（理论物理专业论文）超导量子干涉仪型量子比特实现与应用的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第f 页 于两要 微观粒子遵从量子力学的态叠加原理可以处在其本征态的任意线性叠加态上 因 此以二能级微观粒子为物理基础的单个二进制量子比特可以同时存储两个数据信息 量子并行计算是通过幺正变换对量子比特上所有信息实施同时同样操作的方法得到函 数各个自变量对应的函数值的算法 基于量子并行计算的g r o v e 量子搜寻算法和s h o r 大数因数分解算法使得量子计算机能够解决某些经典计算机根本无法解决的问题 量子计算机的可能实现方案很多 超导量子比特是构建量子计算机很有希望的物 理体系之一 超导量子比特不仅彼此可以直接进行强耦合 而且具有便于操控和很好 的抗干扰能力 所以超导量子比特成为当前量子信息与量子计算的研究热点 超导量 子比特是工作在特定条件而可以近似看作二能级体系超导量子干涉仪 然而 超导量 子干涉仪的量子动力学方程一般找不到解析解 所以须采用数值解的方法来求其本征 能谱和本征波函数 本文分别推导了量子干涉仪的经典动力学方程及其量子化的量子动力学方程 并 利用有限差分法求解了静磁场偏置和交变磁场偏置的超导量子干涉仪量子动力学方程 的数值解 根据数值结果 超导量子干涉仪在选取合适的电压或磁场偏置时最低的两 个能级是兼并的 可以看作简单的二能级系统 因而可把体系哈密顿量简化为自旋算 符的函数 利用外场对超导量子比特的有效操控是实施超导量子计算的必要前提 本 文讨论了如何利用旋转波近似 绝热近似以及广义旋转波近似理论来描述超导量子比 特与外场相互作用的规律 基于这一规律可对超导量子比特实施有效地操纵 本文在 最后一部分提出了利用超导量子比特模拟狄拉克方程的方案 通过此方案可以观测狄 拉克颤动效应 关键词 超导量子干涉仪 超导量子比特 约瑟夫森结 狄拉克颤动 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 l 页 a b s t r a c t c o m p l y i n g 析廿1t h es u p e r p o s i t i o np r i n c i p l eo fq u a n t u mm e c h a n i c s m i c r o p a r t i c l e sc a n b ea ta n yo fi t se i g e n s t a t e ss u p e r p o s i t i o no fs t a t e s s ob a s e do nt w o l e v e lm i c r o p a r t i c l e so f q u a n t t t r np h y s i c s as i n g l eb i n a r yb i tc a ns t o r et w od a t a q u a n t u mp a r a l l e lc o m p u t i n gi s a l g o r i t h mt og e tf u n c t i o nv a l u ec o r r e s p o n d i n gt oa n yv a r i a b l e so faf u n c t i o nb yu n i t a r y o p e r a t i o n so nq u a n t u mb i t sl e a d i n gt oi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gs i m u l t a n e o u s l yo nt h es a m e o p e r a t i o ni ns a m ew a y b a s e do np a r a l l e lc o m p u t i n g g r o v eq u a n t u ms e a r c ha l g o r i t h ma n d s h o rq u a n t u mf a c t o r i n ga l g o r i t h mm a k e sl a r g en u m b e r so fq u a n t u mc o m p u t e r sc a ns o l v e s o m eo ft h ep r o b l e m sc l a s s i c a lc o m p u t e rc a nn o ts o l v e s u p e r c o n d u c t i n gq u b i t si s o n eo ft h ep r o m i s i n gp h y s i c a ls y s t e m st ob u i l dq u a n t u m c o m p u t e r s n o to n l ys u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u mb i t sc a nb es t r o n g l yc o u p l e dt oe a c ho t h e r b u ta l s oc a ne a s i l yb ec o n t r o l l e da n dh a v ev e r y g o o da n t