（应用数学专业论文）微分方程边值问题确切解研究.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 微分方程边值问题在数学、物理、经济等方面都有着广泛的应用，本文主要就两类不 同类型的边值问题确切解存在情况展开讨论 全文共分四个章节： 第一章绪论：主要介绍了该课题的提出背景、国内外研究现状等； 第二章二阶n e u m 锄边值问题的确切解：通过首先给出的微分边值问题解完全可比 较的定义，运用非线性分析中的上下解方法和比较定理等详细讨论了形如 l z “p ) + ( 文，) ) = 五o ) ，0 t l 【x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 的二阶n e u m a i l l l 边值问题的确切多解存在条件，对八工( f ) ) 满足一定的条件时分别对确 切唯一解、两解及完全可比较确切三解的情况给出了详细证明，并给出了相应的例子来作 为我们主要结果的应用 第三章一类四阶隐式微分方程边值问题解的唯一性：运用著名的b a n a c h 压缩映象原 理，来具体给出了一类四阶隐式微分方程边值问题 i 厂( f ，“( f ) ，“。( f ) ，“4 ( f ) ) = 0( 1 ) i “( o ) = u o ) = “”( o ) = 1 ( 1 ) = 0 ( 2 ) 的确切唯一解的存在条件本章主要借助研e e i l 函数把微分方程转变为相对应的积分方程， 通过验证积分算子满足压缩映射的相关条件，从而证明了四阶隐式微分方程边值问题的确 切唯一解，并用迭代的方法给出了该唯一解的具体求法 第四章论文的发展和展望 关键词：n 蚴a l l l l 边值问题；上下解方法；确切解；四阶隐式方程；压缩映象原理 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nm a t h e m a t i c - s ，p h y s i c s ，e c o n o m i c sa n d s oo n i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e r e do ft h ee x a c ts o l u t i o n sf o rt w o d i f f e r e n tk i n d so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s ： c h a p t e ri ，i n t r o d u c t i o n ：t h i sc h a p t e ri sm a i n l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n dt h er e s e a r c h s i t u a t i o no f t h et o p i c si no u rc o u n t r ya n da b r o a d c h a p t e ri i ，t h ee x a c ts o l u t i o n so ft h es e c o n d - o r d e rn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： t h r o u g ht h ed e f i n i t i o no ft h et o t a lc o m p a r a b l ew h i c hw eg i v ef o rt h ef i r s tt i m ea n db a s e d0 1 1t h e u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o d s ，t h ec o m p a r i s o nt h e o r e me t c ，w ea r ec o n c e r n e d w i t ht h e c o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gs e c o n d - o r d e rn e u m a n n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ix 。( f ) + 厂( 妖f ) ) = | i l o ) ，0 t 1 【 x 。( o ) = z 。