（理论物理专业论文）粗糙界面与颗粒物质作用的研究.pdf

原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立 进行研究所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果 对本文的研究在做 出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人完全意识 到本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名 墨皇日期 2 q q l 生 旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留 使用学位论文的规定 同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允 许论文被查阅和借阅 本人授权贵州大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文 保密论文在解密后应遵守此规定 论文作者签名 盖宝一导师签名 蚣日期 2 q j 孑生 旦 粗糙界面与颗粒物质作用的研究 摘要 本文用实验和理论模拟的方法研究了颗粒沿粗糙斜面运动中的问题 研究了不 同实验条件下 沿粗糙斜面滚下时小球的停止位置分布 并用理论计算模拟与实验 结果进行了比较 两者趋势大体一致 这对于研究粗糙斜面的颗粒滚动的能量耗散 问题有一定的意义和参考价值 另外 我们实验小组发现 棒在颗粒物质中运动时滑动摩擦力具有准周期振荡性 质 我们根据颗粒物质的剪胀性对此现象进行了研究 提出相应的物理模型 建立 了平均体积分数振荡方程和滑动摩擦力振荡变化关系式 理论计算分析结果与实验 结果基本一致 关键词 颗粒物质 摩擦力 粗糙斜面 碰撞 剪胀性 平均体积分数 r e s e a r c ho nt h ef r i c t i o nb e t w e e n r o u g hi n t e r f a c ea n d g r a n u l a rm a t e r i a l s a b s t r a c t w es t u d yt h ef r i c t i o no ft h em o t i o no fap a r t i c l eo nt h er o n g hi n c l i n e b o t h e x p e r i m e n t a la n dc o m p u t e rs i m u l a t i o nm e t h o da r cu s e dt or e s e a r c ht h ec h a r a c t e r i s t i c so f s t o p p i n gs i t u a t i o no fap a r t i c l ei nd i f f e r e n te x p e r i m e n t a lc o n d i t i o n s t h et e n d e n c yo f s i m u l a t i o nr e s u l t sa r em a i n l ya c c o r dw i t ht h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t s i th e l p su st o u n d e r s t a n dt h el a wo f e n e r g yd i s s i p a t i o no nar o u g hs u r f a c e i ti sf o u n dt h a ts l i d i n gf r i c t i o nb e t w e e nc o n t i n u o u sm e d i u ma n dg r a n u l a rm a t e r i a l s h a st h en o v e ls p e c i a f i t yo fq u a s i p e r i o d s o s c i l l a t o r y a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c o f s h e a r i n gd i l a t a n o yi ng r a n u l a rm a t e r i a l s w er c s e a c ht h en o v e lp h e n o m e n o ni nt h i s p a p e r w ep u tf o r w a r dap h y s i c a lm o d e lt oe x p l a i nt h ee x p e r i m e n tr e s u l t sa n dg i v ea n e q u a t i o na b o u ta v e r a g ed e n s i i yo s e i f l a t i n gi na ne f f e c t i v er e g i o n f u r t h e r m o r e w ee l i c i ta f u n c t i o na b o u t s