i i n t e r f e r e n c ea b i l i t y s o s u p e r c o n d u c t i n gq u b i t sh a v ea t t r a c t e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r sf o ri m p l e m e n t q u a n t u mc o m p u t a t i o n a n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n i ti st h e s u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u m i n t e r f e r e n c ed e v i c ea st w o l e v e ls y s t e ma p p r o x i m a t e l yo p e r a t i n gi nap a r t i c u l a rs t a t e h o w e v e r t h es u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u mi n t e r f e r e n c ed e v i c eq u a n t u md y n a m i ce q u a t i o n g e n e r a l l yc a nn o tf i n dt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n s on u m e r i c a lm e t h o d si se m p l o y e dt os e e k e v i d e n c eo fi t ss p e c t r u ma n dt h ei n t r i n s i cw a v ef u n c t i o n i nt h i sp a p e r i t ss h o w nt h a th o wt h eq u a n t u md y n a m i ce q u a t i o nd o e sb ed e r i v e df r o m c l a s s i c a ld y n a m i ce q u a t i o n t h e n t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di se m p l o y e dt og e tn u m e r i c a l s o l u t i o no fq u a n t u md y n a m i ce q u a t i o n so fs u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u mi n t e r f e r e n c ed e v i c ea t t h es t a t i cm a g n e t i cf i e l db i a sa n do f f s e t a l t e r n a t i n gm a g n e t i cf i e l dr e s p e c t i v e l y t h e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h es u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u mi n t e r f e r e n c ed e v i c eo p e r a t i n ga t t h ea p p r o p r i a t eb i a sv o l t a g eo rm a g n e t i cf i e l d f o rt h el o w e s tt w ol e v e l sa r em e r g e d c a nb e v i e w e da sas i m p l et w o l e v e ls y s t e m t h u sh a m i l t o n i a no ft h es y s t e mi s s i m p l i f i e dt o f u n c t i o nf o rt h e s p i no p e r a t o r b y e x t e r n a lf i e l d t h ee f f e c t i v e m a n i p u l a t i o n o f s u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u mb i ti san e c e s s a r yp r e c o n d i t i o nt oi m p l e m e n tq u a n t u mc o m p u t i n g i n s u p e r c o n d u c t i n gs y s t e m t h i s a r t i c l ed i s c u s s e st h a tw h e r et h e r o t a t i n g w a v e a p