（工程力学专业论文）蠕变地层套管的载荷分析.pdf

蠕变地层套管的载荷分析 摘要 王力军 工程力学 指导教师 于永南教授 论文研究了均匀地应力和非均匀地应力条件下蠕变地层套管载荷 的解析解问题 明确给出了均匀地应力和非均匀地应力条件下地层蠕 交引起的套管附加载荷的解析解 地层蠕变效应是引起套管大量损坏 的主要原因之一 因此 地层蠕变引起套管附加载荷的研究显得尤其 重要 对于均匀地应力条件下蠕变地层套管载荷的解析解前人大都采 用位移法求解 而本文运用弹性力学和粘弹性力学的知识 采用应力 函数的方法解出了与位移法相同的结果 从而证明了均匀地应力条件 下蠕变地层套管载荷的解析解的正确性 在非均匀地应力条件下 如 何计算蠕变地层作用于套管上的最终稳定载荷 这是一个很难解决的 课题 本文将套管看成弹性体 把地层视为无穷大的粘弹性体 建立 了非均匀地应力条件下蠕变地层的开尔文模型本构方程 运用半逆解 法和拉普拉斯变换法 解出了非均匀地应力条件下蠕变地层套管载荷 的解析解 研究了非均匀地应力下蠕变地层中套管载荷的分布规律 结果表明 当套管刚度较大时 经过足够长的时间 套管载荷趋于一 个稳定的最大载荷分布 且其值接近于完全弹性解 本结论对蠕变地 层中套管的选用有重要的参考价值 关键词 蠕变地层 套管载荷 均匀地应力 非均匀地应力 力学模型 s t u d yo i lc a s i n gl o a d si nc r e e ps t r a t u m w a n g l i j u n e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s d i r e c t e db yp r o f e s s o ry uy 0 n n 卸 a b s t r a c t c a s i n gl o a d s i nc r e e ps t r a t u mu n d e ru n i f o r mi n s i t us t r e s s e sa n d n o n u n i f o r mi n s i t us t r e s s e sa r es t u d i e di nt h i sp a p e r i ti so n eo ft h em a i n f a c t o r st od a m a g ec a s i n g s s t r e s sm e t h o di se m p l o y e dt oa n a l y z et h ec a s i n g l o a d sw i t hu n i f o mi n s i t us t r e s s e si nt h ec r e e pf o r m a t i o n sa n dt h er e s u l ti s p r o v e db yd i 印l a c e m e n tm e t h o d i ti sv e r yh a r dt oc a l c u l a t et h ef i n a l l y s t e a d ye a s i n gl o a d su n d e rn o n u n i f o r mi n s i t us t r e s s e si nc r e e ps t r a t u m t h e c a s i n gi s t a k e na st h ee l a s t i cf o u n d a t i o na n dt h es t r a t u ma si n f i n i t e v i s c o e l a s t i cf o u n d a t i o n t h e nak e l v i nm o d e li sb u i l tt oa n a l y z et h ec a s i n g l o a d su n d e rn o n u n i f o r mi n s i t us t r e s s e si nc r e e ps t r a t u m b ys t r e s s e s m e t h o d sa n dl a p l a c et r a n s f o r mm e t h o d st h ed i s t r i b u t i o nr u l e so fc a s i n g l o a d sa r es t u d i e du n d e rn o n u n i f o r mi n s i t us t r e s s e si nc r e e ps t r a t u m a n d b a s e do nt h ev i s c o e l a s t i ct h e o r y t h ef o r m u l a st oc a l c u l a t ee a s i n gs t r e s s e s a 托o b t a i n e d t h er e s u l t ss h o wt h a ti ft h es t i f f n e s sr a t i oi sb i ge n o u g h t h e c a s i n gl o a d sw i l lg ot oas t a b l ea n dm a x i m a ll o a d sd i s t r i b u t i o n a n dt h e