vf u n c t i o na n dt h ea p p l i c a t i o n o fs o m et e c h n i q u e s ，s u c h 晒i n e q u a l i t y ，w eg e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e q u i l i b r i u mp o i n to ft h em o d e lt oa c h i e v el o c a ls t a b i l i t y , a n dt h e s ec o n d i t i o n sa r e i n d e p e n d e n to ft h ed e l a y m i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h el o c a ls t a b i l i t ya n dl o c a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t vo f t h ec o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sw i t hc o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e dd e l a y su n d e r t w od e f i n i t i o n so fn o r m w eg e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee q u i l i b r i u mp o i n t o ft h em o d e lt oa c h i e v el o c a ls t a b i l i t y t h e s ec o n d i t i o n sa r en o to n l yi n d e p e n d e n t o ft h ed e l a y , b u ta l s os i m i l a rt ot h ec o n d i t i o n so ft h ec o h e n g r o s s b e r gw i t hr e g u l a r t i m e - d e l a y i ti s 锄i m p o r t a n tc o n c l u s i o ng a i n e di nt h i sp a p e r t h ee n di sc o n c l u s i o na n d s u m m i n gu pt h ef u l lt e x t ，a n dp o i n tt h ed i r e c t i o n o ff 1 1 t u r er e s e a r c h k e yw o r d s ：c o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k ；r e g u l a rt i m e - d e l a y ；d i s t r i b u t e d d e l a y s ；l y a p u n o vf u n c t i o n a l ；l o c a ls t a b i l i t y ；l o c a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ； a t t r a c t i o nb a s i n i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期：加7 年多月节日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密酣 ( 请在以上相应方框内打“”) 篡懑导师签镪冬 日期：多卵9 年多月眵日 日期：2 勿矽年 彳月 肜日 硕上学位论文 第1 章绪论 1 1人工神经网络的发展史 人工神经网络的发展起源于何时，说法不一一般认为，其起源可追溯至j j p i t t s 和 m c c