（概率论与数理统计专业论文）考虑保险的最优消费、投资模型研究.pdf

摘要 在金融数学中，一个最基本的问题就是最优消费投资问题。这个 问题的研究起源于m e r t o n ( 1 9 6 9 ，1 9 7 1 ) ，投资者的资产在消费和 投资之间进行分配，期望在时间区间【o ，丁 或【o ，+ 。) 的消费效用或终值 财富效用最大化。在m e r t o n 及其他学者研究的最优消费投资模型当 中，都是考虑投资者的资产在消费和证券投资组合之间进行分配。但 随着经济的发展，居民金融资产结构发生了变化，不再仅仅包括银行 储蓄存款和有价证券，而且选择购买保险的越来越多。考虑以上原因， 投资者个人资产的分配不再仅仅局限于消费和证券市场投资两个方 面，而且还应该考虑投资者是否购买各类保险，也就是说，投资者应 该考虑自己的资产在消费、证券投资组合和购买保险之间进行合理分 配，以达到投资者的期望效用最大化。 本学位论文对m e r t o n 及其他学者研究的最优消费投资模型进行 改进，考虑资产在消费、证券投资组合和购买保险之间进行合理分配， 还讨论了引入保险模型后，保险决策过程对消费投资决策的影响。在 本论文中，考虑的保险种类包括个人定期人寿死亡保险、财产保险及 年金保险。 本论文通过建立动态的数学模型，解决投资者的资产在消费、投 资和购买保险之问进行合理分配，以达到个人期望消费效用和终值财 富效用最大化。除了在m e r t o n 及其他学者研究的最优消费投资模型 中引入了保险模型，对其改进还表现在一个地方，即m e r t o n 及其他 学者讨论的投资决策区间是确定的，是有限或无限的时间区间，而 i 在本文的部分章节我们还讨论了决策区间是不确定的时间区间，因为 我们假设投资者的死亡时间是一随机变量。 本论文采用的方法为动态规划原理和随机分析的理论，通过求解 控制问题对应的h j b 方程，得到具有反馈形式的最优决策过程。 本论文主要分三个部分，第一部分包括第二、三、四、五章，主 要讨论最优消费、投资、定期人寿死亡保险模型；第二部分包括第六、 七章，讨论最优消费、投资、财产保险模型；第三部分是第八章，讨 论最优消费、投资、年金保险模型。 第二章讨论最优消费、投资、定期人寿死亡保险的一般模型，解 决了对应的最优控制问题，最优策略可通过求解 h j b ( h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ) 方程得到，当效用函数为c r r a ( 常数 相对风险厌恶) 类型时，显式地得到具有反馈形式的最优投资过程、 消费过程及定期人寿死亡保险购买过程。 第三章在第二章讨论的基础上考虑借贷利率不同时的情况，利用 动态规划原理与随机分析方法，最优策略可以通过控制问题对应的 h j b 方程求得。对于特殊类型的效用函数c r r a ( 常数相对风险厌 恶) ，可以得到最优决策的显式解。 第四、五两章讨论存在不可分散风险的随机收入时最优消费、投 资、定期人寿死亡保险模型。第四章在一般的模型参数和效用函数的 假设下，用动态规划原理和粘性解方法，得到最优控制问题的值函数 是对应h j b 方程在凹函数集中的唯一受控粘性解，并且可由h j b 方 程的一阶条件得到最优控制；第五章讨论当投资者的效用函数为 i 】 c r r a 时，运用值函数的齐次性，将原控制问题转化为对偶控制问题， 通过解决对偶控制问题，得到原控制问题的值函数为对应i - i j b 方程 的光滑解，最优策略可由h j b 方程的一阶条件得到。 第六章和第七章研究最优消费、投资、定期人寿死亡保险模型， 运用动态规划原理和随机分析方法，分别讨论有限时间区间、无限时 间区问和不确定时间区间时的投资者最优金融决策问题，得到控制问 题的值函数和具有反馈形式的最优策略。 第八章研究最优消费、投资、年金保险模型，运用动态规划原理 和随机分析方法，讨论了投资者的最优消费投资、年金保险金额及最 优的完全年金化的时间等问题。 关键词最优消费投资，保险，随机控制，反馈形式，动态规划 1 1 1 a b s t r a c t o p t i m a lc o n s u m p t i o n a n di n v e s t m e n ti sam o s tf u n d a m e n t a lp r o b l e m i nf i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ，t h er e s e a r c ho fw h i c ho r i g i n a t e sf r o mm e r t o n ( 1 9 6 9 ，1 9 7 1 ) i n v e s t o r s m a y c h o o s e f r e e l y h i s c o n s u m p t i o n a n d i n v e s t m e n tt o e x c e p tt o m a x i m u mt h e c o n s u m p t i o n a n df i n a lw e a l t h u t i l i t yi n o ，t o r o ，) m e r t o n a n do t h e rs c h o