p r o x i m a t i o n a d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o na n dt h eg e n e r a l i z e dr o t a t i n gw a v ea p p r o x i m a t i o n c a nd e s c r i b ea p p r o p r i a t e l yt h el a wo fs u p e r c o n d u c t i n gq u b i t si n t e r a c t i n gw i t he x t e r n a l sf i e l d b a s e do nt h i sl a wt h es u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u mb i tm a n i p u l a t i o nc a l lb ei m p l e m e n t e d 西南交通大学硕士研究生学位论文 第 il 页 e f f e c t i v e l y z i t t e r b e w e g u n go fe l e c t o n i cn e u t r i n oi so b s e r v e di np cs q u i di n s i d ec a v i t y w h i c hs i m u l a t e sd i r a ce q u a t i o no fe l e c t o n i co rn e u t r i n o k e yw o r d s s u p e r c o n d u c t i n gq u a n t t m a i n t e r f e r e n c e d e v i c e s u p e r c o n d u c t i n gq u b i t s j o s e p h s o nj u n c t i o n z i t t e r b e w e g u n g 西南交通大学曲南爻逋大字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用 影印 缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口 在年解密后适用本授权书 2 不保密阢使用本授权书 请在以上方框内打 v 学位论文作者签名 日期 切c 0 4 0 妙 广 葡 名 钐 签 师 期 老 日 导指 西南交通大学硕士学位论文主要工作 贡献 声明 本人在学位论文中所做的主要工作如下 利用有限差分法求解了静磁场偏置和交变磁场偏置的超导量子干涉仪动力学方程 的数值解 根据数值结果 超导量子干涉仪在选取合适的电压或磁场偏置时最低的两 个能级是兼并的 并可以看作简单的二能级系统 因而可把体系哈密顿量简化为自旋 算符的函数 利用外场对超导量子比特的有效操控是实施超导量子计算的必要前提 本文讨论了如何利用旋转波近似 绝热近似以及广义旋转波近似等来获得超导量子比 特与外场相互作用的规律 本文在最后一部分提出了利用超导量子比特模拟狄拉克方 程的方案 通过此方案可以观测狄拉克颤动效应 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰 写过的研究成果 对本文的研究做出贡献的个人和集体 均己在文中作了明确说明 本人完全了解违反上述声明所引起的一切法律责任将由本人承担 学位论文作者签名 日期 侈c 要霍茎鎏查耋至圭塑耋圭兰堡篁塞垂2 至 第1 章绪论 1 1 研究超导量子比特的意义 约瑟夫森结的尺度属于介观范围 当约瑟夫森结嵌入超导环后的形成的超导量子 干涉仪的尺度为宏观范围 所以基于超导量子干涉仪型的超导量子比特晟早的用选是 用来检测量子力学原理在宏观领域内是否也成立 因为超导量子比特为二能级体系 所以也可以用来模拟一些自然的微观粒子系统 以达到观测这些微观粒子的一些就目 前的实验手段不能观测到的特性 超导量子比特的最大的价值在于它有可能成为未来 的量子计算机物理基础 因为它不仅有很强的耦台能力而且操作方便 i 2 超导量子比特的研究现状 12l 检测量子力学原理在宏观领域内是否也成立 1211 量子隧穿和量子共振隧穿 在 1 中实现了射频超导晕子干涉仪的两个完全不同的态之间的量子隧穿 其隧穿 率随频率呈现周期性变化 图1 1 i 中a 给出r 其势阱中的能级图 b 给出了隧穿率随 频率的变化曲线 a b 图1 1 射频超导量子干涉仪中的量子隧穿 在 2 中给出了相位量子比特中观测量子谐振子的方案 图2 4 中给出了其势阱中 的能级图和物理电路图及量子隧穿示意图 至曼圣耋奎茎堡圭塑圣兰茎堡兰圣墼 至 晕噢 j 两 r l岩 卜v o o 二曹 j j 图12 观测量子谐振子 在 3 中同样可以观测量子谐振子在左右两个势阱中隧穿的方案 图3 给出电路 图和势能图 甄飞擎薅 h 三 妇 0 可t 图13 观测量子谐振子的能级劈裂 l2 1 2 制备和观测宏观量子态 在 4 提出了用超导电荷量子比特和腔场耦台的方法制各和观测叠加态的方案 5 中设计了用超导电荷量子比特和超导相位量子比特的耦合的方法制备宏观量于态 的纠缠态的理论模型 如图1 所示 图l4 电荷量子比特和相位量子比特耦合 文献 6 