（计算机软件与理论专业论文）广义mj集结构特征的研究及其可视化技术的实现.pdf

山东师范大学硕士学位论文 广义m j 集结构特征的研究及其可视化技术的实现 摘要 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支 它的研究对象是自然界 和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体 它发展极其迅速 新成果层 出不穷 利用分形公式在计算机上绘制出的分形图结构复杂 色彩奇异 给人带 来视觉冲击的同时 极大刺激了人类的想象力和设计灵感 分形图设计已成为艺 术与设计领域一个不可忽视的独立分支 作为分形图的一个重要组成部分 广义m j 集是探讨复平面上的复映射通过 迭代生成的图形 根据广义m j 集迭代公式得到的分形图是分形图大家族中杰出 也是最著名的代表 为了更好研究广义m j 集的结构特征 需利用可视化技术将广义m j 集转变 为直观的图像或图形信息 绘制广义m j 集分形图常用的方法是逃逸时问算法 传统的逃逸时间算法得到的图形颜色比较单一 不能很好的体现m 集和j 集的结 构特征 或者说从人类的审美角度看不是很美观 不能使图像在广义范围内得到 更好的应用 针对上述问题 本文主要是在分析各种m j 集分形图生成算法的基础上 研 究比较了m 集和j 集的结构及它们之间的关系 并基于这种比较分析提出新的颜 色设计方案 从而凸显出不同广义m j 集的结构特征 同时得到更加美观的广义 m j 集图像 本文的主要内容如下 1 介绍了分形理论的产生 发展历程 分形理论与计算机图形学 科学计 算可视化等相关领域的相互影响 综述了分形理论及其应用研究的现状 介绍了 m 集 j 集及广义m j 集的定义 它们的数学理论基础以及它们之间的关系 总 结了相关的研究成果 基于现有的广义m j 集算法 总结了广义m j 集图形的结 构特征 2 研究了广义m j 集的可视化技术 根据可视化概念 图像可视化的关 键在于它们的特征数据和绘制算法 本文研究了生成m j 集图像的特征数据 即 图像的复映射参数 并基于这种研究 针对常用的绘制广义m j 集图像的可视化 算法和技术 包括逃逸时间算法 牛顿法和陷阱技术 以及它们的侧重点进行了 比较分析 提出了适用的改进方法 如逃逸时间算法的改进方法有加速逃逸时间 算法 不同收敛标准的逃逸时间算法和旋转加速逃逸时问算法 研究了图像的另 一个特征数据 颜色的设计 探讨了现有的颜色设计方法 并划分为三类 根 据迭代次数设计颜色 根据着色点离中心点的距离设计颜色和根据迭代点的值设 山东师范大学硕士学位论文 计颜色 3 根据广义m j 集图像的可视化过程提出了将图像颜色作为遗传因子利 用遗传算法来生成并渲染图像的方法 实现了很好的可视化效果 研究了图像的 评价方法 提出了利用用户对图像的色彩心理效果作为评价指标 用神经网络对 分形图案进行评价的方法 4 采用v c 6 0 作为开发工具 利用广义m j 集图像可视化的特征数据 包括复映射参数和图像颜色参数 与算法结合作为主体设计思想 设计并实现 了广义m j 集图案可视化系统 分形图案绘制软件 该软件的主体功能包括选 择参数后实现图案绘制 利用树型结构实现图案管理和浏览 自动化设计模块和 图像评价模块 该软件既可以作为分形研究人员学习和研究分形理论及分形图案 的试验平台 又可以作为图案设计者设计分形艺术图案的操作平台 5 说明本论文的不足 提出仍需解决和关注的相关问题 并且对于广义 m j 集的可视化即分形图案绘制的发展与应用做出展望 本文创新点在于 给出了广义m j 集可视化的概念描述 改进了m j 集 可视化算法和颜色设计方法 得到了更能体现m j 集结构特征并应用于多个设计 领域的美丽图像 根据广义m j 集图像的可视化过程提出了将图像颜色作为遗 传因子利用遗传算法自动化设计图像的方法 实验证明 此方法能帮助用户自动 并快速的得到自己满意的图形 提出了利用用户对图像的色彩心理效果作为评 价指标 用神经网络对分形图案在某领域的色彩适应度进行评价的方法 得到了 令人满意的效果 本论文中的主要工作 在 基于分形技术的产品包装防伪设计 的项目中得到应用 取得了较好的实验效果 关键词 广义m j 集 结构特征 可视化 自动化设计 评价模型 分类号 t p 3 9 1 i i 山东师范大学硕士学位论文 r e s e a r c ho nt h es t 肌c t u r ec h a r a c t e r i s t i c so fg e n e m l m j s e t sa n di 沁a h z a t i o no fi t sv i s u a i i z a t i o nt e c h n i q u e a b s t r a c t f r a c l a l t h e o r yi saq u i t ea c t i v ep a r to ft h en o n l i n e a rs c i e n c e w h o s er e s e a r c ho b i e c t l sr o u