l a r sa l l c o n s i d e r , i nt h e i r o p t i m u mc o n s u m p t i o na n di n v e s t m e n tm o d e l ，t h a tt h e i n v e s t o r sa s s e t s c a nc h o o s eb e t w e e nc o n s u m p t i o na n ds e c u r i t i e sp o r t f o l i o h o w e v e lw i t h t h ee c o n o m i cd e v e l o p m e n t ，c h a n g e si np e o p l e sf i n a n c i a la s s e t ss t r u c t u r e h a v et a k e np l a c e ，w h i c hi n c l u d en o to n l yt h es a v i n g sd e p o s i ti nb a n ka n d n e g o t i a b l es e c u r i t i e s ，b u ta l s ot h ee v e ri n c r e a s i n gi n s u r a n c ep u r c h a s i n g t a k i n g t h ea b o v ei n t o c o n s i d e r a t i o n ，i n v e s t o r s n o l o n g c o n f i n et h e d i s t r i b u t i o no ft h e i ri n d i v i d u a la s s e t st o o n l y t w oa s p e c t sb e t w e e n c o n s u m p t i o na n ds e c u r i t i e si n v e s t m e n t ，a n dt h e yw o u l d c o n s i d e rw h e t h e r t op u r c h a s ev a r i o u sk i n d so fi n s u r a n c e so rn o t ；t h a ti s i no r d e rt h a tt h e e x p e c t e du t i l i t yc a n a c h i e v ei t sm a x i m u m t h ei n v e s t o r ss h o u l dt h i n ko v e r h o wt or e a s o n a b l yd i s t r i b u t et h e i ra s s e t sa m o n gc o n s u m p t i o n ，s e c u r i t i e s i n v e s t m e n ta n di n s u r a n c e p u r c h a s i n g t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nt h e i m p r o v e m e n t o ft h e o p t i m u m c o n s u m p t i o na n di n v e s t m e n tm o d e lb ym e r t o na n do t h e rs c h o l a r sa n d m a k e sat h o r o u g hc o n s i d e r a t i o no ft h er e a s o n a b l ea s s e t sd i s t r i b u t i o n a m o n gc o n s u m p t i o n ，s e c u r i t i e sp o r t f o l i o a n di n s u r a n c e p u r c h a s i n g b e s i d e s t h i sd i s s e r t a t i o na l s od i s c u s s e st h ei n f l u e n c ei n s u r a n c e p u r c h a s i n gu p o n t h e c o n s u m p t i o n a n di n v e s t m e n ta f t e ri n s u r a n c ei s i n t r o d u c e d t h ei n s u r a n c e sd i s c u s s e di nt h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s to f i n d i v i d u a l p e r i o d i c a l i n s u r a n c ep a y a b l ea td e a t hf o r1 i f e ，i n s u r a n c eo f p