（应用数学专业论文）fuzzy蕴涵代数及其拓扑.pdf

扬州大学硕士学位论文 中文摘要 非经典数理逻辑是模糊推理和模糊控制等的理论基础 在非经典数理逻辑不 断走向成熟和完善的过程中 众多学者基于不同的蕴涵算子引入了各种逻辑蕴涵 代数 如m v 代数 b c k 代数 b l 代数 格蕴涵代数和心代数等 本文的目的是使 用代数工具 拓扑学的技巧和d o m a i n 理论的方法对各种逻辑代数及其拓扑进行研 究 探寻各种逻辑代数的刻画及相互问的关系 为促进非经典数理逻辑的发展和 学科问的交叉渗透注入新的活力 本文第一章探讨了f u z z 蕴涵代数 简称f i 代数 的进一步性质 第二章系统地 研究了满足条件 i c x j y 一y y x 专x 的一类特殊的f i 代数一可交换的f i 代 数 简称c f i 代数 获得了此类代数的若干性质 探讨了c f i 代数与其它逻辑代 数 如h f i 代数 格蕴涵代数 凡代数 h e 皿n g 代数和剩余格等之间的关系 给出 了c f i 代数成为 f 则h f i 代数的 个充要条件 证明了c f i 代数都是弱凡代数 c f i 代数都可看成格蕴涵代数 格蕴涵代数也都可看成c f i 代数 还证明了c f i 代 数在诱导偏序下构成一个分配的剩余格 讨论了c f i 代数的子代数和乘积的一些 性质 第三章对f i 代数中的m p 滤子作了进一步刻画 给出了f i 代数上的由非空 子集生成的m p 滤子的表示定理 证明了f i 代数的全体m p 滤子之集在集合包含 序之下构成一个分配的代数格 特别是一个f r a n l e 在f i 代数上引入了f u z z y 素 m p 滤子概念 给出了f u z z ym p 滤子的三个特征定理 证明了由f u z z r 集生成的 f u z z ym p 滤子的表示定理和f u z z y 素m p 滤子的扩张定理 讨论了它们与 素 m p 滤子间的关系 最后第四章利用同余关系和f i 代数上对有限交关闭的m p 滤子族 构造了相应的一致结构 从而诱导出拓扑空间 探讨了该一致结构和诱导拓扑的 性质 证明了这类空间一般不是连通空间 获得了该拓扑空间为紧空间的一个充 分条件 关键词 f i 代数 c f i 代数 f u z z y m p 滤子 代数格 f r a m e 一致结构 拓扑 刘春辉f u z 巧蕴涵代数及其拓扑 a b s t r a c t n o n c l a s s i c a ll o g i ci sat h e o r e t i c a lb a s i so f 如z z yr e a s o n i n ga j l d 如z z yc o n t r 0 1 w i t hn o n c l a s s i c a ll o g i cg r a d u a l l yc o m i n gt om a t u r a t i o na j l dp e r f e c t i o n m a n ys c h o l a r s h a v ep o s e dv a r i o u sl o g i c a la l g e b r a sb a s e do nd i f f e r e n ti m p l i c a t i o no p e r a t o r s s u c ha s m v a l g e b r a s b c k a l g e b r a s b l a l g e b r a s l a t t i c ei m p l i c a t i v ea l g e b r a sa n dr o a l g e b r a s a n ds oo n t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d yv a r i o u sl o g i ca l g e b r a sa n dt h e i r t o p o l o g i e sw i t ha l g e b r a i ct o o l s t o p o l o g i c a l m e t h o d sa n dt e c l u l i q u e s c o m i n gf r o m d o m a i nt h e o n r w em a i m l ye x p l o r ec h a r a c t e r i z a t i o n sa j l dr e l a t i o n so fv a r i o u sl o 西c a l a l g e b r a s i n s t i l l i n ge n e r g yi n t ot h ed e v e l o p m e n to f 如z z l o g i ca n dt h e i n t e r a c t i o n b e t v e e n 如z z yl o g i ca n do t h e rs u b j e c t s i nc h a p t e ro n e w ee x p l o r e 如n h e rp r o p e r t i e so fm z z yi m p l i c a t i v ea l g