u l l o c h - 于1 9 4 3 年发表的论文1 ，这篇文章根据已知的神经细胞生物过程原理，构 造了一个简单的人工神经元模型，即神经元的阈值元件模型，后来，人们称它为m p 模型m p 模型是第一个神经元数学模型，其神经元的输入信号加权和与阈值比 较再决定神经元是否输出这是人类历史上第一次对大脑工作原理描述的尝试，从 原理上证明了人工神经网络可以计算任何算术和逻辑函数 2 0 世纪4 0 年代末期，d o h e b b 在文献f 2 1 中首先定义了一种调整权的方法，称 为h e b b 学习规则这本著作的主要假定是人的行为可以由神经元的行为来解释， h e b b 指出，经典的条件反射是由单个神经元的性质引起的，他提出了生物神经元 的一种学习机制h e b b 学习规则可以认为是在细胞一级进行学习的基本原理，该规 则至今仍是神经网络学习算法的一个基本规则 2 0 世纪5 0 年代后期，r o s e n b l a t t 提出了一种后来常用的神经网络结构，称为感 器( p e r c e p t r o n ) p 他提出了感知机网络和联想学 - 2 规则，首次从工程角度出发， 研究了用于信息处理的神经网络模型这是一种学习和自组织的心理学模型，它基 本符合神经生理学的原理，虽然比较简单，却已具有神经网络的一些基本性质，如 分布式存储、并行处理、可学习性、连续计算等这些神经网络的特性与当时流行 串行的、离散的、符号处理的电子计算机及其相应的人工智能技术有本质上的不 同这也是人工神经网络的第一个实际应用，由此引起许多研究者的兴趣，在后来 掀起了神经网络研究的第一次高潮但是，当时人们对神经网络研究过于乐观，认 为只要将这种神经元互连成一个网络，就可以解决人脑思维的模拟问题，然而，后 来的研究表明基本的感知机网络只能解决有限的几类问题 2 0 世纪6 0 年代，两个训练自适应神经元的方法一感知机规则及l m s 算法规则相 继出现1 9 6 0 年，w i d r o w 和h o f f 提出了自适应线性元件a d a c i n e 网络模型1 4 j ，文中 介绍了能进行快速、准确学习的神经网络，他们假设系统的输入和对每一个输入所 期望的输出，然后计算经过神经网络训练后的实际输出与期望输出的误差，采用梯 度下降法调整权值，以达到最小均方误差( l m s 算法) 1 9 6 9 年，美国著名人工智 能专家m i n s k y 和p a p e r t 对r o s e n b l a t t 的工作进行了深入的研究，出版了有较大影响 的p e r c e p t r o n ) ) 一书1 5 】，指出感知机的功能和处理能力的局限性，甚至连x o r ( 异 或) 这样的问题也不能解决，同时也指出如果在感知器中引入隐含神经元，增加神 日f 滞c o h c n g r o s s b c r g 神经网耋 的局部收敛忡及其吸引域问题 经网络的层次，可以提高神经网络的处理能力，但是却无法给出相应的网络学习算 法另一方面，由于上世纪6 0 年代以来集成电路和微电子技术口新月异的发展，使 得电子计算机的计算速度飞速提高，加上那时以功能模拟为目标、以知识信息处理 为基础的知识工程等研究成果给人工智能从实验室走向实用带来了希望，这些技 术进步给人们造成这样的认识：以串行信息处理及以它为基础的传统人工智能技 术的潜力是无穷的，这就暂时掩盖了发展新型计算机和寻找新的人工智能途径的 必要性和紧迫性另外，当时对大脑的计算原理、对神经网络计算的优缺点、可能 性及其局限性等还很不清楚总之，认识上的局限性使对神经网络的研究陷入了低 潮 2 0 世纪7 0 年代，虽然神经网络的发展仍处于低潮期，但仍有一些学者扎扎实实 地继续着神经网络模型和学习算法的基础理论研究，提出了许多有意义的理论和 方法其中，g r o s s b e r g 提出了自适应共振理论【6 】，他研究了两种记忆机制( 短期 记忆和长期记忆) ，提出了一种基于可视系统的自组织神经网络，这是一种连续时 间竞争网络，是构成自适应谐振理论( a r t ) 网络的基础k o h o n e n 提出了自组织映 射( s o m ) 【7 ，8 一，a n d e r s o n 提出- j b s b 模型1 1 