（电磁场与微波技术专业论文）交叉场天线的场分析.pdf

中文摘要 交叉场天线 c r o s s e d f ie l d a n t e n n a s 是一种新型的中波天 线 它是由单独产生的辐射e 场和h 场直接合成坡印廷矢量并向外 辐射能量的 c f a 是一种非谐振天线 与传统的铁塔天线相比 具有 尺寸小 占地面积小 传输效率高的优点 而且c f a 比铁塔天线有 更大的地波辐射 并且感应场小 电磁兼容友好 因此 c f a 提供了 中波广播天线小型化的新思路 它不仅安装方便 而且广播质量好 本文主要分析c f a 的场 及场与尺寸之间的关系 本文利用模拟电荷法及麦克斯韦方程对c f a 的场进行仿真和计 算 获得c f a 的电场 磁场 及合成的坡印廷矢量的分布 考虑到 天线尺寸对产生的场有影响 所以我们总结其规律 对设计实际天 线提供参考 本文使用变尺度法对模拟电荷法进行了优化 并对选 取的模拟电荷进行分析 提出经验化的选法 本文程序采用c 与m a t l a b 语言混合编制 结合两者的优点 既简化了程序又保持了c 语言速度快的特点 成为c f a 场研究的有 力工具 经过大量的计算及理论分析 计算结果与己知结论一致 实现预期目的 证明了所编制的程序的正确性 关键字 交叉场天线中波天线模拟电荷法坡印廷矢量变尺度法 a bs t r a c t c r o s s e d f i e l d a n t e l n a si san e wk i n do fm e d i t i mw a v ea n t e n n a l t s e l e c t r o m a g n e i cw a v e s a r es y n t h e s i z e do rc a p t u r e di nas m a l lv o l u m eb y t w o s e p a r a t e l yf e de l e c t r o d es y s t e m s o n ep r o d u c e st h ee l e c t r i cf i e l d a n d t h eo t h e rp r o d u c e st h em a g n e t i cf i e l d c f ai sn o tar e s o n a n c ea n t e n n a c o m p a r e st o t h et r a d i t i o n a la n t e n n a i th a sm a n ym e r i t s s u c ha ss m a l l s i z e h i g e t r a n s m i t t e d e f f i c i e n c y m o r eg r o u n d w a v ea n d f r i e n d l y e m c i nt h i sp a p e r w ew i l la n a l y s et h ef i e l do fc f a a n dt h er e l a t i o no f f i e l da n ds i z e c f aa r ec a l c u l a t e dw i t h c h a r g e s i m u l a t i o nm e t h o d c s m a n d m a x w e l l e q u a t i o n i nt h i s p a p e r t h r o u g h w h i c hw ew i l lo b t a i nt h e e l e c t i c f i e l d m a g n t i c f i e l da n dp o y n t i n gv e c t o r t h e nt h e e f f e c t i o no f c f a ss i z et of i e l dc a ns u nu p w eu s ed f p t oo p t i m i z ec s m a n do b t a i n t h er u l eo fc h o o s i n gt h ec h a r g es i m u l a t i o n s t h eo p t i m i z a t i o nc s mi sp r o g r a m m e dw i t ht h eb l e n do fc a n d m a t l a bl a n g u a g e s w h i c hc o m b i n e st h em e r i t so ft h et w ol a n g u a g e s s o t h ep r o g r a mi sb o t hs i m p l ea n df a s tc o m p u t i n g t h a tm a k ei t ap o w e r f u l t o o lo fs t u d y i n gc f a t h ee s u l t s a r ea c c o r dw e l l w i t h t h ek n o w n c o n c l u s i o n w h i c hp r o v et h ev a l i d i t yo ft h ec s mp r o g r a m k e yw o r d c f a c r o s s e d f i e l d a n t e n n a s m e d i u