v a l u ew i l l 印p r o a c ht h ee l a s t i cs o l u t i o nw i t hs u f f i c i e n tt i m ed u r a t i o n t h e c o n c l u s i o ni sv a l u a b l et ot h es e l e c t i o no f c a s i n gu s e di nc r e e ps t r a t u m k e yw o r d s c r e e ps t r a t u m c a s i n g1 0 a d u n i f o r mi n s i t us t r e s s e s n o n u n i f o r mi n s i t us t r e s s e s m e c h a n i c a lm o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得 中国石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名 王左圣弦盯年 月印日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有权保留送交论文的复印件及电子版 允许论文被查阅和借阅 学校可以公布论文的全部或部分内容 可以采用影印 缩印或其他复 制手段保存论文 保密论文在解密后应遵守此规定 学生签名 圣查墅加叮年6月争日 导师签名 毒唪 年 月年日 中国石油大学 华东 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 油气井投产后 由于各种原因导致的地层蠕变效应 会产生一个 作用在套管壁上的附加外压力 该压力值远大于套管初期设计的地层 流体压力 这是引起套管大量损坏的主要原因之一 解决问题的方法之 一是在套管强度设计时预先考虑这个地层蠕变引起的附加外压力 含 岩盐 泥岩和页岩的地层 在远场地应力作用下 可以产生蠕变变形 地层的应变随时间而变化 从而使井眼不断收缩 在完井后 套管抵 抗井眼收缩而受到不断增加的压力作用 在时间充分长之后 这个压 力趋于稳定 称这个稳定压力为套管的蠕变载荷 人们已经对一般地 层套管载荷和蠕变地层的套管载荷进行了大量的分析研究 包括数值 模拟和试验研究 数值模拟的内容涉及套管水泥环组合体分析 挤压 分析 非均匀地应力作用等 由于对套管损坏的研究还不够系统和深入 在指导和解决油田的 套损防治问题上 远远不能满足油田的急需 目前还没有十分有效的 措施来预防和减缓套管井的损坏 对套损的研究仍有许多细致的研究 工作要做 特别是在蠕变地层非均匀地应力对套管挤压作用方面需要 一种新的研究思路和具有理论研究意义的尝试 对套管损坏的研究是 一项综合性的研究 它涉及到钻井工程 套管柱设计 固井作业 采 油措施 井下作业等 它所涉及的学科领域包括材料力学 岩石力学 渗流力学 粘弹性力学等 研究的内容包括大量现场数据的统计分析 泥岩力学性质和管柱力学的试验研究 力学模型的研究 水泥石和套 管力学性能的研究等 加强套管损坏的理论研究具有非常重要的理论 意义 套损机理的综合研究对制定钻井工程 套管柱设计 固井作业 中国石油大学 华东 硕士论文第1 章前言 开发方案和采油措施具有重要的理论指导意义 由于套管损坏需要经 过一定的过程 套管所受的外挤力是多种因素联合作用的结果 要达 到完全控制外挤力也需要一个过程 这将决定开展这项研究渐进性和 持续性 开展本课题的研究 是为以后的进一步研究打下坚实的基础 并找到一种新的解决套损问题的途径 我国油田大规模开发较晚 套管损坏至7 0 年中期才开始变得突出 国内学者才在借鉴国外的理论和经验基础上开始对套管破坏机理进行 理论探索 至8 0 年代初期龚伟安教授及郝俊芳教授已做了基础理论研 究 8 0 年代中后期 窦益华 李子丰 宋治等学者开始针对我国的套 管损坏进行了统计分析和机理研究 同时 黄荣樽教授 周祖辉 邓 金根等学者 运用岩石流变学理论 对岩盐 泥岩等地层流变损坏套 管机理进行模拟实验研究 他们通过大量的试验结果 建立了泥页岩 岩盐的蠕变模式 开创了将地层条件引入套管损坏机理研究的先河 殷有泉 李志明等人对均匀地应力下蠕变地层圆形截面套管载荷 作了较为完备的研究 提出在一般的应力状态下 设岩石的蠕变性质 可用开尔文模型描述 求出了岩石蠕变的本构方程 通过拉普拉斯变 换 求解此微分方程 解出了套管位移随时间变化的解析解 并得出 了岩石作用于套管上的载荷p 的解析解 在非均匀地应力条件下 他 们认为即使最简单的流变模型也没有理论解 需要采用数值方法 此 时套管的蠕变载荷为非均匀载荷 且在非均匀地应力条件下 蠕变地 层中套管载荷分布不但与应力比有关 而且与刚度比有关 套管载荷 分布规律与现有结论相反 于永南等教授在 多层组合套管特性分析 中通过引入柔度系数 的概念 给出了任意多层组合套管压力传递系数的规准表达形式 同时 中国石油大学 华东 硕士论文第1 章前言 假设地层为粘弹性的 导出了多层组合套管的地层蠕变附加载荷计算 公式 分析了双层组合套管的各尺寸对套管抗挤能力的影晌 研究了套 管层数与套管抗挤能力的关系 数值计算结果表明 尽管随着套管的层 数增加地层的蠕变载荷增大 但是内管所承担的最大蠕变载荷仍将单 调下降 不论是单层套管还是多层套管 地层进水后都将增大其危险 性 