l i d i n gf r i c t i o n t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa c c o r dw i t ht h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t s k e yw o r d s g r a n u l a rm a t e r i a l s f r i c t i o n r o u g hi n c l i n e c o l l i s i o n c h a r a c t e r i s t i co fs h e a rd i l a t a n c y a v e r a g ef r a c t i o no ft h et o t a lv o l u m e 第一章颗粒物质研究概述 1 1 颗粒物质及研究特点 颗粒物质 是指大量离散的固体颗粒组成的集合体 一般来说 颗粒物质的尺 度范围在 m 1 0 4 m 之间 温度对它的影响 l d 热运动可忽略 颗粒物质与传统的固 气 液三态物质的运动都有某种联系 在不同条件下可 以表现出类似于气体 相互作用以碰撞为主 液体 具有流动特性 或者固体 有 一定形状 可以承受一定的剪切力 的性质 但它的运动规律又完全不同于其中任 何一种 目前认为 颗粒物质的根本共性在于四方面 1 颗粒物质内部相互作用以碰撞和摩擦为主 2 小的涨落会对其性质带来重 要的影响 3 颗粒物质中的布朗运动可以忽略不计 4 整个体系是强耗散体系 颗粒物质的研究和人类的生产 生活有密切的联系 从人类认识自然改造自然 的角度来说 研究颗粒物质的运动规律 可以帮我们很好地预测和应对各种自然灾 害 沙尘暴 泥石流 雪崩 地震 的发生 理解和解决诸如交通 运输以及工业 生产等具有重要的作用 对于防止水土流失 保护环境等方面的问题有很重要的现 实意义 因此 对它的研究具有重要的实际意义 1 2 颗粒物质的研究方法 目前的物理学仍然没有一个很有效的理论可以去描述颗粒体的性质 然而我们 仍然可以利用流体力学及统计物理的一些方法来研究这些复杂的问题 例如标度的 概念 自组织临界现象 相变等等 都被用来了解颗粒体物质 颗粒体系是一个相当复杂的体系 最直接的研究来 源于观察和实验 实验上 人们用光弹材料 高速摄像 x 射线 核磁共振等先进技术研究颗粒体系 如图1 为利用光 弹材料观测到的颗粒中的内部力链结构特征 实验给 出的一些精彩的结果和颗粒物质的奇异特性也吸引了 图1 颗粒内部的力链结构 一些理论物理学家的目光 他们在这些实验结果的基 础上提出了一些理论方面的解释 目前用于研究颗粒系统的理论主要有 弹性理论 s b s a v a g e 1 9 8 4 1 流体动力 学 e k h a f f 1 9 8 3 土力学 c b r e n n e n e ta l 1 9 7 8 气体运动理论 s b s a v a g e e t 4 a 1 1 9 8 1 及统计力学 九m e h t a e ta l 1 9 8 9 然而 迄今为止 还没有一个全面广泛 统一的理论来描述颗粒体系 除实验 理论之外 计算研究日益成为重要的物 理研究方法 颗粒体系的复杂性给颗粒物质的研究带来了困 难 计算机模拟为我们深入地研究颗粒的运动规律提 供了可能性 对于颗粒体系 根据不同的模型机制 图2 环状颗粒物质堆积模拟 人们常用的模拟方法有 分子动力学 i n a t h a nb c n l c t a l 2 0 0 5 ch e n r i q u e c t a i 1 9 9 8 g h r s t o w e ta 1 1 9 9 4 原胞自动机 g w b a x t e r e ta l 1 9 9 0 格点模拟等 图2 即为基于分子动力学的环状颗粒物质堆积模拟图 总之 对复杂颗粒系统的研究有很多不足之处 有深入研究的必要 在大量实 验研究的基础上 从各个角度充分考察颗粒物质的各种特性 才能对理论研究提供 有价值的实验结果 正如1 9 9 7 年诺贝尔奖获得者d eg e n n e s 所言 j d u r a n 2 0 0 0 r 现在人们对颗粒 物质的认识水平 相当于2 0 世纪3 0 年代对固体的认识水平 在这一研究领域几乎 每一件事都有待理解 1 3 本课题相关的典型现象 1 3 1 租糙斜面颗粒流动 虽然颗粒物质是如此普遍存在的一种物质形态 而且人们很早就已经知道颗 粒物质的奇特性质并在实际中广泛应用 然而在过去很长的一段时间内它似乎 并没有引起物理学界的广泛重视 涉足这一领域 的科学家也大多只是在定性上理解颗粒物质的奇 异性质 颗粒体物质在重力下的静态结构和流动现象 是十分有趣的宏观科学 最早重视到颗粒物质不 寻常的特性的科学家可以追溯到1 7 7 3 年 当时库 图3 颗粒堆表面的颗粒流 仑在负责盖一个城堡 而他发现当砂石堆积的角 度大于一个特定的角度之后 会由稳定的静止态 转换到一个不稳定的流动态 如 图3 也就是说颗粒体不但可以像固体一样支撑重量和承受切应变 也能像液体一 样流动 但颗粒的流动仅限于表面几层颗粒 内部颗粒仍处于静止状态 这样 斜 面颗粒的流动就可以看作是粗糙界面的颗粒流动 颗粒物质的有趣现象产生主要是 因为摩擦力造成颗粒之间的碰撞是非弹性的碰撞 