g ha n da n o m a l o u sg e o m e t f yw h i c ha p p e a r si nt h en a t u r ea n dn o n l i n e a rs y s t e m i t sd e v e l o p m e n tj sv e r yr a p j da n dn e w p r o d u c t i o n se m e 唱ej ne n d e s s ly t h ec o m p l e x a n df l o w e r yf r a c t a li m a g e sd r a w nu s i n gf r a c t a lf o 珊u l a so nc o m p u t e rc a ni m p a c tt h e p e o p l e sv i s i o n s t i m u l a t et h e i ri m a g i n a t i o na n di n s p i r a t i o n t 1 l ef r a c t a li m a g e sd e s i g n s b e c o m ea ni n d e p e n d e n ta n di m p o n a n tr e s e a r c hd i r e c t i o ni na nd e s i g nf i e l d a sa ni m p o n a n tp a no ff t a c t a l i m a g e s t h eg e n e r a lm js e t sa r ei m a g e sw h i c h a r e g e n e r a t e db yj t e l a t i n g0 fc o m p l e xm a p p j n g so nt h ec o m p l e xp l a n e t h ef r a c t a li m a g e s f r o mt h eg e n e r a lm js e t sa r et h em o s t o u t s t a n d i n ga n df a m o u s i no r d e r t or e s e a r c ht h es t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c sb e t t e r t h eg e n e r a lm js e t sn e e d s t 0b ec h a n g e di n t oi n t d i t i o n i s t i ci m a g e sb y u s i n gt h ev i s u a l i z a t i o nt e c h n i q u e t h eu s u a l m e t h o do fd r a w i n gg e n e r a lm js e t s i m a g e si st h et i m e e s c a p e da l g o r i t h m t h ec o l o r o fj m a g e sd f a w nb yt h et r a d i t i o n a lt j m e e s c 印e da l g o r i t h mi s r e l a t i v e l ys i n g l e s ot h e i m a g e sc a n tr e p r e s e n tt h es t n l c t u r ec h a r a c t e r i s t i c so fm js e t sb e t t e r o rf r o mt h ev i e w o fp e o p l e sa e s t h e t i cs t a n d a r dt h e yd o n t1 0 0 kb e a u t i f u la n dc a n t b ea p p l i e di nt h e g e n e r a lr a n g e 加m e da tt h ep r o b l e m sa b o v e t h et h e s i sr e s e a r c h e sa n dc o m p a r e st h es t m c t u r eo f m js e t sa n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e mb a s e d0 n a n a l y z i n gv a r i o u sg e n e r a t i n g a l g o r i t h m so fm js e t sf r a c t a li m a g e s n e wm e l h o d so fc o l o rd e s i g nh a v e b e e n a d v a n c e df o u n d e do nt h e s ec o m p