（应用数学专业论文）相互干扰的hassell厌食模型的定性分析.pdf

摘要 本文研究的对象为带干扰的捕食者，与具有群体防御能力的食饵构成的系统 忙鬻0 瓣。 其中o 0 ，v ( x ，0 ) 一v o ( x ) o 其中d 1 0 ，d 2 0 ，0 0 z n t 0 ， z a q ，t 0 x q “一 ( d 1 + 0 1 l 仳4 - a l l y ) u 。= “( 七一u ) 一甜m 庐( u ) ，0 0 ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 ， 其中c 0 ，d l ，o t n ，a 1 2 ，如，2 l ，o 船均为正常数，m = l 本文特别讨论了第四类h o l l i n g i j j 能反应函数( z ) ：妒( 0 ) = o ，( 0 ) = 0 且o 乱口 时，7 ( 乱) o ；u 兰时0 ) s0 ；l i r a 庐( ) = 0 ，它对应着类较新的系统( 1 ) 以及问 w 题( 2 ) 、( 3 ) 全文首先分析了系统( 1 ) 的平衡点的性态，正平衡点的存在唯一性，解的有界性，极限 环的存在性，无环性，全局稳定性接下来对问题( 2 ) ( 3 ) 讨论了解的存在唯一性，解的正 性，整体解的存在性，对( 2 ) 还讨论了局部稳定性 3 ，【 o o ： ； 1 z o z = 0 o 0 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e dt h es y s t e mo ft h ep r e d a t o rw i t hi n t e r f e r e n c ea n dt h ep r e yw i t h g r o u pd e f e n s ea b i l i t y 惟黧0 珊。 w h e r e0 0 仇一d 2 a v = 一q ( 一+ c ( u ) m ，z n ，t 0 爱= 豪= 0 ， u ( 嚣，0 ) = t o ( 。) 0 ，u ( 。，0 ) = v o ( x ) 0 w h e r ed l 0 ，d j 0 ，0 0 o q u # 一【( d 1 + a l l u + n 1 2 ) 叫= u ( k 一“) 一v m 庐( u ) ，0 x 0 吨一【( 如+ o l 2 1 7 t + a 2 2 v ) v z z = 一q ( u ) v + c 咖( ) u ”，0 0 ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 ，0 z 0 ，d l ，0 1 l ，0 1 2 ，d 2 ，o 盘1 ，0 2 2a l la r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ，m = 1 t h i sp a p e rs e l e c tp a r t i c u l a r l yt h ef o u r t hf u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n 妒( 。) ：( 0 ) = 0 ，a n d w h e n 0 墨1 王卢，( t ) o ；w h e n u 卢，( u ) so 。里卒已曲( 钍) = 0 ，w h i c hc o r r e s p o n d s t o an e wk i n do fs y s t e m ( 1 ) a n dt h e q u e s t i o n s ( 2 ) ( 3 ) i nt h ef i r s t ，i td i s c u s s e dt h eq u a l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n ti ns y s t e m ( 1 ) ，u n i q u e n e s s o ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mt h eb o u n d e d n e s so ft h es o l u t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo ft h el i m i tc y - c l e ，t h en o - e x i s t e n c eo