( 1 ) = 0 u n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n so f f ( x ( t ) ) ，w eg i v et h ed e t a i l e dp r o o fo fe x i s t e n c eo ft h eu n i q u e s o l u t i o n , t w os o l u t i o n sa n dt h et h r e et o t a lc o m p a r a b l es o l u t i o n s w h a t sm o r ew ea l s og i v ea l l e x a m p l ea sa p p l i c a t i o n so fo u r r e s u l t s c h a p t e ri i i ，t h ee x i s t e n c eo ft h eu n i q u es o l u t i o nf o ra 鼬n d o ff o u r t h - o r d e ri m p l i c i t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ：t h ef a m o u sp r i n c i p l eo fc o n t r a c t i o nm a p p i n gi nb a n a c hs p a c e si s e m p l o y e dt oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo ft h eu n i q u es o l u t i o nf o ra k i n do ff o u r t h - o r d e ri m p l i c i t d i f f e r e n t i a le q u a t i o na st h ef o l l o w i n g i 厂( f ，“( f ) ，“。( f ) ，”h ( f ) ) = 0 ( 1 ) i 甜( o ) = u o ) = ”( o ) = “( 1 ) = 0 ( 2 ) i nt h ep a p e r , w em a i nt r a n s f o r mt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t ot h ei n t e g r a le q u a t i o nt h r o u g ht h e g r e e nf u n c t i o n , t h e nw ec o u l dp r o o ft h ei n t e g r a lo p e r a t o rw h i c hw ei n d u c t e ds u i t t ot h e c o n d i t i o n so ft h ec o n t r a c t i o nm a p p i n g , t h u sw ec o m p l e t et h ep r o o fo ft h ee x i s t e n c eo ft h e u n i q u es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e ma n dw ea l s og i v et h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m o ft h es o l u t i o n c h a p t e ri v ，t h ed e v e l o p m e n ta n do u t l o o ko ft h ep a p e r k e yw o r d s ：n e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o d s ；e x a c t s o l u t i o n s ；f o u r t h - o r d e ri m p l i c i td i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；t h ep r i n c i p l eo fc o n t r a c t i o nm a p p i n g 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：日期： 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行 检索和对外服务。 