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西北工业大学硕 卜 学位论文 有关特殊矩阵的计算问题及性质 摘要 本文对科学计算中经常遇到的一些特殊矩阵进行研究，如周期三对角矩阵、 交叉三对角矩阵、 v a n d e r m o n d e矩阵、 h a n k e l 矩阵等，得到了求解线性方程组、 逆矩阵、 三角分解等的若干算法， 这些算法有些是新的， 有些是对原有算法的改 进或推广;也研究了对角占优矩阵k r o n e c k e r积的一些性质。 本文的结构如下: 第一章给出了一些特殊矩阵的定义及研究意义。 第二章推导了周期三对角矩阵的显式求逆公式及逆元素的上界估计式， 给出 了两种求解周期三对角方程组的新算法，最后通过算例说明了算法的有效性。 第三章主要研究交叉三对角矩阵，给出了求三角分解和逆矩阵的快速算法， 导出了解相应线性方程组的三种算法， 在章末给出了部分算例， 说明了算法的正 确性。 第四章将求h a n k e l 矩阵及其逆矩阵、 v a n d e r m o n d e 逆矩阵的经典快速三角分 解算法作了改进， 通过算例说明了改进后的算法不但减少了 计算量， 对有的矩阵 还提高了计算精度。 第五章得到了对角占优矩阵k r o n e c k e r积的一些新性质。 关键词周期三对角矩阵，交叉三对角矩阵，逆矩阵，三角分解， v a n d e r m o n d e矩阵，h a n k e l 矩阵，k r o n e c k e r积，对角占优矩阵 西北工业大学硕士学位论 ;t t h e r e s e a r c h o n t h e c o mp u t i n g p r o b l e ms a n d t h e p r o p e r t i e s a b o u t s p e c i a l ma t r i c e s ab s t r a c t t h e p a p e r i s c o n c e rn e d w i t h s o m e s p e c i a l m a t r i c e s t h a t a r i s e i n s c i e n c e a n d e n g in e e r i n g , f o r e x a m p l e ,p e r i o d i c t r i d i a g o n a l m a t r i x ,c r o s s e d t r i d i a g o n a l m a t r i x , h a n k e l m a t r i x a n d v a n d e r m o n d e m a t r i x . a b o u t t h e s e s p e c i a l ma t r i c e s , w e o b t a i n s e v e r a l a l g o r i t h m s o f s o l v i n g l i n e a r s y s t e m s , c o m p u t i n g t h e i n v e r s e s a n d t h e t r i a n g u l a r f a c t o r i z a t i o n , a m o n g w h i c h s o m e a re n e w o n e s , s o m e a re i m p r o v e m e n t s f o r o l d o n e s ， s o m e a r e e x t e n s i o n s o f o l d o n e s . f in a l ly w e r e s e a r c h o n p r o p e rt i e s o f k r o n e c k e r p r o d u c t o n d i a g o n a l l y d o m i n a n t m a t r ic e s . t h e p a p e r i s c o m p o s e d o f t h e f o ll o w i n g m a i n p a r t s : i n c h a p t e r o n e , w e i n t r o d u c e t h e d e f i n it i o n s a n d t h e s i g n i f i c a n c e o f s o m e s p e c i a l ma t r i x . i n c h a p t e r t w o , w e f ir s t g i v e t h e i n v e r s e