ft h el i m i tc y c l et h eg l o b a ls t a b i l i t y i nt h ep a s t ，i td i s c u s s e de x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n ，p o s i t i 嘶o ft h es o l u t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n i nt h eq u e s t i o n s ( 2 ) ( 3 ) ，a n dt h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o no ft h eq u e s t i o n ( 2 ) i n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名：二匆一j 镉 日期：，? 哆年5 月 5 1 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅： 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：冬矽d ，匆导师签名 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) e t g q ：多哆年5 月弓je 1 f 刖菁 1 9 7 1 年h a s s e l l 研究圆柄姬蜂攻击它们的寄主粉斑螟( 一种面粉蛾) 时的行为特 征，发现当两个搜寻的寄生物相遇时其中之一或这两个都具有离开该相遇地方 的趋势，因此寄生物本身在搜寻寄主时相互间有干扰( 破坏它们的搜寻效率) 显然 这种干扰必随寄生物密度的增加而增加，因此h a s s e l l 提出考虑这种干扰与寄生物 密度之间关系的数学模型，并引进干扰常数m 的概念此后又提出一个既考虑到密 度制约、功能性反应，又考虑到相互干扰时捕食者与食饵( 或寄生物与寄主) 之间关 系的一般数学模型 j u t = u g ( u ) 一u ”咖( u ) iv t = 一g ( “) ”+ c 咖( u ) w “ 就这个模型来讲，m 1 表示捕食者种群内部有干扰，m = l 表示种群内部无干扰 在认为模型中的各种群空间分布均匀的情况下，就通过建立常微分方程模型 来分析种群数量的发展变化 在认为种群的空间分布不均匀的情况下，仅考虑在同一生物种群内生物群从 高密度区域向低密度区域迁移的趋势，这就要加入自扩散项，建立反应扩散方程的 模型来分析种群数量的发展变化 在认为种群的空间分布不均匀的情况下，如果除了考虑在同一生物种群生物 群体从高密度区域向低密度区域迁移的趋势，还要考虑不同种群间迁移，这就不但 要加入自扩散项，还要加入交叉扩散项来建立交叉扩散方程模型来分析种群数星 的发展变化 关于这类模型已有的工作大致如下： 一o d e 方面，最早是h a s s e l l 有关昆虫一起出发时行为之间干扰的两篇文章， 文【1 】【2 】 1 国内的许芳，杨泰山所考虑的模型是； 忙篇茹 与本文不同的是他们考虑的( 珏) 单调递增有界，他们分别得到了关于这个模型 的无环性，极限环的存在性，平衡点的全局稳定性的条件与结果 二在r - d 与c - r - d 方面，f r e e d m a n ，p a o c v 等许多人都作了反应扩散方程方 面的许多工作，其中关于l v 模型的讨论要多一些关于h a s s e l l 提出的这个模型， b d u b e y 等人做了m = 1 的情况，得到了一些稳定性条件，文【7 j 8 j 9 j 1 0 1 系统( 1 ) 忙篇篡。 其中o o ，g ( ) = 0 ；“ 时，( u 一女) 口( ) o ) 玩) 口( o ) 0 ，当“o 时，q 协) o 一。q ( “) = 0 磁)妒( 乱) ，g ( ) ，q ( t ) c 1 定理0 1 ( 正平衡点的唯一性) 如果在g o = ( u ， ) 1 0 o ) 内有( u l ( u ) 一 u 2 ( “) ) 恒负，则在g o = ( u ，训o o ) 内只有一个正平衡点( 其中： 1 0 ) ： ( 帮) 击，。