0 l 等等，这些都为神经网络的进一步研究 和发展奠定了基础 2 0 世纪8 0 年代，首先是基于“知识库”的专家系统的研究和运用，在许多方面 取得了较大成功但在一段时间以后，实际情况表明专家系统并不像人们所希望的 那样高明，特别是在处理视觉、听觉、形象思维、联想记忆以及运动控制等方面，传 统的计算机和人工智能技术面临着重重困难模拟人脑的智能信息处理过程，如果 仅依靠串行逻辑和符号处理等传统的方法来解决复杂的问题，会产生计算量的组 合爆炸因此，具有并行分布处理模式的神经网络理论又重新受到人们的重视对 神经网络的研究又开始复兴，掀起了第二次研究高潮 1 9 8 2 年，美国加州工学院物理学家h o p f i e l d 提出了一种新的神经网络h n n 1 1 】， 这是一种全连接的反馈型网络，开创了把神经网络用于联想记忆和优化计算的新 途径，有力地推动了神经网络的发展他引入了“能量函数”的概念，使得网络稳定 性研究有了明确的判据h n n 的电子电路物理实现为神经计算机的研究奠定了基 础，并将其应用于目前电子计算机尚难解决的计算复杂度为n p 完全型的问题，例如 著名的“巡回推销员问题( t s p ) ”，取得了很好的效果1 9 8 5 年，h i n t o n 和s e j n o w s l 【i 等 人对h o p f i e l d 模型引入随机机制，提出t b o l t z m a n n 机【1 2 , 1 3 】，首次采用了多层网络的 学习算法，在学习中采用统计热力学模拟退火技术，保证整个系统趋于全局稳定点 1 9 8 6 年，r u m e l h a r t 和m c l l e l l a n d 等人提出了并行分布处理的理论【1 4 1 多层前馈网络是目前应用最为广泛的神经网络模型之一，其神经元结点分层 一2 一 硕= 【j 学何论文 排列，组成输入层、隐层和输出层，每层的神经元只接收前层神经元的输出信号 多层前馈神经网络的反向误差传播训练算法( 简称为b p 算法) 首先是由w e r b o s 在 他的博士毕业论文中提出【1 5 l ，但不幸的是，他首先发表于1 9 7 4 年的这一成果并没 有引起当时科技界的重视直至1 j 1 9 8 2 年，p a r k e r 重新发现了这一方法【1 6 i ，不久以 后r u m e l h a r t 、h i n t o n 和w i l l i a m s 也重新报道了这一方法【1 7 | ，才使得该算法广为流 传，并广泛应用于实际问题求解 r u m e l h a r t 等人使用的神经元不同于以往人们在m a d a l i n e 网络中使用的神经 元早期的m a d a l i n e 网络中使用的是硬限幅( s i g n u m s ) 神经元【圳，而b p 算法中网络 使用的神经元是可微分的非线性神经元或s i g m o i d 函数神经元该算法克服了m i n s k y 和p a p e r t 所指出的感知机算法的局限性【5 】b p 算法似乎再次打开了m i n s k y 和p a p e r t 早已关闭的研究大门 b p 算法很快在神经网络中占据了主导地位，成百上千的科技工作者在科技学 会上报道b p 算法的应用成果，大众媒体也把b p 算法誉为人们期待已久的机器智能 研究的突破，它能从经验中学习，并预示着制造业的自动化：如不同语言间的翻译， 能自我修复的机器人，等等但b p 算法被普及的同时，也引起了人们激烈的批评， b p 算法的主要缺点是常不收敛，或收敛于局部极小，即使收敛，其速度也很慢，这 使得b p 算法只能解决小规模的问题 2 0 世纪9 0 年代以来，神经网络的发展已到了一个新时期，它在向纵深发展的同 时，也在与模糊技术、遗传算法、进化计算等智能方法相结合的方向上发展1 9 9 4 年， 廖晓昕对细胞神经网络建立了新的数学理论与基 i $ 1 1 9 1 ，得出了一系列结果，如平衡 态的全局稳定性、区域稳定性、周期解的存在性和吸引性等，使该领域取得了新的 进展w e r b o s 通过混沌、孤立子系统的数学技术来理解人的认知过程，建立新的神 经信息处理模型和框架【2 0 , 2 1 】a m a r i 将微分流形和信息几何应用于人工神经网络的 