m a t r ix o f p e r i o d i c t r i d i a g o n a l m a t r i x a n d t h e u p p e r b o u n d s o f t h e e l e m e n t s o f t h e in v e r s e m a t r i x . t h e n t w o n e w a l g o r it h m s f o r s o l v i n g r e s p e c t i v e l i n e a r s y s t e m s a r e g i v e n . a t l a s t , n u m e r i c a l e x a m p l e s a r e p r e s e n t e d t o c h e c k t h e v a l i d i t y o f t h e a l g o r it h m s . i n c h a p t e r t h r e e， w e m a i n l y r e s e a r c h o n t h e c r o s s e d t r i d i a g o n a l m a t r i x . w e i n t r o d u c e t h e f a s t a l g o r i t h ms o f i n v e rt i n g a n d l u f a c t o r i z a t i n g i t . f o l l o w i n g t h i s ， w e g i v e t h r e e f a s t a l g o r i t h m s t o s o l v e re s p e c t i v e l i n e a r s y s t e m s . a s b e f o r e , w e e n c l o s e s o m e n u m e r i a l e x a m p l e s w h i c h v e r i 行th e c o r r e c t n e s s o f t h e a l g o r i t h m s i n c h a p t e r f o u r , w e p r e s e n t t h e i m p r o v e m e n t s f o r t h e f a s t t r i a n g u l a r f a c t o r i z a t i o n o f h a n k e l m a t r i x , i t s i n v e r s e m a t r i x a n d t h e i n v e r s e m a t r i x o f v a n d e r m o n d e m a t r i x. t h e n u m e r i a l e x a m p l e s i n t h e e n d o f t h e c h a p t e r s h o w t h a t t h e i m p r o v e d a l g o r i t h m s a r e l e s s i n c o m p u t i n g t i m e a n d m o r e h i g h e r i n p r e s c i o n t h a n t h e c l as s i c a l a l g o r i t h m s . i n c h a p t e r f i v e , w e g i v e s o m e n e w p r o p e r t i e s o f k r o n e c k e r p r o d u c t o n d i a g o n a l l y d o m i n a n t m a t r i c e s k e y w o r d s : p e r i o d i c t r i d i a g o n a l m a t r i x , c r o s s e d t r i d i a g o n a l m a t r i x ， i n v e r s e m a t r i x t r i a n g u l a r f a c t o r i z a t i o n ,v a n d e r m o n d e m a t r i x , h a n k e l m a t r i x , k r o n e c k e r p r o d u c t , d i a g o n a l ly d o min a n t m a t r i c e s . 