a r a t i v ea n a l y s e s t h e r e b ys h o w i n gd i 骶r e n ts t r u c t u r e c h a r a c t e r i s t i c so fg e n e r a lm js e t sa n dg a i n i n gm o r eb e a u t i f u l i m a g e s t h em a i nc o n t e n to ft h ed i s s e n a t i o ni sa sf o l l o w s 1 i n t r o d u c e st h ec r c a t i o na n dd e v e l o p m e n tc o u r s eo ff r a c t a lt h e o r ya sw e l la si t s i n f l u e n c e so nr e l a t i v es c o p e ss u c ha sc o m p u t e rg r a p h i c sa n ds c i e n t i f i cv i s u a l i z a t i o n s u m m a r i z e st h ep r e s e n ts i t u a t i o no ff h c t a lt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n e x p o u n d st h e d e f i n i t i o n s m a t h e m a t i c a l t h e o r yb a s i sa n dr e l a t i o n s h i p so fm s e t s j s e t sa n dg e n e r a l m js e t s s u m su pt h er e l a t i v ef e s e a r c hf i n d i n g sa n ds t m c t u r ec h a r a c t e r i s t i c so fm j s e t su s i n ge x i s t e n tg e n e r a t i n ga 1 9 0 r i t h m s 2 s t u d i e st h ev i s u a l i z a t i o nt e c h n i q u eo fg e n e r a lm js e t s a c c o r d i n gt ot h e i l l c o n c e p t o fv j s u a z a t i o n t h ek e yo fi m a g e sv i s u a l i z a t i o nc o n s i s t si nt h e i rc h a r a c t e r i s t i c d a t aa n dg e n e r a t i n g a l g o r i t h m s t h ep a p e rr e s e a r c h e st h ec h a r a c t e r i s t i cd a t ao f g e n e r a t i n gm js e t si m a g e s t h a ti s c o m p l e xm a p p i n g s p a r a m e t e r so fi m a g e s b a s e d o nt h i sr e s e a r c h a p p l i c a b l e 觚di m p f o v e dv i s u a l i z a t i o nm e t h o d sa r cb r o u 曲tf o 刑a r d a i m i n ga tc o m m o ng e n e r a t i n gv i s u a l i z a t i o na l g o r i t h m sa n dt e c h n i q u eo fg e n e f a lm j s e t si n c l u d i n gt h et i m e e s c a p e da l g o r i t h m n e w t o nm e t h o da n dt r a pt e c h n i q u e a l o n g w i t hc o m p a r a t i v ea i l a l y s i so ft h e i re m p h a s e s f o ri n s t a l l c e 也ej m p r o v e dm e t h o d s0 f t i m e e s c a p e da l g o r i t h mi n c l u d ea c c e l e r a t i v et i m e e s c a p e da l g o r i t h m d i f f e r e n tc r i t e r i o