研究 2 2 , 2 3 】，探索系统化的新的神经信息处理理论基础，为人工神经网络的理论研究 开辟了一条崭新的途径另外，在神经科学、心理学和认识科学等方面，也成为了 神经网络理论研究的新的战场 2 4 , 2 5 1 2 1 世纪，神经网络理论日益变得更加外向，不断产生具有重要意义的概念和方 法，推进神经网络向更高阶段发展目前，神经网络系统理论与技术的发展大体在 以下几方面进行首先在硬件技术方面，一些发达国家如美国和日本，均实现了规 模超过1 0 0 0 个神经元的网络系统，这样的系统具有极高的运算速度，而且已经在股 票数据分析中得到了应用另外，为了克服电子线路交叉极限问题，很多国家都在 研究电子元件之外的神经网络系统，如光电子元件和生物元件等在神经网络系统 理论的研究方面，主要的进展有b o l t z m a n n 机理论的研究、g r o s s b e r g 型神经网络、 一3 一 h t 滞c o h e n g r o s s b e 职神经网络的局部收敛性及其吸引域口j 题 细胞网络( c n n ) 的提出和性能指标的分析等神经网络系统的应用研究主要集中 在模式识别( 语音和图像识别) 、经济管理和优化控制等方面，它和数学、统计中的 多个学习有着密切的联系，如线性和非线性规划问题、数值逼近、统计计算等另 外，在其他信息处理问题中也有很多应用，如数据压缩、编码、密码和股市分析等 领域，应用内容十分丰富 1 2课题研究背景 1 9 8 3 年，c o h e n 和g r o s s b e r g 【2 6 】提出了一种广义的神经网络及生态模型 圣t = 一。t c z t ， 6 t c z t ，一妻j = lt 巧s ，c ，+ 五 ， c t 1 ， l j 其中t = 1 ，2 ，n ，( 几2 ) 表示网络中神经元的个数，嗣( t ) 为第计、神经元在t 时刻 的状态变量，x ( t ) = ( x l ( t ) ，z 2 ( t ) ，z n ( 亡) ) t 啦( ) 为放大器函数，6 t ( ) 为行为逼 近函数t = ( 幻) n n 是神经元之间的连接权矩阵，不假设它们是对称的；s ( ) = ( 8 1 ( ) ，8 2 ( ) ，s n ( ) ) t 为连续的激励函数，j = ( 五，以，厶) t 为网络的外部输入 ( 设为常数) c o h e n g r o s s b e r g 神经网络( c g n n ) 模型是一个十分广泛的模型，它包含了多 个生态系统及神经网络，如 v o l t e r r a - l o t k a 系统： 圣t = g t z i ( 1 一喜t 巧巧) ， c l 2 ， g i l p i n - a y a l a ：竞争生态系统： 圣t = g t z t 1 一( 老) 巩一骞t 巧( 薏) ， c 1 3 ， e i g e n s c h u s t e r x i t 系统： 士t = z t ( m t 一l q 喜 b 苟) c 4 ， 若适当选取各参数，还可以得到h o p 丘e l d 神经网络模型： 一卺+ 酗柏m ， ( 1 5 ) 硕l 学何论文 其中，g 0 ，尼 0 分别代表神经元的扩大输入电容和电阻以及更一般的非线 性神经网络模型： r i t 1 毫i = 一a 忍+ ( 鼠一c i x ) 【五+ 五( z t ) 1 _ ( d 国+ 毋) i 五+ t i j g j ( x j ) i ( 1 6 ) l j = l j 目前，c g n n 模型已经在并行处理、联想记忆，特别是最优化计算等方面引起 了学术界广泛的研究兴趣1 2 7 1 与此同时，网络的稳定性也受到了越来越多的关注 众所周知，在神经网络的实现过程中，参数摄动及建模误差是不可避免的，并可能 导致稳态记忆的消失及互联结构的改变；另一方面，由于放大器转换速度的限制， 又不可避免地引入时滞 2 8 - 32 i ，并可能引起振荡及网络的不稳定【a 3 1 因此，互联结 构、参数摄动和时滞对c g n n 的稳定性有着重要的影响 很多文献都介绍了时滞c g n n 模型的全局渐近稳定或指数稳定问题，并给出了 保证全局渐近稳定或指数稳定的充分条件【2 7 , 3 2 , 3 4 