西北工业大学硕士学位论文 第一章 特殊矩阵的定义及应用背景 一、 几种特殊矩阵及研究意义 本部分给出论文中涉及到的几种特殊矩阵的定义，并简要介绍其研究意义。 定义 1 形如 c嵘凡 cb ba 一 的矩阵称为分块周期二对角矩阵。 为周期二对角矩阵。 定义 2 形如 a a 。 一 ， 这里减，b，c ， 为p 阶方阵。当p =1 时，a 试厂 日 cl瓦 式式 e，d a , c_ , a _ , b a ., e 。 + : d 。 + 2 d , f . z 心 ， 1 + 1 b - z c n a + z b + 3 f 2 ., b z . i bae汽 之二二d 了11，卜一、 - 的矩阵为奇数阶的交叉三对角矩阵;形如 必厂 el .月几， c咭h 约al 布和cn+l蝙 az一 c 。 _ 1; e- , b ; d d ; . , i b _ 1 d , j - 1 ， a, f 2 . - , c z e - , a 2 . - , b z n 的矩阵为偶数阶的交叉三对角矩阵。 西北 l 业大学硕士学位论文 定义3设a . . . . . . ae c， 矩阵 1气二!嵘 a , - 1马广 - v 称为v a n d e r m o n d e 矩阵。 定义 4 形如 气编:hzn- 气气: 权气 h h * i 护2一一气 二 h 的矩阵称为h a n k e l 矩阵。 定 义 。设 a = (a j . c ，a (a 卜 e la o l ， 简 记 为 a , 。 若 la iij 7 a i 对 - 1 , ， 二 ， n 都 成 立， 则 称a 为 严 格 对 角占 优 矩 阵， 记为 ae d ; 若 有 正 数d , ， 二 ， 试 ， ， 使 得 la id , 习 a u 阿 ， 对 ， 一 1 ， . . . 。 都 成 立 ， 则 称 a 为 广 义 对 角 占 优 矩 阵 ， 记 为 a e d o 这里d表示所有。 阶复严格对角占优矩阵的集合;而d 表示所有。 阶复广义对角 占优矩阵的集合。 周期二对角线性方程组的求解是诸多应用问题的重要组成部分，例如构造具有 周期型边界插值条件的三次样条函数时，需要求解周期三对角线性方程组 2 3 1 ,具 有周期边界条件的偏微分方程经离散化而导出的差分方程经常是分块周期二对角方 程组2 ) 3 ) 。因此研究周期三对角线性方程组的有效解法具有实际意义。 交叉三对角矩阵是工程问题中常见的矩阵。比如，任意特征值为实数的复矩 阵都相似于交叉二对角矩阵的直和(6 1 ;求解复三对角线性方程组也要转化为 求解实 交叉二对角线性方程组。本文系统研究了交叉三对角矩阵的一些性质和有关的算 法。 h a n k e l 矩阵和v a n d e r m o n d e 矩阵都属于特型矩阵。 h a n k e l 矩阵在代数领域、 可靠性理论、随机过程、数字滤波、插值理论及系统理论中都有广泛应用 4 3 1 4 4 1 4 5 1 。另外插值多项式的存在性和唯一性的问题，线性泛函逼近问题及状态方 四北 业大学硕士学位论文 程的线性变换等实际问题往往转化为以 v a n d e r m o n d e矩阵为系数矩阵的线性方程 组的求解或求逆矩阵的问题4 11 4 2 1 。对这些特型矩阵的研究一直是人们关注的焦 点，而且己有大量的文献问世，解决了相关的很多问题。 在用数值方法求解实际问题所得到的线性方程组中，其系数矩阵常常具有对角 占 优的 特性。 矩阵的直积( k r o n e c k e : 积) 不仅在矩阵理论的研究中有着广泛的 应 用，比如，直积运算可以把解矩阵方程问题转化为解线性方程组的问题 7 1 ，而且在 诸如信号处理与系统理论中的随机静态分析与随机向量过程分析等工程领域中也是 一种基本的数学工具16 1 1 7 1 二、 研究现状 周期二对角方程组最早由r . d . r ic h t m y e r 和 k . w. m o r t a n研究，他们在 1 9 6 7年提出了类似于追赶法的算法1 9 ，近年来对周期二对角方程组的研究集中在 其并行算法1 1 。本人从 ( 分块)周期三对角矩阵的特殊分解出发，得到了求解 ( 分块)周期二对角方程组的新算法，它们或扩大了追赶法的使用范围， 或提高了 计算精度。至于周期二对角矩阵求逆及对逆元素的估计，还很少有人研究，人们研 究较多的是它的特例，即三对角矩阵矩阵逆的显式表达式和对逆元素的估计。 交叉三对角矩阵的研究到目 前为止，所见的只有牟红兵等人对其可逆的充分条 件 作了 简单的 探索p o l 对 h a n k e l 矩阵和 v a n d e r m o n d e矩阵的研究一直被人们所关注。 