也就是说在考虑完全弹性碰撞的 状况下 颗粒物质有趣的现象大部分将不会出现 本论文的选题之一 颗粒物质在粗糙斜面运动的实验规律及理论分析 即与该 类现象密切相关 1 3 2 雷诺剪切膨胀 英国科学家雷诺 r e y n o l d s 1 8 8 5 年提出 r e y n o l d s e ta r a b 8 5 颗粒物质体系受压 体积有可能会变大 体积分数定义为颗粒实体的体积与颗粒体系堆积体积的比值 反映了颗粒体系 堆积密度的大小 图4 雷诺膨胀原理图 当紧密排列的颗粒物受压时 颗粒间由于剪切 作用松动后重新排列 因此其体积会增加 反之 则 会变得紧密 体积收缩 因而 颗粒物质体系受压 体积增大与否取决于颗粒物排列的紧密度 这也表 明颗粒物质的性质与其的堆积的初始状态密切相 关 用二维颗粒模型图4 来说明这一现象 设颗粒 的半径为r 两颗粒竖直中心距离为h 水平中心距 离为h 很容易求出4 个颗粒中间间隙的面积s 当在上部挤压颗粒时 则面积s 随h 从小到大的变化如图4 所示 可以看出 面积s 存在一个最大值 当颗粒体积 分数很大 e p 面积s 小 时 挤压可使面积s 增大 即使得颗粒体积分数降低 若颗 粒体积分数低到一定程度 则外加作用可使颗粒密度增大 微观来看 该效应也可以看作是由颗粒问的剪切作用引起的 在剪切扰动下 初始密集堆积的颗粒结构将会产生排列结构的膨胀 简称为剪胀 反之 初始疏松 堆积的颗粒体系将会发生结构排列的重组 趋向密集堆积 因而体积分数减小 我 们称为剪缩或负的剪胀 颗粒的堆积密度还是影响颗粒物质性质的重要物理量 不仅颗粒静态性质对堆 积密度很敏感 流动和振动的行为均与颗粒体积分数有关 例如 任何颗粒流动的 发生都是以局部颗粒体积分数的降低 体积膨胀 为条件的 本课题的选题之二 界面与颗粒物质间滑动摩擦研究 即以之为基础 1 4 本文的选题思路及主要研究内容 1 4 1 颗粒物质在粗糙斜面运动的研究 本文用实验和理论计算模拟的方法研究了单颗粒沿粗糙斜面运动中的问题 关于单颗粒沿租糙斜面运动中的动力学问题 已有了相当多的理论研究 g g b a t r o u n i da l 1 9 9 6 c h e n r i q u e e ta l 1 9 9 8 a l e x a n d r cv a l a n c e c ta l 1 9 9 8 g i o v a n i l v a s c o n c e l o s e ta l1 9 9 9 y a hh u a e ta l 2 0 0 6 但或把球状颗粒视为质点 或者采用 完全非弹性碰撞条件 没有考虑小球旋转对碰撞过程的影响 鉴于粗糙斜面上颗粒的运动产生了一些让人惊讶的结果 如实验发现作用在小 球上的摩擦力有粘滞特 g g b a t r o u n j e ta l 1 9 9 6 有人用粘颗粒的斜面作为粗糙斜 面的理想模型 c h e n r i q u e e ta l1 9 9 8 用实验和分子动力学方法研究了小球在粗 糙倾斜表面上的运动和能量耗散 得出了小球停止的分布规律及粘性摩擦力产生的 条件 y 图5 粗糙斜面的台阶模型 g i o v a n il v a s c o n c e l o s 提出单颗粒在粗 糙斜面上的运动的几何学模型 g i o v a n i l v a s c o n c e l o s e ta i1 9 9 9 解释了粗糙斜面 上的小球运动可能出现的几种情形 如图5 用若干相互平行的台阶作为粗 糙斜面的理想模型 用该模型计算机模拟研 究了粗糙斜面上的小球运动可能出现的几 种状态 稳定态 混沌态和加速态 这个模型对一个球在粗糙斜面上的运动起了很好 的定性解释 但该模型没有考虑小球旋转的特点 且把竖直方向上的碰撞看作是完 全非弹性碰撞 另外 北京理工大学的阎华和中科院物理所的孙刚等人也采用台阶模型作为粗 糙斜面的理想逼近 考虑了小球直径对其运动状态的影响 导出了单颗粒运动的动 力学方程 对单颗粒在粗糙斜面运动的计算机理论模拟 给出了同样条件下 大颗 粒比小颗粒沿粗糙斜面滚得更远的理论解释 协h u a c ta l 2 0 0 6 但同样没有考虑小 球旋转对碰撞过程的影响及小球在台阶上的弹跳过程 本实验室在前期文献调研的基础上 搭建了相应的实验设备 从理论和实验两 方面进行了研究 提出了描述旋转小球的在台阶上弹跳的动力学模型 研究不同直 径的颗粒以不同的初速度在不同倾角下沿粗糙斜面滚下时停止位置的分布情况 推 导了理论公式并用计算机模拟与实验结果进行了对比 这对于未来研究粗糙斜面的 颗粒崩塌 泥石流等有一定的基础意义和参照价值 1 4 2 界面与颗粒物质问滑动摩擦研究 颗粒物质内部相互作用以摩擦和碰撞为主 颗粒体系的静态性质以及对各种激 励的响应与颗粒之间的摩擦有关 对颗粒堆上表面与固体之问的摩擦进行的研究表 明 颗粒的摩擦有别于固体接触表面之间的摩擦 把一根圆棒预置在颗粒中 通过 测量拉出圆棒所需的力研究了不同堆积密度颗粒中的摩擦力 实验表明 颗粒物质 中的摩擦力随堆积密度呈指数形式增长 v k h o r v a t h e ta t 1 9 9 6 本实验室通过在填充了颗粒的圆筒容器中提升探测棒 圆棒 测量了棒受到 的最大静摩擦力 胡林等 物理实验 2 0 0 2 胡林等 物理学报 2 0 0 3 孔维妹 胡 林等 物理学报 2 0 0 7 