( ) = ( 搿) 南) 定理0 2 ( 有界性) 系统( 1 ) 的一切正初值条件的解有界 定理0 3 ( 无环性) 当袅( 帮) 0 ，” o 时，若口i = 觜关于”单调递减，”2 = 躲关于“单调递减，则正平衡点目在第一象限内全局渐近稳定 问题( 2 ) “t d l a u = u g ( u ) 一u m 砂( “) ，z q ， 0 饥一d 2 a v = 一q ( u ) v + c 咖( “) m ，茁q ，t 0 舞= 貂= 0 z 8 q t 0 “( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 ， 。n 其中c o ，d 1 0 ，如 0 ，0 o 时，若”l = 帮关于u 单调递减，“2 = 貉关于钍单调递减，则正平衡点e 在第一象限内局部渐近稳定 3 前言 问题( 3 ) 札t 一 ( d l + o l l “+ 0 1 2 v ) u 鄹：= u ( k u ) 一 m ) 5 ( “) ，0 卫 0 饥一【( d 2 + ( i 2 1 u4 - a 2 2 v ) v , z x = 一q ( u ) + c 母( u ) 础m ，0 0 ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 其中m = 1 ，c 0 、d t ，o 订( ，j = 1 ，2 ) 均为非负常系数 ( 月0 ) 0 2 2 o 0 0 ，以及非负解“( ，) ，u ( ，t ) 属于g ( 0 ，t ) ，叼( o ，1 ) n c o 。( ( o ，t ) ，c 。o ( o ，1 ) ) 且唯一，其 中t 0 ，o 。) 是解的最大存在时间 定理0 9 ( 解的一致有界性) 设非负函数“o ，y o 孵( o ，1 ) ，( u ， ) 是( 1 1 ) 存它的最 大存在区间【0 ，t ) 上的解，在假设条件( 协) 成立的情形下，存在t o 0 ，仅依赖于( 3 ) 中 方程系数和初值 o ，y 0 的正常数m 和m ，使得 s u p 训u ( ，t ) l l ，2 ，m ，) 忆2 ) m 。， t o t t s u pu m ，s u p m f o ，l 】x ( t o ，t )1 0 ，1 i x t o ，叫 则，：+ o 。 本文的特色在于： 1 ) 全文在干扰系统中采用了第四类h o m n g 功能反应函数多 2 ) 第二节把反应扩散方程与干扰系统结合了起来 3 ) 第三节中的估计方法较s e o n 争as h i m 的文 2 5 】简单 4 51 辅助知识 本文讨论的问题与结果按如下顺序组织：常微分方程组，反应扩散方程组，交 叉反应扩散方程组为使内容完善起见，引进一些必要的辅助知识给定微分方程 组： 卜“扛( 1 ) i 玑= y ( z ，y ) 其中x ，y 是适当光滑的而关于极限环的存在性，涉及以下这样三个定理 定理1 1 ( p o i n c a r e - b e n d i x s o n n 域定理) 设d 是由两条单闭曲线l l ，l 2 所包围 的环域，并且在d 内无奇点；又设当增加时从l l ，l 2 出发的轨线都进入( 或都离 开) d 则在d 内存在闭轨线l ，其相对位置是l 1c lc l 2 定理1 2 ( p o i n c a r e 的切性曲线法) 设f ( x ，) = g 为一曲线族，f ( x ，y ) c 1 ( g ) ， 并且面d f l l 一- - n 丽o f + y 籍在g 上保持常号( 即o 或o ) ，还有：x 丽o f + y o 。f f = 0 不包 含( 1 ) 的整条轨线，则方程组( 1 ) 在g 中不存在闭轨线 定理1 3 ( b e n d i x s o n - d u l a c ) 设在单连通区域g 中方程( 1 ) 右端的函 数x ( 。，) ，y ( z ，) c 1 ( g ) ，存在f c 1 ( g ) ，使得：爿铬+ y o 咧f 保持常号，且不在 任何子区域中恒为零，则( 1 ) 在g 中不存在闭轨线 这只是一部分判断方法，在具体问题中还有一些更具体的办法 再讨论问题 j毋。；-：likui。=，fl(z，屯牡lt2，zh：i； 。， 毋叫= k ( z ，) ( z ，) 曲 i 。和，。) ：咙洳) z n i = 1 ，2 ，m 其中n t = nx ( o ，t ) ，曲= 0 q ( o ，t ) ，q 是舻中的有界光滑区域 由于本文始终考察反应扩散方程组，或交叉反应扩散方程组的古典解，故做如下基 本假设： ( 凰) 厶= 一妻，吼( 。) 彘+ 妻弓( 。) 