r o p e r t ya n da n n u i t yi n s u r a n c e b ye s t a b l i s h i n gad y n a m i c m a t h e m a t i cm o d e l ，t h i sd i s s e r t a t i o nw o r k s o u tar e a s o n a b l es o l u t i o nt ot h ed i s t r i b u t i o no fi n d i v i d u a la s s e t sa m o n g c o n s u m p t i o n ，i n v e s t m e n t a n di n s u r a n c e p u r c h a s i n g i no r d e rt oa c h i e v et h e m a x i m u me x p e c t e du t i l i t yo fc o n s u m p t i o na n df i n a lw e a l t he n d o w m e n t e x c e p t f o rt h ei n t r o d u c t i o no fi n s u r a n c em o d e li n t ot h e o p t i m u m c o n s u m p t i o na n di n v e s t m e n t m o d e l b ym e r t o n a n do t h e rs c h o l a r s t h e r ei s i v o n em o r e i m p r o v e m e n t ，t h a ti s ，b e s i d e st h ef i x e di n v e s t m e n tt i m eh o r i z o n ， l i m i t e do ru n l i m i t e d ，d i s c u s s e db ym e r t o na n do t h e rs c h o l a r s ，p a r to ft h i s d i s s e r t a t i o nd i s c u s s e st h eu n f i x e dd e c i s i v et i m eh o r i z o na sw e l l ，f o rt h e t i m ef o rt h ei n v e s t o r s d e a t hi si n d e f i n i t e m e t h o d sa d o p t e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r et h ed y n a m i cp r o g r a m m i n g p r i n c i p l e a n dt h es t o c h a s t i c a n a l y s i st h e o r y , t h r o u g h w h i c ht h eh j b e q u a t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h ec o n t r o lq u e s t i o nc a nb ew o r k e do u t ，a n d t h e r e f o r e ，t h eo p t i m a ls t r a t e g yw i t hf e e d b a c kf r o mc a nb eo b t a i n e d t h i sd i s s e r t a t i o nc a nb ec h i e f l yd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r t c o v e r sf r o m c h a p t e r t w ot o c h a p t e rf i v e ，m a i n l yc o n c e r n i n gt h e o p t i m u mi n v e s t m e n t ，c o n s u m p t i o na n dp e r i o d i c a li n s u r a n c ep a y a b l ea t d e a t hf o rl i f em o d e l ；t h es e c o n dp a r tc o n t a i n sc h a p t e rs i xa n dc h a p t e r s e v e n ，t h em a j o rt o p i co f w h i c hi st h eo p t i m u m i n v e s t m e n t ，c o n s u m p t i o n a n di n s u r a n c eo fp r o p e r t y ；t h et h i r d p a r t i s c h a p t e re i g h t ，w h i c h c o n c e