但这些都是颗粒物质的静态摩擦力性质 如果保持探测棒与颗粒物质的宏观接触 面积不变 探测棒动态向上提拉过程中 滑动摩擦力会出现什么现象呢 实验发现 棒在颗粒物质中运动时滑动摩擦力具有奇特的准周期振荡性质 本文 根据颗粒物质的剪胀性提出相应的物理模型 对此现象进行了研究和解释 建立了 平均体积分数振荡方程和滑动摩擦力振荡变化关系式 理论计算分析结果与实验结 果基本吻合 第二章单颗粒与界面摩擦和碰撞的研究基础 2 1 库仑摩擦定律 库仑定律是摩擦力学的基本规律之一 人们对摩擦的研究比实际应用晚得多 欧洲文艺复兴时期 达 芬奇第一个对固体摩擦进行了实验研究 于1 5 0 9 年提出了 早期的摩擦理论 指出了摩擦力与法向压力成正比 法国工程师阿蒙顿利用光学方 法实测了摩擦力与法向力之间的关系 于1 6 9 9 年进一步弄清了固体摩擦定律 著名 物理学家库仑对滑动摩擦 滚动摩擦都傲过精心的实验 发展了阿蒙顿的成果 于 1 7 8 5 年完成了现在所称的古典摩擦定律 库仑摩擦定律 2 1 1 库仑摩擦定律的内容 该定律将摩擦的性质概括如下 1 摩擦力的方向总是与接触面相对运动速度的方向相反 其大小与接触物体间 的法向压力成正比 即厂 刖 式中 为摩擦力 卢为摩擦系数 为法向正 压力 2 摩擦系数的大小取决于接触两物体表面的材料性质 与滑动速度和法向正压 力无关 3 静摩擦系数大于动摩擦系数 2 2 旋转球与粗褪界面的碰撞规律 y 矿 i 0x 图6 旋转球与粗糙界面的碰撞 物体在运动过程中遇到障碍或者受到巨 大的冲击而在瞬息间跳跃式地改变速度的 大小和方向 这类现象叫做碰撞 球的弹射 回跳等都符合碰撞的规律 当球的旋转不能 忽略时 需要同时考虑球的直径和球的旋 转 我们使用高速摄像机对斜面上滚动的 钢球进行了摄像 根据拍摄的图片和对数据 图像的分析 对旋转球与粗糙界面的碰撞行 为作了较为细致的研究 经过复杂的分析计算工作 我们得到了如下规律 其推导 9 过程如下 如图6 在x o y 平面内 一个半径为r 速度为v i 的小球与粗糙水平界面发生碰 撞后 以速度耽跳开 假定水平方向上小球与粗糙界面碰撞瞬间无相对滑动 我们 可以用碰撞理论研究碰撞后的球运动 由动量定理的在x y 方向上的两个投影式 得 再由相对质心的冲量矩定理 得 历 h m h i r m v 2 一m v l i 2 1 2 2 o 一n 0 一l r 2 3 碰撞后0 点为瞬心 所以甜 一y r 2 4 2 4 代入 2 3 后 得 厶 一v r 一 一l 曰 2 5 由 2 1 2 5 式得 j o 一y 2 r r 0 0 0 一m r v z t o r y k 从而可以求得碰撞后 x 方向上小球的速度分量为 y 2 r 一 r a 9 2 v h i o o g m r 2 o 对于实心球 其绕球心的转动惯量为o o 2 5 m r 2 所以 回跳速度在x 方向的 分量 h 5 7 v ls i n a 一2 7 o r 2 6 由恢复系数的定义 可知 e 一v 2 v 1 2 7 即 v a 一 咖一 c o s a 而由假定 水平方向上小球与粗糙界面碰撞瞬间 无相对滑动 0 点为瞬心 故球心的水平方向速度没有损耗 v 为回跳速度在 方 向上的分量 所以球将从界面以速度v 2 重新跳起 如图6 所示的回跳角口 由下式 确定 t a n 知 v 2 一1 7 e 5 t a n a 一2 a 水 v i c o s a 2 8 第三章 颗粒物质在粗糙斜面运动的实验规律及理论分析 3 1 实验目的和装置 3 1 1 实验目的 研究重力场下 单颗粒与粗糙斜面的相互作用问题 认识单个颗粒的滚动行为 将为日后理解大量颗粒滚动或流动提供基础 沿粗糙斜面滚动的颗粒 滚动后沿斜 面停止的分布规律 对于了解单个小球在实际粗糙斜面上的滚动行为大有裨益 研究颗粒在粗糙斜面的运动和停止的分布规律 我们搭建了相应的实验设备 用调节后处于水平状态的一组台阶作为粗糙斜面的理想近似 实验及测量装置如图 7 8 所示 3 1 2 实验装置 1 实验装置的结构参数 图7 实验装置图1 图8 实验装置图2 斜面 长5 0 m 宽0 6 m 单块铝板的参数 长0 6 0 m 宽 l o 0 6 m 厚h o o l m 斜面上台阶总数 a 斜面倾角0 1 5 8 时为8 4 级 b 斜面倾角一 1 2 2 时为1 0 0 级 实验钢球直径d 3 0 0 3 1 6 3 5 0 4 0 0 4 5 0 m m 整个斜面通过滑轮拉牵调整倾 角 台阶水平由斜面两侧螺丝对 每块台阶板进行调整 2 高速摄像设备及特点 a 高速摄像设备 i 高速摄像机 d a l s a v i d e os 怂确n r 4d s 4 1 6 6 5 k 0 9 5 5 帧率 1 0 0 0 帧 秒 加拿大i oi n d u s t r i e s 公司生产 i i 直流光源 为了防止工频灯光闪烁 由幻灯机提供 功率 6 0 瓦 幻灯机型号 n o v a m a t1 3 0 a f 德国b r a u n 公司生产 b 高速摄像特点 高速摄像系统作为一种全新的高速瞬发过程的测试记录手段 综合利用光 机 电 光电传感器与计算机等一系列技术 曝光时间在千分之一秒到几十万分之一秒 之间的特殊摄影 是一种记录高速运动过程的某一瞬时状态或全部历程的有效手段 它具有精度高 速度快 