论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 1 1 问题的提出 第一章绪论 常微分方程边值问题就是求一个方程的非平凡解，使之在某一区间 a ，b 】上有定义并 在区间端点a , b 满足某些附加条件或边界条件的问题它是微分方程研究中的一个基本问 题，因此相关的理论可以追溯到牛顿和莱布尼茨建立微积分学的最初阶段，而就在微积分 创建和发展的日子里，瑞士数学家雅克贝努利在1 6 9 0 年提出了著名的悬链线问题 1 ：一 根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点a ( a ，口) ，b ( b ，) ，求绳子在重力作用下形成的 曲线方程，第二年莱布尼茨给出了问题的解答，这里所建立的微分方程的定解条件为 y ( a ) = 口，y ( b ) = 这就是一个两点边值问题的早期例子，而就在1 6 9 6 年雅克贝努利的弟 弟约翰贝努利又提出了最速降线问题，这也是微分方程边值问题的一个早期例子 1 8 世纪中叶，由于贝努利兄弟、欧拉和拉格朗日等的卓越工作，在一阶及高阶微分 方程的研究上都取得了重大进展，这也使得常微分方程成为了一个新的数学分支 1 9 世纪初，傅立叶用分离变量法求解热传导问题导出了二阶常微分方程两点边值问 题： j 。( 功+ 触2 矽( z ) = 0 ( 其中五是参数) ， l ( o ) = ( z ) 由于上述边值问题的解是否存在与名的取值有关，从而导出了特征值的概念 从1 9 世纪3 0 年代起法国巴黎大学斯图姆( s t u r m ) 和法兰西学院刘维尔( l i o u v i l l e ) 共同研究二阶常微分方程的两点边值问题，他们将二阶线性微分方程化为： ( p ( f ) x o ) ) + a g o ) x ( f ) = o ，其d p p ( t ) ，q ( t ) 0t ( 口，6 ) ， 边界条件的一般形式为：x 0 ) 一a x ( a ) = x 。( 6 ) + 肛( 6 ) = 0 ，口，0 称为s t u r m l i o u v i l l e 问题这也是微分方程边值问题研究中一个里程碑式的成果，时至今 日我们所讨论的边值问题中也绝大部分来源于s t u r r n l i o u v i l l e 问题的某种特殊形式 对于给出的方程：“”( f ) = f ( t ，“( f ) ，u ( f ) ) ，t ( o ，1 ) 其中边值条件的特殊情况主要可分为以下四种 3 7 ： d i r i c h l e t 边值条件：u ( o ) = o ，u o ) = 0 ； r o b i n 边值条件：u ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 0 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 n e u m a n n 边值条件：“( o ) = o ，“( 1 ) = 0 周期边值条件：u ( o ) = u o ) ，u ( o ) = “( 1 ) 2 0 世纪以来泛函分析和非线性分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基 础事实上常微分运算和积分运算的共同特征是，它们作用到一个函数后都会得出新的函 数，可以将这些运算统一抽象为算子运算，一般是通过讨论算子所具有某些性质时相应的 微分方程边值问题解的存在性3 0 年代中期法国数学家l e r a y 和s c h a u d e r 建立了 l e r a y - s c h a u d e r 拓扑度理论，他们的方法在用于研究微分方程边值问题时取得了巨大成 功，从而形成了常微分方程边值问题研究的拓扑方法和非线性分析方法，其核心就是各类 不动点的建立和应用 在泛函分析理论以及各类实际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近半个多 世纪里发展十分迅速越来越多的学者投入到了微分方程边值问题的研究领域，也得出许 多很好的结果然而纵观起来，我们发现基于常微分方程边值问题的研究大都是针对于问 题解的存在性展开讨论的，而对于解的具体存在个数的相关研究则为数不多 本文就是在这样的背景下，详细讨论了两类微分边值问题的确切解存在情况，其中第 一部分主要是运用上下解方法具体讨论了二阶n e u m a n n 边值问题的确切多解( 包括一解、 两解及完全可比较三解) 