（地球探测与信息技术专业论文）基于高分辨率radon变换的波场分离方法研究.pdf

基于高分辨率r a d o n 变换波场分离方法研究 安鹏地球探测与信息技术 指导老师 乐友喜教授 摘要 r a d o n 变换在地震同相轴识别 波场分离 压制多次波 速度分析等地震资料处 理方面具有良好的应用效果 不同于傅立叶变换 小波变换等 r a d o n 变换算子是非 正交的 这就导致了数据能量在正反变换之后会不能得到保持 为了解决这个问题 反演的思想和方法被应用于r a d o n 变换处理中 取得了很好的效果 本文系统总结了r a d o n 变换的各种类型及其基本原理 从f p 变换 即一般线 性r a d o n 变换 出发 研究利用阻尼最小二乘平方法求解其正变换 但是最小平方法 的平滑作用会导致r a d o n 域数据存在一定程度的拖尾效应 给这种方法的应用带来了 很大的局限性 然后介绍了具有时不变性的线性 抛物和多项式r a d o n 变换在频率域 的实现及其优缺点 给出了求解其数值解的共轭梯度算法 接着讨论了高分辨率 r a d o n 变换 它把正则化思想和贝叶斯原理引入到了反演中 很好的克服了离散r a d o n 变换产生的截断效应对结果的不利影响 最后介绍了适应双曲r a d o n 变换时变性质的 高分辨率最优相似系数加权r a d o n 变换 高分辨率的r a d o n 变换使数据在r a d o n 域 以能量团的形式存在 大大提高了r a d o n 域数据的分辨率 使得不同波场在r a d o n 域更容易分离 同时论文还讨论了r a d o n 变换端点效应 截断效应和空间假频等问题 给出了利用高分辨率r a d o n 变换和相似函数的方法压制截断效应 并对避免空间假频 的参数选择进行了讨论 为了体现r a d o n 变换的优势 本文还研究了f k 法波场分 离 并通过一个简单的模型与线性高分辨率r a d o n 变换进行比较 文中的模型及应用实例结果表明 高分辨率r a d o n 变换与典型的r a d o n 变换相比 较 逆变换能使数据得到恢复 能够消除所谓的拖尾现象及平滑效应 极大地提高了 分辨率 体现了其优越性 关键词 高分辨率r a d o n 变换 最优相似系数加权r a d o n 变换 波场分离 f k 法 共轭梯度法 g a u s s s e i d e l 迭代 w a v ef i e l ds e p a r a t i o nt e c h n o l o g yr e s e a r c h b a s e do n h i g h r e s o l u t i o nr a d o nt r a n s f o r m a n p e n g g e o p h y s i c a lp r o s p e c t i n ga n di n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y d i r e c t e db yp r o f e s s o ry u ey o u x i a b s t r a c t r a d o n 觚l s f o 肌h a sb e e nu s e dt os e p a r a t ew a v ef i e l de a r l yi ns e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g s e i s m i ce v e n ti d e n t i f i c a t i o n a n dw a v ef i l e ds e p a r a t i o n m u l t i p l e s u p p r e s s i o n v e l o c i t y a n a l y s i se t c a n di th a sag o o de f f e c t c o m p a r e d 研t 1 1f o u r i e rt r a n s f o r m w a v e l e tt r a n s f o r m a n dt h eo t h e r t h er a d o nt r a n s f o r mo p e r a t o ri sn o to r t h o g o n a l t h i sr e s u l ti ne n e r g ye r r o ri n f o r w a r da n di n v e r s er a d o nt r a n s f o r m m a n ym e t h o d sh a v eb e e nu s e dt oi m p r o v et h e r e s u l t s a m o n gw h i c ht h em o s tp o p u l a rm e t h o di si n v e r s i o nm e t h o d i nt h ep a p e r a l lt y p e sa n df u n d a m e n t a lp r i n c i p l e so fr a d o nt r a n s f o r ma r es u m m a r i z e d s y s t e