可以使得磁通量子超导干涉仪型量子比特可以任意旋转和纠缠 图l 严 给出了两个不对称势阱中的能级图 图l5 不对称势阱中的能级图 7 中也同样可以得到纠缠态 8 提出可以直接观测相位量子比特中相干谐振子 厂 士 西南交通大学硕士研究生学位论文 第3 页 的方法 1 2 2 模拟微观系统 当超导约瑟夫森结两端的偏置电压为交变屯压时 则不仅可以模拟拉曼绝热过程 而且可以制各f o c k s t a t e 态 3 图16 中a 给出了理想模型示意图 b 给出了能级图 回 l 鋈 莹m 医 矛 图16 约瑟夫森结构成纳米共振器 直流超导量子干涉仪放入腔中可以模拟量子超辐射相变 图17 a 中给出了理想 的模型 b 给出了观测示意图 爿至i 口 j m t hd 图17 直流超导量子干涉仪和观察图 超导磁通量子比特 p cs q u i d 还可以模拟模拟冷粒子 1 其电路示意图如17 所示 a 为恒流量子比特和射频电路的耦合图 b 为恒流量子比特和直流量子干涉仪相 互作用示意国 图18p cs q u i d 和直流超导量子干涉仪和射频电路相互作用图 超导磁通量子比特 p cs q u i d 在不兼并时可以模拟三能级粒子 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 量曼曼皇鼍曼曼皇曼曼鼍孽曼曼皇曼皇曼鼍皇曼曼皇曼 i l m 1 1 曼曼曼曼 利用超导相位量子比特可以观测b e r r y p h a s e n3 1 电荷量子比特同样有此种效果 4 1 6 3 1 2 3 实现量子计算机 1 2 3 1 量子比特与可控非门 目前量子计算机的可能实现方案有很多 用超导量子干涉仪型的量子比特制作量子 计算机是其中很有希望的方案之一 约瑟夫森结由两块弱耦合的超导体构成 当回路 中的约瑟夫森结处在极低温时 根据直流或交流约瑟夫森效应可知 结两端会有很微 弱的直流或交流宏观电流 超导量子干涉仪型的量子比特是由约瑟夫森结的特性打断 超导环所得到 超导量子干涉仪型的量子比特具有很强的耦合强度和抗干扰能力 因 此用超导量子比特实现量子计算机近年来备受关注 超导量子比特根据其约瑟夫森结 耦合能和结电容的静电能的及超导环的电感大小等参数可以分为超导电荷量子比特 超导磁通量子比特 超导相位量子比特 这三种量子比特均可以实现其对应的可控非门 1 7 2 0 超导电荷量子比特只对结两端的电压变化非常敏感但是对周围的磁场变化相对迟 钝 而磁通量子比特则相反 超导相位量子比特的结能比前两者都大 而且结电感要 大的多 一般会被当作大电感 其量子化一般是谐振子 超导量子比特除超导相位量 子比特外 另外量子量子比特都没有解析解 只能通过有限差分法求数值解以达到量 子化的目的 从数值解可以看出超导电荷量子比特和磁通量子比特在一定条件下都是 很好的二能级体系 正是二进制比特的恰当物理实体 超导量子比特的操控主要是依靠结两端的偏置电压或是穿过比特的磁场 超导电 荷量子比特主要依靠控制外部电压来控制结电压的方法操控 其操作简单而且对磁场 干扰不是很敏感 所以一般用于量子计算 而磁通量子比特对磁场相对敏感但是却有 很好的稳定性能 所以有些方案中用于存储信息 要控制超导量子比特就必修通过外 场来控制量子比特 因此超导量子比特和外场的相互作用也需要有较好数学手段表示 在量子光学中的旋转波近似是适用于通过副对角线弱耦合的情况 绝热近似适合于副 对角线强耦合的清空 而广义旋转波近似则适合于各种耦合强度的情况 另外还有其 他方法是适合于主对角线通过主对角线变化的方式实现耦合的 量子信息就是以量子体系作为物理载体编码在其上的数据信息他卜2 羽 这些数据信息 的基本载体单元是量子比特 通过超导量子比特可以实现量子比特可控量子非门 而 量子计算机的基本构成是量子比特可控非门和量子比特旋转门堙制 因此有著多方案依 靠量子比特实现量子比特可控非门 但是其共同的弱点是不能解决退相干问题 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 1 2 3 2 量子并行计算与s h o r 大数因数分解算法 美国加利福尼亚理工学院的f e y n m a n 提出了把量子力学和计算机结合起来的可能 性 首次提出了量子计算机的概念 量子力学中相干叠加性和幺正变换性使得量子计 算机比经典计算机有着无以伦比的优势 以微观体系为物理基础的量子计算机利用这 两个量子效应可以实现的超级并行计算机 量子并行计算就是可以一次把一个函数所 有自变量对应的函数值计算出来 g r o v e r 在量子并行计算的基础上提出了量子搜寻算 符的并行实现 s h o r 在量子并行计算的基础上提出了用量子傅立叶变换的方法大大缩 短了大数质因子分解的时间 这些巨大的进步极大的促进了量子计算机的研究 量子计算机的特点之一就是量子态的叠加性 量子比特是有微观二能级体系构成 量子比特与经典比特的不同之处在于 量子比特可以存在两个逻辑态的叠加态 y o r1 0 1 1 i 口1 2 f 1 2 1 量子计算机的特点之二是量子态的相干性 对于门个 2 n 1 量子比特 量子计算机的叠加态表示为iy c f 其中的相加是几率幅加法而不是 面 几率加法 所以量子态有相对相位差 在演化过程中会相干相长或相消 量子计算机 特点之三是量子态的纠缠 量子计算机中的两组存储器可以建立量子纠缠 而且这种 量子纠缠在建立之后即使撤去相互作用仍然存在 量子计算机的特点之四是量子计算 