n 士o r c o n v e r g e n c et i m e e s c a p e da l g o r i t h ma n dr o t a t i o na c c e l e r a l i v e t i m e e s c a p e d a l g o r i t h m r e s e a r c h e st h ed e s i g no fi m a g e s a n o t h e rc h a r a c t e r i s t i cd a t a c o l o r a n d d i s c u s se x i s t e n tm e t h o d so fc o l o rd e s i g nw h i c hh a v eb e e nd i v i d e di n t ot h r e ec l a s s e s c o l o r d e s j g i ia c c o r d i n gt oi t e r a t i o n s c o l o rd e s i g i la c c o r d i n gt od i s t a n c ef r o mc o l o r i n g p o i n tt oc e n t e rp o i n ta n dc o l o rd e s i g na c c o r d i n gt 0t h ev a l u e0 fi t e r a t e dp o i n t 3 0 nt h eb a s i so fv i s u a l i z a t i o np r o c e s s e so fg e n e r a lm js e t s a d v a n c e st h e m e t h o du s i n g g e n e t i ca l g o r j t h mw h o s eg e n ej si m a g e s c o l o rt og e n e r a t ea n dr e n d e rt h e l m a g e s a n da c h i e v e sag o o dv i s u a l i z a t i o ne f f e c t s t u d i e st h ee v a l u a t i o nm e t h o do f l m a g e s a n dg i v e saf r a c t a li m a g e se v a l u a t i o nm o d e lb a s e do na n i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k w h j c hu s et h ec o l o r p s y c h o l o g i c a le a e c to fu s e rf o ri m a g e sa se v a l u a t i n gi n d i c a t o r 4 a d o p t sv c 6 0a sd e v e l o p m e n tt o o l u t i l i z e sv i s u a l i z a t i o nc h a r a c t e r i s t i cd a t a o fg e n e r a lm js e t s i m a g e s i n c l u d i n gc o m p l e xm a p p i n g s p a r a m e t e r sa n dc o l o r p a r a m t e r so fi m a g e s 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r a n di n t r o d u c e st h e r e l a t i v ep r o b l e m sw h i c hn e e db es o l v e da n da t t e n d e d 缸l a s t t h e d e v e l o p m e n ta n d a p p l i c a t i o no fg e n e r a lm js e t sv i s u a l i z a t i o n f r a c t a li m a g e sg c n e r a t i n g h a sb e e n v i e w e d t h ei n n o v a t i o n so ft h i s p a p e ri n c l u d es o m ei t e m s g m n gt h ec o n c c p t u a l d e s c r i p t i o no fl h eg e n e r a lm js e t sv i s u a l i z a t i o n i m p r o v e st h eg e n e r a lm js e t s v j s u a l i z a t j