m a t a c i a l l y t h i sp a p e rs t a r t sf r o mt h eg e n e r a ll i n e a rr a d o nt r a n s f o r m a n dt h e n r e s e a r c h e sh o wt ou s et h ed a m p e dl e a s ts q u a r em e t h o dt of i n dt h es o l u t i o no ft h ef o r w a r d t r a n s f o r m h o w e v e r t h el e a s ts q u a r e ss m o o t h i n ge f f e c tw i l ll e a dt oac e r t a i nd e g r e eo f t r a i l si nt h ed a t ao fr a d o nd o m a i n w h i c hl e dt ot h ea p p l i c a t i o n sl i m i t a t i o n s a f t e rt h a tt h e i m p l e m e n t a t i o ni nr a d o nd o m a i na n dr e l a t i v em e r i t so fl i n e a rr a d o nt r a n s f o r m p a r a b o l i c r a d o nt r a n s f o r ma n dp o l y n o m i a lr a d o nt r a n s f o r mw h i c hh a v et i m ei n v a r i a n c ea r e i n t r o d u c e d t h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o dt h a tc a l ls o l v en u m e r i c a ls o l u t i o ni sa l s og i v e n a n dt h e nt h e h i g hr e s o l u t i o nr a n d o nt r a n s f o r m i sd i s c u s s e d i ti n t r o d u c e st h e r e g u l a r i z a t i o nt h e o r ya n db a y e sp r i n c i p l ei n t oi n v e r s i o n w h i c hs u c c e s s f u l l yr e m o v et h e n e g a t i v ea f f e c tc a u s e db yd i s c r e t er a d o nt r a n s f o r m f i n a l l y w ei n t r o d u c et h eo p t i m a l w e i g h t i n gs i m i l a rc o e f f i c i e n tr a d o nt r a n s f o r m w h i c ha d a p tt ot h et i m ev a r i a n tq u a l i t yo f h y p e r b o l i cr a d o nt r a n s f o r m h i g hr e s o l u t i o nr a d o n t r a n s f o r mm a k e sr a d o nd o m a i nd a t a a p p e a ri nt h ef o r mo fe n e r g yg r o u p t h i sg r e a t l yi m p r o v e st h er e s o l u t i o no f d a t aa n dm a k e s w a v e f i e l ds e p a r a t i o nm o r ee a s i l yi nr a d o nd o m a i n s i m u l t a n e o u s l y t h ee n dp o i n te f f e c t t r u n c a t e de f f e c t s p a c ea l i a sa n do t h e rq u e s t i o n so fr a d o nt r a n s f o r mi sd i s c u s s e d t h e m e t h o dt h a tt a k et h eh i g hr e s o l u t i o nr a d o nt r a n s f o r ma n ds i m i l a r i t yf u n c t i o nt op r e s s t r u n c a t e de f f e c ti sp r e s e n t e d m e a n w h i l e w ea l s od i s c u s sh o wt oa v o i ds p a c ea