e b r a s i ns h o r t f i a l g e b m s i nc h a p t e rt w o w es y s t e m a t i c a l l y s t u d yf i a l g e b r a ss a t i s 匆i n gt h e c o n d i t i o n i c x 兮y j y y 专x j x w h i c hi s c a l l e dc o m m u t a t i v ef i a l g e b r a s i n s h o r t c f i a l g e b r a s s o m ei m p o n a n tp r o p e i r t i e so ft h i sk i n do fa l g e b r a sa r eo b t a i n e d r e l a t i o n sb e t w e e nc f i a l g e b r a sa n do t h e r l o g i c a la l g e b r a s s u c ha sh f i a l g e b r a s l a n i c e i m p l i c a t i v ea l g e b r a s r o a l g e b r a s h e i n ga l g e b r a sa n dr e s i d u a ll a t t i c e sa r ei n v e s t i g a t e d an e c e s s a i va n ds u f 6 c i e n tc o n d i t i o nf o rc f ia l g e b r a st ob eh f ia l g e b r a si sg i v e n i ti s p r o v e dt h a tc f ia l g e b r a sa r ew e a kr o a l g e b r a sa n dt h a tc f ia l g e b r a sc a nb ev i e w e da s l a t t i c ei m p l i c a t i v ea l g e b r a sa n dv i c ev e r s a i ti sa l s op r o v e dt h a tc f ia l g e b r a si nt h e i n d u c e do r d e rf o n nd i s t r i b u t i v er e s i d u a ll a t t i c e s i na d d i t i o n s o m ep r o p e r t i e so ft h e s u b a l g e b r a sa n dp r o d u c tp r o p e n i e so fc f i a l g e b r a sa r eg i v e n i nc h 印t e rt 1 1 r e e f u r t h e r c h a r a c t e r i z a t i o n sf o rm pf i l t e r so ff i a l g e b r a sa r eg i v e n ar e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo f m p6 l t e rw h i c hi sc r e a t e db van o n e m p t ys e to ff i a l g e b r ai so b t a i n e d i ti sp r o v e dt h a t t h es e to fa l lm pf l l t e r so nf i a lg e b r a si ns e t i n c l u s i o no r d e rf i 引曙n sad i s t r i b u t i v e a l g e b r a i cl a 七t i c e e s p e c i a l l vaf r 锄e w ea l s oi n t r o d u c et h en o t i o n so ff u z z y p r i m e m p 行l t e r s t h r e ec h a r a c t e r i z a t i o n st h e o r e m so ff u z z ym pf i l t e r sa n dar e p r e s e n t a t i o n t h e o r e mo fm z z vm pf i l t e rw h i c hi sg e n e r a t e db yaf u z z ys e ta n da ne x t e n s i o nt h e o r e m o ff u z z yp r i m em pf i l t e ra r eg i v e n r e l a t i o n sb e t w e e nt h e ma n d p r i m e m p f l l t e r sa r e d i s c u s s e d f i n