的存在性条件，并给出了详细的证明；文章第二部分则主要采用 泛函分析中著名的压缩映象原理来给出了一类四阶隐式微分方程边值问题存在唯一解的 相关条件，并相应得给出了求得该唯一解的迭代解法 1 2 国内外研究现状 一般而言边值问题的解不一定存在，即使存在也不一定唯一，所以研究微分方程边值 问题( 特别是二阶微分方程边值问题) 解的存在性和多解性已经逐渐成为了非线性分析特 别是微分边值问题的重要内容，通过国内外学者的大量努力，在这一领域也得到了一些很 好的结果：p e d r oj t o r r e s 2 于0 3 年通过研究二阶线性周期边值问题 x 1 0 ) + 口( f ) x ( f ) = 0 ，工( 0 ) = z ( 丁) ，x ( 0 ) = x 。( d 的g r e e n 函数定号条件，给出了二阶周期边值问题 x 1 = f ( t ，力，x ( o ) = 工( d ，x 。( o ) = 工( n 定号周期解的存在性结果； a c a n a d a , j a m o n t e r oa n ds v i l l e g a s 于2 0 0 5 年给出了在共振情况下的l i a p u n o v 型不等式 和二阶n e u m a n n 边值问题： “1 ( 功+ f ( x ，“( x ) ) = 0 ，x ( 0 ，三) ，“( o ) = “。( ) = 0 解的存在性结果e 3 ；r o r t e g aa n dm e i r o n gz h a n g 于2 0 0 5 年给出了超线性方程： 武汉科技大学硕士学位论文 第3 页 叠。o ) + f 石( f ) i p = 厂( f ) + s ，多 l 周期解的相关结果 4 ；西安交通大学的陈红斌教授和烟台大学的程建纲教授等分别在 d u f f i n g 型方程： z 。o ) + c x o ) + 反x ( f ) 一x 3 ( f ) = 矗( f ) ，0 t 1 的确切周期解和含p l a p l a c e 算子的边值问题： y o ) j p - 2 y ( f ) ) + 矽( 少( f ”= 0 f ( 一1 ，1 ) 的确切解研究方面得到了比较好的结果见 5 ，6 ，7 ，8 ，1 6 ：而采用非线性分析中的上下解方 法、拓扑度理论等研究微分方程边值问题的确切解也逐渐成为了当前的热点问题：2 0 0 3 年孙建平、李万同等利用锥上的不动点定理，讨论了二阶n e u m a n n 边值问题： “。( f ) + 缸( f ) = f ( t ，“( f ) ) ，t ( 0 ，1 ) u 。( o ) = 。( 1 ) = 0 的多个正解存在性条件 3 2 4 0 ；前不久冯育强，通过上下解方法和比较定理具体给出了 一类二阶n c u m a n n 边值问题： x 。o ) + g ( x ( f ) ) = j i l ( f ) ，0 t - 1 ，x ( o ) = x ( 1 ) = o 的确切两解的存在性条件，并给出了详细证明 1 5 ；另外关于n e u m a n n 边值问题的研究 还可见 3 1 ，3 3 ，3 5 等本文第一部分就是受以上所得结论( 主要是文献 7 ，8 ，1 5 ) 的启发， 用上下解方法来具体讨论了一类二阶n e u m a n n 边值问题的确切三解存在条件 本文第二部分，主要探讨了经典的b a n a c h 压缩映象原理在证明一类四阶隐式微分方 程边值问题存在唯一解中的应用，并给出了相应的迭代算法和应用举例其中在 3 6 中， 作者讨论了一阶隐式微分边值闯题的迭代方法 1 3 论文的创新之处 本文首次提出了常微分方程边值问题的多个解完全可比较的定义，并给出了当非线性 项满足一定的增长性和凸凹性条件时，通过把所要讨论的微分方程边值问题转变为算子方 程，运用上下解方法给出了一类二阶n e u m a n n 边值问题的确切一解、二解及完全可比较 三解的存在性条件，这是在原有结果基础上的推广和创新； 针对一阶隐式微分方程初值问题或边值问题唯一解的存在性，有学者运用b a n a c h 压 缩映象原理或上下解方法等进行了一系列的讨论，在本文的第二部分我们则通过著名的 b a n a c h 压缩映象原理具体给出了一类四阶隐式微分方程边值问题解的存在唯一性，并用 迭代的方式给出了该唯一解的求法在这两部分的结尾部分分别给出了文章主要定理的应 用举例。 