o na l g o r i t h ma n dc o l o rd e s i g nm e t h o d a n dg a i n ss o m ek i n d so fb e a u t i f h l i m a g e sw h i c hc a nr e p r e s e n tt h es t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c so fg e n e r a lm js e t sb e t t e r 锄d i v b ea p p l i e dt om a n yd e s i 印f i e l d s a d v a n c e st h em e t h o du s i n gg e n e t i ca l g o r i t h m w h o s eg e n ei s i m a g e sc o l o rt oa u t o m a t i cd e s i g nt h ei m a g e sb a s e do nt h ec o u r s eo f g e n e r a lm js e t si m a g e sv i s u a l i z a t i o n e x a m p l e ss h o wt h a tt h i sm e t h o dc a nh e l pu s e r s t og a j nf a v o r j t ei m a g e sa u t o m a t i c a l l ya n dq u i c k l y 蓟g i v e sa f r a c t a li m a g e se v a l u a t i o n m o d e lo fc o l o rf i t n e s si ns o m ef i e l d sb a s e do na n j f i c j a ln e u r a ln e t w o r kw h j c hu s et h e c o l o rp s y c h o l o g i c a le 骶c to fu s e rf b ri m a g e sa se v a l u a t i n gi n d i c a t o ra n da c h i e v e sa f a m o u se f i e c t t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e rh a sb e e na p p l i e di nt h ep r o j e c to fp m d u c t p a c k a g i n ga n ds e c u r i t yf e a t u r e si n n 0 v a t i v ed e s i g nb a s e do nf t a c t a lt e c h n i q u e a n dg a i n s ab e t t e fe x p e r i m e n te 由f e c t k e y w o r d s g e n e r a lm js e t s s t l l l c t u r cc h a r a c t e r i s t i c s v i s u a l i z a t i o n a u t o m a t i c d e s i g n e v a l u a t i o nm o d e l c l a s s i f i c a t i o n t p 3 9 v 山东师范大学硕士学位论文 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得 注 如 没有其他需要特别声明的 本栏可空 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意 学位论文作者签名 寥奔 导师签字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留 使用学位论文的规定 有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅和借阅 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可 以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解 密后适用本授权书 学位论文作者签名 签字日期 2 0 0 驴年岁月 o 日 导师签字 姗 签字日期 2 0 0 扩年厂月3 日 山东师范人学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 分形 一词 由美国i b m 公司研究中心物理部研究员哈佛大学数学系教授 曼德布罗特 b e n o i tb m a n d e l b r o t 在1 9 7 5 年首次提出 他于1 9 7 7 年出版第一 本关于分形的著作 分形 