a l l vi nc h a p t e rf o u r w ec o n s t r u c tu n i f o m i t i e su s e i n gc o n g r u e n c er e l a t i o n s a n dc 0 1 l e c t i o n sc l o s e du n d e rf i n i t ei n t e r s e c t i o no fm pf i l t e r so na nf i a l g e b r a h i c h i n d u c e t o p o l o g ys p a c e s p r o p e l r t i e so ft h e s eu n i f o n n i t y a n dr e l e v a n tt o p o l o g i e sa r e d i s c u s s e d i ti sp r o v e dt h a t t h i sk i n do fs p a c e si sr a r e l yc o n n e c t e d as u f 矗c i e n t e d c o n d i t i o nf o rt h i st o p o l o g i c a ls p a c et ob ec o m p a c ti so b t a i n e d k e yw o r d s f i a l g e b r a c f i a l g e b r a u n i f o m i 够 t o p o l o g y f u z z y m p f i l t e r a l g e b r a i cl a t t i c e f r 锄e 扬州大学硕十学位论文 符号名称 a f l 龟 反 八 v l 0 专 x 刀 纱 x 动 k l u x 兀i i x i m f x f f m f x a 3 a 上的二元运算是a 上的一个二元函数f a x a a 4 a 上的n 元运算是a 上的一个n 元函数f a j a n 1 定义1 1 2 1 设t 是一个非空集合 n 是非负整数集合 a r t 专n 是映射 则称 t a r 为型 有时也把 t 呻简记为t 并令t t t ia r t n 2 设t 是型 a 是一个非空集合 如果对于每一个t t 都存在一个a r o 元函数 t a a a r t 兮a 则称a 为t 型泛代数或t 代数 换句话说 集合a 上的一个 n l n 2 n k 型代数 n i n i l 2 k 是指k 1 元 组 a f 1 龟 其中f 1 i k 为a 上的n i 元运算 定义1 1 3 设a 和b 是具有同一型的t 型泛代数 p a 专b 是映射 如果 1 对每个0 元运算t t o p t a t b 2 对每个n 元运算t t n n 1 及a 中任意n 个元素a l a 2 a l l 都有 p t a a l a 2 a n t b p a 1 p a 2 p a n 则称 p 为从a 到b 的t 同态 如果 p a j b 是一个t 一同态且 p 为双射 则称 p 为从 a 到b 的t 同构 此时称泛代数a 与b 是t 同构的 定义1 1 4 1 3 3 1 设p 是一个非空集合 称p 上的满足自反性 传递性和反对称 扬州大学硕士学位论文 性的二元运算 为p 上的一个偏序关系或简称偏序 并称 p 是一个偏序集 定义1 1 5 设 l 是一个偏序集 a b x l b l 1 如果v b b a b 则称a 为b 的一个下界 2 如果v b b b a 则称a 为b 的一个上界 3 设a 是b 的一个下界 如果对于b 的任意一个下界x 都有x a 则称a 为 b 的最大下界 也称下确界 4 设a 是b 的一个上界 如果对于b 的任意一个上界x 都有a x 则称a 为 b 的最小上界 也称上确界 定义1 1 6 3 1 1 设 l 是偏序集 若v a b l 在l 中s u p a b 和i n f 钆b 都存在 则称 l 是一个格 s u p a b 和i n a b 常常分别记为 a v b 和a 八b 2 设 l 是一个格 如果v a b c l 都有 a v b c a v b a v c 1 1 1 a 八 b v c a 八b v a 八c 1 1 2 则称 l 是一个分配格 3 设 l 是一个格 则称 l 是一个完备格 4 设 l 是一个格 为它的最小元和最大元 如果l 的任何一个子集在l 中都有上确界和下确界 如果v a x 0 a 1 则称 l 是有界格 o 和1 称 5 设 l 是一个格 称一元元算7 l 专l 为一个逆序逆序对合对应 如果 a 7 乞a 且当a b 时有b 7 a 7 引理1 1 7 1 1 一个格 l 满足等式 1 1 1 当且仅当它满足等式 1 1 2 从而 格 l 为分配格当且仅当它满足等式 1 1 1 或 1 1 2 之一 1 2 三角模与蕴涵算子 定义1 2 1 l 设o 0 1 2 0 1 是二元函数 如果当a b c o 1 时有 1 a 圆b b 圆a 2 a o b c a o b o c 扬州大学硕士学位论文 7 子空间是紧致空间 则称y 是x 的一个紧致子集 引理1 3 