mw a v ea n t e n n a c s m c h a r g e s i m u l a t i o n m e t h o d p o y n t i n g v e c t o r d f p f d i v e r s i f i c a t i o f o o tp l a n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果 除了文中特别加以标注和致谢之处外 论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果 也不包含为获得墨盗盘茔或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名 签字日期 年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁盗盘堂有关保留 使用学位论文的规定 特授权墨盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索 并采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编以供查阅和借阅 同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 保密的学位论文在解密后适用本授权说明 学位论文作者签名 导师签名 签字日期 年月日签字日期 年月日 第一章绪论 第一章绪论 c f a c r o s s e d f ie l d a n t er l n a 一交叉场天线 是一种新型的 中波天线 它采用交叉场技术 是在九十年代中期由埃及科学 家f a t h im k a b b a r y 发明的 目前全世界已有1 6 副c f a 投入实 际应用 由于该c f a 提供了中波广播天线小型化的新思路 具 有很多优点和极高的经济效益和技术价值 是二十世纪中波天 线史上的一项划时代的革命性发明 而传统中波天线沿用传统 天线理论 其技术已有几十年未变 与c f a 相比有占地面积大 感应场大 频带小等许多缺点 由于c f a 突破了常规的天线理论 要对它进行研究 以往 的方法是行不通的 必须根据它有两个电极的特点 分别采取 不同的方法分析两个电极产生的电场和磁场 在满足一定的条 件下 使电场和磁场合成坡印廷矢量向外辐射能量 根据对c f a 的结构分析 可采取模拟电荷法和麦克斯韦方程分别对其产生 的电场和磁场进行分析 1 1 模拟电荷法的发展概况 模拟电荷法 c h a r g e s i m u l a t i 0 1 1 m e t h o d 于1 9 6 9 年由 h s t e i n b i g l e r 提出 它和电气工程高压技术发展的实际需要结 合 是目前静电场数值计算的主要方法之一 类似于镜像法 模拟电荷法基于电磁场的唯一性定理 将电极表面连续分布的 自由电荷或介质分界面上连续分布的束缚电荷用一组离散化的 模拟电荷来等值代替 这样 应用叠加原理将离散的模拟电荷 在空间产生的场叠加 即得原连续分布电荷所产生的空间电场 分布 从本质上看 模拟电荷法可看作是广义的镜像法 但它 在数值处理和工程实用分析性能上 远优于镜像法 例如在无 限大均匀介质中两个同半径带电导体球所产生的电场 若用镜 像法其连续镜像点电荷 q 1 q 和q 1 f q 的量值与位 第一章绪论 置 bh b 和b 1 1 b 都是确定的 如图1 1 其中 q 1 0 1 分别位于相应的球心a 1 a 1 上 故b 1 b 1 0 而选用模 拟电荷法 其模拟电荷的类型 配置与个数可以有多种选择 如球表面上自由电荷的连续分布可用点电荷 环形电荷或其组 合来等值替代 如图1 2 所示 姜a i l 驴re 黪下 0 一一三一 一一 牟一一f 1 b f u o 图1 1 连续镜像电荷 了 戈电荷 郭 e上 一百 麓 一 i t i 7 i j 戈形电荷j i 广t 7 一 不 j 一 ji d 毒 一上一 t 1 一 i 三 三 卜l 一 l li r 一 一 i 一 图1 2 各种模拟电荷的配置 2 耻弋 一 厂 一一 第一章绪论 早在1 9 5 0 年 l b l o e b 在研究棒形电极的电晕击穿时 就用了一组虚设的电荷来计算棒形电极对地的电场分布 但当 时他没有用计算机就完成了这一任务 到六十年代末 m s a b o u s e a d a 和e n a s s e r 借助电子计算机用模拟电荷法计算 了棒形电极和圆柱形电极对地的电场分布 七十年代以后 模 拟电荷在高压电场的计算方面显示了很大的优势 首先由 h s i n g e r h s t e i n b i g l er 将模拟电荷法用于二维 三维 均匀和 不均匀介质的电场计算中 都获得了很满意的结果 之后 b ba c h m a n n 将模拟电荷法用于计算具有表面漏电流的高压电 场 近年来 在高压电极系统的最优设计中 例如 如何修正 原有电极的外形使电极表面的场强均匀分布或使电极表面的最 大场强减小 以使绝缘材料得到充分利用等方面都是以模拟电 荷法作为计算基础的 所以它已经成为电场计算的一种有效的 数值方法 值得指出的是 模拟电荷自从最初h s t e i n b i g l e r 提出的点 线 环状以来 相继还有面 椭圆 双曲面等规则形态的类型 应用 正是由于模拟电荷的多样性 使之能分析形态复杂的电 极与复杂结构的电场分布 有工程实用价值 但是在电极形状 