2 1 m a r c u s j f f l w e s t e r v e l t 3 3 】第一次在模型( 1 5 ) 中引入单个离散时滞，研究了如下时 滞微分系统： q 规( ) = 一斋+ 幻s j ( ( t 一7 ) ) + 五 ( 1 7 ) 、 j = l 考虑到离散时滞c g n n ，y e 等人【3 0 研究了如下时滞微分系统的稳定性： 圣t = 一o t c z t ， 玩c z t ，一壹k = 0 壹j = lt 乎勺c 巧c t 一亿， ， ( 1 8 ) 其中，他n 矩阵死= ( 孑) 代表时滞之间的相互连接，k = 0 ，1 ，2 ，k ，0 = 伯 n 0 是离散常时滞为实现局部稳定性，我 们将分别给出在两类范数条件下系统平衡点局部稳定和局部指数稳定的条件，这 些条件都独立于时滞 尽管离散时滞神经网络在由少量神经元组成的简单电子神经网络系统中有很 好的应用结果，但在生物神经网络中，因轴突大小和长度各异，存在一定数量的平行 一6 一 硕上i 学何论义 路径，离散时滞还有一定的拓展空间，这就是传输延迟的分布形式，但它无法用离散 时滞来模拟，在这样的情况下，正确的方法就是在这些模型中合并分布时滞 6 0 一删 具分布时滞的c g n n 中最常见的是如下模型： 圣t = 一n t ( z t ) ( 6 t ( z t ) 一喜t 巧z ( p ) s ，( 巧( t 一口) ) d 口+ 五) ， ( 1 1 2 ) 其中，i ，j = 1 ，2 ，仡，b ： o ，。) 一( 0 ，。o ) ，要求在【o ，。o ) 上是连续的，并且满足： 。后巧( 6 ) d 口：1 ，6 o k i i ( o ) 1 上b ( 6 ) d 口= 1 ，o ( 0 ) d 0 还经常会被转化成如下形式【6 5 】： 础，= ( 扩1 丁o n e - o c 玎， 其中，( 0 ，。0 ) ，显然可知 恕( 口) = 0 本文第3 章考虑如下更一般形式的具有分布时滞i 拘c g n n 模型： 驴嘶i)(6i)一妻q洲删一喜幻序羽)易(xj(t-0)d0+itj=l、， j = 1 一u ( 1 1 3 ) 其中，：【0 ， r j 】一 0 ，o 。) ，要求在【o ， 上是连续的，并且满足： k i j ( 9 ) d 0 = 1 同第2 章一样，我们将研究在两类范数意义下该系统的局部稳定性和吸引域问题，并 得到了系统局部稳定的条件 我们将证明，在假设的条件满足的情况下，具常时滞的c g n n 模型的平衡点局 部稳定的充分条件同样适用于具分布时滞i 钓c g n n 模型这是本文得到的一个重 要结论 1 4 一些基本定义和引理 定义1 1 设r 1 = ( 一o o ，。o ) ，r = 【0 ，o 。) ，舻表示n 维实数线性向量空间，对给 定z 舻，忪| i 表示z 的范数，1 1 2 1 1 p 表示z 的p 范数( p 1 ) ， 忪峙= 睁i p ) 1 p 时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的局部收敛性及其吸引域 d 题 定义1 2 设c ( - - t ，0 】，舻) 表示映卜7 ，0 至u r n 的连续函数空间，简记为c 在c 上 定义如下范数： 炉z + i i ，2 s u p - - r 0 ，使得所考虑系统的 任意解z ，当一z 忆 6 时( 七= 1 ，2 ) ，对于所有n - , j - n t20 ，有i i x ( t ) 一z 忆 e 成 l 业： ( b ) z 称为是局部指数稳定的，如果：i ) z + 是局部稳定的；i i ) 存在三个正数正q ，p ， 使得对任意解z ，当一z 忆 t 府t ( k = 1 ，2 ) ，有i i x ( t ) 一z 忆 o ； d + i 巾) i = 一，( t ) ， 若，( t ) 9 ( t ) ； d + m a x ，( ) ，夕( ) ，= d + g ( t ) ，若厂( ) s u ( p 。z 翌5 箭 k 嚣 。) 吵善吗删 y ( u ( t ) ) = l u i ( t ) l + 面i b i 3 1 ! i 乃( 哟( s ) ) i d s ( 2 5 ( b ) 对于某一时刻t 。