形态 机遇和维数 f r a c t a l f o 锄 c h a n c ea n d d i m e n s i o n 1 并于五年后发表 自然界的分形几何学 n ef r a c t a lg e o m e t r y n a t u r e i 引 这标志着分形理论初步形成 同时掀起了对它的研究热潮 曼德布罗特以j u l i a 和f a t o u 的 复平面上有理映射迭代理论 思想为依据 研究复平面上z z 2 c 这样一个带有复常数c 的简单映射 通过迭代生成复杂的 j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集 并在计算机上绘制这两个复数点集的图形1 3 j 此后 人 们对j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集进行了更深入的研究 力图发现其中规律性的结构 并利用各种算法在计算机上绘制出它们的图形 本文的主要工作就是在对广义m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集分形图的结构特征进 行分析基础上 对它们的可视化方法进行了探讨与研究 1 2 分形理论的产生 发展 欧氏几何 三角学 微分几何学等传统几何在规则和光滑形状的研究中己充 分展示了其优越性 然而 对于自然界中所存在的大量复杂的 不规则的事物 如变幻莫测的云彩 回转曲折的海岸线 杂乱分叉的树枝等等 传统的几何语言 显得无能为力 而分形 恰在此显现出强大的生命力与适应性 大自然的许多形 态发生和自组织过程都能由分形来解释 分形理论揭示了有序与无序的统一 确 定性与随机性的统一 被认为是科学领域中继相对论 量子力学之后 人类认识 世界和改造世界的最富有创造性的第三次大革命 分形理论的发展大致可分为以下几个阶段1 4 j 第一阶段为1 8 7 5 年至1 9 6 7 年 此阶段属于分形理论的萌芽阶段 人们已经 认识到几类典型的分形集 并且力图对这类集合与经典集合的差别进行描述 分 类和刻画 在这半个世纪里 人们对分形集合的性质作了深入的研究 特别是维 数理论的研究已获得了丰富的成果 不仅逐渐形成了理论 而且将研究范围扩大 到数学的许多分支中 但主要局限于纯数学理论的研究 第二阶段为1 9 6 7 年至1 9 8 1 年 是分形在各个领域的应用取得全面发展 并 山东师范大学硕士学位论文 形成独立学科的阶段 曼德布罗特将前人的结果进行总结 以 分形 形状 机 遇和维数 发表了他的划时代的专著 此专著中 第一次系统阐述了分形几何的 思想 内容 意义和方法 此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正 式诞生 从而把分形理论推进到一个更为迅猛发展的新阶段 第三阶段为1 9 8 1 年到1 9 8 7 年 是分形发展的黄金阶段 两位美国科学家介 绍了扩散置限凝聚模型 简称为d l a 模型 并用分形理论充分分析 使得分形 理论得到了广泛应用 大批的数学 物理 化学 生物 材料科学和地质等学科 的学者们都进入了 分形 的研究领域 他们的进入使 分形 在8 0 年代中期空 前活跃 第四个阶段为1 9 8 8 年至今 此时 尽管在一些基础理论问题的进展中遇到了 一些问题 但一批应用科学家们却在其自身的领域内悄悄地进行着耕耘 他们将 分形 用来描述自然界与社会学科中许多不规则物体的自相似性 定出其 分 形维数 寻找着各种参量之间的标度关系等 从而使 分形 在不同的领域内得 到了广阔的应用 并在若干复杂问题中找到了某些规律性 分形理论从此得到了 完善 并不断成熟发展 曼德布罗特因其在分形理论方面的重大贡献而被授予沃尔夫奖 w r o l f p r i z e 当时的颁奖评语曾说 分形几何改变了我们对世界的看法 1 3 分形的定义 曼德布罗特为分形下过两个定义1 5 l 1 满足条件d 拥即 d i m 似 的集合彳 称为分形集 其中 d 砌似 为集 合彳的h a u s d o f f 维数 或分维数 d i m 似 为其拓扑维数 一般说来 d 砌似 不 是整数 而是分数 2 部分与整体以某种形式相似的形 称为分形 然而 经过理论和应用的检验 人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富 的内容 实际上 对于什么是分形 到目前为止还没有一个确切定义 但人们仍可从 分形的特性中理解它的确切含义 分形的性质 1 分形集都具有任意小尺度下的比例细节 或者说它具有精细的结构 2 分形集不能用传统的几何语言来描述 它既不是满足某些条件的点的轨 迹 也不是某些简单方程的解集 3 分形集具有某种自相似形式 可能是近似的自相似或者统计的自相似 4 一般分形集的 分形维数 严格大于它相应的拓扑维数 2 山东师范大学硕士学位论文 5 在大多数令人感兴趣的情形下 分形集由非常简单的方法定义 可能以 变换的迭代产生 分形的描述性定义 分形是对没有特征长度 指所考虑的集合对象所包含的 各种长度的代表者 如 球用半径作特征长度 