1 4 论文的内容安排 本文共包括四章内容 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 第一章：问题的提出背景和国内外研究现状等绪论的相关内容； 第二章：主要运用上下解方法讨论了一类二阶n e u m a n n 边值问题的确切一解、二解 及完全可比较三解的存在性条件，并给出了详细的证明过程和关于相应定理的实际应用的 例子； 第三章：主要运用经典的b a n a c h 压缩映象原理给出了一类四阶隐式微分方程边值问 题存在唯一解的条件，并相应的给出了迭代算法和定理的实际应用举例； 第四章：给出了本文所讨论相关课题的今后研究方向和亟待解决的难题； 文章最后安排的是参考文献和致谢内容，在最后一页附上了作者在攻读硕士研究生期 间的研究成果。 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 第二章二阶n e u m a n n 边值问题的确切解 2 1 引言 n e u m 锄边值问题在数学物理和生物数学、经济数学等交叉学科中都有着广泛的应 用背景；在研究波动方程、梁问题、流体力学、热传导问题以及多物种互助模型平衡解和 经济均衡点的存在性等问题时，经常会以研究n e u m 猢边值问题解的存在性作为核心步 骤。所以研究n 即m 锄边值问题解的存在性及确切解个数具有非常重要的理论意义和实 际价值。 本文主要考虑二阶n e u m 锄边值问题 jz ”( f ) + ( x o ) 亏 o ) ，o f 1 ( p ) iz ( o ) = 工( 1 ) = 0 的确切多解存在情况 这之前陈红斌教授 8 主要运用拓扑度理论讨论了形如 l x 。( f ) + “( f ) + 戤( f ) 一x 3 ( f ) = 五( f ) ，0 t l l x ( o ) = z ( 丁) ，x ( o ) = x ( z ) 的d u f f i n g 型方程的确切周期多解，并给出了相关的存在性结果；就在不久前冯育强博士 1 5 则主要运用上下解方法讨论了形如 l x 。o ) + g ( x ( f ) ) = o ) ，0 t 1 【 石( o ) = x ( 1 ) = 0 的n e u m 锄边值问题的确切两解的存在性，并给出了比较好的结果此外还有很多学者都 对二阶边值问题解的存在性等有着浓厚的兴趣，并取得了丰硕的成果这里我们主要对问 题( p ) 运用比较定理，上下解方法等给出其确切三解的存在性结果 首先我们注意到在问题( p ) 中，当函数厂( x ( f ) ) 是严格递减的即恒有f ( x ( f ) ) 0 时， 问题( p ) 只有唯一解，因此我们只对厂( x ( f ) ) 具有波动( 既有f ( 工( f ) ) 0 ) 的情况进行讨论在下面的讨论过程中，我们限定厂。( 缸f ) ) o ，v x ，y ，v u a ，当l x - y i 艿时恒有 i u ( x ) - u ( y ) i s ( 注：根据上述a r z e l a - a s c o l i 定理我们就知道，如果要证明c ( ，) 中算子的全连续性则可 以转变为证明算子的连续性和一致有界与等度连续性，这在算子全连续性的证明过程中是 一个比较常见而且有效的转化) 定理2 2 2 ( 比较定理) 2 0 ：设有两个齐次线性微分方程： f y 。+ p ( x ) j ，+ q ( 工) y = o ，( 1 ) 【y 。+ p ( x ) j ，+ 尺( 工) y = o ，( 2 ) 这里系数函数p ( x ) ，q ( 砷，r ( x ) 在区间，上是连续的，而且假设不等式 尺( 力q ( x ) ，oe - ，) 成立又设y = 妒o ) 是方程( 1 ) 的解，而且，x 2 是它的两个相邻零点， 则方程( 2 ) 的任何非平凡解y = y ( x ) 在，x 2 之间至少有一个零点x o ( 这里所说的在 毛，x 2 之间的含义为x o x l ，x 2 】) 作为预备知识最后给出的是h a m a n n 于1 9 7 6 年讨论的关于增算子的一个不动点定 理，这对文章主要定理的证明起到了非常重要的作用 定理2 2 3 ( 增算子不动点定理) 2 1 ：设 “，1 ，】是序b a n a c h 空间e 的非空序区间， 若：曲，川一e 是全连续的增算子，且满足”厂 ) ，f ( v ) 1 ，那么算子厂：m ，】一e 在 阻，v 】上至少有一个不动点 2 3 线性方程n e u m a n n 边值问题解的相关结果 对于线性方程： x 。o ) + ? o ) x ( f 亍 ( f ) ，o f l ( e ) 【 x ( o ) = x ( 1 ) = 0 首先考虑齐次方程的情形： 第8 页 武汉科技大学硕士学位论文 f x 。o ) + ? ( f ) x o ：= o ，o f 三1 ( e 1 ) i x ( o ) = x ( 1 ) = 0 、。 