人们从研究 v a n d e r m o n d e矩阵求逆算法开始 7 $ 1 0 1 9 7 0年，b j o r c k 0 提出了求解以 v a n d e r m o n d e 矩阵为系数矩阵的线性方程组的递进算法，1 9 8 3年，张直n 5 得到了 v a n d e r m o n d e 矩阵逆矩阵三角分解的快速算法;1 9 9 1年 c h u n , k a i l a t h 2 1 1 给出了 v a n d e r m o n d e 型矩阵的三角分解的快速算法;2 0 0 0 年h a l i l o r u c 4 0 等基于完全对称 函数提出了 v a n d e r m o n d e矩阵的三角分解的快速算法;而徐猛t9 ) 在其毕业论文中 用构造高阶矩阵的方法得到了另一种求 v a n d e r m o n d e型逆矩阵二角分解的快速算 法;1 9 6 5年 t r e n c h 2 5 1 ，1 9 6 8 年 b e r l e k a m p 2 6 1 ， 1 9 7 4年 r is s a n e n 2 7 1 ，1 9 8 3 年 g r a g g 和l i n - d q u i s t 2 1 1 , 1 9 8 4 年h e in i g 和r o s t 12 9 1 分x 11 给出了h a n k e l 矩阵的逆矩阵 西北仁 业大学硕十学位论文 的 快 速 三角 分 解算 法;1 9 7 1 年p h i l l i p s , 1 9 7 4 年g r a g g i , 1 9 8 9 年c h u n i i i , 1 9 9 0 年l a b a h n i l l ，1 9 9 1 年c h u n 和k a i l a t h - 0 1 提出了h a n k e l, v a n d e r m o n d e 矩阵的 快速三角分解算法。 1 9 7 3 年 r is s a n e n ( i i , 1 9 8 6 年c it r o n i l l 分别给出h a n k e l 矩阵 及逆矩阵的快速三角分解算法。1 9 9 4年p a l ,k a i l a t h z l 分别给出求 h a n k e l 矩阵的决 速三角分解算法。本文对张鑫给出的求 v a n d e r m o n d e逆矩阵三角分解的快速算 法、k a i l a t h等人给出的 h a n k e l 矩阵及其逆矩阵的快速二角分解算法作了改进， 减 少了原算法的计算量，算例表明对有的矩阵还提高了计算精度。 对角占 优矩阵与矩阵的k r o n e c k e r 积结合起来研究始于1 9 8 5 年的r . a . h o r n 和 c . r . j o h n s o n (1 4 1 0 2 0 0 3 年李耀堂p a d 等人将之推广到广义块对角占 优阵的 k r o n e c k e r 积。本文补充了广义对角占 优矩阵的k r o n e c k e r 积的一些性质。 西北工业人学硕 i _ 学位论文 第二章周期三对角矩阵有关问题的研究 1 周期三对角矩阵的逆矩阵显式表达式及算法 考虑周期三对角矩阵 ( 1 . 1 ) 、.十 咭t cl勺，力 艺c理 ，l气 a - 11刀 人a口 /1一、 - a 本节给出了周期三对角矩阵逆矩阵元素的显式表达式。 为方便起见，记n 阶三对角矩阵 月坤 、 c a 人户 .目.二 tr = 、十尹 -u 气b 吼瓦. 扛al 一 口 。 _ 、 引理1 . 1 1 将式( 1 . 1 ) 的周期三对角矩阵a分块为 一 (pt b j = (a ptt,一 其中 若a，不 不= t r i ( b , , a , 刀= ( a , 0 , , c . ) ， ,o , a n - i ) t 兀= t r i ( b , , a ; , c ) 几 z ， a = ( c n ,o , . . .,0 , c _ , ) t ， = ( a 0 , . . . ,0 , a . ) t ， 户 一 ( c , ,o ， 一 ，o , c ) t t z 可逆，则 w = b 。 一 p t t - ia ， 0 ， w 一 b 。 一 ft t tia ， 0 n t t z - it 州 + t ta f t t lt - + y 1一汽w 人a- 月一八w t召 2!一，几、 一一 、月十 t ,- a wllw t ,一 ia # t t - i w fl t t - l w +- - 不 zlesesesesesesll、 - 一 a 三对角矩阵之逆矩阵的第 1 定理1 . 1 设三对角矩阵t 行与第n 行元素由如下定理给出。 = t r i ( b , , a , , c , ) . , 令佃 ，扣 分别为t - ， 的第1 行和第n 行元素， 可逆，且a , c ; x 0 ( i 二 1 , . . . , n 一 1 ) 9 口 u = ( u , , u z ， 一 ， u ) = e t t - 1 ， v = ( v v 2 , ， 二 ， v , ) = e t, t - 其 中 e 是 第i 个 分 量为1 其 余分 量为0 的n 维列向 量， 则 u ; , 扣 ， 可由 下 式 递 推 计算 d= 氏，d ， 二 b 一二 二 份 d, a , c ( i =n 一 1 , - - , 1 ) 1 u , “ a , “ = _ c p _ l d , ( k= z , . , n ) r十、1 西北工业人学硕 i _ 学位论文 第二章周期三对角矩阵有关问题的研究 1 周期三对角矩阵的逆矩阵显式表达式及算法 考虑周期三对角矩阵 ( 1 . 1 ) 、.十 咭t cl勺，力 艺c理 ，l气 a - 11刀 人a口 /1一、 - a 本节给出了周期三对角矩阵逆矩阵元素的显式表达式。 为方便起见，记n 阶三对角矩阵 月坤 、 c a 人户 .目.二 tr = 、十尹 -u 气b 吼瓦. 扛al 一 口 。 _ 、 引理1 . 1 1 将式( 1 . 1 ) 的周期三对角矩阵a分块为 一 (pt b j = (a ptt,一 其中 若a，不 不= t r i ( b , , a , 刀= ( a , 0 , , c . ) ， ,o , a n - i ) t 兀= t r i ( b , , a ; 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c ; # 0 ( i 二 1 ,2 , . . .n 一 1 ) 令a 一 ， = ( v u ) ra n ， p 1 存 在 数 列( u ， v u s , + v e t u , w +v , 气 ( s ， i 5j ; i t j ; l 二2 ， “ w , ，( r , 使得 n一i =n 一 1 , . . . , 2 1.破皿it 一 ，i .月 v 证明 令笼 u , ) 枷 分 别为a - ， 的 第1 行 和第。 行元素，即 e ; a 一 ， = ( u , , u z ， 一 ， “ 。e , t a - + c v , = ( v , . v z ， 一， v ) 得刘 比 较a a - = i 。 的 元 素。由 b , u i + c ,v _ j v , ,= = s 2 u , + t , v , ( .1 ? 2 ) ( j ? 2 ) 丘cl - u 执一cl 一 其中 s 2 = - l i i t2 = - e- 一 般 地 若 有v= u s 十 v ) 1 , ( 1 i ) ， 则 由 a ,- ,v ,_ , ， 十 b y ， 十 c iv , 1.i ( 1 . 3 ) ( i + l ) ， 得 ( a ,- 1 s ,- 1 + 瓦 s , ) u + ( a ，一 : t ;- , + b ,t , ) v , + c , v ,+ i, = 0 从 而， + ! ， = s l+ 1 u .i + t ,+ iv 1 ( t + 1 - j ) ， 其 中 西北下业大学硕 卜 学位论文 s+ 1 = 久 _ 成_ 1 + b , s ; t , . , = a ,_ , t ;_ , + 如 ( i =2 ，。 . , n 一 ? )( 1 .4 ) cc ; 可令 5 1 = 1 ，t , = 0 ，s= 0 ，t= 1 即可由 式( 1 .3 ) 和式( 1 .4 ) 及式( 1 .5 ) 递推求出 s , ) , 1 , ) . ( 1 . 5 ) 又由 a + a _ , v _ , + 气 v , = 0 ( j _ j + 1 ) + ( b ;r , + c ,r ,+ , ) v ， 十 “ ,- i v ,- i.i = 0 ，其中 w; - , = b , w , + c ; w ,+ , r , _ , = b , r ; + c ; r ;, , ( i = n 一 1 , . . . , 3 )( 1 . 7 ) a , - , a , - , 再令 w= 0 ，r . = 1 ，w , = 1 ，r , = 0 即 可由 式 ( 1 .6 ) 和式 ( 1 .7 ) 及 式 ( 1 .8 ) 递 推 求出夏 二 ， r , ) 。 证毕 根据定 理1 .2 ， 只要求得a - ， 的第1 行和第n 行元素扭 ， v , 的其 余元素， 以下 假设不，t 2 可逆。 由引理 1 . 1 可知 ( 1 . 8 ) 即可得到a - u 2 ， . .， u n ) 一 喜 (1p t t ?- ) = 粤 (i ， 一 c ,x t 一 c n y t ) ww ( v i , v 2 ， 一.