为，巩g ( 两) j ，= j = i f 篡涧筹 f 拦豢 u 豇，( z ，t ) n t 定理1 5 设西，墅是( 4 1 ) 的一对有序的上下解，m = 鼍盐型 v ( x ，t ) ( z ，t ) 璐 定理1 7 ( 不变区域定理) 记 m ：= n b d ( 一o o o i b i + 。) 设：1 ) ( z ，t ) n t ，e ：时 五( z ，t ， ) 。，。，0 五扛，z ，u ) t h ：b 。0 ，( i = 1 ，2 ，- ，m ) 2 ) 当。n 时，u o ( x ) = ( u 1 0 ( x ) ，u 2 0 ( x ) ，- 一，u r n 0 ( z ) ) ：； - 若是d i r i c h l e t 边界条件还设 3 ) 当( z ，t ) s 时， ( 。，t ) = ( h l ( x ，t ) ，h 2 ( x ，) ，啊。( z ，t ) ) e ： 则( 2 ) 的解 u ( x ，t ) = ( u l ( x ，) ，u 2 ( x ，) ，一， a m ( 。，) ) ：( x ，t ) 而t 定理1 8 设。和6 是正常数，仍妒c 1 k + o o ) ，妒( ) o ，妒有下界如果妒他) b e ( t ) ，妒似) 在h + ) 上有上界，则。1 1 罂妒( ) = 0 r _ + o o 7 2 相互干扰的h a s s e l l 厌食模型 本节考虑如下系统 其中0 o ，g ( k ) = o ；时，( u 一) 9 ( u ) o ) 凰) 口( o ) 0 ，当o 时，g ，( “) 0 ，且i i mq ( “) = g o 。 0 + o 。 凰) 庐( “) ，口( “) ，q ( u ) c 1 正平衡点e ( “+ ，矿) 分析 又记 u g ( u ) 一w ”毋( ) = f ( ”) 一口( u h + c 庐( “) u ”= g ( u ，口) 由于在e 点有：”m = u * 筇2 字g * ，”m = 嚣高 令a = 圪+ q ，b = r q 一耳g ： a = 学( 熹( 掰胤一c i l - m ) 日= 掣( i 盖1 i l ( 帮胤( m _ 1 ) 咖 i m 张州熹l n ( 器 一( m - 1 ) ”一1 1 1 。d 。u 州g ( u ，) ) x _ 一熹( 端) 铀e 一( m - 1 ) 咖惭m ”- 1 【兰( 搿) h 熹( 貉) 卸e 在8 o 时，即【蛊( 帮) 击一面d 、砷q ( u 。) ， 】f e o 时， 8 2 相互干扰的h a s s e l l 厌食模型 ( 1 ) 如果4 0 ，则正平衡点e 是负向稳定的焦 点或结点， 本节的主要结果及证明如下 定理2 1 ( 正平衡点的唯一性) 如果在g 0 = ( u ，v ) l o 0 ) 内有( ”l ( “) 一 吨( 珏) ) 7 恒负，则在g o = ( ( v ) l o o ，内只有一个正平衡点( 其中：u l ( n ) ： ( 错) 杀，v 2 ( u ) = ( 搿) 击) 证明 对v 1 ( u ) = ( 搿) 击来说，当“一0 时v l ( u ) 一+ 。对v 2 ( u ) = ( 搿) 志来 说，当u 一0 时 2 ( t ) 一o 口l ( ) = o ，w 2 ( 女) 0 由介值定理”1 ( ) 一u 2 ( 扎) ：0 在g o 内有 解，若( ”l ( “) 一砚( “) ) 恒负，则由单调性可知正平衡点唯一， 定理2 2 ( 有界性) 系统( 1 ) 的一切正初值条件的解有界 证明 f 。：自= 一口”庐( 女) 时吐 时，o 0 这样就证明了系统( 1 ) 的一切正初值条件的解有界_ 定理2 3 ( 无环性) 当蛊( j 搿) o 时，则系统( 1 ) 在第一象限g 内不存在极限环 证明取 p ( “，口) = 西一1 ( “) 口一1 由简单计算知 盖( ( f ( u ，”) p ， ) + 熹( g ( “，u ) p ( “，u ) ) ) = 品( u 9 ( u ) p ( u ，”) 一v ”- - 1 ) 十熹( 一g ( u ) 一1 ( “) + c 俨一1 ) = ( 群打1 + c ( 仇1 ) ”m 2 由m 1 得 ( 搿) v - 1 + c ( m _ 1 ) 俨2 0 ，_ 0 ) ，希望用 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 对于( 2 ) 式： c 9 ( e ) 一”庐( e ) = f b ( e ) 一”m 竽) ，当e 充分小时，口m 掣充分 小，g ( 0 充分接近9 ( o ) ，从而可以取至充分小的正数e 使f 2 ) 式成立 对于( 4 ) 式： 一q ( u 抑+ 哪( u ) 俨= 一q ( u ) q ”( q 1 一“一搿) ，笔斟在【e ，明上的最小 值充分小时，也可以取到充分小的正数口使( 4 ) 式成立 因为正数，可能取到，这样的矩形e = ( u ，f ) k ”k ，碍 ( + 1 ) ，其 中e o ，叩 o ) ，能找到并且可以用它的边界作为外境界线 利用判断极限环存在的p o i n c a r e b e n d i x s o n 环域定理可知e 点周围存在 个稳定的极限环 一 1 0 2 相互干扰的h a s s e l l 厌食模型 一 = - ! ! ! = ! ! ：= ! ! ! ! ：- ：= ：! ：! ! 釜! ! ! ! = = = = = = = = = = = = = = = ! = 2 2 2 = 2 2 2 2 5 2 0 定理2 5 ( 全局稳定性) ：在u 0 ，u o 时，若”l = 掰关于单调递减，”2 一 揣关于u 单调递减，则正平衡点g 在第一象限内全局渐近稳定 证明从己知条件得到在g o 内任意点u 处等倾线 忙( 觜) 去 的斜率小于等倾线 一( 器) 击 的斜率，再由定理4 可知正平衡点唯一再在第一象限内构造l i a p u n o v 函数： 嘶，= c 器一器肼扣“_ v * m l n 三。 少= ( 黼一黜) 吐+ v m - l l o 一竽。 = ( 袅骞一袅) ( 叼( u ) 一”( “) ) + ( ”“一”+ ”) ( 一g ( “) + c ( ”) ”一1 ) = 俐端一鹅) ( 谢卅) + 俐端一糕) ( 一一”“) + 印( u ) ( ”“一”4 ”) ( ”一1 一番茜) = 庐( “) ( 稿一籍) ( 裂一一) + c 曲( u ) ( ”一) ( ”“一一一。1 ) 下面说明矿墨0 即可由已知条件知 坐1 盟 ( 札+ )毋( ) 与 螋一。t m 妒( “) 。 异号， ， m f ，“ 与 也异号，从而，矿o 从而恕v = o ，由此可知正平衡点e 全局渐近稳定 _ 53 带扩散项相互干扰h a s s e l l i 厌食模型 本节讨论问题( 2 ) 毗一d l a u = u g ( u ) 一 ”毋( ) ，z q ，t 0 吨一d 2 a v = 一口( ) + c 咖( “) m ，。n ，t 0 舞= 器= 0 z 8 n o ( z 0 ) = u o ( z ) 0 v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 ， z n ( 2 ) 其中d 1 0 ，d 2 0 ，0 女均可使( 1 ) 式成立 对于( 3 ) 式： 一g ( u ) _ 十啦( u ) 可”= 口”( c 庐( u ) 一q ( u ) 可l - m ) ，由搿有界，可知任 取可1 ” ( ! 警) 均可使( 3 ) 式成立 对于( 2 ) 式： 如( 型) 一v m 毋( 型) = 型( 9 ( 塑) 一”m 掣) ，当塑充分小时，口”掣充分 小，9 ( u ) 充分接近9 ( o ) ，从而可以取到充分小的正数笪使( 2 ) 式成立 1 3 带扩散项相互干扰的h a s s e l l 厌食模型 = ：- ! ! ! ：= = = = = = = 篁= 兰= = 2 = 墨竺= ! ! = = = = 竺竺= = 暑! 竺! = 兰! = = = = = = = = = = = = = = = = = 对于( 4 ) 式： 一q ( “) 型+ c 咖( ) 型= 一q ( u ) v “也1 一m 一搿) ，搿在陋，_ 】上的最小 值充分小时，也可以取到充分小的正数笪使( 4 ) 式成立 因为正数业型能任意小，面，可能任意大，这样对于问题( 2 ) 的任意正初值都可以 找到一个不变区域使问题( 2 ) 的正初值在其中，所以问题( 2 ) 的存在唯一的正解一 下面再来看一下正平衡点e 周围的渐近稳定性 定理3 2 ( 局部稳定性) 系统( 2 ) 存在正解u 0 ，” 0 ，若u l = 措关于单调递 减，”2 = 端关于钍单调递减，则正平衡点e 局部渐近稳定 证明 同系统( 1 ) 的证明一样，记、，( ，) = 群( 鹅一粥) d s + 去( ，一m + ”) 一 ”i n 芳 这里记e 1 = 厶v d x 由第二节知道y 是系统( 1 ) 的l i 印u n o v 函数，沿系统( 1 ) ，再 根据本定理的条件可得k 0 ( 髓) t = 矗k d z = 矗( v u f ( u ， ) + v ”g ( u ， ) ) d z + d l ，n v u a u d x + d 2j 矗v v a v d x 则上式由第一章可得其中第一项： 互眠脚m + k m ) d 。 