文中所提供压力传递系数和粘弹性地层蠕变附加荷载计算公式是 非常独特的创新 闫相祯等教授在 泥岩蠕变导致套管变形损坏机理分析 中研究 认为 油田注水开发以后 泥岩吸水蠕变使非均匀地应力作用于水泥 环和套管 通过对泥岩吸水蠕变以后 在远场地应力作用下 对水泥 环与地层接触的第二界面和水泥环与套管接触的第一界面压力的数值 仿真分析 提出了泥岩吸水蠕变诱发地应力在井眼周围产生应力集中 迫使水泥环和套管在最大水平地应力方向产生椭圆形缩径变形 是造 成套管变形损坏的直接原因 而且水泥环与套管接触的第一界面的椭 圆形外压力分布规律与水平地应力方向 套管变形趋势相反 说明水 泥环在套管抵抗非均布外载中起到改变受力边界条件的作用 章根德 刘存林等人通过试验方法得到了大港油田地下围岩的蠕 变本构方程 其试验方法值得参考 房军等教授在 非均匀地应力作用下套管与水泥环的受力分析 中 以地层 水泥环 套管组合系统为研究对象 以弹性力学为 基础 对套管及水泥环在理想状况下受非均匀地应力和均匀内压共同 作用时的受载特性进行了分析 并依据不同的接触条件推导出相应的 线性代数方程组 借助于计算机计算出不同地应力作用下套管 水泥 环内部应力及表面受力分布 房军 谷玉洪 米丰珍等在已有的理论研究与试验工作的基础上 中国石油大学 华东 硕士论文第1 章前言 采用有限元数值方法 分析计算了受非均匀地应力作用下套管 水 泥环结构的受力与变形 讨论了两个敏感参数 非均匀载荷比和套 管椭圆度对套管失效的影响问题 计算分析发现 随地应力非均匀程 度的增加 套管形变经历了由两向挤压 挤压到两向拉伸 挤压 组合方式的转变 而套管应力的变化相对较小 由此可得出初步结论 与非均匀地应力作用相对应的套管结构的拉伸 挤压形变 有可能 是导致套管失效的主要机制 套管椭圆度的存在使得套管的强度和刚 度被进一步的削弱 本课题拟采取的理论工具 研究方法 技术路线 1 通过查阅有关文献得到在 般的应力状态下 岩石的蠕变可 以用开尔文模型描述 寻求完善其在非均匀地应力条件下的本构方程 2 运用弹性力学 粘弹性力学知识 寻求均匀与非均匀地应力 蠕变地层中套管模型的初始边界条件 并简化边界条件 3 位移法求解均匀地应力蠕变地层中套管载荷的解析解 用应力法尝试重新求解它的解析解 4 对于非均匀运地应力的情况 用逆解法或半逆解法 通过拉 普拉斯变换理论 将设出的应力函数及初始边界条件变换到拉氏空间 通过平衡方程 几何方程 开尔文模型本构方程以及变形协调方程等 寻求应力函数在拉氏空间的解析解 再运用拉氏逆变换求得应力函数 的解析解 论文参考的文献资料将在参考文献中标明 使用的符号 计算公 式等都会给出相应的说明 中国石油大学 华东 硕士论文第2 章地层套管的蠕变载荷分析模型 第2 章地层套管的蠕变载荷分析模型 2 1 套管受力模型及其简化 地层中一定深处的套管 其纵向变形受到限制 如不考虑外载 地 应力 沿纵向的变化 则可将此问题处理成平面应变问题加以分析 如图2 1 和图2 2 所示的简化模型 图2 1 套管在粘弹性岩层中的实体模型 其在平面应变情况下的简化模型如图2 2 所示 咖为最大水平地应力 p a a 为最小水平地应力 p a 当瞻 嘲时为均匀地应力情况的简化 模型 0 咖时即为非均匀地应力情况的简化模型 其在平面应变情 况下的简化模型如图2 2 所示 中国石油大学 华东 硕十论文第2 章地层套管的蠕变载荷分析模型 口厅 上 1 i 套管 i 口 地层 图2 2 套管的平面应变情况下的简化模型 2 2 地层蠕变的一维开尔文模型 对于地层的蠕变问题 大地可以看作无穷大的粘弹性体 采用开 尔文模型 进行平面应变简化计算 其一维开尔文模型如图2 3 所示 e 口 l t 图2 3 一维开尔文模型 开尔文模型由弹簧和阻尼器并联而成 两个元件的应变都等于模 型的总应变 而模型的总应力为两个元件的应力之和 即 盯 0 1 仃2 2 1 由弹簧和阻尼器的应力应变关系得 6 中国石油大学 华东 硕士论文第2 章地层套管的蠕变载荷分析模型 1 9 e e 瞎 2 2 7 是地层的粘弹性系数 p a s e 是弹簧的弹性模量tp a 0 0 0 2 为图示相应的应力 p a g 为应变 舌为应变率 s 2 2 1 蠕变 在恒应力c r o 作用下 解 2 2 得 占 r 卯一7 c r 0 e 2 3 式中乃 r l e 蠕变的初始条件为f 0 占 o 0 理由是 如果 8 0 为某一定值 由于8 0 一 0 则f 0 时有叠专0 0 这是式 2 2 不能容许的 所以有c o o 这样开尔文模型的蠕变表达式为 印 詈 1 e t r 2 4 可见 应变随时间的增加而增加 当r o o 时 s 寸c r 0 e 像一个弹 性固体 因此 有时将开尔文模型所代表的材科称为开尔文固体 但 是 开尔文固体没有瞬时弹性 而是按照 的变化规律发生形变 逐渐地趋于应变的渐进值c r 0 e 2 2 2 回复 式 2 4 给出了定应力c r 0 作用下任意时刻 的应变值 当r f l 时 中国石油大学 华东 硕士论文第2 章地层套管的蠕变载荷分析模型 有 占 f 1 1 e i i 2 5 j i i 程e t t 时刻除去c r o 则应变自式 2 5 表示的数值开始恢复 由 式 2 2 可得到描述开尔文模型恢复过程的方程为 和 e 8 0t t l 它的解是 6 t c1p 7 2 6 其中c 是常数 利用t t 时的应变连续条件有 c 1 p 1 皂 1 e t t