机的存储信息不可克隆 量子体系的动力学演化受薛定谔方程的支配胆2 1 态的演化都是幺正变换 所以量 子门就必须是可逆的 二位量子可控非门和单位量子旋转门相结合可以实现出任何的 量子操作 即可以构成出 2 刀维的幺正矩阵 1 双量子位可控非门由两个量子位组 成 第一位是控制位 第二位是目标位 当控制位处于io 时 第二位保持不变 当控 制位处于f1 时 第二位取非 双量子位可控非门是最基础 最重要的量子门 它要求 量子位之间必须是纠缠的 并且它们之间的相互作用是可控制的 能根据一个位的状 态条件对另一个位实现需要的幺正演化 2 单量子位旋转门的作用是使量子比特在 0 和i1 之间随意变化 单比特旋转门可分为五种 单位门 不采取任何操作 x 门 作用为 l0 一l1 l 1 一10 x 门又叫 非 f j y 门 作用是l0 一i 1 i1 一j0 z 门 作用是f0 一1 0 i1 一10 w a ls h h a d m a r d 门 作用为 11 o 专百1 fo l1 j1 专百1 fo 一i1 量子门能执行一切经典操作 非 运算 可 zv 上 直接在单量子位x 门上实现 异或 运算 可在双量子位 可控非 门上实现 与 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 运算 可在三量子位门一t l o f f l i 门上实现 量子t o f f l i 门前两位是控制位 第三位 是目标位 或 运算 可在三量子位f f r e d k i n 门上实现 量子f r e d k i n 门第一位 是控制位 后两位是目标位 量子并行计算就是利用量子态的纠缠原理把输入值和输出值两组存储器先制备在 初值纠缠态上 然后对输出值存储器的态进行一系列的幺正变换 最后得到表示一个 函数所有自变量对应的所有函数值的纠缠态 力个比特的量子并行计算过程的数学表 达式为乜羽 y 川 ix io 一 iy 加 lx 川厂 x 1 2 5 1 1 很显然 量子并行计算可以经过一次计算可以求出所有的函数值 s h o r 瞳3 3 提出的大数质因子分解的s h o r 算法就是依靠量子并行计算把分解过程转换 成了量子傅立叶变换过程晗引 但是读出数据就会是量子态坍缩到其一个本征态上而失 去很多信息 但是该算法却转变为求某个周期函数的周期 假设存在待因数分解的一 个大数 其平方是 位的二进制数 很显然满足n 2 2 2 n 2 定义一个求余数的 周期函数f x 口 m o d n 其中口与 互质且a l 厂 上 厂 x a xm o d n i n f x 是周期函数 所以iy 删中有很多项能够合并 而且其中大部分司以相消或近似相消 但是当 薯 聊针c m o 时 系数明显不为o 这里的中括号是取向上靠拢整 l 数的算符 除玉 0 外 二 二 m l t 1 在量子计算机读数时 就是读出存 储器中的自变量存储器 中h 的本征值 根据二 二 可以求出t 若取n 1 4 t 6 l r 则明显不为0 的五有 4 2 6 6 7 4 3 8 5 3 3 3 1 8 6 1 2 8 1 7 0 6 6 7 1 7 1 从上述可以看出 出x 外 2 5 6 8 6 6 2 2 5 6 1 2 8 6 3 6 4 可以得到 102 5 6 4 3 62 5 6 1 7 1t 6 1 3 有待继续研究的问题 1 3 1 量子退相干问题不能解决 量子计算机利用量子力学的基本原理可以实现并行计算 但是量子计算机的实现 的最大困难是量子退相干 一旦体系退相干 那么量子态的叠加性和量子态的纠缠性 就都会失去 也就失去了量子计算机赖以提高计算效率的根本特性 退相干主要来自 于体系和环境之间的相互作用 体系不仅会受到外界的干扰而且体系的能量会耗散在 环境中 1 3 2 有待提出更优的可控非门方案 虽然现在提出量子可控非门的方案很多 但是多个可控非门之间的耦合仍然是一 个尚待解决的问题 既是是两个量子比特构成的可控非门也还是在理论研究阶段 因 为可控非门的操作要在退相干时间范围内完成 这对其实现提出了相当的挑战 所以 可控非门的提高方案可以从增加退相干时间和提高操作时间两个方面去探索 1 3 3 可以更多的用于模拟微观系统 因为超导量子比特是理想的二能级体系 所以可以用来模拟很多的微观甚至宏观系统 对于自旋为壳 2 的微观粒子 其诸多特性尚不明朗 因此 jp a n 用超导量子比特这样 的体系来模拟或称为类比其运动 以完成目前实验手段无法实现的分析和观测 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 第2 章超导约瑟夫森效应 工作于特定条件下的超导量子干涉仪可以近似的看作超导量子比特 所以超导量 子干涉仪是未来实现量子计算机可能的物理基础之一 超导量子干涉仪是由约瑟夫森 结嵌入超导环内构成的 由超导体和结两个部分成 半导体的导电特性是因为电路中 半导体的p n 结两边的电子向两边均等的自由扩散受到了p n 结自身电场作用后被破坏而 形成的 同样 低温下约瑟夫森结中被一层很薄的绝缘层隔开的超导体两边的序参量 由于绝缘层的存在而有一定的差别 处在回路的约瑟夫森结中的库伯对本以相等的概 率向两边的运动受到破坏而形成了微弱的宏观电流 这就是直流约瑟夫森效应 当结 上的电流超过临界电流时结两端开始有电压 两边序参量以一定的频率周期性变化 结上的电流随时间周期性变化这就是交流约瑟夫森效应 