或场域结构复杂的场合下 将很难凭直观与经验合理地设置模 拟电荷 以获得满意的计算精度 因此需要借助计算机来自动 寻找最佳的模拟电荷量值和位置 1 2c f a 的结构概述 1 9 9 0 年苏格兰的m a u r i c e h a e t e l y 教授和埃及的f a h t i k a b b a y 博士发明了c f a 19 9 4 年左右第一座c f a 在埃及投入使用 到目前为止 埃及已经有六副中波广播c f a 投入使用 欧洲也 计划建一个5 0 0 k w 的c f a c f a 是一种非谐振天线 与传统的中波铁塔天线相比 具 有尺寸小 一般高度小于载波波长的3 占地面积小 占地 约为1 0 平方米 传输效率高 9 0 频带宽 1 0 有利于 在中波波段实现高速的数字传输等优点 而且c f a 比铁塔天线 3 第一章绪论 有更大的地波辐射 并且覆盖面广 感应场小 对邻近的电子 通信设备影响小 电磁兼容友好 因此 c f a 提供了中波广播 天线小型化的新思路 它不仅安装和维护方便 而且广播质量 好 c f a 的原理图如图1 3 所示 图1 3c f a 的基本结构示意图 发射机输出的高频信号经过一个具有功率分配和移相作用 的匹配电路后被分成两路 一路馈送给叫做e 盘的中空圆柱体 e 盘和地产生随时间变化的电场 另一路馈给叫做d 盘的金属 圆盘 d 盘与地形成一个平行板电容器 在d 盘和地面之间随 二 时间变化的位移电流通过麦克斯韦方程掣一v 膏产生了环绕d d f 盘的磁场 磁场的大小依赖于d 盘的电压 频率和板间距离等 因素 这里产生的磁场的相位超前于所加电压9 0 相位 为使 电场和磁场在交互作用区内同相 加到d 盘的电压需移相9 0 这样在近区场就能产生坡印廷矢量i e 膏 由于c f a 在近区交 互作用区内就能得到普通天线远区的空气阻抗匹配 即 导 z 3 7 7 q 因而可使电磁场有最大的能量转移 由于c f a 感 日 应耦合的场很小 所以两副天线靠得很近也不会相互干扰 1 3 本课题意义 4 第一章绪论 分别采取模拟电荷法和麦克斯韦方程对交叉场天线 c f a 的场进行仿真和分析 一方面可以验证模拟电荷法分析此类导 体的可行性 为今后研究cf a 提供一个有力的工具 另一方面 对c f a 场的仿真 理解c f a 场的特性 总结规律 为建造c f a 提供参考 尽管埃及已经投入使用了六副c f a 但在我国 c f a 的研究 工作还只是在探索阶段 相关的研究方法或成果一直都未有过 并且 c f a 在大功率 高频方面还有很大的发展空间 在这里 我们以数值计算为主 理论分析为辅 对c f a 的场进行了分析 希望我们所做的工作对以后c f a 的研究提供一些参考和帮助 本为所做的工作如下 1 编写c f a 电场的模拟电荷法程序和磁场的麦克斯 韦方程程序 2 对模拟电荷法进行优化 并编写程序 3 计算t a n ta t 天线的场值 并与所知结论相比较 得 出结论 4 分析天线尺寸对c f a 场的影响 5 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 第二章模拟电荷法及麦克斯韦方程 2 i 模拟电荷法 模拟电荷法是应用于电场数值计算的一种有效方法 基于电磁场 的唯一性定理 在镜像法延拓的基础上构成的一种方法 模拟电荷法 原理简单 应用较为简捷 适于求各类电极较为规则 介质类型不多 的电场问题 2 1 1 模拟电荷法的基本原理及应用 1 方法的基本思想 我们知道 静态电场的数学模型可归结为以电位函数 d 为待求量 的泊松方程或拉普拉斯方程的定解问题 但在实际工程问题中 电极 导体 表面连续分布的自由电荷以及介质分界面上连续分布的束缚 电荷 其分布情况往往是未知的 不能直接由给定的边界条件解出 如果在计算场域之外设置n 个被称为模拟电荷的离散电荷来等效替 代这些待求的连续分布电荷 则依据等值替代前后边界条件不变的前 提条件 即可求得各模拟电荷的量值 从而使场域内任意一点的电位 与场强便可由模拟电荷所产生的场量 驴 e 叠加而获得 以此作 为原场的逼近解 这就是模拟电荷法的基本思想 模拟电荷法的应用步骤如下 1 在计算场域外设置n 个模拟电荷q j j l 2 r 1 2 在给定边界条件的电极上 设定数量等同于模拟电荷的匹 配点 显然 各匹配点上的电位值驴i i 1 2 n 是已知的 3 根据叠加定理 对应于各个匹配点 可逐一列出由设定的 模拟电荷所建立的电位表达式 6 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 妒1 p 1 1q 1 p 1 2 q 2 p l q o 妒z2 p n q l p z z q 2 p h 瓯 2 1 妒2 p 1 q 1 p 2 q 2 p q 由此构成一个l i 阶的线性代数方程组 即所谓的模拟电荷方程 组 p q d 2 2 式中 系数矩阵 p 的元素p 即表示第j 个单位模拟电荷源在第i 个 匹配点上产生的电位值 故通常称其为电位系数 而 p 进而称为电 位系数矩阵 很明显 p i j p i j r j r i r r 分别为模拟电荷与匹配 点的位置向量 p i i 只和模拟电荷与匹配点的相对位置 介质的介电 系数以及模拟电荷的类型有关 与模拟电荷量的大小无关 4 求解模拟电荷方程组 算得各模拟电荷值 q 5 在电极表面处另取若干个校验点 校验计算精度 若不符 合要求 则重新修正模拟电荷 位置 个数和形态 宜至 满足精度要求为止 6 