n t r a t e so nt h e o p t i m u mi n v e s t m e n t ，c o n s u m p t i o n a n d a n n u i t y i n s u r a n c e i n c h a p t e rt w o ，t h eg e n e r a lm o d e lo ft h eo p t i m u mi n v e s t m e n t ， c o n s u m p t i o n a n d p e r i o d i c a l i n s u r a n c e p a y a b l e a td e a t hf o rl i f ei s d i s c u s s e da n di t sc o r r e s p o n d i n g o p t i m u m c o n t r o lq u e s t i o ni ss o l v e d t h e o p t i m u ms t r a t e g y c a nb e g o tt h r o u g h t h e c o r r e s p o n d i n g h i b ( h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n ) e q u a t i o n a st ot h ec r r a ( c o n s t a n tr e l a t i v e r i s k a v e r s i o n ) ，a s o r to f u t i l i t yf u n c t i o n ，i n d i c a t i v e l y , t h eo p t i m u m i n v e s t m e n tp r o c e s s ，c o n s u m p t i o n p r o c e s sa n dt h ep e r i o d i c a li n s u r a n c e p a y a b l ea t d e a t hf o rl i f e p u r c h a s i n gp r o c e s s c a l lb e g a i n e dw i t h t h e f e e d b a c kf o r m o nw h a th a sb e e nd i s c u s s e di nc h a p t e r t w o ，c h a p t e r t h r e et a k e st h e v a r i e ds i t u a t i o n sw h e nt h e d e p o s i ta n dl o a ni n t e r e s t r a t e c h a n g e si n t o c o n s i d e r a t i o n b ye m p l o y i n g t h ed y n a m i c p r o g r a m m i n gp r i n c i p l ea n dt h e s t o c h a s t i ca n a l y s i st h e o r y , t h eo p t i m u m s t r a t e g yc a n b ea c h i e v e dt h r o u g h h j be q u a t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h ec o n t r o l q u e s t i o n a st o t h es p e c i a l t y p e o fu t i l i t y f u n c t i o n ，c r r a ( c o n s t a n tr e l a t i v e r i s ka v e r s i o n ) ，t h e o p t i m u me x p l i c i ts t r a t e g i cs o l u t i o nc a n b e g o t c h a p t e rf o u ra n dc h a p t e rf i v ed e a lw i t ht h eo p t i m u mi n v e s t m e n t ， c o n s u m p t i o na n dp e r i o d i c a l i n s u r a n c ep a y a b l ea td e a t hf o rl i f em o d e l w i t ht h es t o c h a s t i ci n c o m et h a tc a n n o tb e r e p l i c a t e db yt r a d i n gt h e v a v a i l a b l es e c u r i t i e se x i s t i nc h a p t e rf o u ha s s u m i n g t h ec o n d i t i o n sg i v e n a r et h e g e n e r a l m o