1 2 8 设 x 力是一个拓扑空间 则x 是一个不连通空间当且仅当x 中存在着一个既开又闭的非空真子集 假设x 是一个非空集合 u v x x 规定 x x x x l x x u 一1 x y x xi y x u u v x y x x i 了z x 使得 z y u 且 x z v 定义1 3 2 2 6 1 非空合x 上的一致结构指x x 的满足如下条件的非空集族纱 a v u 彩 u b 女口果u 么贝0u 一1 钐 c 如果u 影则 v 纱使得v o v u d 女口果u v 影贝0u n v 澎 e 如果u i 且u v x x 贝0v 缴 并称偶对 x 纱 为一个一致空间 定义1 3 3 3 3 称完备格l 是f r 锄e 若v x l y l 有x 人v y v x 人y y y 定义1 3 4 3 3 1 1 设l 是偏序集 x y l 如果对任一定向集d l 只要s 叩d 存在且y s u p d 就有d d 使得x d 则称x 双小于y 记作x y 称x l 为紧元 如果x q 紧元的全体记为k l 2 称偏序集l 是连续的 若v x l 都有u x u l i u y 7 x v y 专y x 专y 8 x y v y 专x 1 9 x 专y x 八z 专y 入z 证明 1 根据定义2 1 1 定理1 4 8 2 1 5 引理2 2 1 和d em o r g a i l 律有 x 专y 一 x z c y 专c x j c z j c x c z 专 c y 寸c x 专c x c z 一 c x j c y 专c y c z 专 c x vc y c c x v c y 争c c z c c x v c y 卜争z x 八y 专z 2 根据定义1 4 1 1 1 和引理2 2 1 便得 x 专z j y 专z y 专 x j z 寸z y xv z 3 由引理2 2 1 定义1 4 1 1 2 和 1 3 有 x 兮y 一 x v z j y v z 一 x j y j x j z 专 x j z j z 专 y 专z 专z x 专y 专 y z 寸 x 专z x 专y j x j y 1 从而 有 x 专y 一 x v z 专y v z 1 故由定义1 4 2 可得x j y x v z 专y v z 成立 4 一方面 因为y v z y 且y v z z 所以由引理1 4 3 中的 1 8 我们有 x 专 y v z x 专y 且x j y v z x j z 于是x j y v z x 专y v x z 从而 x 专y v x j z 专 x 一 y v z 2 1 另一方面 利用上面已经证明的不等式我们有 x j y v z j x y v x 专z x y v z j x 专y v x j y v z 一 x j z 已证不等式 扬州大学硕士学位论文 y v z 争y v y v z 争z yvz 争y yvz z yvz z y v z 八y 争z 争 y v z 争z y 专z 一 y v z 专z y z 一 y 寸z 专z 专z y 专z 专 y j z l 从而又由 x 专y v z 专 x 专y v x 斗z 1 定理1 4 7 引理2 2 1 已证等式 1 吸收律 引理2 2 1 定理1 4 7 综合两个方面 根据定义1 4 1 中的 1 4 便得x 专 y v z x 专y v x 专z 5 根据定理1 4 8 和 4 的结论以及d em o r g a l l 对偶律得 x 入y z c z 争c x 入y c z c x vc y c z 一c x v c z j c y x 专z v y z 6 引理2 2 1 定理1 4 7 定理1 4 8 和定理2 1 5 我们有 x 专x 八y x j c x 专y 专c x c c x 专y 专c x 专c x x y j c x 卜 c x c y 一c x 专c x 斗c x c y 专c x x j y 7 根据定理1 4 7 中的 3 和命题2 2 1 立即可得 8 由已证等式 1 和 7 命题2 2 1 以及吸收律便得 x 专y v y 寸x x y 一 y x j y x x v y 专y 专 x v y 专x 卜 y x x v y 入y x 一 y x y 专x j y 专x 1 9 根据引理2 2 1 定理1 4 7 定理1 4 8 和定义1 4 1 我们有 x 专y j x 八z y 八z x 寸y 一 c z 专x 寸c z 专c z 专y 一c z x 寸y 一 z y 一c z 一 z x 专c z x o y z 专x 专 z 专y x o y j x 专y 1 从而 x j y 专 x 八z j y 八z 1 于是根据定义1 4 2 可知 9 式成立 口 定理2 2 4 设 x j 0 是c f i 代数 是j 导出的关系 则 x 构成分配格 证明 该定理的结论已经在文献 1 7 中提及 但关于分配性的证明是间接的 刘春辉f u z 巧蕴涵代数及其拓扑 1 4 这里给出一个直接而简洁的证明 根据引理1 1 7 和2 2 1 知只需证v x y z x x 八 y v z x 八y v x z 成立 事实上 一方面由定理2 2 3 4 和 9 有 x 八 y v z 专 x 八y v x z x 