基于最终算得到的模拟电荷离散值 q 任意场点a 处的 电位或场强即可由相应的解析关系式解出 这对计算场强很重要 由 于很多高压设备的指标决定于某点上的最大电场强度值 因此场强的 计算在高压电场的计算中十分重要 而模拟电荷法在确定了模拟电荷 以后 完全根据解析式求电场强度 所以求出的电场强度的误差小于 在有限元中确定的电场强度的误差 2 单一均匀介质中的第一类边值问题 现以图2 1 所示的半径为a 的长直带电圆导线电场问题为例 求 导线外电场分布 本例计算场域为大地上方除圆导线外的半无限大空 间d 其数学模型为 f v2 妒0 y 一00 y e d j 吡1 妒o 2 3 j 妒k 妒i 一0 7 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 l p p o d o 图2 1 单一均匀介质中的电场 按模拟电荷法 首先 在计算场域外 导线内 设置n 4 根线电 荷 t t2 t3 t4 以等效替代导线上连续分布的电荷 同理 对应于地面上的感应电荷分布 亦可在地面内设置m 根线电荷 这 样总的待求变量数将为 m n 个 但十分明显的是 这里可结合应 用镜像法 即引入对应于模拟电荷的镜像电荷t 1 一t 来等效替 十 t i 0 一 a 1 一一 a i a 图2 2 模拟电荷法的应用 8 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 代地面上连续分布的感应电荷的效应 这样 由于t 1 一t 4 分别与 t 1 t4 大小相等而符号相反 因此在求解过程中不必把它们按独立 的未知变量来处理 待求变量数由此减少了m 个 即总计为n 个待 求变量 如图2 2 所示 其次 设定n 个匹配点 a a 4 其上电位值给定为 妒1 妒2 妒3 妒4 妒0 2 4 由叠加定理模拟电荷在第i 个匹配点产生的电位为 妒i p i l 1 1 p i 212 p i 313 p i 414 p i l 11 p i 2 2 一p i 3 13 一p i 4 14 2 5 则模拟电荷方程的矩阵表达式形式 p 1 4 尸 2 4 p 3 4 p 钆 垆 妒 妒o 2 6 即 p t d 2 7 式中 p 1 1 p 1 1 一只 p 1 2 p 1 2 e 2 p 1 i j p i j 昂 其中一一计入了 大地 影响 分别包含了成对的模拟线电荷的效应 应当指出 t q 1 故式 2 7 也可记作 p q c p 而 p 与 p 间将相差一个 乘数 1 1 求解线性代数方程组 2 7 即可求得各待求的模拟电 荷值 2 1 2 常用模拟电荷的类型及其电位 场强系数的计算式 由以上分析可见 使用模拟电荷法的计算量主要集中于电位系数 p i j 的计算 而p i j 的计算随模拟电荷的类型而异 基于模拟电荷法的 基本原理 原则上可以任意选取模拟电荷的类型 但因期望电位系数 场强系数的计算有解析式予以表示 故实际使用类型受到限制 常用 的模拟电荷类型有点 线及环形线电荷等 1 二维场中的模拟电荷 在二维场中 唯一可以采用的模拟电荷是无限长直线电荷 9 茁 尸p p p 站 笠 j 蛇 p p p p l 2 3 p p p p 一 笙三兰堡型皇堕鎏量壅塞堑童塑堡 o a f 刃 rf x1 h 一 一tr y u 图2 3 一对无限长直线电荷 设一对线电荷 t 与 t 在直角坐标系中对称于x o z 平面放置 如 图 2 3 所示 若y 0 即x 轴为电位参考点 则该对线电荷在任意 场点a x y 处产生的电位为 二l n 生 2 8 2 r r e r t 式中r l 抓i i 了 石 万和也 扳i 五五 乏丽分别为 t 和 一t 到场点a 的距离 由此即得相应的电位系数为 p 上l n 垒 2 9 如 l 由电场强度与电位之间的关系 n 坷一 誓 割咖 埘 1 i 缸却 l 一 可得场强系数 一再 聊的x y 方向的分量分别为 卜i o p 去 丁x x l x 弓 x 2 和 卜号 去 孚一半 2 1 0 b 以上讨论所得的关系式 式 2 9 2 1 0 可以看作是对应于 地面上方线电荷t 所产生的电场 因为一t 正是应用于镜像法所得的 结果 1 0 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 2 轴对称场中的模拟电荷 点电荷 线电荷和环形电荷都可以用来激励轴对称电场 因此这 三类电荷是轴对称电场问题中常用的模拟电荷 1 点电荷 o f 0 z o za r z l 形 一 图2 4 点电荷示意图 如图 2 4 所示 位于轴线z 上的点电荷q 产生的场具有轴对 称特性 在圆柱坐标系中 设无限远处为电位参考点 则点电荷q o z 在场点a r z 处产生的电位 吼2 志 p q 2 1 1 式中 p 一 2 z z 2 因此对应于点电荷的电位系数 p 2 1 2 4 z r z p 场强系数 f 一一石o p 一去 了rd rq 瓦 o 正 一菩 去 等 2 1 3 a 显然 当有多个 n 个 点电荷沿z 轴安置时 根据叠加定理r 可得 p 善只 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 l 厶 九 厶 2 线电荷 如图 2 5 所示 一长为1 的线电荷 位于z 轴上 其二端点 的坐标分别为 o z 与 o z 当选取无限远为电位参考点时 在场点 a r z 处产生的电位为 妒5 j o 二4 届e p 出 斟南 川 三l n 垒二孕 竺 