直流约瑟夫森效应是体系的 能量守恒的情况下存在的一种潮流现象 交流约瑟夫森效应是体系从电源获取能量并 且以一定的频率向外辐射能量的潮流现象 2 1 超导体 伦敦方程晗删3 给出了超导电性的解释 它把超导电性解释为宏观尺度上的量子现 象 而真正对超导电性给出本质解释的理论是金斯堡一朗道理论 是伦敦理论的一种 修正 在金斯堡一朗道方程中定义了一个和位置有关联的相位参数l f 它是超导相中有 序程度的一种反应 在此基础之上研究出伦敦理论的一种修正理论 理论中这样的一 个有序参量是复数 与先前g o r t e r 和g a s i m i r 理论中所提出的二流体模型是不一样的 而且可以理解为超导体内电子的波函数 杪和能隙函数 的局域值成正比 这曾经为 g o r k o v 证明确实如此 在此理论体系中 体系的波函数和假定 凝聚 在相同量子态 中的宏观数目的电子之间存在着一一对应关系 在这样的量子力学表象中 超导体态 可以用量子力学中的一个 宏观量子态 来表示 在这样的体系中 我们所研究的对 象是大量的有效质量为2 m 有效电荷为2 e 的库波对粒子 这些库波对粒子可以被看作 一个 整体 因此用下述形式的宏观波函数来描述 y p e 其中9 是所有库波 对粒子的共同位相 在该宏观图像中 p 代表在宏观态ls 中这些粒子的实际密度 p iv 1 2 若存在矢势a 时 电流密度表达式可以写成 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 一e i i h 妒g y v y 一2 e a i y 2 2 1 式中c 为光速 磁通量子化的规律给出了清晰的解释 库波对粒子电荷两倍于电子电荷e 所以我 们研究的 库波对粒子 其实是耦合在一起的电子对 这一理论解释由b a r d e e n c o o p e r 和s c h r i e f f e r 首先提出 它在超导微观理论体系中占有相当的地位 电流密度表示中 波函数由表达式y p p 印代替可以得到 p e d v 妒一丝彳 2 2 根据规范不变性可知 在对标量势u 和矢量势a 作如下规范变换时 a a 棚z 和 詈 实验上可以观测的物理量保持此种变换不变性 此时可以为位相变换为 够专p 丝z 2 一一3 妒专妒 一z 一3 在 2 1 的电流密度j 的表示式可以很容易的得到上式所表达的这一点 把z 标 量设定为某一恒定值对矢量势和标量势并没有影响 这只仅仅意味着位相因子取不同 值 这一点和杪的不可观测性恰恰对应 某一给定的相位值虽然可以由我们任意的规 定 但是由于所谓长程有序的出现 所有点的位相数值都是固定的 显然由 2 1 式 可以看出 超导体的载流状态由位相够的空间变换来描述 当一个系统处于一种平衡状态时 根据规范不变性可知必定会存在一个和时间相关 关的 可以清楚看出 实际上即使在一种规范中假定y 为恒值 变换到另一规范时缈 也会是变化的 这可以由式 2 3 中所示的变化得到 在此式中z 是一个与时间有关 的变量 在定态的条件下 y 随时间的演变遵循量子力学中的薛定谔方程 其表示形 式为 扬半 e y 2 4 a f 7 从微观理论的解释可以看出 体系能量e 等于电化学势 的两倍 这个值表示系统 中增加或减少一个库波对时所需要的最小能量 所以由上式得到少 f g r e 2 w 胁 因为位相妒和库波对的数目n 是共轭变量 所以它们之间存在测不准关系 矽 d r 这对应此种情况 对于一个孤立的超导体 n 若是确定的 位相妒就不能不确定 堑室圣鎏查耋至圭塑耋兰兰堡堡圣薹 蓥 22 约瑟夫森结 得到约瑟夫森效应基本关系可以通过几种方式 晟便捷的方式首先由 f e y n m a n l e i g h t o n 和s a n d s 提出 其推导过程十分的简单 这种方法以 职能级系 统 物理模型为基础 该推导方法尽管看上去十分简单 但是却为理解约瑟夫森效应 提供了便捷通道 首先需要考虑的是超导体一势垒超导体隧道结构 其中假设毗 分别用来表示 超导体中左右两边超导体中电子对的波函数 如前所述 这里所处理的是超导体的宏 观量子态 所以 两端的每个超导体电极均可以用单独的一个量子态来描述 其中态 函数矿都可以看作是宏观波函数 因此l p l 2 表示实际超导体中库波对的密度p 设定 欠l h e zl 三 三f 分别表示体系处在 既两个基态时的能 量 坼 x j 三 ri ir 上i 表示体系两个本征态之间的相互耦合项 b 和e l 表示右 左两端超导体的基态能量 k 为两个态之间的耦合强度 它给出了两个超导体之间耦合 相互作用的量度 其取值与特定的结的结构有关 电极形状 隧道势垒等 当外部没 有矢势a 时 可以假定k 为实数 若要考虑在两个基态上的投影 式 2 8 可以用幅度数值的形式表示为 诵去v r e r k l l 2 l o 坊昙饥 t 帽 2 1 1 对于两块孤立的超导体 很明显式中的耦合项为零 其能量项分别为e r 2 u 尺和 e l 2 u l 其中心和心为左右两端超导体的化学势能 如果结两端有一直流电势差v 那么这些化学势能移动一个电子所作的功为邑一廓 2 e v 若取右边超导体和左边超 导体二者能量值之间的一半处为能量的零点 那么 访昙睨剐矿睨似y 月 2 1 2 旃昙妙足 一e 矿y 只 k 妙 2 1 3 7 力瓦妙足2 一e 矿y 只 k 妙 l z 一 把左右两端睨和 的表达式 y 工 exp