八 y v z 专 x y v x 八 y v z j x 八z y v z 争y v y v z 争z y v z 寸y v z 1 从而有x y v z j x 八y v x 八z 1 另一方面 因为根据定理2 2 3 中的 9 和引理1 4 3 中的 1 8 可知 x 八y x y v z y 专y v z y y 1 从而我们有x 入y 专x 八 y v z 1 故根据定义1 4 2 得x 八 y v z x 八y 同理可得 x 八 y v z x z 故x 入 y v z x 八y v x 入z 从而根据定义1 4 2 又可以有 x 八y v x z 寸x 八 y v z 1 综合两个方面 由定义1 4 1 中的 1 4 便得x 八 y v z x 八y v x z 口 2 3c f i 代数与其它逻辑代数 非经典数理逻辑的专家和学者们在利用代数工具研究逻辑系统的过程中 曾 经提出了若干代数结构 对代数结构的研究一直是一个重要的课题 研究新的代 数结构与重要的己知代数之间的关系 更有助于发现新的代数结构的缺点和不足 因此 本节主要研究c f i 代数与其它一些逻辑代数之间的关系 2 3 1c f i 代数与邯i 代数 吴望名教授在文献 2 1 中还提出了一种h e y t i n g 型f i 代数 简称为h f i 代数 定义2 3 1 2 1 1 2 o 型代数 x 寸 o 称为h f i 代数 如果v x y z x 都有 h 1 x j y 寸x 1 h 2 x 一 y 斗z 卜 x 专y 寸 x 寸z l h 3 如果1 x 1 贝0 x 1 h 4 如果x y y 专x l 则x y 扬州大学硕士学位论文 h 5 0 专x 1 其中1 o j o 引理2 3 2 2 l h f i 代数恒为f i 代数 定义2 3 3 在h f i 代数 x o 中 如果v x x 都有c c x x 则称 x 专 o 是正则h f i 代数 这里c 为x 作为f i 代数时的伪补运算 引理2 3 4 2 1 1 设 x 专 o 是一个h f i 代数 则v x y z x 都有如下等式成立 1 x 专 y 专z x 寸y 一 x 专z 2 x 专y j y j x 一x y x 一 x j y 为了讨论c f i 代数与h f i 代数之间的关系 我们首先证明如下命题 命题2 3 5 设 x 0 是正则h f i 代数 则v x y x 都有 x 专y 寸x x 成立 证明 首先由引理2 3 2 可知 x j o 是正则f i 代数 于是 一方面 根据定义1 4 1 和引理1 4 3 我们有 x j x j y 专x x y 专 x j x x 斗y 一1 1 另一方面 根据引理1 4 3 定理1 4 8 和引理2 3 4 得 x 一 j x j x x y 一x 卜 1 一x c x 一c x 专y 一 c x 一o c x j c x 专y 专o c x 专 1 一 x 专y c x 专 x y x o j x j y x j 0 专y x 专1 1 故根据定义2 3 1 中的 h 4 便得 x y 一x x 成立 口 定理2 3 6 假设 x 专 0 是j 下则h f i 代数 则 x 专 o 是c f i 代数 证明 由引理2 3 2 知 x j o 是一个f i 代数 所以下面只需证明定义2 1 1 中 的 i c 条件成立即可 事实上 由命题2 3 5 和引理2 3 4 中的 2 得 x 一 专y x 专y 专 y 专x 专y 2 y 专x j x 寸y 寸y x j y j y 寸x 专x y 专x j x 寸y 专x y 争x x 即 i c 条件成立 从而 x 专 o 是c f i 代数 口 下面的例子说明定理2 3 6 的逆命题一般是不成立的 例2 3 7 设x o 1 v x y x x 斗y m i l l 1 1 一x y c x 1 一x 则容易 刘春辉f u z z y 蕴涵代数及其拓扑 1 6 验证 x 一 o 为c f i 代数 但不是h f i 代数 事实上 如果取x o 6 y o 5 z 0 3 则x 一 y j z 1 且 x 专y 专 x j z o 8 从而 x 一 y 专z j x j y j x 专z 1 j 0 8 0 8 1 即 h 2 不成立 故 x 专 o 不是 h f i 代数 进而不是正则h f i 代数 定理2 3 8 2 0 型代数 x j 0 为正则h f i 代数当且仅当它为c f i 代数且对 任意的x y x 满足 x j y 专x 专x 1 证明 必要性 假设 x 一 o 为j 下则h f i 代数 则由定理2 3 6 知它必为 c f i 代数 又由命题2 3 5 知 x y j x 专x x x 1 从而必要性得证 充分性 设 x j o 为c f i 代数且对任意x y x 有 x 专y 专x 专x 1 则 为了说明 x j o 为 f 则h f i 代数 由定理2 1 5 和定义2 3 1 可知只需验证 h 1 h 2 和 h 3 即可 事实上 v x y z x 有 h 1 由定义1 4 1 得x 一 y j x y x 专x y 一1 1 h 2 因为 x j 寸x 专x 1 所以由 x 专 o 为c f i 代数得 x j x y 