可以得出以下的相关结果： 引理2 3 i ：在问题( e 1 ) 中，如果p ( f ) 6 i o ，1 】，p ( f ) 7 2 且对于任意f 【0 ，1 】，p ( f ) 不恒等于万2 ，那么对于( e 1 ) 的任何非平凡解u ( t ) 0 ，都有对于v t 0 ，1 】，u ( t ) 0 ( 注：这就说明( e 1 ) 的任意非平凡解“( f ) 是定号的) 证明：首先我们可以断言当t = 0 或f = 1 时，“( f ) 0 ( 这是因为以“( o ) = “( o ) = 0 或 “( 1 ) = “。( 1 ) = o 作为初值条件时，问题( e 1 ) 只有平凡解，这与”( f ) 为非平凡解矛盾) 接下来用反证法证明：假设存在j o ，l 】满足“( s ) = 0 由于对任意f 0 ，l 】，p ( f ) 不恒等 于石2 ，那么存在区间使得p o ) 刀2 ，a l l 毛e o ，j 】与p ，l 】中必存在一个区间满足在此区间上 j f 使得p ( f ) 万2 ，不妨设这个区间为 0 ，s 】( 即在【o ，s _ j 2p ( t ) 不恒等于万2 ) 对于 j ，“。( f ) + p o ) “( f ) = 0 ，o f l ，( 1 ) 【 “。( o ) = “( s ) = 0 ( 2 ) 在( 1 ) 方程两边同时乘以u ( t ) ，然后在【o ，s 】积分有： 扣) “。( t ) d t + p ( t ) u 2 ( t ) d t = 0 即“o ) “( f ) ：一“2o ) 出+ p ( f ) “2 0 ) 出= o 那么我们可以得出： p ( f ) 出= f p ( t ) u 2 ( t ) d t f 万2 u 2 ( t ) d t = 万2 “2 ( f ) 协 同理在i s ，1 】进行讨论又有： p ( f ) 出万2f u 2 ( f ) a t 同时由w i r t i n g e r 不等式又可知： 丝f u 2 ( t ) d t 嘧 、2 s 武汉科技大学硕士学位论文 第9 页 而u ( t ) d t ( t ) d t c 南( 1 - s ，： f “2 2 ) 则有 ( 丢) 2 + ( 南) 2 2 矿 即 砉+ 高 8 ( 0 s 1 ) ，矛盾： 引理2 3 1 得证 引理2 3 z 1 5 ：设p l o ) ，p 2 0 ) q o ，1 】，rp f o ) 万2 ，i = 1 , 2 ( 即p 1 0 ) g l 2 ， p 2 ( f ) 刀2 ，且对于任意f o ，1 】，p l ( f ) ，p 2 ( f ) 不恒等于万2 ) ，若有p l ( f ) p 2 ( f ) ( 即p l ( f ) p 2 ( f ) 但a ( f ) 不恒等于p 2 ( f ) ) ，那么线性方程： 托芝纵霉。0 ( ，2 ) ( e 2 ) l 工。( o ) = 工( 1 ) = 0 、 一 不同时有非平凡解 证明：采用反证法证明假设“。( f ) ，u ：( f ) 分别为方程( e 2 ) 的非平凡解，则有 ”? 圯( 眇) = o ，( 3 ) ； 【甜l 【o ) 2 “l 【1 ) 20 k 2 。( f ) + p 2 ( t ) u 2 ( f ) = o ，( 4 ) iu 2 ( o ) = 2 ( 1 ) = o 由( 3 ) “2 ( f ) 一( 4 ) x u 。( f ) 而后在【0 ，l 】积分得： l ( “：( f ) “2 ( f ) 一“轴“( f ) + p 1 ( f ) “。( f ) “2 ( f ) 一p 2 ( f ) “，( f ) “2 ( f ) 渺= 0 即f ( p 。( f ) 一p ：( f ) ) “。( f ) “：( f ) 渺= 0 ，矛盾! ( 这是因为( f ) ，“2 ( f ) 分别为方程( e 2 ) 的非平凡解，则由引理2 3 1 知 v t o ，l 】，“l ( f ) 0 , u 2 ( f ) 0 ，那么v t 0 ，1 】，“l ( f 如2 ( f ) 0 ，同时又由p l ( f ) p 2 ( f ) ，可以 得出f ( p l ( f ) 一p 2 ( f ) ) 甜l ( f ) “2 ( f ) 渺0 ) 第l o 页武汉科技大学硕士学位论文 推论2 3 1 ：如果万2 p ( f ) o ( p ( f ) o ) ，te 0 ，1 】但又不恒为0 ，则齐次线性方程 j x 。( f ) + p ( t ) x ( t ) = 0 【x 。