o 如v 。a u d x = 一如k 。i v u l 2 d x = 矗( 器h i v u l 2 d z 由糕) “so 可知届k “d $ 0 如v a v d x = 一矗l v 1 2 d x = 一矗( ( m 一1 ) w “一2 + ” 一2 ) 1 w , 1 2 d x 当( 1 一m ) 。”* r r t 时矗v , , 3 , v d xso 综上所述可得：当( 1 一m ) v ”口一，并 且w l = 觜关于 单调递减，v 2 = 端关于“单调递减时，( e 1 h = 矗d 。0 因此，结合辅助知识部分的定理1 ，8 以及本节定理3l 的证明过程，得到 3 带扩散项相互干扰能j h a s s e l 恹食模型 一矿| | 伊一0 ，0 v ( u u + ) i l l 。一0 ，一矿i l l 。一0 ，i l v 扣一矿) i l l 。一o ，( 一。时) 由此可知问题( 2 ) 的解关于e 点在嘲( n ) 空间的意义下局部渐近稳定，特别地 当q 是一维空间时，由嵌入定理可知问题( 2 ) 的解关于e 点一致渐近稳定 _ 1 4 4 带交叉扩散项的h a s s e l l 厌食模型 本节讨论如下问题( 3 ) “t 一 ( d 1 + o l l 钍+ a 1 2 u ) 川z $ = u ( 七一u ) 一 m 咖( “) ，0 z 0 1 t 一【( d 2 + c 1 2 1 1 f + c 1 2 2 v ) v z z = 一g ( u ) + c ( “) m ，0 0 u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ，v ( x ，0 ) = v o ( z ) 0 ，0 z 1 其中e ，砬，a i j ( i ，j = 1 ，2 ) 都是正常数，第二节中的假设胃仍然保持，本节仅考虑m = l 的情形 作为a m a n n 的文 8 1 0 】的一个直接推论知 定理4 1 ( 解的存在唯一性) 令”o ，v o w i ( o ，1 ) ，则问题( 3 ) 存在唯一非负 解u ( ，) ，u ( ，t ) n t c ( o ，t ) ，哪( o ，1 ) ) n c o 。( ( o ，t ) ，c ”( o ，1 ) ) ，其中t o ，。o ) 是解的最 大存在时间 在下面的叙述中用表示伊范数 从a f r i e d m a n 舢： 3 1 ，l n i r e n b e r g 的文 3 2 】可以见到下面的引理4 1 与推论4 i 引理4 1 n 俨是一个有界区域，边界是俨的对任意函数u w m ( a ) ， 1s q ，r o 。，d j u ，( 0 冬j m ) 满足以下不等式 d 让i p s g ( j d ”n 舻ju i ；一。+ jub ) 这里1 p = j 加+ a ( 1 r m n ) + ( 1 一a ) l q ，且对所有在 j m ，1 ) 中的。，下列条件之 一满足： ( i ) t sq f 2 ) o n ( r q ) m r q l ( 3 ) n ( r q ) m r q = 1 与m n q 不是非负整数 1 5 4 带交叉扩散项的h a 8 s e 厌食模型 推论4 1存在正常数c ，使得对任意函数w ；( o ，1 ) 有 iu 1 2 c ( i “。的u 胪+ iu 1 1 ) iu 拯c ( i 舱“妒+ iu 1 1 ) iu 。1 2 c ( i 扎。n 胪+ iu1 1 ) 本节总假设下列条件( 胁) 成立 ( 础) 。i 2 0 ，仅依赖于( 3 ) 中 方程系数和初值i t o ，v 0 的正常数m 和，使得 。 - s u p 圳( ，t ) l h ，2 ，i i v ( - ，t ) l h 2 ) 5m ， t o t o 使得 肖t ( n ，。