l i a sb y s e l e c t i n gp a r a m e t e r s i no r d e rt od i s p l a yt h ea d v a n t a g eo fr a d o nt r a n s f o r m t h ep a p e ra l s o s t u d i e sf kw a v ef i e l ds e p a r a t i o n a n dc o m p a r e d 谢t l lr a d o nt r a n s f o r mt h r o u g has i m p l e l i n e a rm o d e l t h ea p p l i c a t i o no fm o d e la n dp r a c t i c a lr e s u l t ss h o w st h a t c o m p a r e dt ot y p i c a lr a d o n t r a n s f o r m h i g hr e s o l u t i o nr a d o nt r a n s f o r mc o m p l e t e l ys u p p r e s s e st h es o c a l l e ds m o o t h i n g e f f e c t g r e a t l yi m p r o v e st h er e s o l u t i o n a n de n a b l e d a t ai n v e r s i o nr e c o v e r y a l lt h e s e d e m o n s t r a t e si t ss u p e r i o r i t y k e yw o r d s h i g h r e s o l u t i o nr a d o nt r a n s f o r m o p t i m i z e ds e m b a l a n c e w e i g h t e dr a d o n t r a n s f o r m w a v ef i e l ds e p a r a t i o n f kt r a n s f o r m c o n j u g a t eg r a d i e n t g a u s s s e i d e l i t e r a t i o n 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明 所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取 得的成果 论文中有关资料和数据是实事求是的 尽我所知 除文中已经加以标注 和致谢外 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果 也不包含本人或他人 为获得中国石油大学 华东 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明 若有不实之处 本人愿意承担相关法律责任 学位论文作者签名 b 期 如叼年s 只f oe 1 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学 华东 有权使用本学位论文 包括但不限于其印 刷版和电子版 使用方式包括但不限于 保留学位论文 按规定向国家有关部门 机构 送交学位论文 以学术交流为目的赠送和交换学位论文 允许学位论文被 查阅 借阅和复印 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 采用 影印 缩印或其他复制手段保存学位论文 保密学位论文在解密后的使用授权同上 学位论文作者签 指导教师签名 日期 细7 年s 月 0 日 日期 呵年夕月 口e l 中国石油大学 华东 硕士学位论文 1 1 选题的意义 第一章绪论弟一早珀t 匕 本课题是地震数据处理方面的研究 r a d o n 变换是一种投影方式 即沿着特定路 径对介质的某个特性线进行积分 奥地利数学家r a d o n 在1 9 1 7 年首次在数学研究 和建立起相应理论以来 它为图像重构问题提供了一个统一的数学基础 因此在很多 领域得到了广泛的应用 在过去的二三十年里 r a d o n 变换在地震数据处理中的应用 吸引了许多学者的关注 r a d o n 变换本身的特点决定了r a d o n 变换域中场的物理特征 更为直观明确 有利于对比分析 由于r a d o n 变换算子是非正交的 这也就导致了直接进行r a d o n 正反变换能量 的不对等性 于是基于最小范数概念反演思想的r a d o n 变换被提出 这在一定程度 上减少了拖尾现象 但是最小范数约束将会产生平滑效应 不能保证能量足够集中 所以小能在r a d o n 域获得期望的分辨率 因此要想获得高分辨率的r a d o n 变换结果 消除平滑效应 必须采用新的方法改进反演约束的方式 首次提出高分辨率r a d o n 变换方法是在频率空间域 是一种稀疏约束反演算法 得到频率域的稀疏解 对应于 r a d o n 变换在频率域的t o e p l i t z 结构砼3 求解方法有 l e v i n s o n 递推算法 