r a 止 解得c l 带入式 2 6 便得到恢复过程的应变一时间关系 砸 普 一钆1 e l j 2 7 当 哼m 时有占j0 体现弹性固体的特性 只不过是滞弹性恢复罢了 2 2 3 应力松弛 开尔文模型不表现应力松弛过程 因为阻尼器发生形变需要时间 要有应变率舌 才有应力仃 当应变维持常量 时 叠 0 阻尼器不 受力 全部应力又弹簧承受p e c 另一方面 作用一阶跃应变 岛日 f 则毒 f 6 0 8 0 由应力应变关系 2 2 可得 口 如 日 f 秘 占 f 2 8 r 中国石油大学 华东 硕士论文第2 章地层套管的蠕变载荷分析模型 其中右端第一项表示弹簧所受的应力 第二项则表示t 0 时有无限大 的应力脉冲 因而f 0 时突加应变岛对开尔文模型来说是没有意义的 所以开尔文模型能体现蠕变过程 不能表示应力松弛 本论文就是利 用了开尔文蠕变模型对大地这个粘弹性体进行分析的 2 3 地层蠕变的二维开尔文模型 对于地层的蠕变问题 取地层介质为开尔文材料 相当于一个弹 性元件与一个粘性元件并联 则平面应交情况的物理方程为 2 l 阱 e o 一 l 一 1 i 一2 i l 1 il u协翎牡9 式中e 为地层的弹性模量 p a 卢为地层的泊松比 7 7 为地层的粘性系 数 p a s 盯 和乃分别为地层的径向和环向应力 p a f 和 分别为 地层的径向和环向应变 舌 和如分别为地层的径向和环向应变率 s 1 对于非均匀地应力闯题 具有切向应变和应力的开尔文模型平面应变 物理方程为 卧揣 2 1 0 九分别为剪切应变和剪切应变率 s c o 为待定常数 9 b 岛 0 o g 2 34 30 4 32 30 r 喇j l 蒜 一邓 o l 一叫 中国石油大学 华东 硕十论文第2 章地层套管的蠕变载荷分析模型 以上就是二维开尔文模型的本构关系 2 4 粘弹性理论简介 为了能够对地层粘弹性体进行有效地分析 必须掌握粘弹性理论 特在此简要介绍粘弹性理论 粘弹性理论是流变学的一个分支 主要 研究材料蠕变性质对结构强度 刚度和稳定性的影响 和弹性体的分 析一样 分析粘弹性体的应力 应变和位移也需要三组方程 平衡 方程 几何方程和本构方程 其中 前两类方程对于弹性体和粘弹性 体来说是相同的 二者的差别在于本构方程 表征线性粘弹性体的本构方程有遗传积分 微分算子和复模量等 几种表示方法 其间均有一定的互换关系 在应力分析中 采用微分 算子表示本构关系较为方便 由于形状变形和体积变形可用不同的力 学模型来表示 因此 可以把粘弹性体的本构关系写为唧 熙p t r a q e k t 2 l 1 p i s u q e q q 芋j 式中 分别为应力 应变球张量 s e 分别为应力 应变偏量 p p q q 线性微分算子 i o f 2 1 2 一扩矿一矿 矿 万 以 成 玑 r p 驴 p g 中国石油大学 华东 硕士论文第2 章地层套管的蠕变载荷分析模型 2 4 1 粘弹性相应原理 在 2 1 1 式的两边同时对时间诹拉普拉斯变换得 廖5 璺等堂 2 州 i p s s o q s 毛 式中瓦 瓦 瓦 毛分别为其对应各量对时间t 的拉氏变换表达式 根据拉氏变换的性质 由 2 1 2 式得 p 占 q s p s o s 弹性固体是粘弹性体的特殊情况 其本构关系可写为 3 玩 2 1 5 2 g 毛 e f 一7 式中k 为体积弹性模量 g 为剪切弹性模量 对比 2 一1 3 式和 2 一1 5 式可以看出 如果在 2 1 5 式中作如下代 换 3 置专垡盟 尸 s 2 g 专幽 p s 2 1 6 那么 2 1 5 式和 2 一1 3 式将具有相同的形式 由此 可以得到粘弹性 相应原理 这对运用弹性力学知识识别粘弹性问题很有帮助 对于某一问题 如果其弹性解是已知的 那么在弹性解中 用实 际载荷的拉氏变换式代替实际载荷 并作 2 一1 6 式的代换 就可以得 一 0 i i i s 占 占 f i i i i p g p g 中国石油大学 华东 硕士论文第2 章地层套管的蠕变载荷分析模型 到相应的粘弹性解的拉氏变换式 将这一变换式对时间 反演变换就可 得到问题的粘弹性解 2 4 2 拉氏变换与拉氏逆变换 设函数厂 f 是定义在 o m 上的实值函数 如果对于复参数 j 泐 积分式 5 旷 f e 一 破在复平面j 的某一域内收敛 则 称f s 为f t 的拉普拉斯变换 简称拉氏变换 记为f s 厂 f 相应的称 r 为 5 的拉普拉斯逆变换 简称为拉氏逆变换 虽口 1 1 邝 施f f 凼 i f o 大多数函数的拉普拉斯变换及其逆变换都可以通过查表求得 在此不 再详述 1 2 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 引起套管损坏的原因是多种多样的 其中主要的因素之一是套管所 承受的载荷性质 载荷大小及周围环境与初期设计的条件相比出现了 很大的差异 因固井质量不合格或大量的井下注水而引起的井下岩层 加速蠕变效应 特别是泥岩层进水现象是引起载荷因素改变的主要原 因之一 3 1 位移法分析岩层蠕变引起的附加载荷 岩层遇水容易加速蠕变 特别是泥岩层 解决该问题的最好办法 是通过水泥环把泥岩层与其它地层完全隔离开 防止套管柱周围泥岩 层进水 事实上完全隔绝是不可能的 当泥岩层进水不可避免时 应 尽量降低泥岩层的进水量 假设泥岩层迸了少量的水 加速蠕变后进 入稳态阶段 通过研究岩层套管组合体可以得到蠕变所产生的套管柱 