d e lp a r a m e t e ra n du t i l i t yf u n c t i o n ，b yu t i l i z i n gt h e d y n a m i cp r o g r a m m i n gp r i n c i p l e a n d v i s c o s i t ys o l u t i o n s ，t h e v a l u e f u n c t i o no ft h eo p t i m u mc o n t r o lq u e s t i o no b t a i n e di st h eo n l yc o n t r o l l e d v i s c o s i t ys o l u t i o nc o r r e s p o n d i n g t oh j b e q u a t i o ni nt h ec o n c a v e f u n c t i o n c o l l e c t i o n ，a n dt h eo p t i m u mc o n t r o lc a r lb ea c h i e v e db yt h ef i r s t - o r d e r c o n d i t i o no ft h eh j b e q u a t i o n ；i nc h a p t e rf i v e ，t h eh o m o g e n e i t yo f t h e v a l u ef u n c t i o ni s a p p l i e dt ot r a n s f o r mt h eo r i g i n a lc o n t r o lq u e s t i o ni n t o d u a lc o n t r o l q u e s t i o n w h e nt h ei n v e s t o r s u t i l i t y f u n c t i o ni sc r r a t h e r e f o r e ，b ys e t t l i n gt h ed u a lc o n t r o lq u e s t i o n ，t h ev a l u ef u n c t i o no f t h e o r i g i n a lc o n t r o lq u e s t i o ng a i n e di st h es m o o t hs o l u t i o n sc o r r e s p o n d i n g t o h j be q u a t i o n ，a n dt h eo p t i m u ms t r a t e g yc a r lb eo b t a i n e dt h r o u g ht h e f i r s t - o r d e rc o n d i t i o n so ft h eh j b e q u m i o n c h a p t e r s i xa n d c h a p t e r s e v e nm a k es t u d i e so nt h e o p t i m u m i n v e s t m e n t ，c o n s u m p t i o n a n di n s u r a n c eo fp r o p e r t y am a t h e m a t i c a l s t o c h a s t i cm o d e li s e s t a b l i s h e d ，w h i c he m p l o y s t h e d y n a m i c p r o g r a m m i n gp r i n c i p l e a n ds t o c h a s t i c a n a l y s i s m e t h o d st o d i s c u s s ， r e s p e c t i v e l y , t h ei n d i v i d u a li n v e s t o r s o p t i m u ms e g yw h e n t h ea s s e t s i n s u r a n c ee m e r g e si nl i m i t e d ，u n l i m i t e do ri n d e f i n i t et i m eh o r i z o n t h e v a l u ef u n c t i o no ft h eo p t i m u mq u e s t i o na n dt h eo p t i m u ms t r a t e g yw i t h t h ef e e d b a c kf o r ma r ea c h i e v e d c h a p t e re i g h tr e l a t e st ot h eo p t i m u mi n v e s t m e n t ，c o n s u m p t i o na n d a n n u i t yi n s u r a n c e a p p l y i n gt h ed y n a m i cp r o g