（基础数学专业论文）obg+v+bacbg的一个证明.pdf

西南大学硕一 学位论文 摘要 汐历够v 历衫 够留够的一个证明 基础数学专业硕士研究生胡立万 指导老师郭聿琦刘国新 摘要 回顾半群代数理论发展的历史 完全正则半群作为一类重要的正则半群 它的 研究成为半群代数理论中一个相当活跃的领域 和其他代数一样 对半群分类是半 群代数理论的一个主要任务 半群簇理论是研究半群分类的重要工具 在完全正则 半群簇方面 研究完全正则半群簇的子簇格具有重要的意义 例如 已经搞清楚了 正规带的拟簇格 正则带的簇格 完全正则半群簇有许多子簇 在探究子簇格的过 程中 需要将任何两个子簇的 v 和 a 做出来 1 9 9 9 年 p e t r i c h 和r e i l l y 提出 一个这样一个公开问题 f 1 1 第1 0 1 页 问题i i 8 9 0 留鬯v 国西 国g f l 本文利用h s p 一方法证明了该等式成立 并且证明中不涉及到密码群并半群的结构 定理 本文的证明方法对于p e t r i c h 和r e i l l y 提出来的另一个公开问题 1 第9 7 页 问题i i 7 8 f i i 汐vh 够 具有相当重要的借鉴作用 因为完全 f 贝l j 半群目前还没有准确的结构定理 全文共分三章 第一章预备知识 第二章相关概念和引理 第三章汐留够v 纺 够历够的证明 关键词 簇h s p 方法密码群并半群汐留箩留 够留箩 kp r o o fo f 移 嘈v 毋鲤 呖留 m a j o r a l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s n a m e h ul i w a n s u p e r v i s o r g u oy u q i l i ug u o x i n a b s t r a c t r e v i e w i n gt h eh i s t o r yo ft h ea l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s c o m p l e t e l yr e g u l a r s e m i g r o u p s a sa ni m p o r t a n tk i n do fr e g u l a rs e m i g r o u p s i ss t u d i e db ym a n yp e o p l e l i k eo t h e ra l g e b r a i ct h e o r i e s t h em a i nt h e m ei nt h ea l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s i st h es t u d yo fc l a s s i f i c a t i o no fs e m i g r o u p s t h et h e o r yo ft h ev a r i e t yo fs e m i g r o u p si s t h eu s e f u lt o o lt od i s c u s st h ec l a s s i f i c a t i o no fs e m i g r o u p s i nt h ea s p e c to ft h es t u d y o ft h ev a r i e t yw i t h i nc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s i ti sm e a n i n g f u lt oi n v e s t i g a t e t h el a t t i c eo fs u b v a r i e t i e so fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s f o re x a m p l e w eh a v e g o t t e ng o o dc o n c l u s i o n sa b o u tl a t t i c eo fv a r i e t i e so fr e g u l a rb a n d sa n dl a t t i c eo f q u a s i v a r i e t i e so fn o r m a lb a n d s i nt h er e s e a r c ho fl a t t i c eo fs u b v a z i e t i e s w eh a v et o s t u d vt h e v a n d a o fa n yt w os u b v a r i e t i e s i n1 9 9 9 p e t r i c ha n dr e n l yp r o p o s e d s u c ha no p e np r o b l e m 1 1 p a g e1 0 1 p r o b l e m1 1 8 9 t h i st h e s i sg i v e