o ，若y ( 札( t 。) ) y ( u ( o ) ) ，且。咖i i l 竞，则i i u ( t 。) 1 1 1 舭肿肛酶( 1 叱叫m a n x r i 删i ) 喜洲) ； 硕上学t = ：7 ：论文 ( c ) 若l l u o l l l 争，则对于所有g j n n t 0 ，有d 十y ( t ( t ) ) o 成立 证明( a ) 由式( 2 2 ) 我们有 r nn 1 也( t ) i t _ o = 一啦( u ( 。) ) j 屈( ( t 。) ) 一o 巧毋( 吻( t 。) ) 一b o g j ( u j ( t 。一) ) 1 lj = lj = lj l y a p u n o v 函数( 2 5 ) 式在t 时刻求右上d i n i 导数，则 d + y ( u ( t ) ) = ( s g n u i ( t ) ) t i t ( ) + 也 b t j l ( 1 缈( ( t ) ) i - i g j ( u j ( t 一功) ) 1 ) i = 1i = 1j = l n r r i n 1 ( s g i l 砺( ) ) 啦( 仳i ( t ) ) i 一屈( ( ) ) + 仍( 嘶( ) ) + b i j g j ( u i ( t 一嘞) ) i i = 1 l j = lj = 1 j + 盈( i g j ( u j ( t ) ) l i g j ( u j ( t 一) ) i ) i = 1j = l 一( s g i l u ( ) ) 啦( u ( t ) ) 屈( 仳 ( 亡) ) + 画l e v ii g j ( u j ( t ) ) l i = 1i = 1j = l + mi g j ( u j ( t - r 玎) ) l 面+ 画蚓( i g j ( u j ( t ) ) l i g j ( u j ( t 一) ) i ) i = 1 = l i = 1j = l = 一( s g n u i ( t ) ) a i ( u t ( t ) ) 屈( u t ( 亡) ) + ( 面i a i j i + 奶m ) i g j ( u j ( t ) ) 1 根据假设( h 2 ) 、( h s ) ，对于任意的j i = 1 ，2 ，n ，乃( 巧) 至少是一阶可微的，由微分 中值定理知，存在巧与巧( ) 之间取值的白、仍，使得 成立从而有 岛( 哟( t ) ) = 幻( ( t ) + x j ) 一6 j ( z ；) = ( 白) ( ) ， 仍( ( ) ) = 乃( 呦( 亡) + 巧) 一厶( 巧) = 形( 仍) ( t ) d + y ( 让( t ) ) 一些6 ，他) l u i ( ) i + 风( i n 巧i + i i ) i 形( 仍) ll u ；( t ) l i = 1 i = 1j = l 刀疗刀 = ( - 妒聪) + 嘞( k i + m ) l 一( 仇) llm ) l i i = 1i = 1j = l 疗 疗 疗 、 l 一善呼忙黜 ，+ i = l j = l ( 酏砒帆蚓m a x l l ，吵黜) i n j 滞c o h e n g r o s s b e r g b l i 经网络的局部收敛r l 及其吸- j i 域i 口】题 再由条件0 r a 1 及a 1 的定义可知，当l l u ( t o ) 1 1 1 r 时，有 一善喳忙掣( 嘲+ e 瑚e 渊( s j a j a ji b j m 忙叫m a x ，) ， 即 d + y ( u ( t ) ) i , - - , o 0 成立，所以( a ) 获证 ( b ) 根据条件v ( u ( t o ) ) y ( 仳( o ) ) 可知， i l u ( t o ) 1 1 1 = l u , ( t 。) i 妻i = 1m i + 喜喜酬le 嘞姒哟( s ) ) i d l s i = lf = l。叼一7 玎 = v ( u ( t o ) ) y ( u ( o ) ) = i u i ( o ) i + 彘m i 毋( ( s ) ) id a 黪( 吨鞴 r i 删i ) 骞酬乃t )