4 r e z z f 卢 式中 a 一4 r 2 z z o 2 p 一 r2 z z f 2 图2 5 有限长的线电荷示意图 当场域中设置多种类型的模拟电荷时 为统一计算量纲 此处的 t 以改写为q i 这时 电位系数记为 尸 上l n 堕娑 2 1 5 4 r e l z z f 卢 场强系数为 一i a p 一石1 万1 z 8 2 0 z 1 厂z 1 a r缸 r l a8 t 一著z 去 c 吉一 一i 石 i 一 j 当场点a 位于z 轴 r 0 上时 则其相应的电位系数和场强系 1 2 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 数分别为 和 p 瓤告 啬 n 薯l 3 环形线电荷 a f r z o j 蕾通 r 厂熬 k q r 图2 6 环形电荷示意图 2 1 7 带有电量为q 的圆环 半径为r 其轴线与z 轴重舍 如图 2 6 所示 圆环中心的坐标为 o z 当参考点选在无限远处时 此环在场 点a r z 处产生的电位 妒 等d w 2 1 9 式中 p 4 r 2 j r 2 2 r r c o s w z z 2 令口 r r 2 z z 2 2 2 0 七 巫 2 2 1 c t 将式 2 2 0 2 2 1 代入式 2 1 9 后进行变量置换 令 臼 y t w 2 2 2 2 不难推得 南 l响 上铡 f 疋 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 妒 丽qj f 志 上式中的积分式在k l 时 即为第一类完全椭圆积分k k 踯 一叠志 将上式代入式 2 2 3 则得 妒一焘琊 故电位系数为 p 赢k 七 同样 由r 亓 v p 得场强系数的表达式 一竖 j 一 打加2 e一丢 筝豢哪 拿 在上式求导过程中 代八 p 瓜j 再丽 y r 2 一 2 z z 2 以及 警 半一半 各关系时 则得 一去b 删一寺 舢 f 0 r 0 和 驴去等踯 2 2 7 b 式中 e k n 第二类椭圆积分 可用第一类椭圆积分来表示 即 黔p 厮 p 其中 k 1 一k 2 1 4 2 2 8 4 一 4 巧 拍 2 2 一 m 汜 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 3 三维场中的模拟电荷 实际的工程问题常合成三维电场分布 例如 当点电荷 线电荷 不位于z 轴或环形线电荷的轴线不与z 轴重合时 电场即呈三维分布 形态 对这类应用于三维电场的模拟电荷常采用两种处理方法 其一 是l9 6 8 年p p s 儿v e s t e r 在其著作中列出了任意位置的点 线与环 形电荷等类型的模拟电荷在三维场中的电位与场强系数的表达式 读 者可以直接引用 但计算公式较为复杂 其二是采用坐标变换的方法 其基本思想是 在计算场域中建立一个新的坐标系l n 局部 坐标系 该坐标系设置原则是使模拟电荷在局部坐标系中产生的场 具有平行平面或轴对称的特性 然后将任意a 点的坐标 x y z 转 换为局部坐标中的坐标 1 q 这样 由2 1 2 节中 2 的讨论即可获得在局部坐标系中模拟电荷关于点a i n 的 电位系数p 与场强系数f 就标量值而言 在不同的坐标系下只要它 们的参考点为同一处 则所获得的各个计算值可直接相加 而对于场 强系数则需通过坐标变换 将厶 矗变换到原坐标系x y z 整体坐 标 下的f f f 后一方法必须进行坐标变换和反变换 显然增 加了计算步骤 但由于坐标变换的规范化 且2 1 2 节 2 的计算 式又比较简单 故实际应用还比较方便 2 1 3 小型c f a 天线分析实例 如图2 7 所示的小型天线 当在e 盘和地面之间外加一个高频信 号后 在c f a 周围激励起一个高频电场 电场营的分布取决于电荷 在e 盘上的瞬态分布 因为e 盘是呈圆柱状 所以我们可以选用环 形模拟电荷来计算 在e 盘的内部选取n 个环形模拟电荷q i r z i 1 2 n 并在 e 盘表面选取相应的匹配点 设各个匹配点的电位 妒 f 1 2 3 埘 已知电位值 考虑到地面的影响 在地面下方 对应的地方殴置这n 个模拟电荷的镜像电荷q h z i 根据叠加原 理 对应于个匹配点 可得到如下方程组 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 图2 7e 盘上模拟电荷的几何分布 妒 p 一p q p 2 一p i 2 q p 一p i q i 妒 p 2 1 p 1 q p 丝 p z z q 2 0 一p q 1 吼 0 加 p q l o p q 0 一p 二 q 2 一2 9 式中系数b 表示第j 个单位模拟电荷在第i 个匹配点上产生的电 位值 曩表示第j 个单位模拟电荷的镜像电荷在第i 个匹配点上产生 的电位值 根据式 2 2 6 可计算出各电位系数的值 代入上式 即 可算得各模拟电荷的量值 在e 盘表面另取若干个点 校验计算精 度 若不符合要求 则重新调整模拟电荷的设置 位置 个数和形态 直到满足一定精度要求为止 这样就可以利用式 2 2 5 式 2 2 6 计 算得到e 盘周围电势和电场的分布 下面以一个小型天线为例验证程序和算法的正确性和有效性 如 图2 8 所示结构图 h 1 2 0 2 5 m hz 0 1 m h3 0 0 5 m r l 0 1 m r 2 0 2 m v 1 2 1 8 0 v v 2 2 0 0 v f 3 6 m h z 模拟电荷初值的选取一般是根据经验 