san e wp r o o fb yh s p m e t h o d n e v e rr e f e r r i n gt ot h ec o n s t r u c t i o n t h e o r e mo fc r y p t o g r o u p s t h ew a yd e a l i n gw i t ht h ep r o b l e mm a y s e tag o o de x a m p l e f o ru st oa n s w e rt h eo t h e ro p e np r o b l e mp r o p o s e db yt h es a m et w op e r s o n s j 1 p a g e 9 7 p r o b l e m i l 7 8 i i ovh 馥 飞 f o rt h e r ea r en oe x a c tc o n s t r u c t i o nt h e o r e m so fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tc h a p t e r w eg i v es o m ep r e p a r a t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r w el i s tr e l a t e dc o n c e p t i o n sa n d e m m a s i nt h et h i r dc h a p t e r w ep r o v et h ei d e n t i t y k e y w o r d s v a r i e t yh s p m e t h o dc r y p t o g r o u p o 绕暗伤圆 绕瞪 i i 独创性声明 学位论文题目 o b gvb a c b g 的一个证明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果 论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果 文中已加 了特别标注 对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师 朋友 同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢 学位论文作者 噶惑盖乃 签字日期 彳年厂月t 夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留 使用学位论文的规 定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允 许论文被查阅和借阅 本人授权西南大学研究生院 筹 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩 印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 本论文 口不保密 口保密期限至年月止 学位论文作者签名 强奶 导师签名 参0 6 自够k 矽 签字日期 p 丐年厂月f 多日签字日期 v 矿c 7 年y 月纱日 西南大学硕士学位论文 刖舌 一 月i j罱 创立于上世纪初的半群代数理论 它的系统研究始于上世纪5 0 年代 a d w a l l a c e 和a h c 1 i 肋r d 作为当时的代表人物建立了t u l a n e 学派 几乎同时 法国 m p s c h u t z e n b e r g e r 和俄国l i a p i n 也分别创建了巴黎学派与s v e r d l o v s k 学派 7 0 年代初 a h c l i 舫r d g b p r e s t o n 及h o f f m a n n 等人创办了国际性专f t u 物 半 群论坛 s e m i g r o u pf o r u m 回顾整个半群代数理论发展的历史 正则半群一直占据主导地位 完全正则半 群作为一类重要的正则半群 它的研究成为半群代数理论中一个相当活跃的领域 和其他代数一样 对半群分类是半群代数理论的一个主要任务 半群簇理论是研究 半群分类的重要工具 首先我们回顾一下 1 中关于簇的一些内容 我们知道泛代数的一个重要主题 就是研究同型代数关于一个或多个结构封闭的代数类 首先定义h s p 三个算子 再由这些算子给出簇的定义 一个莎型的非空代数k 是簇当且仅当它关于子代 数 同态像和直积封闭 关于簇g b i r k h o f f 给出一重要定理 若一个代数类关于算 子h s p 封闭 则它可用等式类来表示 即一个代数类是簇当且仅当它能用等式类 来刻画 簇是代数学研究的一个重要领域 我们对半群进行分类时 经常使用的工具就 是簇 1 9 6 7 年h n e u m a n n 在 1 5 中讨论了群簇的问题 t e v a n s 于1 9 7 1 年在 8 中给出了关于半群簇的格的刻画 此后人们开始着手刻画一些结构相对特殊性质 