c h o l e s k y 分船法 共轭梯度法 预条件共轭梯度法等 频率域高分辨率r a d o n 变换方法的提 出使得r a d o n 变换处理资料的能力有了一个大的飞跃 频率域高分辨率r a d o n 变换 方法也成了新的工业标准 由于在频率域存在稳定性的问题 很多学者开始研究在时间 空间域直接计算高 分辨率r a d o n 变换的算法 采用的反演算法有最小二乘法 共轭梯度法 相似系数 加权的r a d o n 算法d 3 和最优相似系数加权r a d o n 算法 使得r a d o n 域处理结果的分 辨率得到了大大提高 同时还研究了r a d o n 变换的计算效率 适应性 反演的保真度等方面的问题巧1 高分辨率r a d o n 变换使不同的地震波同相轴在r a d o n 域内高度收敛 从而达到 易于分离的目的 与传统的r a d o n 变换分离波场相比 它能够消除不同波场之间的 影响 使波场分离和多次波压制变得更加容易 彻底 1 2 国内研究现状 本文研究的波场分离除了通常所指的纵 横波波场分离 还包括v s p 上下行波波 第一章绪论 场分离 多次波压制等 波场分离可以在t x 域 f x 域 f p 域和r a d o n 域等域 中实现 国内不少学者做了很多工作 也取得了不错的效果 离散r a d o n 变换作为 一种投影 叟换在地震勘探中有着广泛的应用 但一般都是基于线性r a d o n 变换形式 的 对v s p 资料的上下行波的分离效果比较明显 对双曲线形态的同相轴在变换域 中变成了椭圆 不同速度的波场可以在一定程度上分离 但是分辨率偏低 李远钦 于1 9 9 4 发表了 线性与非线性r a d o n 变换 并用于v s p 地震资料上 下行波波场分离 m 马在田 1 9 9 8 提出了坐标拉伸的方法进行到内插 1 2 0 0 1 年 牛滨华等人在国内 一 次提出了多项式r a d o n 变换旧1 2 0 0 2 年同济的许世勇 孙显义等提出了抛物r a d o n 变换的思想方法 1 2 0 0 4 年 刘喜武等研究了高分辨率r a d o n 变换方法及其在地震信 号处理中的应用 文中采用最4 乘反演方法研究抛物线r a d o n 变换和双曲线r a d o n 变换 给出了求解高分辨率r a d o n 变换的稀疏约束共轭梯度算法 用高分辨率抛物 r a d o n 变换米压制多次波 o 儿 1 2 0 0 6 年 王维红等研究了线性同相轴波场分离的高分 辨 簪z 二p 变换法l i 引 2 0 0 5 年 张军华教授深入讨论了抛物r a d o n 变换压制多次波时 参数选择的问题 1 长安大学在r a d o n 变换方面有着多年的研究 2 0 0 1 年 戴华林 在硕士论文 快速高分辨率抛物线拉冬变换 中研究了频率域高分辨率r a d o n 变换 算法效率方面的问题 引 2 0 0 2 年 包乾宗在硕士论文 变偏移距v s p 上下行波分离 中用频率域阻尼最小二乘r a d o n 变换来做变偏移距v s p 波场分离方法研究n 酊 2 0 0 5 年 陈见伟在硕士论文 用高分辨率双曲线r a d o n 变换实现波场分离 中用共轭梯 度算法实现时间域高分辨率双曲r a d o n 变换 然后进行相关波场的分离工作口别 此 外 吉林大学在r a d o n 变换方面也取得了不错的效果 2 0 0 8 年 巩向博的硕士论文 高分辨率r a d o n 变换及其应用 引入了二维蒙版滤波的方法压制截断效应 使得 资料i f r a d o n 域取得了较高的分辨率 7 1 1 3 国外研究现状 从奥地利数学家r a d o n1 9 1 7 年提出r a d o n 变换的理论以来 在地球物理领域国 外不少学者为r a d o n 变换做了很工作 p h i n n e y 等 1 9 8 1 检验了r a d o n 变换在地球物 理中的特性 c a r s w e l l 把f p 变换用于v s p 地震资料的上 下行波分离n 羽 d u r r a n i 和b e s s e t 1 9 8 4 t a t h a m 1 9 8 4 c h a p m a n 1 9 8 1 建立了笛卡儿坐标系下点源 柱坐 标系线源的精确变换公式n 钔 s t o f f a 等 1 9 8 1 和t r e i t e l 等 1 9 8 2 较好的建立了平面波 分解和r a d o n 变换之间的关系乜0 1 t h o r s o n 和c l a e r b o u t 1 9 8 5 使用双曲r a d o n 变换 2 中国石油大学 华东 硕士学位论文 进行速度分析和反演 h a r d i n g 1 9 8 5 h a m p s o n 1 9 8 6 将r p 变换用于多次波 的压制 该方法利用多次波在f p 域保留良好的周期性特性 在f p 域做预测反褶 积来剔除多次波 对短周期的全程多次波压制效果较好 但对长周期的全程多次波和 层间多次波的压制效果一般乜2 1 乜3 1 州 b e y l k i n 1 9 8 7 讨论了离散r a d o n 变换的最小平 方反演算法 为了避免大矩阵求逆 他将r a d o n 变换在f x 域建立晒1 f o s t e r 1 9 9 2 发展了广义r a