机动灵活和拍摄的画幅大 信息量多等优点 能够获得大 量 准确的时空信息 为研究高速运动的现象和运动规律提供了可靠的依据 高速摄影由高速摄像机和存储系统组成 采用直流电源产生的连续光作为光 源 用高速摄影机将某一运动过程记录在按时间发展为顺序的介质上 通过慢速放 映 再现被记录过程的运动或变形过程 3 2 实验内容与结果 3 2 1 实验方法 图9 小球弹跳的运动示意图 1 用不同直径的颗粒 钢球直径分 别为3 0 0 3 1 6 3 5 0 4 0 0 4 5 0 r a m 在不同的斜面倾角下 1 5 8 及1 2 2 以 不同的初速度 0 1 5 0 2 3 m s 滚下 都 做大量实验 2 0 0 0 次 后 观察小球在 斜面不同台阶处停留的次数的分布规律 2 采用的高速摄像机对小球与平板 在特定的碰撞瞬间进行拍摄 对图片进行 存储 分析 对记录的物理过程进行慢放 如图9 即是小球弹跳的运动示意图 这对把握物体运动现象的细节大有裨益 我们在对租糙斜面颗粒物质运动的研究中 用它作为辅助手段 结合物理学中的碰撞定律 确定旋转小球与粗糙界面的碰撞规 律 3 2 2 实验结果 小球初速度为o 1 5 m s 1 粗糙斜面倾角1 5 8 图1 0 小球直径3 m m 的停止位置分布 图1 2 小球直径3 5 0 m m 的停止位置分布 2 粗糙斜面倾角1 2 2 图1 1 小球直径3 1 6 m m 的停止位置分布 图1 3 小球直径3 o o m m 的停止位置分布 图 小球直径3 1 6 r a m 的停止位置分布 图1 5 小球直径3 5 0 r a m 的停止位置分布 图1 6 小球直径4 0 m m 的停止位置分布 3 2 3 相关参数的测量 1 恢复系数e 的测定 根据力学的结论 恢复系数 其中 1 1 1 j i l 2 分别为小球自由下落的 竖直高度和第一次弹起的最大高度 重复1 0 次实验 取平均值 可得铝板与小球 钢 碰撞的恢复系数c 为 1 0 一 院 l o 5 0 0 s z 3 j s 如 们 s 棚 胁s 7 4 d 肿一o s 2 滚动摩擦系数 由于各铝板的表面粗糙程度差异较大 很难精确量化 只能参考物理手册给出 的数值范围 1 0 3 到1 0 之 再考虑到台阶表面的粗糙程度 近似取为0 0 1 3 小球初速度 用高速摄像机观测 每秒能拍摄1 0 0 0 张照片 利用速度的定义 比较间隔5 m s 的时段内 两相片上小球的位置变化量 再除以时间问隔 5 m s 即可得到 时间 间隔若取得太短则位置的测量误差会太大 反而不准确 我们采用斜面释放小球 在重力场中加速的办法 获得的初速度有 o 1 5 o 2 3 m s 3 3 实验结果及其初步分析 图1 7 小球在台阶上的运动示意图 定性来看 同样实验条件下 如图 1 7 粗糙斜面的倾角口越大 小球滚动 距离越远 小球的初速度越大 滚动距 离越远 小球直径越大 滚动距离越远 且随直径的变化十分敏感 小球停止的 分布有一定的分布特征 3 4 基本假设和动力学方程的建立 根据对小球在台阶上运动的物理过程的高速摄像观测 将小球在台阶上的运动 过程分为 滚动 脱离台阶 斜下抛运动 弹跳 再滚动 周而复始 为了便于研究 我们假定 小球在经过台阶边缘时都是作纯滚运动 小球脱离 台阶瞬间没有相对滑动 v a nh u a c ta l 2 0 0 6 旋转的小球在和台阶碰撞瞬间也没有相 对滑动 小球在斜面台阶上的运动是在二维平面内运动 3 4 1 小球滚离台阶的脱离角 y 图1 8 小球滚离台阶的脱离角计算图 如图1 8 以小球为研究对象 当 小球滚动到台阶边缘时 运用牛顿 第二定律及刚体转动定律 有动力 学方程 一小g c s 妒 一所而v 2 粥s i l 一所鲁 3 一1 只f i d o d t 其中 r 小球半径 肚一小球的质量 k 小球转动惯量 v 一小球速度 一滚动摩擦 g 重力加速度 9 8 m s 2 山 小球角速度 8 相糙斜面的倾角 n 台阶对小球的弹力 6 台阶圆角半径 6 趋近于零 妒 叫 球的离开台阶的脱离角 v t u o 小球的脱离台阶的速度 n 小球的脱离台阶的角速度 其中 v w r 2 5 m r 2 解方程组 3 1 可以得到小球滚出台阶的临界角 肿群挚 其中 赤 球脱离厶阶外角 此时 z 二蠕 其中 v 厢 v o r 3 4 2 斜下抛运动 3 2 3 3 小球由上一级台阶脱离后 向下一级台阶运 动 其质心作斜下抛运动 质心的运动方程为 f 工一p f 卜p 三 2 4 3 4 3 弹跳过程 实际实验中 小球从上一级台阶以较小的初速度滚下后 假定其不会直接飞越 下一级台阶 否则 在我们的实验中 该小球就会一直加速向下运动 不会在有限 级台阶停止 那么 它会在下一级台阶上经历一系列复杂的衰减弹跳的振荡 然后 又滚动到再下一级台阶 根据前面我们的高速摄像机观测 以及 2 6 2 7 的动 力学分析结果 弹跳后小球的速度满足 l 嵫 5 1 7 v h 一2 7 a r 1 叫 3 6 其中v 1 v 2 x 为每次弹跳前的小球速度 v 2 x v 2 为每次弹跳后的小球速度 q 为每次碰撞前的角速度 同一级台阶上每一次的弹跳的水平距离为 b 角如图6 所示 s v 2 2s i n2 f 1 2 v 2 2t a n f l 3 7 g1 t a n 声 