， 。 ) = 上 ( 一 ， t t - i ， 1) = 上 ( - a 。 二 w 其中分 = ( 分 : ， 分 2 ， 瓦 一 ， ) 丁 ， ， ,x-, ) t w t 2 t - . - 7 = 夕 = 一 a 卜 ， 少 ta - 1 y， 1 ) ( 夕 . ， 乡 2 ， ， 夕 。 _ ; ) r 不 一 t 瓦= x = ( x , , x z 这里瓦 ， 瓦 _ 1 表示n 一 1 维的 单 位列向 量。 ，t i一 t e - i = y = ( y , y z ， 一 ， y - ) t 从而 u ; = 一 ( c ,i ;- . + c y .， n ) ( 1 .9 ) v , = 一 ( ax , + a - y) v ( i 二 n 一 1 , 1 ) 1-.wi-w - f油|、阮卜 可求得 、 = b 。 一 /3 t t i a = b 。 一 ( a x t + a , _ , y t ) a = b 。 一 a( c x , + c - , x _ , ) 一 a - , ( c y , + c 。 一 ， y- 1 ( 1 . 1 0 ) w 一 b ， 一 产t z a = ” ， 一 ( c , x , + c i , ) a = b ， 一 c , ( a , z , + a ! - , ) 一 c ( a ,夕 ， + a 夕 。 _ ， ) ( 1 . 1 1 ) 再由 定理1 . 1 求出x y z ,夕 。 西北工业大学硕 七 学位论文 式( 1 . 3 ) 一式( 1 . 1 1 ) 便构成了 求周期三对角矩阵逆元素的快速算法。 算法 2 . 1( 求周期三对角矩阵的逆元素) 第一步 s , = 1 , t , = o s , b , c , ， t , = 一 c c , b一称 2一q 工 - .且 - 几 w = 0 , r二 1w - i a a - , s , 二 a ,- , s ,- , + 瓦 s ; c , b , w , + c ; w ; , t, = r , - , = a ,_ i t ,_ ! 十 妙 c ; b ; r , + c ; r ; , , ( i 二2 , , n 一 2 ) w卜 1= ( i =n 一 1 ， 一 ， 3 ) 口卜 1 “ 卜 ， 第二步 w= w二 b 。 一 a( c x , + c _ , x ” 一 ， ) 一 a . , ( c y , + c - l y , b 、 一 c , ( a , z , + a s _ , ) 一 c ( a , 少 . + a y - i ) 第三步 d_ , = a - , , d , b . c =a 一一 1 二n一1 ， 二 ， 1 ) d , . , x k= ( k =2 ， ， 陀 一 1 ) s , 二 a s , = a ， 一 c. 育x 一 ， b,-,c,_, s ; _ , ( i 二2 , . . , n 一 1 ) y . - , = d 。 _ . = 夕 k d=a+ 1 c k. y k . , 入 一 ” b ,. , c ;* , a ,. , ( k =n 一 2 ， 一， 1 ) ( i = n 一 2 , . . . , 1 ) x k = - x k_ ,k ( k =2 , . . . n 一 1 ) s , = a _ , b ,=口+ 1一 b , -c ,i = 2 ， 一， n 一 2 ) 8 ; _ i y . - , _ - 户 -, 夕 * = 一 c k . ,-y k . i a k ( k =n 一 2 , . . . ， 1 ) 第四步 1 配 1 = u ， = 一 ( c a- , + c n y ,- i ) u l ( i = 2 , , n ) v 。 二 生 ， ， = 一 (a n x , + a . - , y ,) v . (i = 。 一 1, ,1) 第五步 v= u p s ; + v e t ; ( i 1 ; i = 2 , , n 一 1 ) v ， = u i w+ v , r ; ( i 1 ; i = ” 一 1 , . . . , 2 ) 西北工业大学硕_ 1 二 学位论文 该算法需要乘除运算2 n 2 + 2 3 n 一 3 5 次，加减运算尸+ 8 。 一 1 6 次。 2 严格对角占优周期三对角矩阵 逆元素的上界估计 考虑周期三对角矩阵 ( 1 . 1 ) ，设a是按行严格对角占优的，即满足条件 ib i i ic i i + i n h ib la ,- , i + ic ( = 2 ， 二 ， n 一 1 ) , ib l la i + la 。 