d o n 变换理论 进一步将双曲型时距曲线用一般函数代替嘲 z h o u 1 9 9 4 讨论了f k 域内的线性和抛物型r a d o n 变换嘲 y i l m a z 1 9 9 4 给出了时间一空间域高 分辨率最小平方倾斜叠加的方法 此方法需要采用迭代反演求解大型线性算子嘲 s a c c h i 和u l r y c h 1 9 9 5 提出利用r a d o n 变换的稀疏解提高r a d o n 域结果的分辨率 山此奠定了高分辨率r a d o n 变换的理论基础 并用于道插值以及v s p 波场分离呦1 s a c c h i 1 9 9 9 给出了利用r a d o n 变换稀疏解提高r a d o n 域分辨率的共轭梯度算法曲1 c a r y 1 9 9 8 对离散r a d o n 变换中的空间假频和截断效应做了总结和建议啪1 w a n g 2 0 0 3 研究了应用r a d o n 变换域自适应滤波的方法来压制截断效应洲 n g 和 p e r z 2 0 0 4 提出了一种高分辨率的时间域相似系数加权r a d o n 变换方法 在很大程度 上克服了时间域直接进行r a d o n 变换分辨率不足的问题 提高了数据在r a d o n 域的 分辨率 c r i s t i n a 2 0 0 5 提出了一种相移双曲方程提高r a d o n 变换域内的分辨率b 幻 z h o u 2 0 0 7 在w a v e l e t r a d o n 域进行了地震数据重建和去除空间假频的研究口3 1 近几 年 s a c c h i 等开始转向研究了3 dr a d o n 变换以及局部波场r a d o n 变换的应用 取得 了显著的效果 1 1 4 研究思路 本文从r a d o n 变换的一般公式出发根据不同的积分路径 系统介绍了常用的 r a d o n 变换形式 主要讨论了线性r a d o n 变换 抛物r a d o n 变换和双曲r a d o n 变换 给m 了它们在时间域的常规求解方法 进一步给出了具有时不变性质的线性r a d o n 变换和抛物r a d o n 变换在频率域的最d x 乘算法 再到频率域基于贝叶斯原理的空 间稀疏迭代约束反演频率域高分辨r a o d n 算法 用共轭梯度法求解 由于双曲r a d o n 变换算子是时变的 不能在频率域进行 如果直接计算矩阵数据量和计算量都很大 采用刘喜武 2 0 0 4 提出的基于最d x 乘反演方法的稀疏约束条件下高分辨率r a d o n 变换方法 也是用共轭梯度算法求解 然后介绍了时间域基于g a u s s s e i d e l 迭代最优相似系数加权r a d o n 变换的方法 3 第一章绪论 此方法可以对时间轴和偏移距轴两个方向同时稀疏 从而大大提高了数据在r a d o n 域数据的分辨率 5 1 同时还讨论了影响离散r a d o n 变换精度的因素和空间假频问题 比较了几种常用的求解r a d o n 变换方法对模型处理效果 可以看到频率域高分辨率 r a d o n 变换和最优相似系数加权r a d o n 变换可以得期望的高分辨率 最后通过处理模型数据和实际资料检验频率域高分辨率r a d o n 变换和最优相似 系数加权r a d o n 变换方法的有效性 1 5 论文的主要成果 l 系统总结了r a d o n 变换方法及其离散运算 给出了线性 抛物r a d o n 变换的 最d 乘解和基于基于贝叶斯原理的空间稀疏迭代约束反演的频率域高分辨r a d o n 算法 用共轭梯度算法进行求解 2 详细介绍了时间域基于g a u s s s e i d e l 迭代的最优相似系数加权r a d o n 变换方 法 3 分析了影响离散r a d o n 变换分辨率的因素 同时给出了一些合理的建议 4 通过理论模型比较了几种常用的r a d o n 变换 证明了高分辨率方法的优越性 5 通过对理论模型和实际模型资料的处理 检验了高分辨率方法的有效性 4 中国石油大学 华东 硕士学位论文 第二章r a d o n 变换的基本原理 在地震处理领域 r a d o n 变换的一般形式定义为 u r 口 id g 缈 石 x a x d t 力表示地震数据 x 为偏移距 t 为双程旅行时 u r g 为r a d o n 域数据 f 是时 间截距 g 表示曲线的曲率 矽 功定义了r a d o n 变换路径叠加的方式 r a d o n 变换根据叠加路径的不同有三种基本的形式 线性r a d o n 变换 抛物r a d o n 变换和双曲r a d o n 变换 这也是论文的主要研究对象 在实际的应用中还推演出了多 项式r a d o n 变换 相移双曲r a d o n 变换等 2 1r a d o n 变换的几种形式 2 1 1 线性r a d o n 变换 积分路径为直线时 即变量缈 力 r q x 时 为线性变换 正变换的定义如下 p 力 e d t r p x x a x 2 1 p 力 与之对应反变换定义为 d o x 亡 f f p x x d p 2 2 通过把连续r a d o n 变换对里的积分化为有限区域的相加 从而得到其线性离散形 式 首先 假设地震数据有脓 0 一厶道 其中0 厶分别表示相应的远偏移距和 近偏移距 r a d o