r a m m i n gp r i n c i p l e a n d s t o c h a s t i ca n a l y s i sm e t h o d s ，t h i sc h a p t e ri n v e s t i g a t e st h ep r o b l e m so ft h e i n v e s t o r s o p t i m u mc o n s u m p t i o ni n v e s t m e n t ，t h ea n n u i t y i n s u r a n c e a m o u n ta n dt h eo p t i m u mt i m et op u r c h a s ea n n u i t yi n s u r a n c e ，e c t k e yw o r d s o p t i m a lc o n s u m p t i o n a n d i n v e s t m e n t ，i n s u r a n c e ， s t o c h a s t i cc o n t r o l ，f e e d b a c kf o r m ，d y n a m i cp r o g r a m m i n g v l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学 位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 作者签名：jj 凋日期：地至年月! 鱼日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位 论文，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文：学校可根据国家或湖南省有关部 门规定送交学位论文。 作者签名：泌 导师签名：日期：砌蚕弓年月磊目 博士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 我国实行改革开放政策以来，随着经济的发展，国民经济的分配格局己发生 了显著的变化，收入分配向个人和家庭倾斜，居民收入显著增加。居民个人收入 不会全部用于消费支出，除了极少数收入水平极低，仅能勉强维持生活外，在大 多数情况下，在定期间内，人们的消费支出只是其中的一部分，如何支配自己 的资产，在消费、金融资产之间进行合理分配，以达到期望效用最大化，将是居 民面i 临的一个重要问题。 第一节投资者最优金融决策 一、目前我国居民金融资产的新特点 居民金融资产是指居民以货币、银行存款、包括各类债券和股票在内的有价 证券、保险储金等各种形态存在的有形财富。目前居民金融资产在总量和结构上 发生了重大的变化，出现了新的格局：第一，居民金融资产总量迅速扩大。居民 金融资产等于居民货币收入减去消费后以价值形态表现的资产部分，居民金融资 产总量迅速扩大与居民货币收入大幅增加有关；第二，金融资产结构由单一存款 型逐步向多元化转变。随着经济体制改革的不断深入和居民货币积蓄的不断增 加，我国居民金融资产构成突破了原来以储蓄存款为主的单一型结构，出现了储 蓄存款、现金和债券股票及保险储金并存的多元化的新格局。 二、理性消费 个人消费需求是个人和家庭消费支出的结果，它的水平受制于个人的货币收 入，通过个人的消费行为形成，其满足程度直接影响其福利水平。居民进行理性 消费是指消费行为不再是仅仅满足目前的需要即可，而且还要为自己今后的生 存、发展、医疗、失业等等做出长远的考虑和准备。在社会主义市场经济体制下， 国家对每个社会成员不再采取“包下来”的政策，对于消费者来说，原来不必担 心，有必然保障的事，已逐渐变得部分或全部失去保障甚至具有相当的风险。随 着国家对职工生、老、病、死、住房等保障范围的日益缩小，社会必然把一部分 博十学位论文第一章绪论 负担转移到消费者自身，每一个明智的消费者都必须把自己现实收入的一部分， 纳入个人积累，以备他日之需，也就是把眼前消费适当压缩，为未来消费做必不 可少的准备。 三、研究投资者最优金融决策的必要性 目前，我国居民个人收入在消费、金融资产之间的分配，存在一定的盲目性， 分配结构不尽合理，主要表现在以下几个方面： 第一：居民金融资产结构不合理。居民金融资产是指居民全部资产以金融形 态存在的那一部分，般分为银行储蓄存款、有价证券和其它资产( 手持现金和 保险等) 三种类型。根据资产组合的原理，三种类型的资产应该形成合理的结构， 根据发达国家的经验，这种结构应以持有有价证券为主，像美国、日本等国居民 持有有价证券的比例都在4 0 以上，而银行存款所占比例则较低，一般都在3 0 以下。三种资产中，银行储蓄存款具有安全性、稳定性、灵活性的特点，而其他 两种类型的资产则具有投资性、投机性和风险性等特点。对居民来说，何种形态 的资产为其首选资产，取决于居民可支配资产总额、证券市场的成熟性和稳定性、 利率的传导性等。居民可支配资产总额取决于其收入状况，在收入状况相对稳定 的情况下，居民将根据利率、预期和心理偏好来决定其资产的结构选择。就我国 情况来看，在影响居民资产组合选择的主要因素中，预期和心理偏好倾向于资产 的稳定性、安全性和流动性，而证券市场相对不成熟，缺少稳定性，再加上体制 变迁，利率的传导作用受到限制。