但也有一定的规律 由于 模拟电荷与匹配点的布置对于计算精度有很大的影响 在具体操作 上 通常由于匹配点位于电极的表面 所以首先选定匹配点的位置 然后决定相应的模拟电荷 经验表明 模拟电荷宜正对匹配点放置 并以落在边界的垂线上为佳 模拟电荷对于边界面的垂直距离a 与该 6 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 处上下相邻的两个匹配点间的距离b 的比值 a b 为o 2 1 5 通常可 取0 7 左右 h 2 斗 二二岁 b 3v ic 图2 8 小型天线结构图 计算中模拟电荷取1 5 个 半径为o 8 8 n 3 z 轴值分别为o 3 5 8 4 9 7 m 0 3 5 0 1 6 3 m0 3 4 1 3 3 9 m0 3 3 1 9 6 4 m0 3 2 1 2 5 m0 3 0 8 7 5 m0 2 9 3 7 5 m 0 2 7 5 m0 2 5 6 2 5 h 10 2 4 1 2 5 m0 2 2 8 7 5 m0 2 1 8 0 3 6 m2 0 8 6 6 1 i 10 1 9 9 8 3 7 m o 1 9 1 5 0 3 m 可以得到天线周围的电势分布 如图2 9 所示 e 己 图2 9 电势图 由图2 9 可知计算结果与电极边界电位值基本一致 其电位最大 相对误差为0 1 1 考虑到电极具有轴对称性 图中只画出其中的一 1 7 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 半 同时 在交叉区域z 0 0 3 m 时的电场和磁场如图2 一1 0 所示 它 们合成的坡印廷矢量如图2 一1 1 所示 图2 一1 0 电场与磁场值 a 电场 b 磁场 图2 i ic f a 产生的坡印廷矢量 1 8 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 2 2 优化的模拟电荷法 2 2 1 最优化方法概述 最优化问题即指对给定条件的问题做出最佳的抉择 用数学语言 来说 就是决定一组变量的值 使其对应的目标函数达到最大或最小 自从电子计算机问世以来 最优化技术得到了极快的发展 特别近十 几年来 随着近代科学技术的发展 以及电子计算机的广泛应用 使 最优化技术无论在理论还是实际应用方面都得到了迅速发展 根据物理问题所对应的数学模型 最优化问题可分为无约束最优 化和有约束最优化两大类型 无约束最优化问题的 般形式为 f x m i n 或m a x x d c r 2 3 0 式中x 为1 1 维实欧氏空间r r 表示所有可能的n 维向量的集 合 中的一个 维向量 f x 为给定在n 维实欧氏空间r 中区域d 上的实值函数 称之为目标函数 无约束最优化就是在r 中找到一 列向量x 使目标函数f x 取极小值或极大值 有约束最优化问题的一般形式为 f x m i n i m a x x e d cr 雎 x 喊驯 o k 2 3 1 1 h x 一o j 1 p 即在满足约束k i x o 或s 0 及h j x 一0 的条件下 求目标函数f x 的极小 极大值 k i x 喊so 称为不等式约束条件 h x 一0 称为 等式约束条件 当k i h j 为非线性函数时 就称为非线性约束 若目 标函数f x 是一次函数 不含自变量的二次或二次以上的项 如 n f x 一罗c x 2 3 2 箱 且约束条件为线性等式或线性不等式的问题就是线性规划问题 相应 地 若f x 是x 的二次或高于二次的函数 约束条件为线性等式或 1 9 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 线性不等式时 即为非线性规划问题 2 2 2 变尺度法 1 处理无约束最优化问题的基本思想 前已指出 所谓最优化问题 就是在n 维实欧氏空间r 中区域 d 内求出一点x x 1 x 2 x 7 使目标函数f x 达极小或极大值 则 x 被称为x c o 给定的初值 附近的最优函数 且对非二次函数来说 在极小点附近一般可用二次函数逼近 所以在设计各种算法时 往往 力求对二次函数有良好的性质 如收敛性 稳定性等 尤其在收敛 速度方面 若算法对二次函数具有有限步收敛 也称二次收敛 的性 质 则将它用于非二次函数时 当x 接近x 也有较快的收敛速度 因此在最优化方法的讨论中 首先着重于分析二次函数的极值问题 若用向量及矩阵表示正定二次函数 f x e x b i x i 三薹扣一 2 3 3 则有 f x c b t x 1 x r a x 式中x 是由1 1 个未知量组成的列向量 正定的r l 阶常矩阵 式 2 3 4 的梯度为 v f x b a x 这可说明如下 2 3 4 b 是n 维常向量 a 是对称 b t x b 1 x 1 b 2 x 2 b n x n b 7 x b x t x x 12 x 2 2 x n 2 x 7 x 2 x i i a 2 n c 丢x 7 2 堵矗p 糖 v 2 3 5 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 2 a i j x l 三a i x i x j l j ll j l x a x x 7 a x 1x t a x o0 0 1 0 0 a x 所以 1x t a x a x 若x 是f x 的极小值 则必有 b a x o 由于a 是正定矩阵 所以 x a 1 b 2 3 6 因此 欲求二次函数的极值解 