但具有一定意义下的自相似图形 和结构的总称 1 4 分形理论与相关领域的相互影响 分形理论一经创立 即与计算机图形学产生密切的联系 而分形理论的研究 又是科学计算可视化的重要应用领域 它在事实上促进了 实验数学 的建立和 发展 刚 一 1 4 1 分形在计算机图形学中的应用 计算机图形学是研究如何利用计算机生成 处理并显示图形的学科 分形理 论的创立离不开计算机图形学 早在一个多世纪前 h a u s d o r f f 就已提出分维的概 念 法国数学家j u l i a 和f a t o u 等人也在1 9 1 8 年就研究过现在以他们的名字命名 的数集 并使当时关于复动力系统的研究达到很高的水平 但由于当时尚未出现 计算机 以致他们的研究在随后的5 0 多年间几乎没有进展 直至曼德布罗特以计 算机为工具 将复映射z 一z 2 c 迭代所生成的美丽图形呈现在大家面前时 分形 才引起了全世界的广泛关注 复动力系统的研究终于开花结果 另一方面 分形理论的产生和发展 又使计算机在信息压缩 贮存和传输等 方面发挥出越来越大的威力 信息时代的到来 特别是多媒体技术的普遍应用 使得需要保存和传送的信息量大幅度增加 研究分形理论中的分形图像压缩算法 利用分形理论中最基本的运算来处理大量复杂的信息资料 能够显著提高计算机 的信息存贮功能 实现高效快速的信息传输 由于模拟分形图展现出一批优美的 图像 促使分形理论与计算机科学理论的进一步发展融合 不仅为新型的 计算 机艺术家 提供艺术创新的灵感 而且最重要的是促使分形理论与计算机科学理 论的迅速发展 进一步提高了这一新兴科学的声望 1 4 2 分形与科学计算可视化 科学计算可视化是2 0 世纪8 0 年代后期随着计算机图形学研究及应用的拓广 而发展起来的一个新的研究分支 它研究如何将视觉上不可见 抽象的对象以图 形 图像或图片的形式进行表现 将思维或想象中的内容转化为可视的 可视化的应用极大地推动了分形理论的发展 通过可视化技术不仅可以十分 逼真地模拟自然现象 而且可以将分形研究过程中所处理的各种物理模型 数学 模型和抽象的计算过程或结果用梦幻般的美丽图像显示出来 帮助研究人员形象 3 山东师范大学硕士学位论文 直观地感知和洞察这些数据和结果 从而更有效地进行分析和处理 揭示其中所 蕴涵的本质和规律 另外 分形理论及其应用的研究又为科学计算可视化技术的 发展注入了新鲜血液 通过不断地协作与相互作用 促进了可视化技术的研究 分形的研究不仅使计算机在模拟各种奇妙的自然现象和可视化抽象的计算过程中 发挥了重要作用 而且 由于分形对象的复杂性 不规则性和无标度性等特点 使得以往适用于规则对象可视化的技术或方法难以获得令人满意的分形图像显示 效果 而必须根据分形对象的特点研究新的可视化技术或手段 1 4 3 分形与实验数学 用计算机生成各种分形图像 不仅展现了数学的内在美 同时也使得一些新 的发现以一种新的形态展现在人们面前 从而在研究方法上向传统的数学观念提 出了挑战 分形理论的产生 以及分形研究过程中利用计算机生成的大批混沌分形图案 使人们形象地观察到了一系列非线性微分方程的求解过程和结果 从而对它们所 描述的复杂现象及过程的时间演化与动态行为有了更直观地认识 分形理论的创 立是数学理论与计算机结合的最好范例 在分形理论的发展过程中 复动力系统 的分形集如m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集复杂图像的生成 l o r e n z 混沌吸引子的发现 分形的无限自相似结构等都离不开计算机的应用 目前 用计算机作为工具来进 行各种抽象概念与理论的实验 已成为数学发展的一个重要方向 许多理论上的 难题只有借助实验数学的方法才能给出丰富的 生动直观的启示 计算机实验数 学方法为非线性科学复杂系统的研究开辟了一条新途径 也将给许多过去令人望 而却步的动力系统演化过程的研究带来新的发展 1 5 分形图分类 从分形图的生成原理来看 分形图大致可分为l 系统生成的分形图 迭代函 数系统生成的分形图和复平面上的分形图 1 5 1l 系统 l 系统的第一个字母l 源于美国生物学家a u n d c n m a v e 姓氏中的l 字母 开始是作为描述植物的形态与生长的一种方法 继而发展成计算机图形学中一种 模拟大自然景物的有效方法 当然是一种重要的分形生成方法 l 系统作图的基本原理是 字符串改写 口1 总体地说 改写 的具体过程 是首先定义复杂的自相似物体的技术 然后根据一组改写规则或产生式依次替换 一个简单初始物体的每一个部分形成最后的整体结构 在具体生成分形图形的过 程中 要同时结合使用 改写规则 和 龟形图法 两种方法 改写规则 是 4 山东师范大学硕士学位论文 形式化的描述 首先从初始字符串集合中任选出一个字符串 并在产生式集中选 择一个适当的产生式 即改写规则 以初始字符串为前导代入产生式进行字符串 改写 得到一个新的字符串后继 并以此新字符串为前导重新代入产生式生成下 一个后继字符串 以此迭代改写多次 直到产生最后的字符串 由这个字符串生 成对应的图形就是l 系统产生的分形图 图1 1 是由l 系统生成的分形图 