这样就形成了我国居民净资产结构呈倒金字塔 形，银行储蓄存款占绝大比例，而有价证券和其它金融资产所占比例极小。据初 步测算，我国目前城镇居民的金融资产总额中，银行储蓄存款占8 0 以上，有价 证券为1 0 左右，手持现金不足1 0 。 第二：风险意识不强。怎么样合理地安排收入，使它最大化地保值增值这种 原始的投资意识已经逐渐增强，许多老百姓手中的余钱开始向证券市场流动。证 券公司门前的开户长龙可以证明这一点，近几年人们对于国债的热情也证明了这 一点，这些都说明，中国的老百姓正在迅速地步入由自己把握的投资时代。任何 事物都有它的发展壮大以至成熟的过程，当人们走出以前单一而省心的银行储蓄 的时候，当国债、股票、储蓄、按揭贷款、保险等种种投资渠道畅通在中国老百 姓脚下的时候，老百姓手里的钱，不知道怎样管理，这让最初的投资者很容易走 2 博士学位论文第一章绪论 入盲目的投资误区，不懂股票为何物，不懂技术分析，更不懂财务报表分析，被 高投入高收益的投资口号所诱惑，纷纷入市，没有意识到“高投入高收益”后 面还有三个字：“高风险”。个投机时代的结束，一个理智的投资时代爿。有可能 到来。据不久前北京的零点调查公司对北京、上海、广州、重庆等大城市数十万 普通居民的调查显示，尽管有6 9 5 的居民仍将储蓄作为投资的首选，但选择购 买国债、股票、保险的，与以前相比有大幅提高，其中拥有国债和股票的家庭各 占2 0 左右，选择购买保险和各类收藏品的家庭超过和接近1 0 。随着社会失 业、养老保险制度的建立和完善，保险投资已渐渐深入人心，众多保险公司的业 务量近年来成倍增长，尤其是各类人寿保险更加受到三资企业、私营企业和工作 不稳定人士的欢迎。“投资菜单”的同渐丰富，是投资时代到来的一个前提和标 志。 总体来说，目前国内大众投资领域尚处于起步阶段，其中存在的有关问题不 容忽视。突出的表现为投资意识的淡薄，热衷于短线操作，急功近利的投机色彩 较浓，这种盲目投资在股市最为突出。每一次股市的暴涨暴跌都会使一大批人辛 苦积攒下的血汗钱付之东流，甚至使部分家庭倾家荡产。盲目投资不仅增加了风 险因素，而且为他人非法操纵投资市场提供了机会。在资金有限的条件下，适宜 多元化组合，长线投资，这正如俗话所说，不要把所有鸡蛋放在一个篮子里。 因此，研究个人最优金融决策模型，从理论上指导个人资产的合理分配，选 择最优的消费、证券组合及购买各种保险，使投资者个人效用最大化将是本学位 论文研究的主要目的。 第二节国内外的研究现状 研究投资者最优金融决策，建立数学模型，目的是从理论上来解决投资者资 产的最优分配问题。在探讨最优金融决策问题的发展和起源之前，先叙述一下金 融数学的发展，因为它是金融数学研究的核心问题之一。 一、金融数学的发展与现状 金融数学作为- - 1 3 新兴的边缘学科，它既含有金融的成分也含有数学的成 分，其核心问题是不确定环境下的最优策略的选择理论和资产的定价理论。许多 3 博士学位论文 第章绪论 非常抽象、非常深奥的数学理论和方法( 例如随机分析、随机最优控制、偏微分 方程、非线性分析、多元统计分析、数学规划、现代计算方法) 被应用到资产组 合选择、风险分析与管理等方面。 一般认为，现代金融数学是从5 0 年代初开始发展起来的，奠基人物先后都 获得过诺贝尔经济学奖( 1 9 6 9 年开始设立经济学奖) ，他们对金融理论的贡献和 创新被誉为是“华尔街革命”。第一次“华尔街革命”是以哈里马科维茨于1 9 5 2 年提出的证券投资组合理论为标志，主要代表人物还有夏普、米勒和莫迪里安尼。 马科维茨，夏普和米勒于1 9 9 0 年三人一起获得诺贝尔经济学奖，莫迪里安尼于 1 9 8 5 年获得诺贝尔经济学奖。马科维茨的证券投资组合理论分析了财富如何能 最优地投资于期望报酬和风险不同的资产，并且如何借以减少风险：夏普利用马 科维茨的证券投资组合作为基础，于1 9 6 4 年提出一个金融资产价格形成理论， 即资本资产定价模型。夏普的资本资产定价模型和后来发展起来的套利定价理论 等就形成了一套资本市场理论；米勒的主要贡献是有关公司财务理论和市场上对 企业的评价，他和莫迪里安尼合作提出了“公司价值与财务政策无关”的著名论 断，人们称之为“莫迪里安尼一米勒原理”，由此便形成了公司理财理论和证券 估值理论。第二次“华尔街革命”是以费歇布莱克和马龙舒尔斯于1 9 7 3 年 提出的第一个期权定价公式为标志，这个公式几乎从发表时刻起就用来确定卖出 和买入期权的公平值，此后经过罗伯特默顿的进一步创造性发展，便形成了所 谓的衍生证券定价理论。舒尔斯和莫顿于1 9 9 7 年获得诺贝尔经济学奖。上面谈 到的理论都是建立在理想的市场条件下，在现实社会中市场是否真的有效这就发 展出市场有效性理论。投资组合理论，资本市场理论，证券价值理论，市场有效 性理论和衍生证券定价理论，所有这些理论成为现代金融理论一个重要组成部 分。 开展对金融数学的研究和应用，一方面可以使数学家深入经济金融领域，更 加关心经济运行，关心国家的经济进步，另一方面可以使经济学家掌握数学这一 工具，更好地进行定量分析研究，指导国家的经济发展，更重要的是使数学家和 金融学家结合起来，共同建立具有中国特色的金融理论和方法，指导我国的社会 主义经济建设。 