o ) 时： j f o l u d x 晒， f o o v d x 奶 ( 3 3 ) 第二步：对( 3 1 ) ，( 3 2 ) 两边分别同乘以u ，“再在hl 】上积分： ：1 d j ( o l 粕z = z 1 n 如出+ z 1 俐。 d z f o i d 。z 1 “。f ( a ，“十。) 。】。d z 十m 0 1 “2 d 。 j l 面d f l w 2 d 。；0 1 u d 。+ 0 1 w 铡。 一d 2 2 1 d z j f 0 1 1 u + 0 c 2 2 v 淋如 埘悯f ：池 令m i n d i ，划= d ，m a x k ，印( 俐：k l , 则 ；材舻砌z = 小愧圳z + z 1 蜊。 5 一：f z l ( 遽+ 谚) d x + k z f 0 1 ( “2 + ”。) d 。 一z 1 f ( 。，1 n + n 。”m 。+ 如f ( 眈。+ a 。m 。) d 。 而由条件研知： 1 b f ( q 1 1 u + o t l 2 即) 叫z + ( a 2 l t + q 船u ) u 】。o 1 7 4 带交叉扩散项的h a s s e l l 厌食模型 ；未z 1 ( u 2 + v 2 ) d z _ - d j ( 。1 ( 碡十遽) 如+ b z l ( u 2 - b v 2 ) d z 由推论4 1 可知： i l o 使得 当m ，。) 时： 1 u 2 a z 慨， z 0 1 v 2 d x m 2 ( 3 4 ) 第三步：对( 3 1 ) ，( 3 2 ) 两边分别同乘以r 与q 再在【o 1 j 上积分： f or u t d x = z 1 r b 。d z + z 1 r f d 。 z 1 ( r 遁+ r t 吨) d z = 一百i 面d 上1 理d z + z 1 ( r “t + r 砌f d z 1 q t v t d x = - ：0 1q t q x z d x + z 1 印。g d z z 1 ( 仉谚+ q 。牡t 饥) d z = 一；未z 1q ：d 。+ z 1 ( q 。毗+ 。钝) g d z 即有： ：l d f 0 1 瑶出= 0 1 ( r 毗+ r 仇) f d x - 0 1 ( r “ + r u 。吨) 出 1 8 54 带交叉扩散项醛j h a s s e l l 厌食模型 这样 ；旦d ti j ( 1q ：d z = z 1 ( 。饥+ q 。饥) g d z - z 1 ( q 。+ q 。“。毗) d 。 1d 2 d t 而由假设础知 r = d l + 2 q l l u + 口1 2 ，r = o q 2 u 0 = 0 2 2 1 v ，q = d 2 + q 2 l u + 2 a 2 2 v ( 雩+ 醒) d z t z l n d 。一如z 1 霹d z ( r 十p ”v t ) f + ( q 。毗+ q 。毗) g d x 阻 ( 2 a 1 1 u + o t l 2 v ) + ( n 1 2 札十q 2 1t j ) u t 仉+ ( 0 2 l “+ 2 n 2 2 t j ) a d z u ( 2 乜l l “+ n 1 2 ) + ( a i n u + a 2 l u ) “砘十( 0 2 l u + 2 a 2 2 ) 谚】0 三2 d 旦r z l ( 瑶+ 谚) d x - d j ( 0 1 ( “；+ 拙 + 1 【( 只毗+ r 仉) f + ( q 。毗+ q 。仇) g 】d z i v - i 自y o u n g 不等式： z 1 r 毗f d 。丢z 1 焉f 2 d x + ；z 1 砰d z 1 r v t f d x 去上1 碍f 2 d x + ；z 1 ” d z oq u u t g d x _ 去z 1 q ：g 2 d x + i 脂出 小吨饲z i 0 1 q ：g 2 d x + 貉硒 堙f 2 = ( d 1 + 2 a u u + a 1 2 u ) 2 ( 札一扎) 一 ( ) ) 2 ( k 2 u 2 + 如u 2 + k 2 ) ( k 3 u 4 + k 3 4 + b ) ( k 4 u 8 + k 4 v 8 + k 4 ) d l l z z 1 | + 一 4 带交叉扩散项h a s s e u 厌食模型 碍f 2 = ( a 1 2 “) 2 ( u ( 女一u ) 一u 毋( u ) ) 2 则 又因为 及 ( o 毳曲2 ( k a u 4 + k 3 t , 4 + 乜) ( k 5 u 8 + 5 u 8 + k 5 ) q i g 2 = ( 0 1 2 1 y ) 2 ( 一q ( ) u + c 咖( u ) u ) 2 o ；l u 2xk 6 2 s ( k t u s + k 7 u 8 + 7 ) q ：g 2 = ( d 2 + 2 乜2 l + n 2 2 u ) 2 ( 一口( 1 0 u + c 砂( “) t ，) 2 ( k s u 2 + 蚝t ，2 + 地) k 6 v 2 ( k g u 8 + k 9 t j 8 + k 9 ) z 1 r u t f d z _ 篓z 1 ( “8 + ”8 ，d z + ；z 1 “ d z 十t - 。 