( o ) = x ( 1 ) = 0 无非平凡解 ( 在引理2 3 2 中可取p i ( f ) 奎o ( p 1 ( f ) = p ( f ) ) ，p 2 0 ) = p ( f ) ( p 2 0 ) = o ) ，因为 ix 。( f ) = 0 k ( 0 ) = 工( 1 ) = 0 必有非平凡解( 其中非零常数解即为非平凡解) ，所以 l 工。( f ) + p ( t ) x ( t ) = 0 【x ( o ) = 石( 1 ) = 0 2 4 二阶n e u m a n n 边值问题解的个数估计 引理2 4 1 1 5 ：在问题( p ) 中，如果f ( x ( f ) ) 万2 ，那么对于( p ) 的任意两个非平 凡解“l ( f ) ，u 2 ( f ) 都有对v f 【o ，1 】，u l ( t ) - - u 2 ( f ) 0 证明：对( p ) 的任意两个非平凡解“l ( f ) ，u 2 ( f ) ，即证“l ( f ) u 2 ( f ) ，v t o ，1 】 由于甜l ( f ) ，u 2 ( f ) 分别满足 ”( f ) + 厂( “( f ) ) = l ( f ) ，( 5 ) 【“l ( o ) = “l ( 1 ) = 0 j ”2 。( f ) + ( “2 ( f ) ) = j i l ( f ) ，( 6 ) 【“2 ( 0 ) = “2 ( 1 ) = 0 由( 5 ) 一( 6 ) 如果令v ( t ) = 1 11 ( t ) - u 2 ( f ) ，那么y ( f ) 是问题 i x 。( f ) + p ( t ) x ( t ) = 0 【x ( o ) = z ( 1 ) = 0 的非平凡解， 其中 加，- 瓮u i ( t ) - 秽u 篙甍2 p ( f ) = ：( f ) 一：一一，： 【( “( f ) ) ， 1 v 72 v 7 武汉科技大学硕士学位论文第1 l 页 由厂( 工( ) ) c 1 ( 尺) ，f ( x ( f ) ) 万2 ，x ( f ) r 知道p ( f ) 连续且p ( f ) 万2 ，则根据引理 2 3 1 可知：u 1 ( t ) - u 2 ( f ) o , v t 【o ，1 1 ，引理2 4 1 得证 定理2 4 1 1 5 ：在问题( p ) 中若f ( x c t ) ) c 1 ( r ) ，f ( x ( f ) ) 万2 ，x ( f ) r 且厂( x ( f ) ) 严格单调递增，则问题( p ) 至多有两个解 证明：由引理2 4 1 我们知道，如果厂( 石( ，) ) c 1 ( 尺) ，f ( “，” 刀2 ，x ( t ) r ，那么 问题( p ) 的任意两个不同解都是可比较的( 即两个解有序的关系) 接下来我们就主要运用引理2 4 1 的结果，采用反证法进行定理2 4 1 的证明： 假设1 0 3 题( p ) 有三个不同的解”。( f ) ，材2 ( 吐u 3 ( f ) ，由引理2 4 1 我们不妨设 “io ) 砧2 ( f ) u 3 ( f ) ，v t 【0 , 1 】，那么m ( t ) = 材2 ( f ) 一甜l ( f ) 是问题： 托：) 旭( 粤f ) _ o ，o t l 【工。( o ) = x ( 1 ) = 0 的非平凡解， 其中 p 。= 笔u 筹t 铲t ，l 一“，ij 同理v 2 ( f ) = ”3 ( f ) - - u 2 ( f ) 是问题 j x 。( ：) + p z ( ：) 工( f ) = o ，o f 1 l 工( o ) = 石( 1 ) = 0 的非平凡解， 其中 p ：= 笔箬茅 “，i f l 一材i f l 同时又注意n - 厂( x ( f ) ) c 1 ( r ) ，f ( x ( f ) ) 万2 ，x ( f ) r 且厂( z ( f ) ) 严格单调递增，那 么我们有：p l ( f ) ，p 2 ( f ) q o ，1 1 ，hp l ( f ) p 2 ( f ) 万2 ，那么由引理2 3 2 必有h ( f ) 兰0 或 v 2 ( f ) 量0 ，v t o ，1 】 这与( f ) ，v 2 ( t ) 都为非平凡解矛盾 所以当厂( x ( f ) ) 满足一定条件时，问题( p ) 最多有两个解，定理2 4 1 得证 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 运用同样的方法进行，我们可以得到定理2 4 2 定理2 4 2 ：在问题( p ) 中若( x ( f ) ) c 1 ( 尺) ，f o ( f ) ) 万2 ，x ( f ) r 且( x ( f ) ) 严格 单调递减，那么问题( p ) 至多有两个解 接下来我们具体讨论问题( p ) 的确切解个数，在上述引理和定理的基础上，本文分 别给出了问题( p ) 分别存在确切一解，两解及三解的存在性条件，并给出了相应的证明， 这也是文章的主要部分 2 5 二阶n e u m a n n 边值问题的确切解个数 定理2 5 1 ：对于二阶n e u m a n n 边值问题 jx 。