附加外压力 3 1 1 模型的简化和公式推导 研究均匀地应力情况时可将岩层套管组合体简化为轴对称的平面 应变问题 均匀地应力盯 作用下 套管 地层力学模型如图3 1 所 示 极坐标中心在套管几何中心 极轴方向水平向右 中国石油大学 华东 硕十论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 i ll 引l r 1 1 脯矽 口 k 夕 j 1 地层 j ff fff f 图3 粘弹性地层均匀地应力简化模型 设套管与岩层间的相互作用力为风 r 则对于套管弹性体而言 相当于受到内压为零 外压为 f 的圆厚 薄 壁筒 设套管的外半 径为d 壁厚为 则由弹性理论 4 知 盯 r 一端 等p 盯 f 一端 等p f 嘶朋 一半 等筹 知 上式中仃 r f 和 分别为套管的径向和环向应力 p a r f 为 套管的径向位移 5 为套管材料的弹性模量 5 为套管的泊 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 松比 由 3 1 式中的第三式可得 甜 口 f e a 2 一 4 一 2小p f 一丢协 3 2 上式中t 毒 石i 纛兰笔 警 为套管的均匀刚度系 数 即套管外边界上产生单位径向位移时 在套管外边界上所需施加 的均布力 艿 为柔度系数 表示在套管的外边界上施加单位均布力时 在外边界上所产生的径向位移 对于岩层而言 可假设为半径无穷大的粘弹性体 取岩层介质为 开尔文 k e l v i n 模型 相当于一个弹性元件与一个粘性元件并联 则平面应变情况的物理方程为1 2 5 1 阱鼽1 j t f l j 4 g 1c s 吲 上式中e 为地层的弹性模量 p a 沩地层的泊松比 7 为地层的粘性 系数 p a s 盯 并1 1 0 e 分别为地层的径向和环向应力 p a 和岛分别为 地层的径向和环向应变 舌 和如分别为地层的径向和环向应变率 s 泥岩层内各点的平衡方程和几何方程分别为 4 6 l 堕 二鱼 o o r7 3 4 一叫 一力 l 2 一一 卜一 型岬一o 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管錾7 童 塑堕 抛 q 2 瓦 u 占口 一 3 5 a e o u r f 为地层的径向位移 m t f 为地层的径向速率 m s 用位移表示的应力为 阱蔫 t 1f 立 1 一2 l 生 1 一耻 1 一 l 抛 却 u 抛 a r u 3 6 把 3 6 式代入 3 4 式可得位移形式的平衡方程为 龋f 窘 1 考一升兰3 刁 窘 等专 c s 刊 1 1 2 i a r 2 丹r 2 j l 丹2 丹 2 问题的边界条件与初始条件为 f o r o o r 一盯h o r o 0 3 8 l 盯 口 f 一p o o 岩层与套管间的协调条件为 j 1 7 r 口 r 盯 r 一p o r 3 9 i u a f u s 口 t 对 3 7 式作拉普拉斯 l a p l a c e 变换得 高渤 引 雾 筹一聃 3 1 0 变换时用到u r 0 0 条件 3 1 0 式为欧拉 e u l e r 方程 令 e 可将其化为常微分方程 1 6 锄一钟兰 知 4 3 2 3 r 州l 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 a 2 玎 一 n 万叫刈 3 一1 1 式的解为 玎 a e f b e f a r 旦 对 3 6 式作拉普拉斯变换 展开易得 可 e o o 沥 纠雾 志一引号 将 3 1 2 式代入上式得 五 一 i f 1 1 2 a 引爿一托伽s 垮 对 3 8 式作拉普拉斯变换得 瓦 叫一孚 瓦p o 0 瓦 口 j 一磊 j 由 3 1 4 和 3 1 5 式可得 l 一一盯h 彳 可上 1 一 1 1 2 了玎 j 口 型二圣口 肚东e 扩 1 a 瓦一b 一 洲7 1 垮 1 7 3 一1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 a 3 1 6 b 3 1 7 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地戍力蠕变地层套管载荷分析 因此 甜 1 盯h s e2 1 1 2 1 3 r 一十一 j 书 o h 等 嚣p o s 等 令 k 竺 为地层的刚度系数 其物理意义为使弹性地层的井壁 训1 j 产生单位径向位移时 在井壁上所施加均布压力 则 3 1 8 a 式可简记为 a 2t l 2 玎2 蕊 o h 1 2 9 r 蔫 赤删旷m 对 3 9 式第二式作拉普拉斯变换 并将 3 2 和 3 1 8 b 式代 入可得 口 j 一 口 七 2 7 j 3 1 9 将 3 1 9 式展开 整理后并做拉普拉斯逆变换 7 1 得 尝 等肿 专正伊等 酱厶伊 考 2 肿 3 2 0 其中 f l t e x p 高f 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 绷一e x 筹 胁h 警斗p 志 乒 整理得 删 翮2r 1 2 u h笔产 exp 紊 删 h 兰等斗x 愕 卜 整理得 删 一等 d 掣 e x 倍 业一ak 石丽6k 1 z o h 2 r l 3 k 2 1 a ke x p 葑 一 1 