首先需求线性方程组 a x b o 的根 任意非二次多元函数的极值问题的求解 理论上归结为解非线性 方程组 v f x o 2 3 7 的问题 然后用二阶导数矩阵a 来判别f x 的驻点是否为极值点 但是许多实际问题往往不能求出或难以求出目标函数关于各自变量 的偏导数 因此就无法形成相应的非线性方程组 2 3 7 即使形成 了非线性方程组 其求解方法之一亦归结为求函数的极值问题 所以 对于无约束最优化问题的求解 通常不是从式 2 3 7 出发 而直接 从目标函数的特征出发 构造一个逐次逼近的算法 使目标函数下降 到最小值 各种逐次逼近法大都有以下四个步骤组成 1 选择初始近似点x 0 1 2 从已算得的第i 次近似点x 出发 选择一个方向p i 称为 搜索方向 3 在p 方向上找到新点x 1 1 x t p 使 f x f x 2 1 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 式中 称为p 1 方向上的最优步长因子 4 若新点满足 f x 1 一f x i l 2 3 8 或i f f x 1 f f a 2 3 9 或l i p 1 1 或p 的每个分量都 a 2 4 0 则认为找到了局部最小值点x x 否则以x 作为新点 在回 到步骤2 继续进行搜索 式 2 3 8 2 3 9 2 4 0 中的 为 预先规定的误差 2 d f p 变尺度法 d f p 变尺度法是由w c d a v i d o n 在1 9 5 9 年首先提出来的 1 9 6 3 年被r f l e t c h e r 和m j d p o w e l l 从理论上加以补充和完善 到1 9 7 0 年再由r f 1 e tc h e r 改进 此法是近几十年来发展起来的求解最优化 问题的有效数值方法 它综合了最速下降法在初始点附近函数值下降 很快以及牛顿法在极值点附近收敛很快的优点 其核心在于构造一个 正定矩阵l r i 1 逐次逼近a 一 这样既能避免求目标函数的二次导数 矩阵的逆阵 又能有较快的收敛速度 其迭代格式为 fp h i g t j x i 1 x i 外 p i 2 4 1 1 日 o 1 l 其中1 位n 阶单位矩阵 h 可按以下原则构造 1 要求算法稳定 即对一切i 均有 f x 1 o 2 由于具有完备形式的搜索法的搜索方向对a 共轭 则算法具 有二次收敛性质 因此希望p i i g 1 对于正定矩阵a 为共轭 故 令p 1 a p 0 以保证方法具有二次收敛的性质 3 为计算方便 希望公式具有递推形式 即 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 的 h i 1 h ah 根据以上原则可得出计算h h 1 的多种形式的公式 在d f p 法中 i i i 1 h i ah h i c i d i 洲 刀o i c r m 一搿 2 4 2 其中 g g 2 4 3 s x x 2 4 4 可以证明 只要h o 为对称正定矩阵 则按式 2 4 2 桩3 造的h 都为正定矩阵 且 h a 所以 x x 综上所述 d f p 方法中第一次搜索方向选用目标函数的负梯度方 向 使函数按最快速度下降 相当于最速下降法 在迭代到底1 1 次时 h n a 相当于牛顿法 由于在迭代过程中h 1 逐次变化 所以称 之为变尺度 或变矩阵 法 对n 维变量的二次函数 至多进行n 次迭代就可达到最小值 对非二次函数 一般迭代次数大于n 但也 是有限值 f l e t c h e r 和p o w e l l 对1 0 0 个变量的非线性联立方程进行了 求解 当迭代到1 6 2 次时 函数达到极小值 变尺度法的计算步骤 1 置搜索方向p 一t l g 第一次设h o 为单位矩阵 2 按一位搜索法确定最优步长因子x 1 即以九为变量 求 一元函数f x 九p r a i n 3 计算s 九p n x 1 x s f x 1 g 1 v f x 1 v 1 g i 一g i c c 了o i 咿 c r i r 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 k 涮举 h 1 h cc i d t 4 置迭代次数i i 1 重复步骡1 5 当g 小于某个规定值 或者当目标函数小于某个事先规 定的值 则迭代停止 3 三次插值法 最优化方法的另一关键问题就是最优步长九的确定方法 它是一 个以九为变量的一元函数 y 九 f x p m i l l 2 4 5 的极值问题 即所谓的一维搜索或线性搜索 为了保证所取九的精确 本文采取三次插值法 三次插值法是在线段x x i 入p 上任取两点 例如x a x b 使得在此两点之间存在y 九 的极小值 既有 y a g x a p t p o 2 4 6 然后由a b 两点处的函数值f x a p f x a p 在区间 a b 中建立一个三次多项式 然后用此三项多项式的极小值来逼近y z 的极小值 故此方法必须解决以下两个问题 一是区间a b 的确定 二是建立三次多项式及其求极值的公式 区间a b 可确定如下 问题是从x 点出发 沿p c 方向求 y 九 f x p r a i n 故应取a 0 并令b a 于是需要确定a 之值 函数y x 在区间 0 a 内可能存在极小值的情况 2 1 2 和图 2 一1 3 所示的两种状态 对于图 2 1 2 和图 2 1 3 应分别有 y 0 o y o y o y a o 不外乎如图 2 4 7 