n 域的数据道数为n p 正变换的离散形式为 n r 甜 f p d 丁 鹏 薯比 2 3 式中缸 l x t f 0 m 与之对应的反变换的形式为 np 珈 x 甜p t p j x 乃 锄 2 4 式中锄 乃卅一乃 j o 5 第二章r a d o n 变换的基本原理 上面两式用矩阵形式表示为 甜 d 2 5 d lu 2 6 算子三和 代表共轭变换算子对 矩阵三是正变换算子 表示它的共轭算子 也就是逆变换算子 线性叠加算子如式 2 5 所示 把数据从t x 空间域映射到f p 域 反之它的共 轭等式 2 6 把数据从f p 域映射到 一x 域 可以看到三和 是非正交的 从而 不能构成互逆变换对 对于给定的方程z l d 问题是怎样恢复d d 和d 的关系可 以通过把式 2 5 代入式 2 6 来获取 d 上 d 2 7 ed e t l l h 0 厂 b b 为有效带宽 的条件下 式 2 6 是可逆的 d 三 扎d 2 8 g 一1 d nxn 矩阵g 上 代表离散的p 算子 从f x 域到彳一p 域及其相反的变换对如 下 甜 ld 2 9 d g 1 l u 2 1 0 矢量 总是存在的 因为它是通过一个简单的映射获取的 当g 的逆存在时 上 面的两个等式构成了一个逆变换对 当加了噪音以后 就把噪音也变换到r a d o n 域 假设数据是把r a d o n 算子应用于甜的结果 则由 甜 lu 2 11 使下述目标函数最小 得到甜口1 j i l a 一驯1 2 2 1 2 有两种计算形式 当m 时 得到问题的最小平方解为 d 2 1 3 当m 时 得到问题的最小范数解为 甜 1 d 2 1 4 6 中国石油大学 华东 硕士学位论文 通常在公式中 1 和 趟 1 实际上起到了反褶积的作用 在变换域中提供 了相对较高的分辨率 在矩阵求逆的过程中 经常会出现奇异性 特别是对于低频带 区域 为了正变换过程的稳定性 通常要加入一个阻尼参数 则上面两个式子变为 u w t l a 1 d 2 一1 5 础 玎1 d 2 1 6 其中 为单位向量 对于实际地震数据来说 被建议为三 算子最大特征值的平方 根的1 y i l m a z 1 9 8 9 嘲 2 1 2 抛物r a d o n 变换 抛物r a d o n 变换是线性叠加的简单修改 使用 v q x 2 曲线替代f v p x 曲线 形态的积分 c s p 道集或c m p 道集中的反射波同相轴是双曲形态 由于抛物r a d o n 和线性r a d o n 变换都具有时不变性 故都可以转换到频率域进行 正变换的定义如下 p f f d t f 2 2 17 u r 2 x a x 1 7 p f 2 一 与之对应反变换定义为 d x e p t p x 2 功咖 2 1 8 正反变换的离散形式为 n x u o 力 d t v p x l 2 而溉 2 1 9 坳 d r x u r t p j x 2 p j a p j j 式中缸 k l 一葺 i o n x 锄 岛 l 一乃 o n p 2 2 0 其中d x 是反变换后的 一x 域数据 慨为t x 域内的道数 坳为r a d o n 域 数据的道数 其矩阵形式和线性r a d o n 变换类似 也可以用最小平方法求解 此时的 算子 是沿着f v q x 2 进行积分 而工是沿着f f 一秘2 进行积分 2 1 3 双曲r a d o n 变换 线性r a d o n 变换使用范围较窄 对于v s p 直达波等线性特征的同相轴波场分离 效果明显 抛物r a d o n 变换是时不变性的一种近似 一般用在做完动校正后的记录上 7 第二章r a d o n 变换的基本原理 对于去除在动校正后与有效波存在大时差的波场效果较好 如去除多次波 但是分辨 率仍然受到限制 对远偏移距时差较小的同相轴变换至l j r a d o n 域重叠在了一起 分辨 率较低 双曲r a d o n 变换正反变换公式的离散形式为 聊z r q 喜d 乒爵 誓 出 2 2 d x n p 2 m f 雨 q i x 2 仍 d q 2 2 2 d x f 2仍 2 一 式中 x 为炮检距 为双程旅行时 q 1 2 f 为截距时间 为均方根速度或 动校正速度 写成矩阵形式与线性r a d o n 变换公式类似 也可以用最小平方求解 此时算子 是沿着 丽进行积分 而三是沿着f e 进行积分 2 1 4 多项式r a d o n 变换 国内牛滨华等 2 0 0 1 提出了多项式r a d o n 变换 基本思想是r a d o n 正变换的 积分路径取线性和抛物路径的加权求和 多项式r a d o n 变换正反变换公式的离散形式为 垅 f p g d f 什死 群 薯 出 2 2 3 d n p 聊 r 二t p j x q j x 2 q j d q 2 2 4 j l 在矩阵形式的算子中 是沿着 f f 乃 弘2 t 进行积分 而上是沿着 f 一p x q x 2 进行积分 2 1 5 相移双曲r a d o n 变换 在水平层状介质模型中 c a s t l e 1 9 9 4 刀发现通常的时距曲线方程 加坛 镌 2 2 5 只是在近偏移距初和实际反射近似较好 其中 0 是双层旅行时 z 是偏移距 k 是 均方根速度 d i x 1 9 9 5 把它定义为如下的形式 8 中国石油大学 华东 