一 七 1 i 叩 1 2 j 蔓 案搿ex 型丛 3 21 2 1 3 k 2 z k2 r 一 1 一 七 1 lj 对上式两边积分 并注意到p o 0 可得 等却耻d 赢 c o e x p 掣 3 2 2 令 为地层刚度系数与套管均匀刚度系数之比 则 风 一里坐墼 j 嵝 3 2 3 a 3 k 一 1 2 t 七 l 一2 尢 旦旦 1 2 血 1 9 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地戍力蠕变地层套管载荷分析 c o 一 端沪挑 4 一岛 c 0 等 3 2 3 c 3 2 2 式就是在粘弹性假设下 地层蠕变效应所产生的套管附加外 压力的计算公式 3 1 2 蠕变载荷的极值 由 3 2 2 式易知 当h o 时 比值趔将趋于稳定值冬l 二掣 盯hj 即因蠕变效应所产生的套管附加外压力的稳定值p 为 儿 箐 3 2 4 若套管的刚度远大于地层刚度 当泥岩地层等沉积岩层进水后 可以 满足该假设 即 0 p 近似为 p 2 0 一 盯h 应当注意 这个稳定值并不是最大值 由 3 2 2 得 訾琢 h 3 a k 圹b d 志气 c o 避产e x p 兰学 z 7 z 玎 上式整理可得 3 2 5 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 b 熹晤高 h 即当f f 时 趔取得极大值 其值为 o h 等 以蜥e x p 志 卜e x p 兰掣旬 3 2 7 压力达到极大值所需时间主要取决于地层和套管的特性量 地层 的弹性模量e 地层的泊松比 地层的粘性系数印 套管的刚度系数 等 3 2 应力函数法分析岩层蠕变引起的附加载荷 3 2 1 求解应力函数 同前面分析一样 设地层为无穷大的粘弹性体 力学模型如图3 1 所示 根据开尔文模型 相当于一个弹性元件与一个粘性元件并联 则平面应变情况的本构方程为阶 阱 e 1 一 1 1 2 a i 上 1 p 对上式进行拉普拉斯变换得 阱 e 0 一 1 1 2 p lj l 1 一 p 1 一 l 卜 2 3 4 3 3 2 8 3 2 9 一胪 一 4 3 2 3 r 例 l 砟o 1卜 inr 上 4 3 2 3 j1 中国石油大学 华东 硕十论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 所以 e 1 一 印 引l 翌翌 1 p 翌1 2 p 1 1 2 1 1 2 整理得 阱j 翌e 1 i一 l 1 1 2 1 班睦 4e j 伊而赢 2 e 1 一 一j班 1 0 1 2 u 令 万e 而 i 一4 3 秘2 善 1 1 2 7 所以上式转化为 髂阳 解上式得 仁 可以写为 阱击匕硎哥 又因为 丁善 一一2 班 艿 3 3 0 1 卜2 3 掌 艿 万而e 2 班 善 a 1 e 3 2 班 7 1 1 2 1 将 3 3 1 式代入变形协调方程 6 j 3 3 1 l j 一 一岛 m m 价 一 一岛 1likirj 班 班 2 3 4 3 一 一啊一巧一啊一筇 瓦一f 可一f 一 一 一占一 一j 一 一 瓦一f 瓦一f玎数 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 导十詈昙e 鲁一 昙p 吉刍 吾舄 矿十7 石严 7 万一 石严2 7 历 7 丽j 可得 净三r 旦a t 三2 f k 啦善 5 一等 l 卉2 善一万j 皓1 万a 2 一矧三 等 等 上式中用到均匀地应力下 m 0 m 为地层的切应力 p a 根据模型的对称性 假设应力函数为伊 肿 所以其经过拉普拉斯变换得万 万f 曲 i 一 1a 万 i v r l 黻k r 窘 r 姒 3 3 鞠 ra 22a i 矿 7 石j r 1a r 7 别警r o r o r 2 警 孝 万f 一万l 再整理上式得 3 3 2 a 4 万1a 3 歹2a 2 歹 2a 歹2a 歹2a 2 歹1a 3 矿a 4 歹 a r 4 r 务3r 2 西2 r 3a rr 3 务r2 西2 r 西3a r 4 6 一6 3 3 3 塑芷占一一一 筇互f 1 一 一 塑芷艿 一十 万互f 1 一 一 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 唑掣 一4 一 进一步整理得 考 6 a 4 万20 3 万 1a 2 万1a 歹 盘 盘 盘 盘 一6 所以有 z f 等 詈窘一专窘 专刳 整理上式得欧拉方程 r 4 窘协3 窘一窘 r 善 堕矿 一 堕矿 卜 万石 筇石 一 以 壹矿 所 一 如 堕矿 户 2 一r 为 烟 塑矿 f 似亚t 伊1一 矿t 一加一缈一培 蒹譬拈白 一妒一驴丑 薹攀一 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 窖 一丢芸 丢窘一1 协 02万or rrr 一芸 2 2 如 2 抬22 如2 抬j 所以 堕 堕一望 o r l宅 ia s 同理可得 a 3 歹f 矿 3 0 2 2 0 1 一 广萨5 虿一万 磊尸 軎 导一万6 0 3 1 甜1 0 2 2 一芸户 原欧拉方程化为 等一孑 萨4 0 2 尸 对应的四阶线性齐次微分方程的特征方程为 x 2 h 2 4 x 4 0 特征根为 而 x 2 0 毛 石4 2 所以对应齐次方程的通解为 