专 x 寸y 1 于是由定义1 4 2 知x j x y x y 成立 故由定理1 4 7 1 和引理1 4 3 有 x j y z x 专 x j y j x 专z x 专y 一 x 一 x z x j y 专 x j z 从而由定义1 4 2 知 x 专 y 专z j x j y 专 x 专z l 即 h 2 成立 h 3 如果l 专x 1 而由引理1 4 3 中的 1 7 知1 专x x 故x 1 口 2 3 2c f i 代数与凡代数 王国俊教授于1 9 9 6 年成功地引入了 代数 并应用到模糊命题逻辑之中 定义2 3 9 1 1 设m 是 v 一 型代数 如果m 上有偏序 使得 m 成为 有界分配格 且v 是关于 的上确界运算 1 是关于 的逆序对合对应 并且对 任意a b c m 有以下条件成立 m 1 一a 专一b b 专a m 2 a j a 1 1 寸a a 扬州大学硕士学位论文 1 7 m 3 b j c a j b 专 a 专c m 4 a j b c b 专 a 专c m 5 a 专b v c a b v a j c a 寸b 入c a 专b 八 a j c 这罩1 是m 中的最大元 0 1 1 则称m 为弱凡代数 如果v a b c m 还满足 m 6 a b v a j b 专一a vb 1 则称m 为 代数 定理2 3 1 0 设 x 一 0 是c f i 代数 是专所导出的关系 c 为x 上的伪补 运算 则 x c v 专 是一个弱凡代数 其中x v y x 寸y 兮y 证明 根据定理1 4 8 1 2 7 定义1 4 1 引理1 4 3 和定理2 2 3 4 可知只需证 明v x y z x x j y 八z x 专y 八 x 寸z 即可 事实上 一方面我们有 x y 八 x z 专 x 寸y 八z c x 专y 八z 专c x 专y x j z c x 专y 入z j c x y vc x j z c x y z j c x 专y v c x y 入z 一c x z x y j x y 入z v x 专z 专 x 专y z y 争y z v z y 八z y 八z y 八z 1 从而有 x 专y 八 x 专z j x j y z 1 另一方面 由x 专y 八z x 专y 和x y 八z x j z 可得x j y 八z x 寸y x 专z 从而有 x 专y 八z 专 x 斗y 八 x 专z 1 综合两个方面 由定义1 4 1 便得x 专y 入z x 专y 八 x j z 口 注2 3 1 1 上述定理的逆命题一般不成立 见例2 1 6 2 3 3c f i 代数与格蕴涵代数 徐扬教授在 5 中把格运算和蕴涵算子相结合 提出了 拟 格蕴涵代数概念 定义2 3 1 2 5 1 设 l v 八 o 1 是一个带有逆序对合对应 的有界格 如 果二元运算专 l l j l 满足对任意x y z l 有 刘春辉f u z 巧蕴涵代数及其拓扑 1 8 1 x 专 y 专z y 一 x 专z 2 x x 1 3 x 专y 2 y j x 4 如果x 专y y j x 1 则x y 5 x j y j y y 专x 专x 则称l l v 八 7 专 0 1 是拟格蕴涵代数 若拟格蕴涵代数l 还满足 6 x v y z x j z 八 y 专z 7 x 争y v z x y v x 争z 则称l 是格蕴涵代数 根据上述定义立即可得 定理2 3 1 3 每个格蕴涵代数都是c f i 代数 口 引理2 3 1 4 5 1 拟格蕴涵代数 l v 八 哼 o 1 是格蕴涵代数 它满足 1 l v 八 是分配格 2 v x y l x y 专y x v y 3 v x y l x y 当且仅当x 寸y 1 根据上述引理和2 2 节中的讨论 我们有 定理2 3 1 5 设 x 专 o 是c f i 代数 是一所导出的关系 c 为x 上的伪补运 算 则 x v 入 c 0 1 是一个格蕴涵代数 其中x v y x 寸y 专y x 八y c y 寸x j c y 反过来 每一个格蕴涵代数都是c f i 代数 口 2 3 4c f i 代数与h e y t i n g 代数 h e y t i n g 代数是直觉主义命题逻辑系统的代数模型 它在格论中也占有重要的 地位 完备h e y t i n g 代数简称c h a 即为f r 锄e 定义2 3 1 6 刚设 h 是一个格 1 和o 分别为它的最大元和最小元 如果 对于任意a b h 都存在元素 b 使得对任意的c h 均有 c b 当且仅当c 八a b 扬州大学硕士学位论文 1 9 则称h 为h e y t i n g 代数 文献 3 6 讨论了h e y t i n g 代数的若干性质 证明了h e y t i n g 代数是f i 代数 也 是h f i 代数 并举例说明了反过来的蕴涵关系不成立 下面给出c f i 代数成为 h e i n g 代数的一个充分条件 定理2 3 1 7 设 x 斗 0 是c f i 代数 是专导出的偏序 c 为x 上的伪补运算 如果v x y x 都有 c x 一y 卜 x 1 则 x 是一个h e y t i n g 代数 证明 由定理2 2 4 知 x 是格 又v x y x x j y x 是显然的 故为证 x 是h e i n