每次的竖直方向上最大弹跳高度 日 一 v 2 2 c o s 2f 1 2 3 8 g j o 其中 c o s 卢i 五面1 初始的q i 等 t a n 卢 鳖v 2 y 根据高速摄像的观测 我们认为在弹跳高度为小球直径的约1 0 时 弹跳过程 结束 小球开始纯滚动 3 5 计算机模拟结果及分析 根据对前述的物理过程分析 我们可以建立数学模型 式 3 1 到 3 8 将 小球在台阶上的运动规律设计成计算程序 进行理论模拟工作 采用实验测得的参 数为模拟的近似参数 并与实验结果进行对照 编程采用数学软件m a t l a b5 3 计 算程序见附件 3 5 1 计算机模拟小球实验的停止位置的分布特征 图2 0 计算机模拟小球实验的停止位置的分布特征 台阶总级数n 1 0 0 模拟实验次数n 1 0 0 0 次 台阶宽l 0 0 4 6 3 m 台阶高h 0 0 1 m 小球直径r 0 0 0 3 m 恢复系数e 0 5 3 重力加速度g 9 8 m s 2 滚动摩擦系数u o 0 1 小球初速度v 0 2 5 s 粗糙斜面倾角o 1 2 2 如图2 0 为考虑各台阶上的滚动摩擦系数服从正态分布的情形 用计算机模拟 在同样实验条件下 一千次实验结果的统计分布状况 这个模拟体现了实验分布的 随机分布特点 我们定义 小球停止的中心位置为正态分布的数学期望值 由于实验装置加工存在偏差 每块铝板的表面粗糙程度有所不同 实验也是在 一段时期内完成的 其间由于气候变化等因素 水平台阶也会随温度等因素出现应 力变化 不能满足概率统计里的出现正态分布条件一独立同分布的大数定理 故而 实验分布的规律性不是很好 至于某些台阶上出现的峰值 如图1 6 的在第3 3 台阶 上的出现的峰值 是台阶实际不水平造成的 3 5 2 小球停止的中心位置与其直径的关系 篓 姐 图2 1 小球停止的中心位置随其直径的变化的模拟曲线 台阶总级数n 1 0 0 台阶宽度l 0 0 4 6 3 m 每级台阶高度h 0 0 1 m 恢复系数e 0 5 3 摩擦系数脚 0 0 1 斜面倾角口 1 2 2 初速度v 0 1 5 m s 从图2 1 我们可以看到 在其它实验参数一定时 有 i n 界直径存在 超过该临 界直径 小球就不会在1 0 0 级台阶内停止 当小球直径小于0 0 0 3 5 m 时 随着小球 直径的增加 小球在台阶上停止的中心位置变化不大 这可以定性解释我们实际实 验时 在其它参数一定时 对于两种不同直径 0 0 0 3 m 和o 0 0 3 1 6 m 小球在台阶 上停止的中心位置变化不大 但当小球直径大于o 0 0 3 5 m 时 小球在台阶上停止的 中心位置随小球直径迅速变化 该规律与c h e n r i q u e l 9 9 8 年的工作的结论 c h e n r i q u ee t a l 1 9 9 8 一致 3 5 3 小球在台阶停止的中心位置与其初速度的关系 轻 鑫 铝 小球初速度 m s 图2 2 小球停止的中心位置随初速度的变化模拟曲线 台阶总级数n 1 0 0 台阶宽度l 0 0 4 6 3 m 每级台阶高度h 0 0 1 m 恢复系数e 0 5 3 摩擦系数 0 0 1 斜面倾角一 1 2 2 小球直径d 0 0 0 3 m 从图2 2 我们可以看到 在其它实验参数一定时 随着小球初速度的增加 小球在台阶上停止的中心位置随指数增大 且为凹函数 该结果与 c h e m i q u e l 9 9 8 年的工作的结论 c h e n r i q u ee t a l 1 9 9 8 致 这可以定性解释我 们实际实验时 对于两种不同初速度 小球在台阶上停止的中心位置迅速增大 在其它实验参数一定时 有一临界初速度存在 超过该临界初速度 图2 2 中 为0 3 2 m s 小球就不会在1 0 0 级台阶内停止 3 5 4 小球在台阶停止的中心位置与斜面倾角的关系 氟 鑫 姐 台阶总级数n 1 0 0 每级台阶高度h 0 0 1 m 恢复系数e o 5 3 摩擦系数 0 0 1 斜面倾角0 1 2 2 初速度v o 1 5 m s 小球直径d 0 0 0 3 m 从图2 3 我们可以看到 在其它实验参数 定时 有一临界斜面倾角9 在图 2 3 为1 4 2 0 存在 超过该临界斜面倾角口 小球就不会在1 0 0 级台阶内停止 当 斜面倾角小于临界斜面倾角p 时 随着斜面倾角p 的增加 小球在台阶上停止的中 心位置增加不大 这可以定性解释实际实验 对于直径o 0 0 3m 的慨在两种斜 面倾角o 分别为1 2 2 和1 5 8 时 小球在台阶上停止的中心位置变化不大 佃 当斜面倾角大于临界斜面倾角 时 随着斜面倾角的增加 超过临界斜面倾角 3 5 5 结论 计算机模拟结果表明 单颗粒沿粗糙斜面滚下时停止的位置随颗粒的直径的变 化在临界斜面倾角附近十分敏感 随颗粒的初速度呈指数变化关系 随粗糙斜面的 倾角在i 瞄界斜面倾角附近十分敏感 通过我们提出动力学模型的程序 对实验结果 进行了一定解释 至于计算机模拟结果与实验结果偏差较大的原因 有以下几个方面的原因 1 实际的台阶很难调整和保持水平 除前面提到的装置加工精度的不一致性 和气候原因造成的影响外 还与实验人员操作调节的技术有关 另外 实际可用的 小球规格是不连续的 这就使得实验的数据点不够多 实验规律不够显著 2 计算模型是在一定的假设条件下得到的 