万 p l c 2 占 p 2 c c 占 又因为占 i n r 所以 歹 弛 c 2 i n r r 2 c 3 q l n 其中 q c 岛 c 均为待定系数 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 f 一 1a 万 又由式r 囊 瓦 雾 得 笋 3 2 2 定解 由方程 3 5 及 3 3 1 得 一两一 石r 一6 厅9 2 石2 e 芦 再由 3 3 4 式得 堂竺生叠 竺兰 所以有 对上式积分得 善2 一j 2 3 3 4 q 一 一 r 2 h 吒 2 r h 2 岛 幻 卜 幻 l f 瓦 乃 j 1 j q 一 一 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 2 4 2 8 c l r 孝一3 8 c 2 r 2 善一2 8 1 n 一1 彤2 一型q 弘 f 矿 上竹 3 3 5 其中f 为积分常数 又有式 3 5 的第二式得 一 岛一 r 云8 一曲 善2 8 2 再由 3 3 4 式得 瓦一 兰 竺 兰4 2 5 2 竺 兰 整理得 2 f 一2 a c l 2 善i n r 3 善一2 艿l n r 一万 c 2 一 f w 占 c 4 2 f 一 言 一d 所以根据 3 5 式得 却 2 善一j q 2 4 1 n 3 4 2 8 1 n 一占 c 2 r 型q f 2 一j 2 比较 3 3 5 与 3 3 6 得c 0 且有 3 3 6 中国石油大学 华东 硕十论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 f 一3 j 2 善一2 d 1 n r 一1 c 2 2 f l n r 3 善一2 8 1 n r 一占 c 2 所以 c 2 0 所以有 瓦 2 c 1 7 c 4 瓦 2 q 了c 4 又因问题的初始边界条件为 f o r r 一盯h c r r r o 0 q 岛 一p 0 f 对上各式进行拉普拉斯变换得 瓦 o s 一o h j 瓦 0 0 瓦 口 j 一磊 j 由上式第1 3 式得 瓦 m s 一生 2 c j 瓦 4 s 一p o j 2 c 1 7 c 4 解之得 3 3 7 3 3 8 3 3 9 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 2 a 一垒 s 铲 刮卅钟 所以应力函数拉氏变换式为 卜o z h r 2 c 3 4 斗 由易 兰得 径向位移拉氏变换式为 石 一 f 一艿 2 c l 一g 回等一2 c q 虱 力2 r l 素一商f 将q c 带入上式得 玎 r s 一 o h j 同样令 示善万为地层的刚度系数 则上式可简记为 3 4 0 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 玎 二掣业 三 a k 兰刁 1 2 j 5 1 l 死 s 3 4 1 j a k 2 r j 由套管与地层之间的位移边界条件 3 9 式第二式得 厅 口 s 玎 口 j 将 3 2 的拉氏变换式及 3 4 1 代入 3 4 2 得 3 4 2 i景篆 而 7h it i1 而a2 俳 扣一 础 刁 1 2 s 5 础 2 叩 55 础 2 7 5 七 整理得 赤 警2 巧 1 丽2 o a 即 砒 2 罄 a k 2 r l s a k s 旦垃 q 塑一 k a k 2 u s 盯h v 础 2 1 2 班 础 2 班 又整理得 未 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 警 t 一番 础中1 2 一 a 鬲 将上式展开得 进 二 坐 生 生 一 盯 a k 1 一劲弦a k 2 班 a 2 t 屯 阪t k 2 r s l a k 2 r s 进一步整理得 a 2 k 也 2 r 2 塑2 r s j 胜 2 1 刁lj 对上式进行拉普拉斯逆变换得 口 a k 2 r j 础 t 1 2 u a d t 2 r sa k 叩 1 2 p a k t 2 打 3 口 2 玎 警 甄a k j 2 刁 兰竹门一 訾 酱肿 噜小卜等等肿 一 鲁 2 肿 3 4 3 吨一抑 一研 一 等翥 i盟 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 胁丽2 r 1 2 0 h 掣r 一e x p 志r a c t 睾k h 学r h 刮 将上述 i 1 2 3 4 代入 3 4 3 式 整理可得 等一 ak 瓦丽6k 1 u 2r 3k 1 e x p 再南2 tr 盯h一 一2 后 七 i 叩 1 一 j 蔓2 r 票3 k 搿e d 幽2 t f 一 1 2 t l 对上式两边积分 并注意到p o 0 可得 等 4 吼e x v d 们 3 却a k f c o c x p 学0 c 圳 其中 4 0b o c o 由 3 2 3 各式确定 3 4 4 式就是在粘弹性假设下 用应力函数法计算得到的均匀地应 力下地层蠕变效应所产生的套管附加外压力计算公式 和用位移法计 一肋 生之 一丽 型幼 r小 rdl 叫 中 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 算结果 3 2 2 式相同 从而证明了结果的正确性 