图1 1l 系统生成的分形图 1 5 2 迭代函数系统 迭代函数系统 i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m i f s 是分形理论的重要分支 是将待生成的图像看成是由许多与整体相似的 自相似 或经过一定变换与整体 相似的 自仿射 小块拼贴而成 在迭代函数系统i f s x m w 2 m 中通常用线性压缩仿射变换来表示压缩 映射 如 对于平面上的仿射变换w r 2 r 2 有下列形式 m 睁e 堋 阶似地 2 一协 其中口 c f d 一 五 尺 o y 尺2 线性变换矩阵彳一 耄 代表旋转 比 例 反射变换 矢量占 z 代表平移变换 通过调整变换矩阵彳与平移矢量6 中各 参数值可以对分形图实施各种几何变换来构造分形图 对于一个比较复杂的图形四3 可能需要多个不同的仿射变换来实现 仿射变 换族 控制着图形的结构和形状 由于仿射变换的形式是相同的 所以不同的 形状取决于仿射变换的系数 另外 仿射变换族 岷 中 每一个仿射变换被调用 的概率不一定是等同的 即落入图形各部分中点的数目不一定相同 这就要引进 5 山东师范大学硕士学位论文 一个新的量 即仿射变换w 被调用的概率p 从而6 个仿射变换系数 口 仇 c i d j e j 正 和一个概率鼽便组成了i f s 算法最关键的部分 i f s 码 图1 2 是用i f s 方法生成的分形图 恭带壤 图1 2l f s 法生成的分形图 1 5 3 复平面上的分形图 所谓复平面上的分形是对一定复平面范围内的 点 根据某个复映射 通过 一个确定的生成方法 经过简单迭代后生成的由 点集 构成的分形图形 正像 任两个不同的实数对之间都有无穷多个实数一样 任一个 小 的复平面中都有 无穷多个复数存在 所以 这种由复平面上复数点集构成的分形图 可对其局部 进行无穷放大和精细 m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集是复平面上分形图的典型代表 m a n d e l b r o t 集简称m 集 是由曼德布罗特于1 9 8 0 年首先绘出 j u l i a 集简称 j 集 是由法国数学家g a s t o nj u l i a 和p i e l l r ef a t o n 在复变函数迭代理论基础上获 得的 m 集和j 集都是在复平面c 上某个区域内 对复映射z 呻z 2 c 进行迭代 而获得 m 集是用c 取遍这个区域中的值 而j 集则是c 值固定 用z 取遍区域 中值而获得的图形 不同的c 值对应的j u l i a 集图形不同 并且一个映射的m 集 中的参数c 对应这一个连通的j u l i a 集 m 集和j 集的研究大大丰富了分形理论 使得沉寂多年的复动力系统可视化 研究获得了新生 各国研究人员对这个领域的研究给予了极大的关注 各种新方 法 新模型 新规则 新图像不断出现 由于m 集和j 集源于同一个变换 它们 之间存在非常复杂的关联 人们常常将它们合并研究 共称为m j 集 当前对m j 集的研究已突破简单的z z 2 c 范畴 出现了类似 z 呻c z c z 口 c 培k 8 c d 妫 c j c 等各类复映射 它们被称为广义m j 集 本文的研究就是针对广义m j 集 6 山东师范大学硕士学位论文 第二章广义m j 集及研究现状 复平面上的分形图是对某个复映射从其周期点迭代生成的 若从非周期点开 始迭代 则得到的图形不完整 因此 对于复平面上的分形图来说 复映射和周 期点是很关键的两个概念 本章首先介绍复映射与周期点的概念 然后探讨复平 面分形图的一个分支广义m j 集的概念 研究现状及结构特征 2 1 复映射 设函数或映射歹一厂 是某一规则 若给定z 一个初始值 记为 则由 y 一厂0 可得到y 的一个值 记为石 即石 一 o o 将这个y 一石 作为x 的新值 可得y 的新值 一厂 记作x 即x 一厂 这样反复迭代的数学反馈过程使 函数或映射的每一个输出作为下一次的输入 即z m 一厂o n 一0 1 2 从而得 到一个序列 x l 这个序列成为 的轨道 式子x 州一厂 咒一o 1 2 可 以写为x 厂 它称为一个映射 如果在复平面上 变量一般用z 表示 则映 射记作z 厂0 称为复平面上的映射 简称复映射 2 2 周期点 设厂 c 呻c 为复系数以之2 阶的多项式厂 z 口o 口l z 口 z 记 为函 数的七重复合 呐为w 的第七次迭代厂 厂 厂 w 如果厂 w 一w w 就称 为 的不动点 如果存在大于1 的整数p 使 p w w 则称为w 是 的周期 点 使厂p w 一w 的最小正整数p 称为w 点的周期 而称 w w p w 为周 期p 的轨道 设w 是周期为p 的周期点 且 厂p 7 w 一a 其中撇号表示复变微 商 点w 称为 1 超吸引的 如果a 一0 2 吸引的 如果 司ai 1 2 3 广义m j 集 广义m j 集是复平面上分形图的一个分支 是典型m j 集的一个扩展 研究 人员将复映射z 呻z c 中的指数由二次推广到整数 实数 复数 并且除了指 数映射 甚至考虑任意多项式映射