硕士学位论文 2 2 6 圪是层速度 a r k 是垂直旅行时 是层数 c a s t l e 建议用时移双曲方程修正长偏移距离 反射条件下反射时差的误差 时移双曲 方程定义如下 心一 2 岛一t 2 每 2 2 7 蛎 乙是时移双曲同相轴方程的旅行时响应 速度的信息由v 曲来体现 c a s t l e 还建议了 一种更一般的形式 其中 f t o 1 一i 1 抽蠢一鲁一罂k l 店 芝 气 2 2 8 时移双曲曲线相当于d i x 动校正方程在时间轴上移动t o 1 1 s 整理得到 t t o 2 2 9 o p p e r t 和b r o w n 2 0 0 2 啪1 提出在长偏移距的情况下 用上面的时移双曲 s h i f t e d h y p e r b o l a 方程取代传统的d i x 动校正方程做双曲r a d o n 变换 2 1 6 椭圆r a d o n 变换 双曲r a d o n 变换的反变换并不是按照双曲路径积分 其反变换算子是沿着椭圆路 径积分的 由此可以定义椭圆r a d o n 正变换的离散形式为 n p 一 矿 d 1 一彳y 2 a 2 3 0 i l 其中 y 是速度 f 表示双层旅行时 p s i n o v 是射线参数 口是射线与垂直方向 之间的夹角 通常使用椭圆变换的地方不多 因为它不符合地震剖面的双曲反射同相轴 在有 9 第二章r a d o n 变换的基本原理 些文献中把它应用在滤除低采样或者缺失道情况一f 的地震记录 压制倾斜叠加中出现 的算子假频和离散截断效应上 2 2 频率域高分辨率r a d o n 变换 2 2 1 频率域r a d o n 变换形式 对于线性和抛物r a d o n 变换 由于这两种算子都具有时不变性 所以也可以在频 率域实现 把时间一空间域问题转化到频率一空间域来求解 这样可以充分利用f o u r i e r 变换高效快速的特性 对每个频率分量进行r a d o n 变换计算 避免了求解时间 炮检 距域的速度采样形成的大矩阵问题 提高了计算速度n 6 1 以抛物r a d o n 变换为例 线性r a d o n 变换与之相似 在 2 1 4 中 积分路径为 抛物型的 对其两边分别做f o u r i e r 变换 就可以对每个频率分量独立求解 h a m p s o n 1 9 8 6 2 设d x 缈 和u q 1 9 分别为d x 和甜 g f 的傅立叶变换 则变换对推导如 1 u q e d x f 够2 e x p i c o 了 出咖 ei i l l d x e x p 一r o t q x 2 删f ee a x 咖x p i o g t e x p i c o q x 2 捌f 即频率域正变换为 u q 国 d x c o e x p r o q x 2 出 2 3 1 由于 d 砌 ee q t q x 2 e x p i c o t d t g f e x p 一泐 f 弘2 d 彳由 甜 e x p i c o 丁 e x p i c o q x 2 如d q 即频率域逆变换为 d x 彩 u g c o e x p i c o q x 2 炳 2 3 2 同理由离散形式的抛物r a d o n 变换对 乃 r z 肌d x j t r q j a x l 2 一 坼 2 3 3 l o 中国石油大学 华东 硕士学位论文 d 五 f p 乃 f f q g a qi 1 妒 m 2 3 4 j 1 f o u r i e r 变换后的形式如下 u 9 彩 芝d t c o e x p i c o q j x 2 a xj l 2 一以 2 3 5 j d x j 缈 艺u 乃 国 e x p 一i c o q j x a q i 1 2 m 2 3 6 每个频率成分 2 3 5 和 2 3 6 式可以表示为如下的矩阵形式 u q j d 薯 2 3 7 d x i l u q j 2 3 8 式中 l 是一个m k 的复数矩阵 u 是反变换后的长度为苁 地震数据的道数 的频率分量数据 d 是r a d o n 域内长度为以 变换域的道数 的频率分量数据 算子三及其共轭算子 可以由下列系数定义 l e x p 一i c o q i 1 2 mj 1 2 以 e x p i c o q j x i 1 2 mj l 2 坼 写成矩阵分量形式为 三 0 e x p i o q x e x p i r o q t x e x p 一f 缈g l 矗 降 e x p 一f 彩g e x p i t o q 吃2 一 e x p 一 国g 矗 e x p i c o q x e x p f 缈g e x p 一i c o q 彳 e x p i c a q e x p i c o q 碗 eexpxp ic剖oq x2 1 i e x p i c o q 砟砰 e x p r o q 弦2 e x p f 缈g 矗 2 3 9 2 4 0 由矩阵形式可知 三和 是非正交矩阵 因此三和 并不是真正的互逆算子 不能构成互逆变换对 这时就要利用广义逆来求解 当 m 即方程 2 3 4 为超定方程时 虬 m 矩阵 是可逆的 因此三的 广义逆为 第二章r a d o n 变换的基本原理 l 1 三 1 2 4 1 则抛物r a d o n 正变换为 u l n l 一l d 2 4 