同理由 3 4 4 式易知 凯一时 比值掣将趋于稳定值篱1 虽口因蠕变效 盯h 应所产生的套管附加外压力的稳定值p 为 舻等 满足该假设 即 o p 近似为 p 2 0 一 盯h 应当注意 这个稳定值并不是最大值 由 3 4 3 得 訾 而 a k 耵x 志扣掣e x p 掣旬 上式整理可得 黑晤赢 即当f t o 堑盟取得极大值 其极大值为 盯h 等 凡嘶唧 嵩岛 c o 唧 兰学 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地戍力蠕变地层套管载荷分析 3 3 结果分析 地层常数取e 2 5 x 1 0 4 m p a f o 1 5 矿1 o x l 0 1 2 m p a s 套管常 数取e 2 0 1 0 5 m p a a o 3 n 8 05 必 套管 外径1 3 9 7 m m 壁厚 9 1 7 r a m 即a 6 9 8 5 m m h 9 1 7 m m 计算各个时期套管的蠕变相对 载荷 p o q o 计算可得 k 4 6 7 9 6 k 3 1 1 2 3 o 6 6 5 1 m 0 1 0 2 1 玩2 1 9 4 0 6 c o2 0 9 1 9 6 堕 1 0 2 榭5 5 8 个月 o h 计算各月的相对载荷 简记为p o n 为 篇0 令只p 嘲司 第2 个月 叨 2 9 5 3 4 1 8 3 6 7 0 2 1 9 2 第4 个月 叨 5 1 7 2 8 1 1 8 5 5 8 0 5 4 6 第6 个月 叨 6 8 2 8 8 6 9 2 9 9 1 5 0 7 4 离8 令其p o h 8 0 5 3 9 2 1 4 2 3 1 4 7 9 8 第1 0 个月 o 萨 8 9 5 0 3 9 9 0 0 1 0 4 5 1 8 第1 2 个月 a 矿 9 5 9 7 4 4 6 2 7 6 7 6 3 8 1 第1 4 个月 o h 1 0 0 5 6 0 8 9 3 9 2 0 8 8 第1 6 个月p o h i 0 3 7 3 2 7 3 2 7 0 2 4 1 1 第1 8 个月p t r h 1 0 5 8 5 0 1 2 7 0 6 9 0 4 3 第2 0 个月p d 舻1 0 7 1 8 8 5 0 3 0 2 5 6 2 9 第2 2 个月p a 萨1 0 7 9 5 7 7 2 2 0 0 5 3 6 3 第2 4 个月p o 1 1 0 8 3 1 6 9 9 9 1 0 3 4 4 3 4 监 1 0 8 盯h 中国石油大学 华东 硕士论文第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 第2 6 个月 第2 8 个月 第3 0 个月 第3 2 个月 第3 4 个月 第3 6 个月 第3 8 个月 第4 0 个月 第4 2 个月 第4 6 个月 第4 8 个月 第5 0 个月 第6 0 个月 第7 0 个月 第8 0 个月 第9 0 个月 第1 0 0 个月 第1 0 0 0 0 个月 p o o 仃 随时间 p o l 1 0 8 3 8 6 5 0 8 6 2 6 3 6 3 研f 1 0 8 2 5 6 4 0 2 4 1 8 3 0 7 o 打 1 0 7 9 9 3 8 0 8 8 4 2 5 8 9 a 驴1 0 7 6 4 8 2 5 6 7 7 6 6 8 8 p a f 1 0 7 2 5 5 8 7 2 1 8 1 7 3 p o 1 0 6 8 4 2 6 1 8 9 6 9 6 6 6 p g l f l 0 6 4 2 6 7 9 6 4 9 1 3 4 4 p c r 矿1 0 6 0 2 0 9 5 9 4 5 7 7 7 4 r i o h 1 0 5 6 3 3 3 8 9 7 0 0 6 8 8 p o 2 1 0 4 9 3 1 2 9 3 4 6 6 4 9 5 p o 1 0 4 6 2 0 8 0 5 1 6 0 7 3 4 口驴1 0 4 3 3 7 7 9 7 8 0 1 5 1 p o t 1 0 3 2 9 4 5 5 9 3 5 6 3 5 9 p t r t t 1 0 2 7 1 5 9 3 1 3 6 7 0 3 4 a 萨1 0 2 4 1 1 1 9 3 4 2 4 0 1 1 p u i 0 2 2 5 5 0 1 3 1 4 4 5 5 7 p o 1 0 2 1 7 6 1 7 8 6 2 9 6 5 2 p a r l t 1 0 2 0 9 7 8 0 9 2 2 3 4 0 9 f 的变化曲线如图3 2 所示 中国石油大学 华东 硕七论文 第3 章均匀地应力蠕变地层套管载荷分析 1 2 1o f o 三 o o 0 2 柚 锄 t 月 图3 2 套雷的附加压力随时同变化曲线 由计算分析可知套管的蠕变相对载荷在大约2 5 个月后达到最大值 其 值为岛堕 1 0 8 大约4 5 个月以后达到稳定值丝 1 0 2 口h 盯h 若采用条件一枷岷 鼎 结果她钏 0 7 等 o 9 7 垦堕 1 0 1 最大值减少了约6 而取得极值的时间为t 旷 2 8 6 2 个月 3 4 本章小结 套管的刚度系数对其蠕变载荷的影响非常大 特别是地层与套管 的刚度比是蠕变载荷的决定性因素 压力达到极大值所需时间还取决 于地层的弹性模量e 地层的泊松比肛地层的粘性系数可等因素 以 上结论为解决非均匀地应力条件下的套管蠕变载荷问题提供