而真实运动情况相当复杂 如假定 小球在经过台阶边缘时都是作纯滚运动 小球脱离台阶瞬间没有相对 滑动 y a nh u a e ta l 2 0 0 6 旋转的小球在和台阶碰撞瞬间也没有相对滑动 小球在斜 面台阶上的运动是在二维平面内运动 实际情况与这些假设差别较大 特别是假设小球在斜面台阶上的运动是在二维 平面内运动 实际的小球滚动是在三维空间的运动 除沿斜面向下运动外 还有横 向的滚动等等 第四章 界面与颗粒物质间滑动摩擦的研究 4 1 实验目的与装置 近几年对颗粒物质与连续介质界面间的摩擦规律的研究取得一些成果 如发现了 固体与颗粒物质间滑动摩擦力的微观粘滑效应 n a s u n os e ta l1 9 9 8 并且对该效应 相关的动力学也作了理论研究 v o l f s o nd e ta l 2 0 0 4 但对于突出重力因素下 连 续介质与颗粒物质间剪切作用的实验及理论分析则显得相对缺乏 已有的探讨多集 中于短程的剪切作用 间接反映了竖直方向上的剪切效应 但连续剪切距离较小 o 6 0 m 连续剪切作用 发现二 者间的滑动摩擦力随滑动距离的增加呈现 宏观的准周期振荡现象 杜学能 胡林等 物 理报 2 0 0 6 1 这与通常连续介质与颗粒物质 问滑动摩擦所表现出来的宏观平稳性质 n a s u n os e ta l1 9 9 8 大相径庭 值得深入探 讨 图2 4 为探测棒与颗粒物质间滑动摩擦实 验装置示意图 提升装置由北京卓立汉光仪 器公司生产的s c 3 步进电机控制器和电控位 移台组成 步进电机可以提供2 5 6 种转速 驱动滑块以不同的速度竖直方向运动 滑块移动最低速度v o 9 5 x 1 0 5m s 固定在滑块平台上的拉力传感器灵敏度 0 0 0 1 k g 通过刚性挂钩悬挂探测棒 测量时 升降系统 滑块 传感器 带动探测棒 匀速上升 同时拉力传感器将探测棒受到的力转换为电压信号 计算机自动实时采 集和存储数据 并得到滑动摩擦力随时间变化的实验曲线 用长1 l 横截面直径0 0 1 5 m 表面光洁的不锈钢圆管作为探测棒 探测棒悬 挂时与底座孔壁无接触 二者间保留了较小的间隙 保证探测棒穿过颗粒物质竖直 方向上运动时颗粒不会漏下 在滑动距离z 0 6 5 0 m 的范围内 竖直向上连续匀速 提拉探测棒 同时测量探测棒 连续介质 与颗粒物质间的滑动摩擦力 4 2 租糙界面与颗粒物质闯滑动摩擦力的规律 4 2 1 滑动摩擦力振荡的实验结果 02 m 埘 t s 图2 5 颗粒填充高度 矗 不同时 摩擦力矿 随时间 f 的变化曲线 口 ol t s 1 军1 2 6 颗粒填充高度仿 不同时摩擦力 随时 间 0 的变化曲线 在直径d 1 o 0 7 0 n 的有机玻璃圆筒仓 中 填充直径为d 一0 0 0 2 m 的玻璃珠 材料密度为2 5 0 x 1 0 3k g m 3 填充 高度h 分别为 0 0 7 0 0 1 3 9 和0 1 8 0 m 取探测棒提拉速率v 一7 6 4 x 1 0 m s 进行与滑动摩擦实验 测得滑动摩擦力 随时间 变化的实验曲线如图2 5 所 示 保持探测棒提拉速率不变 采用同 样直径的玻璃珠 在直径d z 0 1 2 0 m 的有机玻璃圆筒中 颗粒填充高度 l 0 0 6 0 0 0 8 5 0 1 1 8 0 1 7 0 0 2 2 5 0 2 8 5 m 测得的滑动摩擦力随时间1 变化实验 曲线如图2 6 所示 把测到的滑动摩擦 力i 0 曲线用提拉距离x 标度后 可得 滑动摩擦力随提拉距离x 变化的曲线 厂o 由于是匀速率提拉 故二者仅 相差一个常数因子 保持其它实验条件 不变 采用不同的速率重复上述所有实 验 发现 在低速率 2 1 0 3 m 拈 下同 条件下 得到的滑动摩擦力 o 曲线与 棒的提拉速率无关 且在滑动摩擦力随提拉距离变化过程中 都有一个类似于 波长 的稳定特征长度 杜学能 胡林等 物理学报 2 0 0 6 1 0 的周期性变化可直接由相 对位移反映出来 滑动摩擦力呈奇异的振荡特征1 5 3 i t o 之 4 3 理论建模及分析 4 3 1 剪切扰动对颗粒物质结构的影响 体积分数定义为颗粒实体的体积与颗粒体系堆积体积的比值 反映了颗粒体系 堆积密度的大小 颗粒的体积分数是影响颗粒物质力学性质的重要物理量 不仅颗 粒静态性质对体积分数很敏感 流动和振动的行为均与体积分数密切相关 我们将 从这一重要因素入手 揭示滑动摩擦力周期性振荡现象的物理机理 根据实际观测 探测棒在长距离的连续提拉过程中 探测棒附近表面颗粒层 约 图2 7 有效区域横截面 示意图 十几个颗粒直径的长度 会出现准周期性略微的隆 起和下凹 仅约为0 0 0 3 m 左右 探测棒在竖直方 向低速率剪切颗粒物质时 其影响的区域仅限于连 续界面附近 影响程度随距界面距离的增加而迅速 衰减 文献 b r i a nu t t e r e ta l 2 0 0 4 l o s e r tw e ta l 2 0 0 0 1 关于剪切作用对颗粒物质影响区域的研究 也涉及这类问题 据此 我们建立有效区域的物理模型 定义一个与剪切速率无关的有效长度f 来 表征探测棒周围的体积分数变化的局部区域 由于有效有长度大约十几个颗粒直径 尺寸 b r i a nu t t e r e ta t 2 0 0 4 故有效区域定义为有效长度f 