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 y y 0 0 y y 0 0 幽2 1 3 现将y 九 在零点附近用泰勒级数展开 且只取到二次项 则有 y 九 y o y o 九 o 5 y 0 九2 2 4 8 上式求导有 y 九 y o y o 九 九 为y 九 的极小值 设其对应的极小值为y m 则有 y 九 y o y 0 九 o y 九 y o y 0 九 o 5 y o 九 2 y m 从以上二式可得 如一2 y m 州 y o 2 4 9 一一蔓三兰篓型皇堕鲨兰壅塞堑童查墨 式中的y o f x y o g x i t p 故若假设了y 九 的极小值 可得对应的极小值九 图中的九 而区间a 至少应该等于九 故取a 的第一次近似为 a 九 至于这样估算的a 值是否恰当 可根据图 2 1 2 和图 2 1 3 判定 因为p 为函数的下降方向 所以y o o 总是满足的 故需计 算y a f x i p o 及y a 若y a o 且y a y o 则表示在区间2 九 内存在函数y 九 的极小值 如图 2 1 3 所示 故 可取a 2 k 否则再将2 九 扩大一倍 重复上述过程 直至y a y 0 为止 实际计算时 因为y m 是假想的极小值 且因九 的大小还与p 有关 根据f l e t c h e r 和p o w e l t 的经验 如果 o x 7p 叮1 7 2 可取a 九 否则取 a p 叫p 一1 7 2 2 5 0 现在讨论在区间 0 a 内 如何建立求九 的三次内插公式 设将y 九 用以下的三次多项式近似 y x a o a 1 x a 2 k 2 a a 3 2 5 1 故此三次多项式的极小值九 可由下式 y 九 8 l 2 a 2 九 3 a 3 九 2 o 2 5 2 确定 式中的系数a o 8 1 a 2 a 3 由f x 1 在p 方向上0 a 两点处 的函数值及导数值确定 今用g o g 表示y 九 在0 a 两点处沿p 1 1 方向的方向导数 即 g o y 0 c x t 7 p 1 2 6 笙三童篓垫皇堕些兰童塞堑童查堡 一 g a y a g x 1 a p 1 1 p 2 5 3 又 y a a o a l a a 2 a2 a 3 a 3 y a 8 l 2 a 2 a 3 a 3 a 2 而y o a o f x o y a f x ap i g o y o a 1 a 2 a2 a 3 a 3 y a y o 一g a 2 a 2 a 3 a 3 a2 g a g o 令 z 3 a y 0 y a g g o 则由式f 2 5 5 n 得 a z a 一 g o z a 3 a 1 3 g g o 2 z 将a l g o 即上式代入式 2 5 2 中 得 y 九 g o 一2 g o z l a g g o 2 z 九 2 a 2 0 可解得 2 5 4 故上式化为 2 5 5 2 5 6 2 5 7 2 5 8 笠 鱼 墨兰 鱼 墨 二鱼坠 鱼 丝型 a g g a 2 z 2 5 9 gzw n g o g 2 z 式中 w z 2 g o g 1 7 2 2 6 0 式 2 5 9 q uw 前的 4 号应由y 九 的符号决定 由式 2 5 8 和 2 5 9 n i 得 y 九 2 a g o z 2 g o g 2 z 九 a 2 2 w 4 口 若x 为极小值 则应有y 九 o 故w 前应取 号 由此 根据0 a 两点上的函数值v x f x 1 a p 1 以及该两 点上的导数值g0 g 就可求得最优步长x 经验证明 为了提高数值计算的精度 式 2 5 9 可改记为如下形 2 7 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 式 0 g w z a 1 瓯一g 2 2 6 1 归纳以上过程 可列出三次插值法求极小值的步骤如下 1 计算 y d f x g o g x 7 p 若go o 则根据事 先指定的y m 计算九 选定区间a 2 计算 y a f x i a p g g x a p t p 3 g o 并且y a y o 则执行4 否则转到5 4 将区间扩大一倍 即用2 a 代替a 再次计算y a 2 7 zg 并 回到3 5 在区间 0 a 内作内插值 按式 2 5 6 r 2 6 0 2 5 9 计算 九 6 按照g 0 或 o 分别在缩小的区间 o 九 或 九 a 内再 次求九 7 当区间a 小于某个规定值 或者当前后两次算得的函数值 之间的差值小到某个规定值 则计算结束 2 2 3 用变尺度法求模拟电荷的最佳位置及电荷值 在用模拟电荷法计算电场的过程中 由于模拟电荷的位置是凭经 验设置的 通常根据第一次设置的模拟电荷算得的电极表面的电位值 不一定能满足预先规定的误差要求 需要重新修正模拟电荷的位置 直到算得的电极表面的电位值满足规定的误差为止 若用以上最优化 方法 则可自动找到满足电极表面电位误差要求的模拟电荷的位置及 其量值 然后利用该组模拟电荷就可顺利地求出全域的电场分布 场的唯一性定理要求由模拟电荷产生在电极表面的电位值与给 定的电位值相等 显然 若二者闻的误差越小 则由模拟电荷算得的 电场分布越接近于真实的电场分布 因此 用电极表面的电位误差作 为目标函数是适宜的 第二章模拟电荷法与麦克斯韦方程 设妒0 为电极表面己知的电位值 c d x 为一组模拟电荷算得的电 极表面的电位值 x 为模拟电荷的位置及量值所组成的一组自变量 今取电极表面电位误