i驴 2 14 x 万e x p i l v 尺 2 1 5 代入式中 并且把方程中实部和虚部分开 可以得到 鲤 三k 丽s i n 妒 2 1 6 t o th 监 一三k厄万sin缈 2 17 oth 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 虹詈k压cos妒 ievotp l 1 8 庇 壳 警2k层cos妒一ievh p 1 9 西 r 壳 其中e 可以表示为 妒 吼一 2 2 0 电子对的流密度 为 盟 一一8 p r 2 2 1 同时从上式可以得到 警瓜s i n 9 2 2 2 如果假设 p 只 见 p l 届为常数 那么式 2 2 3 改写为 j 以s i n e 2 2 3 其中 以 2 k 岛 h 2 2 4 由以上各式可以看出 虽然风和见可以看作常数 可是它们对时间的导数 并不 为零 如果约瑟夫森结两端有理想电流源存在 那么电流源连续不断的补充穿透势垒 的电子对 此时很显然就出现了矛盾 此时的电流并不包含在方程之中 也就不会改 变电子对隧道电流密度的表达式 有式 2 1 8 2 一1 9 两个方程可以得到 挈 半 2 2 5 一 一 一 1 卉 7 i 方程 2 2 3 2 2 5 是约瑟夫森效应的基本关系式 若取v 0 根据 2 2 5 式可以得出结两端的相位差是恒定的 并不一定为零 从 2 2 3 式可以得知在结两端的电压降为零时 可以有一有限电流流过势垒 其电流 密度的最大值为z 此时绝缘体如同一个超导体 约瑟夫森隧道结中可以通过这样的 直流超流的现象称为直流约瑟夫森效应 1 9 6 3 年a n d e r s o n 和r o w e l l 首先观测到了直 流约瑟夫森效应 s m i t h 1 9 6 5 对在直流约瑟夫森效应范围内的电压作了实验测量 他研究了用一个约瑟夫森结打断的超导环中的持久电流 测量电压的上界为4 1 0 1 6 v 若采用能量一动量图描述直流约瑟夫森效应 则电子对位于费米能级 约瑟夫森结的 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 典型电压一电流 v i 特性曲线则可以由众所周知的电压电流图表示 零电压电流 可以清晰显示 当约瑟夫森结中的电流超过其临界电流时 结两端则会突然出现一有 限电压 从零电压态到 v i 特性曲线上的准粒子分支很明显是发生了一次骤变动作 若取v 0 根据 2 2 5 式可知相位差是妒 2 e h v t 从此式可以看出位相 差是时间的函数 而且由此结两端会出现一交变电流 s i n o o 等v t 2 2 6 n 其中频率缈 2 z v 2 e v 壳 此即所谓交流约瑟夫森效应 电压与频率之间的比例为 y v 4 8 3 6 m h z 1 t v 这一现象在不同的情况下都得到了实验证实 可能性中的一种 是观测微波辐照对结的直流v i 特性曲线的影响 实际上在交流约瑟夫森电流与外加 微波信号之间存在相互作用 它导致在恒电压下电流台阶的出现 当台阶出现时 结 两端的电压满足 圪 罢 刀 1 2 2 2 7 么e 其中 为外加辐射场的频率 这一现象被s h a p i r o 首先观测到 由上可知 2 2 3 2 2 5 式所表示的是隧道结的特性 并且此式对超导体间其他类型的弱连接也一样 适用 事实上 耦合因子k 之中基本上包含了特定结构的参量 当然也可以不把它假 设为一个隧道相互作用 在其他的弱连接中则可能出现偏离纯正弦曲线电流一位相关 系的情况 综上所述 对约瑟夫森隧道和准粒子隧道的描述是混合了两种不相关的唯 象方法而作出的 反之 只有求助与微观理论 隧道现象的统一观点才能得到 但是 此种理论无法解释约瑟夫森电流和温度之间的依赖关系 2 3磁场效应 假设沿着y 方向加到结上的磁场h 要考虑磁场对结的影响 则从 2 2 3 式的表 达式v 娩 异 薏 毒以 彳 可以计算出势垒中两点之间的规范不变的位相差 很显然 式 2 2 3 对每侧超导体都是成立的 a 为矢势 根据关系式v a h 与磁场相联系 若将上式按路径c l 和 作积分可以得到 x 一 x 尝上 彳 毒p e 厶 2 2 8 z c l 片z 西鬲爻通大学硕士研究生掌位论文第1 4 页 吼一 出 一纥 x 2 e t z cl 彳 i p e 以矽 2 2 9 叱 z 假定伦敦穿透深度远小于超导体的厚度 积分路径c 上和c r 则可以扩展到穿透区域 之外 屏蔽电流密度以在穿透区外将会消失 在势垒附近的电子对密度将不会出现减 少的现象 g 和g 在穿透区域中的那部分线段取垂直于j s 的路径 则此种情况下 积分中第二项在上式中可以忽略 于是 t p x d x 一e x 吼6 x 出 e r x d x 一k l 口 x 一够勋 x 考 删 上 a d q 2 3 0 因为势垒厚度可以忽略 因此可以得到 缈 x 出 一妒 x 关叮4 讲 2 3 1 z c o 根据斯托克弗公式把线积分转换为面积分 4 a d l q 九 如 t d x 2 3 2 将上式改写成积分的形式可以得到 i d e i 2 e 九 以 f q 2 3 3 d t氟c l y 其中屯和以是左右两侧超导体中的伦敦穿透深度 t 为两超导体之间绝缘势垒的 厚度 把上式积分可以得到 缈 兰 丸 久 f 日 x 2 3 4 z c 其中d 丸 砧 f 为磁场穿透深度 把d 代入上式可以得到 s i n 