内的空心柱体颗粒层区 域 如图 中阴影部分所示 阴影部分为颗粒筒仓的横截面 该空心柱体颗粒层的 高度与颗粒堆积高度h 相同 同时定义 在有效区域内颗粒物质的平均体积分数为 p 用该参量来描述在重力作用下 棒沿竖直方向运动时 对颗粒系统产生剪切扰 动时 探测捧周围颗粒物质体积分数的波动 图 中r 为探测棒的半径 也是空心 圆柱状有效区域的内半径 r f 为空心圆柱状有效区域的外半径 探测棒在颗粒堆 中竖直运动时 实际就是对颗粒体系的剪切扰动 在剪切扰动下 初始密集堆积的 颗粒结构将会产生排列结构的膨胀 简称为剪胀 反之 初始疏松堆积的颗粒体系 将会发生结构排列的重组 多数情况是趋向密集堆积 因而体积分数减小 我们称 为剪缩或负的剪胀 这就是由英国科学家r e y n o l d s 指出的剪胀性 r e y n o l d so e t a 1 1 8 8 5 相同直径的球状颗粒堆积后 通常体积分数为0 5 6 到0 6 4 的之间 陆坤权等 颗粒物质 上 2 0 0 4 若初始体积分数较小 颗粒体系内部原有较多的空洞 颗粒体 系内部承重的拱型微结构处于并不稳定的亚稳态 当剪切扰动开始 原来拱型微结 构将被破坏 剪缩效应以及颗粒自重引起的崩塌将使局域范围颗粒重组 颗粒内部 总体上出现塌陷 使探测棒周围有效区域内的平均体积分数逐渐增加 从而探测棒 受到的滑动摩擦力随之增加 直到平均体积分数增加到最大值 振荡曲线峰值 若 再继续剪切扰动 已经密堆的颗粒结构将转变为受剪切而膨胀 探测棒附近的颗粒 平均体积分数降低 宏观上可观测到探测棒受到的滑动摩擦力减小 直到出现最小 值 振荡曲线谷值 随着剪切距离的增加 扰动的继续又将有新的拱型微结构和空 洞形成 如此周而复始 在剪切扰动和重力共同作用下 滑动摩擦力将围绕一个中 心值振荡不已 另外 根据 h o r v i t hv i k t o rk e ta 1 1 9 9 6 1 等人的实验 把一根圆棒埋入盛有颗粒 的圆筒中 通过测量拉出圆棒所需的力来测量圆棒所受的最大静摩擦力 发现最大 静摩擦力随体积分数c 呈指数关系敏感变化f c 妇 并且他们认为 棒与颗粒 物质间准静态过程的摩擦力主要由颗粒体系的静态性质决定 h o r v a t hv i k t o rk e t a 1 1 9 9 6 由于我们实验时探测棒的提拉速率很小 v 墨2 1 0 4 m s 可认为棒与颗粒物 质间作用为准静态的过程 因为定性来看 颗粒直径d 0 0 0 2 r a 取探测棒的提拉 速率为v 2 1 0 一r a s 重力加速度g l o m s 2 而将a t 一 豺 g 作为颗粒重组的 时间量度 而将y 作为颗粒重组的速率量度 v d a t d 复 g 2 计算 可知 a t 2 x 1 0 2 j v 一1 0 埘 s v y 二者相差两个数量级 颗粒排列重组的 速度远大于颗粒体系扰动的速率 颗粒体系受到外界 探测棒 的剪切扰动 颗粒 体系有充分的时间完成响应 进行排列重组 据此 我们把h o r w l t h 等人的结论推广到连续介质与颗粒物质界面的滑动摩擦 研究中 即探测棒在竖直方向上相对于颗粒物质以低速率作剪切运动时 棒所受的 滑动摩擦力也随体积分数呈指数关系变化 根据上述分析 我们将f c b 推广为 刀一k a e 剐 4 1 式中 日为唯象系数 由滑动摩擦实验的体积分数振荡特征决定 刃为滑动摩擦 力 p 为体积分数基准值 参照文献 h o r v a t hv i k t o rk e ta l 1 9 9 6 的结果 取 p 0 0 1 5 p 为平均体积分数 由于滑动摩擦力 刃随平均体积分数p 的改变呈指 数规律变化 所以当平均体积分数围绕一个中心值几作较小幅度的往复振荡时 对 应的探测棒上所受到的滑动摩擦力将围绕一个中心值 一随探测棒的提拉距离作较 大幅度的往复振荡 表现为实验观察到的振荡现象 4 3 2 平均体积分数振荡方程及滑动摩擦力振荡方程 暮 图2 8 实验与理论曲线对比图 依据上述分析 将平均体 积分数万在中心值瓦附近振荡 的现象 抽象为简谐振动过程 建立有效区域内的平均体积分 数振荡方程 用以描述滑动摩擦 力振荡过程 即 亟笔盟 万一瓦 o 4 2 d x 其中 歹为有效区域内的平均体积分数 它是探测棒提拉距离的函数 几为平均体积分数的算术平均值 x 为探测棒在竖直方向上的提拉距离 盯为振荡常数 单位为弧度 米 盯与棒 圆筒的直径大小 棒的表面性质 以及颗粒的表面性质等因素有关 并且与特征长度 满足关系 工 堡 对微分方 o r 程 4 2 求解 得到有效区域内的平均体积分数为 p 一 瓦 a s m 西 4 3 上式中a 表示有效区域内的平均体积分数振荡的振幅 a 0 为初相位 再根据式 4 1 即可得到随提拉距离振荡的滑动摩擦力关系 2 7 f x k de x p 址瓮粤盟 4 3 3 理论计算结果与实验曲线对比 下面我们将用推导出的理论关系 4 4 式计算所得曲线与图2 5 中颗粒填充高 度h 0 1 8 0 m 的实验曲线对比 为了突出普遍性和便于比较 将该实验曲线的横坐标 用提拉距离x 进行标度 重新标度后的实验曲线如图2 8 中的虚线 曲线1 所示 图2 8 中的实线 曲线2 为理论计算曲线 根据文献 杜学能 胡林等 物理学报 2 0 0 6 及实验数据 取特征长度l 一0 2 7 5 m 贝r i