g 代数 只需证z x 专y 当且仅当z 八x y v x y z x 成立即可 为此 首先证明 v x y x 都有x 专y c x v y 事实上 一方面由引理2 2 1 定义1 4 1 和 c x 专y 专x 1 可得 x 专y 一c x v y x y 专 c x 一y 专y c x j y 专x 1 从而有 x 专y j c x v y 1 另一方面 由引理2 2 1 定义1 4 1 1 1 1 3 1 2 5 和定理1 4 7 1 有c x v y j x y c x 专y 专y o x j y x 斗 c x j y c x x y x j o j x 专y o y 1 从而又有c x v y 一 x 专y 1 综合两个方面 由定义1 4 1 1 4 便得x j y c x v y 成立 又由注2 2 2 知伪补运算c 关于八和v 满足d em o r g a n 对偶律 于是我们有 z x 专y z 专 x y l z 专c x v y 1 c z v c x v y 1 c z v c x v y 1 c z 八x v y l z 八x 专y 1 z 八x y 即z x 专y 当且仅当z 八x y 对v x y z x 成立 从而 x 是h e y t i n g 代数 口 2 3 5c f i 代数与剩余格 定义2 3 1 8 2 1 满足如下两个条件的有界格l 称为剩余格 1 l 上有伴随对 圆 专 刘春辉f u z 巧蕴涵代数及其拓扑 2 0 2 l 1 是一个带有单位元的交换半群 这里1 是l 中的最大元 定理2 3 1 9 设 x j 0 是c f i 代数 是专导出的偏序 c 为x 上的伪补运 算 在x 上定义二元运算0 x x j x 使v x y x x o y c x 专c y 则 圆 专 构成 x 上的一个伴随对 即v x y z x x y 专z 当且仅当x q y z 证明 注意到每个c f i 代数都是正则的 对于任意的x y z x 我们有 一方面 如果x y z 则x 哼 y j z 1 于是由 的定义 定义1 4 1 i i 定 理1 4 8 和1 4 5 有x o y 专z c x 专c y 卜 z c z 一c c x j c y c z 一 x o c y x 专 c z 专c y x 哼 y 专z 1 从而由定义1 4 2 知x q y z 成立 另一方面 如果x o y z 则x y 专z 1 即c x 斗c y 一z 1 于是定义 1 4 1 1 1 定理1 4 8 和1 4 5 又有x j y z x 哼 c z j c y c z j x 寸c y c x 专c y 专c c z c x 专c y 卜 z 一1 从而由定义1 4 2 知x y 专z 综合上述两个方面便得 o j 构成 x 上的一个伴随对 口 定理2 3 2 0 设 x 一 0 是c f i 代数 则 x 1 是以l 为单位元的交换半群 证明 由 定义显然x 对圆运算是封闭的 又任取x y z x 有 x o y o z c x 专c y o z c c x c y 一c z c z 专 x 寸c y c x 寸 z j c y c x j c c z 专c y c x 专c c y j c z c x 专c y o z x o y z 即 满足交换律 这样就证明了 x o 是一个半群 又因为v x x 我们有x 0 1 c x 斗c 1 c 1 j c x c c x x 并且有1 x c 1 专c x c c x x 所以1 为半群 x 圆 的单位元 最后 我们证明 满足交 换律 x 固y c x 斗c y c c c y j c x c y 寸c x y x 这样我们就证明了 x 1 是以1 为单位元的交换半群 口 定理2 3 2 l 每一个c f i 代数都是剩余格 证明 根据定理2 2 4 定理2 3 1 9 和定理2 3 2 0 立即可得 口 2 4c f i 代数的子代数和乘积 定义2 4 1 设 x 专 0 是f i 代数 y 是x 的一个非空子集 如果y 对专封闭 则 扬州大学硕士学位论文 2 1 称y 是x 的子f i 代数 定义2 4 2 设 x l j l 0 1 和 x 2 2 0 2 是两个f i 代数 f x l 专x 2 是映射 如果 v x y x l 都有f x 专1 y f x 专2 坟y 则称f 为从x l 到x 2 的同态 定理2 4 3 设 x l j l 0 1 和 x 2 一2 0 2 是两个f i 代数 f x 1 j x 2 是同态 则 f x 1 是x 2 的子f i 代数 特别当 x l 专l 0 1 和 x 2 专2 0 2 代数c f i 代数时 坟x 1 是 x 2 的子c f i 代数 证明 设x y f x 1 则存在a b x l 使得坟a x 且f y 则由f x 1 专x 2 是 同态我们有x 2 y f a 专2 b f a 专l b 蜀 1 即f i x 1 对专2 运算封闭 故由定义 2 4 1 知f x 1 是x 2 的子f i 代数 口 定理2 4 4 设 x i 一i o i i i 是一族f i 代数 记x 兀j l x i 在x 上点式地定 义专和0 即v i i x 坶 i x i i y i x 0 当且仅当x