薏ch yxd 2 35 从此式可以看出 隧道超电流在磁场的影响下是空间调制的 因此 周期特征的 表达式表明 只要条件满足要求净隧道电流为零的情况是可以能够实现的 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 第3 章超导量子比特 由于约瑟夫森结的独有特性使得其成为了实现量子比特的理想对象 根据其工作 参量的不同约瑟夫森结电路可以形成电荷量子干涉仪 磁通量子干涉仪 相位量子干 涉仪 当e e c 1 时结电容储存的静电能占总能量的主要部分 7 1 量子比特工作在电荷 比特区域 体系的能级随偏置电压的变化而明显变化 当 g l 结能占主导地位 量 子比特工作在磁通比特区域 此时体系的能级受偏置电压影响相当微弱 但是对偏置 磁通的变化非常敏感 当结的结电感和结z 日1 匕e 1 4 氏e 3 大时 超导量子干涉仪工作在相位区域 但是超导量子干涉仪的动力学方程非常复杂 根据数值解的结果可以得出超导量子干 涉仪在特定工作点可以形成电荷量子比特 磁通量子比特和相位量子比特 3 1 电荷量子比特 c h a r g es o uid 电荷量子比特由一个约瑟夫森结和电容极板耦合到直流电路中而形成 图3 1 所示 的电路中 若易 艮 l 易 织为恒定场 则体系为电荷量子比特 门电压圪通 i 生1 7 电容q 作用在超导岛上 约瑟夫森结处于超导岛和超导库之间 日和e 分别代 表的约瑟夫森耦合能量和约瑟夫森电容 咋 e i c 1 图3 1 电荷量子比特简图 根据d e v o r e t 汹3 的思想引入广义支路磁通量 则支路电压为v 面 由基尔霍夫 电压定律可知 3 胡 名 面g 面 o 3 1 整个电路的总能量有动能和势能两个部分构成 体系的动能为其所有电容上所存 储的静电能 可表示为 丁 兰c 譬击 丢c b j 3 2 把 3 1 式带入 3 2 式后可以得到 亩 曲鬲爻通大字自贝士研冤生掌位论文 第16 页 丁 吉t 名 面 三e 击 3 3 体系的势能为约瑟夫森耦合能 可以表示为 一e c o s 篝o j 3 4 则体系的拉格朗日量为 三 丁一u 兰c g 圪 击2 圭e 蚧ec o s 篝 3 5 如果定义广义坐标为 那么与其对应的广义动量为 忍 豢 g 砭 c g e 面 3 4 通过勒让德变换后可以得到体系的哈密顿量 日2 击z 一三2 三i c g e 面 一三q 鬈一易c s 篝 3 7 根据广义动量求出广义速度后带入上式就可以得到 肚璁出 等等却o s 争 3 8 2 c c o 若定义超导岛上的库波对数算符为 7 最 2 e 由于超导岛上的电量算符为 最 i 疗去 结两端相位差和广义磁通量的关系为缈 2 万 为磁通量子 超导 岛上的电量算符变为昱 挈0 则体系的哈密顿量可以重新表示为 h 4 e c n 一唿 2 一日c o s 6 p 3 9 其中艮 i 南表示单电子的静电能 珞2 c g 乓 2 p 表示门电荷数 根据互补原理 对于每个动力学自由度 存在一对互补的可观察量 因此广义坐 标p 和广义动量聍是一对互补可观测量即共轭力学量 那么根据量子力学正则量子化的 处理方法 若采用相位表象表征体系的动力学演化时 结的相位有确定值而电荷数用 算符表示 体系的哈密顿量改写为b 引 月 4 乓 五一取 2 一ec o s c p 3 1 0 奠中 表示为 西南交通大学硕士研究生学位论文 第17 页 西 一f 昙 3 1 1 刀 一卜一 把算符的表达式带入体系的哈密顿量中可得 艮 一 品一 卜c o s 妒 嘲 若设体系状态的波函数为沙 则体系的动力学方程为日i f y 把h 的表达式代入 方程中可得 专秘 品喀驷s 伊卜准缈 对于此方程可以通过有限差分法求得数值解 若在粒子数算符表象里表征体系时 刀是确定值而够用算符表示旧 量 行 乓 刀 j 力 刀i 3 1 4 一弓c o s r p 一历 c o s 妒i 缈 9i 3 1 5 根据傅立叶变换可知 缈 ze 1 卵in nl 和l 船 p 坤i 缈 缈l 代入上式中可得 j 痧c 刀 j 荨p 仰j 缈 c 妒j 善p j 妒 c 矿 f 2 p 嘲i 吼 觋i p 愧l 仍 饶i e 慨i p 3 p 3l e 一伽 竹i 仍 仍j p 一 见i 仍 仍l p t n 1 伤i 仍 绝j 1 2 p 1 霸i 仍 仍i e 1 眄j 仍 伤i p 1 矿i9 p l 3 1 6 同珲 由此可知 7 1 z e 妒l 妒 卅专 m 1 i 小 1 刀j 3 1 8 则体系的哈密顿量可以表示为鸭钔 西南交通大学硕士研究生学1 立论文第1 8 页 曼舅曼曼i 一一一 一i i 皇曼曼曼曼 曼 曼曼曼曼曼曼曼蔓曼鼍曼曼 曼曼曼 曼曼曼罡皇曼曼曼曼皇曼曼曼曼鼍曼曼 笪 曼曼曼曼 曼曼皇曼曼 h 4 e c z 7 一r i g 2 印 刀i 一等 愀 11 i 刀 1 刀i 3 1 9 其中z 表示整数集合 此时 体系动力学方程可以通过数值解求得 其哈密顿量h 在截 断空间中的本证能谱随门电压玎 的变化如图3 2 f f i 示 随着e e 的增大低基态和第一 激发态的能量本征值随门电压行g 变化越来越不明显 因此 我们只讨论日 值在较 小分范围的情况 图3 3 3 7 分别给出了易 e y e 0 0 2 2 1 5 时能谱随门电压甩譬 变化的图形 若乃 o1 4 e 作2 io 01 i1 11 一lo oi 一争 1