一 : 关于严格对角占优的三对角矩阵逆元素的估计， 国内外已有不少文献做了研 究， 得到了 较好的上下界 2 ! 2 a 。 但对周期三对角矩阵，还鲜有人研究其逆元素 的界。本节得到了按行严格对角占 优周期三对角矩阵逆元素的上界。 按行严格对角占优的三对角矩阵之逆矩阵的第i 行与第n 行元素上界的估 计由如下定理给出。 这一结论在估计严格对角占 优的周期三对角矩阵逆元素的上 界时要用到。 定理2 . 1 设 三对角 矩阵t = t r i ( b a c ; ) , 是 按行 严格对角占 优的， 即 满足 ib i 1, , 1, ib la , i + ic ( i = 2 , - 二 ， n 一 1 ) , ib i la 。 一 : 且a ,c , m 0 ( i 二 1 ， 一 ， 。 一 1 ) ， 令 u ，枷 分 别 为t - 的 第1 行 和第n 行 元 素， 即 u = ( u . , u : , . . ., u ) = e , t - i ， v = ( v l , v . . . . . . v . ) = e . t 一 ， 则有以下不等式成立 其中 一 可 1lb,i- - 2 i, i一 lck-i io) kiak-, i 一 . 吓1iv, l _ lb.l- zn-ilan_ii，一 卜 la, 1r,ic,i 一 ， “ - 一， t，一 le,i r =ib,l 偷(i一 2,.一 1) 。 。 = la- , i-, ilb l 一 抵 (i一 1,.,2) 证明 前半部分的证明见定理1 . 1 由t按行严格对角占优知 r la ,- , i + ic ( = 2 ， 二 ， n 一 1 ) , ib l la i + la 。 一 : 关于严格对角占优的三对角矩阵逆元素的估计， 国内外已有不少文献做了研 究， 得到了 较好的上下界 2 ! 2 a 。 但对周期三对角矩阵，还鲜有人研究其逆元素 的界。本节得到了按行严格对角占 优周期三对角矩阵逆元素的上界。 按行严格对角占优的三对角矩阵之逆矩阵的第i 行与第n 行元素上界的估 计由如下定理给出。 这一结论在估计严格对角占 优的周期三对角矩阵逆元素的上 界时要用到。 定理2 . 1 设 三对角 矩阵t = t r i ( b a c ; ) , 是 按行 严格对角占 优的， 即 满足 ib i 1, , 1, ib la , i + ic ( i = 2 , - 二 ， n 一 1 ) , ib i la 。 一 : 且a ,c , m 0 ( i 二 1 ， 一 ， 。 一 1 ) ， 令 u ，枷 分 别 为t - 的 第1 行 和第n 行 元 素， 即 u = ( u . , u : , . . ., u ) = e , t - i ， v = ( v l , v . . . . . . v . ) = e . t 一 ， 则有以下不等式成立 其中 一 可 1lb,i- - 2 i, i一 lck-i io) kiak-, i 一 . 吓1iv, l _ lb.l- zn-ilan_ii，一 卜 la, 1r,ic,i 一 ， “ - 一， t，一 le,i r =ib,l 偷(i一 2,.一 1) 。 。 = la- , i-, ilb l 一 抵 (i一 1,.,2) 证明 前半部分的证明见定理1 . 1 由t按行严格对角占优知 r 1 又 “ jdj = lbnl= 黔 ， fx -r id; i - id,-,一 卜 一 d 由归纳假设知 ( 9 t+ ) 1 ( i = 1 , . - - , n 一 1 ) 回 ， 则 。， ._，。 ，la :- , l 七 lb , - , i 一 ic ;- i la , - it - i 一 c ;- l i = 一 口, - , id 七 回(， = n , . . , 2 ) 且 !“ 】卜 卜 一 剖 lb,卜 a 2一 于是由定理1 . 1 ，得 西北t业大 学顿士学位论文 ( k=2 n) 黔 c 左 _ l u 卜1 引则 u l l = 一 lb 一 。 : c : 1 u * = 上冈 假 “ 成 ， 黔 icll-几 又 有 占 1 卜 b : 1 = 占，一 卜 ”，一 誓 卜 !” 一 卜 一 二 ，” 一 卜 。 ，一 舒 由 归 纳 假设 知阵 : c _， 、 。 又 1= 1 ， ， 刀一1 ， 止 士 a 。 _ i c 卜1: 1 。 。 一 : 。 一 ，】a ，一 1 卜v-占 占代les 卿 从而由定理 1 . 1 ，得 阶 1 j。 。 1 一 : ， 一 ， a ， 一 ，1 、 毕， *十，1 (、 一 。 一 1， ，1) 。证 毕 c 众 1 引 理2 . lle 若a r 按行严格对角占 优， 则a 一 ， 列元素严格对