i o i 则 x 一 o 是f i 代数 我 们称此f i 代数为乘积f i 代数 当 x i 专i o i i i 都是c f i 代数时 x 专 0 也是 c f i 代数 证明 容易验证定义1 4 1 中的条件 i l h l 5 成立 当 x j 一i o i i i 都是c f i 代数时 为说明 x 一 0 也是c f i 代数 只需验证定义2 1 1 中的 i c 即可 事实上 由于v i i x i 专i o i 都是c f i 代数 故对任意的x y x 我们有 x y 专y i x 寸y i 专i y i x i 专i y i 专i y i y i j i x i 一i x i2 y 专x j x i 故而 x y 专y y j x j x 成立 从而 x 专 o 是c f i 代数 口 刘春辉f u z 巧蕴涵代数及其拓扑 第三章f i 代数的 f u z z y m p 滤子 滤子是研究代数结构的一个重要工具 本章首先研究f i 代数上的 素 m p 滤子 然后引入f u z z y 素 m p 滤子的概念 探讨它们的性质和与 素 m p 滤子间的关系 3 1m p 滤子 3 1 1 滤子及其性质 定义3 1 1 2 1 设 x 一 o 是f i 代数 称f x 是x 的m p 滤子 若v x y x 有 1 1 f 2 女口果x f 且x y f 贝0y f 我们把由x 中的全体m p 滤子构成的集合记为m f x 设f m f x 如果f x 则称f 是真m p 滤子 称x 的真m p 滤子f 为x 的 素m p 滤子 如果v x y x 有x 专y f 或y j x f 注3 1 2 1 易见 1 x m f x 又易证f i 代数x 的任意一族m p 滤子的交还 是m p 滤子 即m f x 对任意交是关闭的 2 设 x o 是f i 代数且f m f x 则v x y x 当x f 且x y 时必有y f 因为由定义1 4 2 知当x y 时有x 斗y 1 故由f m f x 及定义3 1 1 便得y f 定理3 1 3 设 x 寸 0 是一个f i 代数 f x 则f m f x 当且仅当对于任意x y z x 如下两个条件成立 1 1 f 2 如果x j y f 且y z f 则x 专z f 证明 充分性 设己知条件 1 和 2 成立 则为证f m f x 只需证定义3 1 1 的条件 2 成立 事实上 v x y x 若x f 且x 专y f 则由引理1 4 3 1 7 知1 j x x f 且x j y f 故再由已知条件 2 知y 1 斗y f 从而由定义3 1 1 便得f m f x 必要性 设f m f x 则1 f 现设v x y z x 有x y f 且y 寸z f 成立 因为由定义1 4 1 有 x 专y 专 y j z j x j z 1 f 所以由x j y f 和f m f x 知 y z 专 x j z f 再由y j z f 和f m f x 便得x o z f 这就证明了条件 2 口 定义3 1 4 设 x o 0 是f i 代数 是一导出的偏序且a f x 如果f 关于 扬州人学硕士学位论文 是下定向的上集 则称f 为x 的一个偏序滤子 x 的偏序滤子的全体记为p f x 例3 1 5f i 代数的m p 滤子不必是偏序滤子 设x 0 如b 1 其中o a b 1 2 b l 2 例3 1 8 在m v 单位区间 o 1 中m p 滤子只有 1 和 o 1 两个 从而 1 2 1 不是 刘春辉f u z 巧蕴涵代数及其拓扑 丝 x o 1 专 o 中的m p 滤子 注意到x 中由专诱导的偏序s 就是通常的小于等于关 系知 1 2 1 为偏序滤子 进而说明f i 代数的偏序滤子不必是m p 滤子 定理3 1 9 设 x 一 o 是f i 代数且 x 构成v 一半格 则f m f x 为x 的 素m p 滤子当且仅当v x y x x v y f 蕴涵x f 或y f 证明 充分性 设f m f x 且v x y x x v y f 蕴涵x f 或y f 若x f 则 由x 专 y 专x y 一 x x y j l 1 f m f x 知y j x f 如果y f 则由y 专 x j y x 寸 y j y x 专1 1 f m f x 可知x y f 故f 为x 的素m p 滤子 必要性 设f m f x 为x 的素m p 滤子 则v x y x 有x y f 或y 专x f 因为 x 构成v 半格 故x v y 存在 现在假设x v y f 则当x 专y f 时 因为 x 一 x j y j y x y 一 x 专y 1 且y j x 寸y 专y x y 专 y y 1 所以由定义 1 4 2 知x x 专y 寸y 且y x 专y j y 于是x v y x y 专y 故由f 为上集得 x j y y f 进而y f 当y 专x f 时 类似可证x f 这说明v x y x x v y f 蕴 涵x f 或y f 口 定义3 1 1 0 设 x 寸 o 是f i 代数 o a x 称x 中的包含a 的最小的m p 滤 子为由a 生成的m p 滤子 记为 由注3 1 2 1 有 n f m f x a f f 下给出由集a 生成的m p 滤子的表示定理 定理3