二、最优消费投资问题研究的起源及现状 4 博士学位论文第一章绪论 在金融数学中，一个最基本的问题是最优消费投资问题。这个模型起源于 m e r t o n 2 1 的研究。投资者的资产在消费和投资之间进行分配，期望在时间区间 【o ，丁 或 o ，+ m ) 的消费效用或终值财富效用最大化。在其模型中，对于证券市场 的假设主要有以下几个方面： 1 不存在交易费用和税收； 2 投资者是价格接受者，其投资活动不会影响市场价格的变化： 3 卖空证券是允许的； 4 证券的交易过程是连续进行的。 假设证券市场上存在投资者可进行证券组合的证券有两种：风险证券( 股 票) 和无风险证券( 债券) ，无风险证券的价格服从如下微分方程： 奶= 嵋d t晶 0 ( 2 1 ) 风险证券价格服从如下微分方程： d s ，= 魍西+ a s , d b ts o = s( 2 2 ) 其中b t 是给定的概率空问( n ，f ，p ) 上标准的布朗运动，= a b ，：o r s f 。 口代表收益率，a 代表扩散系数，代表无风险利率，均为常数，且口，。我们 用z ( f ) 表示投资在股票( 风险证券) 的资金比例，那么( 1 一万( r ) ) 为投资到无风险 证券的资金比例；c ( t ) o 表示f 时刻的消费率，假设投资初始财富为w ，则其 财富彬服从如下微分方程： d w ( t ) = ，( f ) 击+ ( d r ) z w ( t ) d t + o ，u - 3 惯效用函数的最优 消费投资策略，h i n d y 7 5 】构建模型，并给出了研究此问题的动机以及经济学意义， 他定义投资者的效用函数为 e fe “( m ，矽 ( 2 1 0 ) 其中 y ( t ) = y ( o ) e 一用+ 卢 e - 4 0 - s ) c ( s ) d s ( 2 ) z ( t ) = z ( o ) e “+ 五 e - 2 0 - , ) c ( s ) d s ( 2 1 2 ) y ( t ) ，z ( t ) 分别表示过去购买消费品的库存和过去生活水平的测度或者过去消费 的习惯水平，在此效用函数下，他讨论了最优消费投资问题，：在h i n d y t 7 6 1 中研究 了此问题的数值解法。在同样的假设条件下，y a n g 4 9 r g i x t 随机收入，在此 基础上研究投资者的最优消费、投资问题。其他的考虑习惯效用的最优消费投资 模型还可参考文献【7 7 1 【7 8 1 。 国内学者关于最优消费投资问题的研究较少，并且研究的不系统，主要相关 的论文可参考文献1 7 9 】- 【9 4 1 。 三、最优消费投资问题的研究方法 一般来说，在研究最优消费投资问题时，普遍采用两种方法：一种是应用动 态规划原理和非线性偏微分方程的理论，另一种方法是利用鞅方法。对于这方面 的详细论述可参考k a r a t z a s 4 1 。利用鞅方法来解决最优消费投资问题最早由 k a r a t z a s 5 l 和c o xa n dh u a n g l 9 5 l 介绍，用来处理一般的价格过程和放宽马氏性的 假设( 这种假设在利用h j b 方程来解决控制问题是必不可少的) 时的情况，最优 投资过程通过鞅表现定理进行刻画，其显式解在非常有限的几种情况下可以得 1 0 博士学位论文 第一章绪论 到，尤其是在不完备的证券市场中，我们不得不解决对偶最优问题，这常常导致 非线性偏微分方程的求解。 第三节本文研究的主要内容及方法 在m e r t o n 及其他学者研究的最优消费投资模型当中，都是考虑投资者的资 产在消费和证券组合( 证券组合是指投资者对各种证券资产的选择而形成的投资 组合，由于证券投资的预期收入受到多种因素的影响而具有不确定性，人们在投 资过程中往往通过分散投资的方法来规避投资中的非系统性风险，实现效用的最 大化) 之间进行分配。但随着经济的发展，居民金融资产结构发生了变化，不再 仅仅包括银行储蓄存款和有价证券，而且选择购买保险的越多。因为在市场经济 体制下，国家对职工生、老、病、死、保障范围的日益缩小，社会必然把一部分 负担转移到消费者自身，每一个明智的消费者都必须把自己现实收入的一部分， 考虑购买保险，以各他f | 之需。因此，随着社会失业、养老保险制度的建立和完 善，保险投资已渐渐深入人心，众多保险公司的业务量近年来成倍增长。考虑到 以上方面，投资者资产的分配不再仅仅局限于消费和证券市场投资两个方面，而 且应该考虑投资者是否购买各类保险，购买多少，也就是说，投资者应该考虑自 己的资产在消费、证券投资组合和购买保险之间进行合理分配，以达到投资者个 人期望效用最大化。 基于以上的讨论，笔者认为有必要对m e r t o n 及其他学者研究的最优消费投 资模型进行改进，考虑资产在消费、证券投资组合和购买保险之间进行合理分配。 本学位论文便是考虑投资者的资产在消费、投资组合和购买保险之间进行分配。 考虑的保险种类包括个人定期入寿死亡保险、财产保险及年金保险。 个人定期人寿死亡保险是人寿保险的一种，它是人身保险品种当中产生最早 的个品种，指被保险人在保险期间死亡时，保险人才给付保险金的一种人寿保 险。如果被保险入在约定的保险期内死亡，保险入给付被保险人的受益人( 主要 指其家属) 定额的保险金额，如果期满被保险人仍然生存