z 1 只嘶f d z 龛z 1 ( u 8 + v 8 ) d z + ；z 1 d z + e ， z 1 q , 。u c g d x _ 筹z 1c u s + v 8 ) d z + ；z 1 u d z + e ： z 1 q v v t g d x _ 龛z 1 ( u 8 + v 8 ) d z + ；z 1 “ d z + h s 一“ d z = 一( 只。+ f ) 2 d x j oj o 1 = 一j o ( 只之+ f 2 + 2 r z f ) d z s z 1 壤虮序蚺z 1 ( 2 f 2 + 炉1 p ) 2 ) d z s 一；z 1 穗蚺0 1 内。 z 1 ” d 。= 一z 1 ( q 。+ g ) 2 d z = 一z 1 ( 畦+ g 2 + 2 q 。g ) d z 4 带交叉扩散项的h a s s e l l 厌食模型 这样由 得到： 这里若取e = g 则上式又等于： 由 由推论4 1 知 一z 1 q 笔d z z ! g 2 d x + f 0 1 ( 。g 。+ ；( q 。) 2 ) d z s 一；z 1 醒。d 。+ 0 1 g 2 d z z 1 咖z 一；z 1 吃0 1 内第 一z 1 w d z 一i i 0 1 q ：。d z + 0 1 g 。d z 1 ( f 2 + g 2 ) d x k l a z 0 1 ( u 8 + v 8 ) d z + h ；“( 瑶+ q 2 ) d x _ - 弘1 叫未z 1 ( 壤+ 蚴2 d 。 + 1 5 ( “8 + v 8 ) d x 十自1 5 j o ；未z 1 ( 瑶+ 识胁s 一；未z 1 ( 吃+ 吲2 出 岫5 0 ( “8 + v s ) d - z 岫5 l p n l l 钍2 ，q 0 2 2 削2 t s 1 ( u 8 + v 8 ) d x k 1 6 2 0 1 ( p 4 + q 4 ) d z z o i p 4 d x _ c i p i 铭瑶d x + c lp 悖 r l q 4 d z g i q f i o oqbjoj o z + g i q i 一z 1 瑶d x g lp i 一研c ( 0 1 删 一f o q ：x d xq i i 一c - 1z 1 联叫 一 q i i 一( 5 1 联叫 2 1 4 带交叉扩散的h a s s e l 恹食模型 ；未z 1 ( 焉+ 珑m 0 ，使得 当h ，) 时： z 1 啦 蚝 1 q ：d x 如，( 3 5 ) ( v = u x i = a - 1 一 从此方程组中解出“。，”。并写成分数形式，取绝对值将分母逐项分配于分子并 放大所在项，可知i 。i + i l c ( i p , 1 + i q 。i ) ，( z ，) n 【0 ，o 。) 成立，其中c r 是仅依赖 于也，c t i j ( i ，j = 1 ，2 ) 的正常数 因此存在两个与初值无关而与d i ，( i ，j = 1 ，2 ) 有关的正数舰， r 4 使得当t ( 矗，o 。) 时： z 1 拙 尬，z 1 谴如 帆， ( 3 6 ) 由嵌入定理及a m a n n 的文p l o 】中的结论知整体解的存在唯一性 一 参考文献 1 】h a s s e l lm pm u t u a li n t e r f e r e n c eb e t w e e ns e a c h i n gi n s e c tp a r a s i t e s ，j a n i me c o l ，1 9 7 1 ， 4 1 ，4 7 3 4 8 6 ( 2 】r o g e r sd j ，h a s s e l lm p g e n e r a lm o d e l sf o ri n s e c tp a r a s i t ea n dp r e d a t