( ? + 厂( x ? ) ) = j l l o ) ，0 t l ( p ) i x ( o ) = 工( 1 ) = 0 其中厂( z ( f ) ) c 1 俾) ，h ( t ) q o ，1 】如果存在甜使得 ( 1 ) 0 h i 或 ( f ) h 2 时，问题( p ) 有且仅有一个解； ( 2 ) ：当i l o ) 量h a y d f t , h ( t ) 奎h 2 时，问题( p ) 恰有两个解： ( 3 ) ：当j i l i j i l ( f ) h 2 时，问题( p ) 恰有三个完全可比较的解 在定理2 5 1 的证明之前，我们先给出下面的相关定理和引理， 首先给出的是关于问题( p ) 的完全可比较解存在个数估计的： 定理2 5 2 1 7 ：在问题( p ) 中，如果厂( x ( f ) ) c 1 ( 灭) ，j i l ( 力c o ，l 】，如果存在“使得： ( 1 ) o 八小等： ( 2 ) ：六( x ( f ) ) 在( 哪，“) 上严格单调递增，在 ，帕) 上严格单调递减； 那么问题( p ) 至多有三个完全可比较的解 证明：采用反证法，假设问题( p ) 有四个完全可比较解v 。，v ：，v 3 ，v 。，不失一般性我 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 f f j v l ( t ) 吃( j ) ，3 ( ，) v 4 ( p ) 对v f ，j ，p 【0 ，l 】成立， 那么q = ，f + l - - v ! ，i = 1 , 2 ，3 是齐次线性边值问题 p 端至紫g 户啦 【 z ( 0 ) = 工( 1 ) = o pb 。 的非平凡解， 这里只o ) = f ( o ) 一+ lo ) + ( 1 一五o ) ) u o ) ) ，其中丑c ( o ，1 】， o ，1 】) ，i = 1 , 2 ，3 又因为六( x ( f ) ) 在( 棚，“。) 上严格单调递增，在( “，佃) 上严格单调递减； 那么必有觑，p j ，1 f j 3 满f f zp i p ， 0 ，那么二阶n e u m a n n 边值问题： 端翟挚0 t l 有唯一解：x ( f ) = f g l ( f ，s ) o ) a s ，其中g r e e n 函数 g l ( f ，j ) = c o s h ( 1 ( 1 - t ) ) c o s h ( 1 s ) 嫡n h ， ；? sg 1 ，这里z ：厄 c o s h ( 1 ( 1 一s ) ) c o s h ( 1 t ) ：0 t s 1 一 “ l s i n h l 引理2 5 2 3 2 ：设j j l ( f ) q o ，1 ，o k 等，那么二阶n e u m 锄边值问题： ? ) + 戤咿坼) ，o t o , i = 1 , 2 ，这也就说 明当h ( t ) 0 时有x ( t ) 0 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 t 注2 ：对于引理2 5 1 和引理2 5 2 的证明，我们可以通过考虑特征值问题： 托卅缸? ) 瑚( ， 厂( ( f ) ) 一 ( f ) ，o f 1 ； 【v l ( 0 ) = ，t ( 1 ) = 0 一，2 擘) 厂( v ? ( ) ) 一 o ) ，o f 1 【1 ，2 ( o ) = 1 ：2 ( 1 ) = 0 或等价于： 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 一h o ) + l v l ( j ) 厂( v f l o ) ) + v - ( f ) 一j i l ( ，ost l 【，l ( o ) = 1 ，l ( 1 ) = 0 j 一1 ，2o ) + l v 2 ( j ) 厂( v ? ( ) ) + l v 2 ( f ) 一j i l o ) ，o f l 【1 ，2 ( o ) = ，2 ( 1 )