2 当以 一 h h 矿语 第二章r a d o n 变换的基本原理 当分布形式为柯西分布时 由b a y e s 理论导出的目标函数式为 以 莩 n 升 肌俐叫 陋7 2 矩阵q 被q 所取代为 瓯2 翻o 1 i v l q 1 3 式中 吒为模型的柯西分布参数 重要的是一些迭代方案需要解方程 2 6 9 或者 2 7 0 让q 代替q 或者q 算子 v k q 三g 1 r 三g 1 甜 2 7 4 类似地 对于 2 5 8 式 心 鳞 三忙 f 簖1 上 甜 2 7 5 对于给定一个形状参数p 值 然后给定一个尺度仃 的初始值 再通过式 2 7 4 和式 2 7 5 迭代 可以得到尺度仃一 柯西分布的参数本身无法求取 只能通过其他 间接方法求取 本文为人为确定 用一个平滑的模型来初始化这个算子 或者用 l u 近似 迭代次数将取决于所 采用的规则化方式 通常情况下5 次迭代就产生一个最小化j p 或者以的近似解 过 高的迭代次数会导致逆变换失真 插值现象越明显 虽然收敛效果更趋于理想化 上述讨论解的形式简单写为 r d m 7 2 7 6 式中d w w 为了解方程 2 7 6 采用共轭梯度法 可以总结为下面的形式 从一个初始解 开始 使风 r o m a d j 一 r d m o i a r d n l m j 口f 1 b i l 一 l r d n 2 0 中国石油大学 华东 硕士学位论文 层 小 易 l l 孱 l 易 式中 扛o 1 2 k 表示迭代次数 k 可以通过最大频率算出来 共轭梯度法的计算代价主要花费在矩阵与向量的相乘上 通常矩阵与向量相乘需 要 o m 2 处理 在问题中 将使用t e o p l i t z 结构的足矩阵来找到一个快速的方式来 计算上面的运算 r d x 可以分解为两个部分 r x d x 第一部分般使用快速傅立叶变换f f t 来计算效率较高 第二项仅仅需要2 m 次操作 不增加反演的计算量 第一部分 y r x 可以写成增广矩阵的形式 阱y 图 2 7 7 式中k 是一个原始的t e o p l i t z 矩阵 在合适的折叠后变成了循环矩阵 把 的第 一行进行f f t 变换与f x 0 1 7 进行f f t 后的结果进行点乘 得到的结果在做反傅立叶 变换 这样就得到了右端的结果 现在的矩阵运算操作为o m l o g m 其中m 为 增补矩阵的大小 m 2 m 一般共轭梯度算法在迭代几次 k m 5 后就收敛了 因此 反演运算变为d 删 l o g m 次处理 这比式 2 7 7 使用c h o l e s k y 分解法 反演更有效率 这种方法也被称为预条件共轭梯度法n 钉 实际上 这里面的简化就是用傅立叶变换后的乘积来代替褶积 这样通过快速傅 立叶变换 大大加快了反演计算的速度 2 2 8 频率域抛物r a d o n 变换的参数选择 在地震资料处理中参数的选择是一个重要的环节 对于抛物r a d o n 变换 g 的采 样范围同样必须在合适的范围之内 g 的范围过大将会导致假频或者不满足采样理 论 频率 厂的选择有一个有效带宽 抛物r a d o n 变换在低频不稳定 导致能量混淆 而过高的频率浪费计算效率 由信号分析理论可以知道 对于有限带宽毋的任意函数x f 其采样率为 f 则应该满足如下关系式口力 馏 2 r t 2 7 8 2 1 第二章r a d o n 变换的基本原理 对于抛物r a d o n 变换 其带宽为吐 缈 一 2 式中 和 i 分别为最大 炮检距和最小炮检距 把它代入 2 7 4 式中则又对于频率为彩的信号 抛物r a d o n 变 换中参数q 的采样率应该满足下式 2 7 9 由此可知抛物r a d o n 变换中参数q 的临界采样率 g 为 2而手27 aqc丽 2 8 0 2 而手习 2 8 0 设原始数据中信号的最高频率为c o r n 欲使所有的有效频率成分成立 则将上式 的0 9 替换为c o r n 则有 衄2 忑酮2 7 2 8 1 由于在抛物r a d o n 变换过程中出现假频 使得变换的质量下降 这里通过选择合 适的q 的扫描范围来减小假频的产生 对于抛物r a d o n 变换设其真实的同相轴对应的 曲率参数为q o 则抗假频条件为 2 8 q q 0 i 硒1 2 8 2 考虑到所有有效波的成分 则上式可以写成 止 瓦五孤云i jc 觚1 3 缸i l g m 一g m i nj 由此可以得到曲率参数q 的扫描范围满足的条件为 q a x q m i 赤 2 8 3 对于离散抛物r a d o n 变换而言 戤对应的是一个较大的整数 根据傅立叶变换 中输入和输出采样间隔的关系 f 厂 二一 j n f f t 设矾戤是 戕对应的离散傅立叶序列整数 n f f t 为傅立叶序列总的采样长度则 n f m a 0 m n f u 丁a t 帆i n i n f f t a t 中国石油大学 华东 硕士学位论文 在实际运算中 通常蜕证取5 因此 在傅氏变换域 r a d o n 变换在5 帆缸范 围内进行 2 3 时间域高分辨率r a d o n 变换 上节介绍了频率域线性r a d o n 变换和抛物r a d o n 变换 由于这两种变换算子具 有时不变性 可以在频率域实现 因此把时间 空间域问题转化到频率 空间域求解 可以在频率域采用反演算法计算 提高了计算速