相对较好的半群簇 1 9 7 9 年v v r a s i n 在 2 7 2 8 中讨论了完全单半群簇的格 及自由完全单半群 之后在 2 9 中 他给出关于c l i f f o r d 半群簇的刻画 1 9 8 1 年m p e t r i c h 与n r r e i l l y 在文 2 l 中讨论了关于群簇与完全单半群簇的刻画 接着两 人又在文 2 3 1 中研究了中心完全单半群簇 l p o l s k 在 半群论坛 上相继发表三篇 关于完全正则半群簇的文章 参考 2 4 2 5 2 6 除此之外还有不少关于完全正则 半群簇及其伪簇的文献 参考 1 4 1 6 1 7 1 8 3 0 当然也不乏关于特殊半群 簇及自由对象的研究成果 如 3 1 3 2 3 3 1 3 4 3 5 通常我们会借助一些算子来研究簇 在研究完全正则半群簇时 算子日是通 过已知簇获得新簇的一个有效工具 比如日 留 乡留 勿 留 就是通过算 子日分别作用在完全正则半群簇 密码群并半群簇 左密码群并半群簇 右密码群 并半群簇上得到的 密码群并半群是完全正则半群中最为重要半群类之一 称一完全正则半群s 是密码群并半群 如果其上的g r e e n 关系形是同余 密码群并半群又称为群带 1 9 8 2 年m p e t r i c h 与n r r e i l l y 在文 2 2 中研究了密码群并半群泛性 如 若带 西南大学硕士学位论文刚舌 够除满足等式a 2 a 外 还满足等式u 口 则可用伊记满足等式护 v 0 的密码 群并半群 2 西南大学硕士学位论文 第1 章预备知识 1预备知识 1 1 基本概念 令s 是一个非空集合 称二元组 s 为一个半群 如果 是s 上的一个满 足结合律 v a b c s a b c a b c 的二元运算 在不引起混淆时 对于任意a b s 我们简称s 为半群 将a b 简记 为口6 1 s 称为s 的幺元 或单位元 若 v s s l s s l s 易证 一个半群至多含有一个幺元 或单位元 称三元组 m 1 或简称m 为 一个幺半群 如果 m 是一个含有幺元1 的半群 如果s 没有幺元 在su 1 上规定1 1 l 且 v s s l s s l s 则su 1 成为一个幺半群 1 为其幺元 于是 我们总可以用s 1 表示如下幺半群 q 1 一js 若s 含有幺元 一1su 1 若s 不含幺元 称s 中满足a 2 a 的元素a 为幂等元 若a s 则a 中的幂等元集为e c a 称半群s 为带 如果s 中每个元素都是幂等元 z s 称为s 的左零元 右零元 如果 v s s z s z 8 2 z 若半群s 中的元素都是左零元 右零元 则称其为左零半群 右零半群 特别地 用 三2 兄2 表示两个元素的左零半群 右零半群 令a 与b 是半群s 的两个子集 我们用a b 表示 a ba a b b 容易验 证 v a b c s a b c a b c 通常情况下 我们也写a 6 作m 写 o b 作o b 若s 没有幺元 a s 则通常 情况下s a 中未必含有a 我们分别用s 1 a a s l s 1 a s l 表示如下三个集合 s ou q q su o s a sus nun su o 3u 西南大学硕士学位论文 1 1 基本概念 令s 是一半群 则s 上的格林关系定义如下 a 乡b 乍净s 1 a s l ba b s a 纺b 令a s l b s la b s a b 钳s 1 a s l s 1 b s l a b s 另外 形 pn 刀 9 pv 刃 称半群s 上的二元关系p 为左相容的 若 v a b c s a pb 号c a pc b 类似地 称p 为右相容的 若 v a b c s apb 兮a cpb c 称p 为相容的 若 v a b c d s apb cpd 令a cpb d s 上的 左 右 相容的等价关系称为 左 右 同余 称半群s 中元素a 为一正则元 如果存在x s 使得a x a a 称半群s 为一正则半群 如果s 中任何元素都是正则元 若a s 且存在 s 使得 a a 7 a a a 7 口 口 则称a 7 为a 的一个逆元 容易验证 每个正则元都存在逆元 称半群s 中元素a 为一完全正则元 如果存在a 7 s 使得a a 7 a a a a a a 称半群s 为一完全正则半群 如果s 中任何元素都是完全正则元 定理1 1 2 5 定理 c l i f f o r d i i 1 4 令s 是一半群 则s 是完全正则半群当 且仅当s 的每个澎类是一子群 令s 是完全正则半群 a s h o 表示a 所在的形类 a 1 表示a 在群h 口中 的逆元 a o 表示群h 口的单位元 称完全正则半群是纯正的 如果它的幂等元形成半群 令够是一个带簇 称纯 正群并半群s 是够一纯正的 如果e s 够 记纯正群并半群簇为汐 称完全正则 半群是密码群并半群 如果它的形关系为同余 称密码群并半群s 是够一密码群 并半群 如果s 澎 够 记密码群并半群簇为留箩 对于正则半群s 定义一个关系 a b 营存在e f e s 使得a e b b f a b s 容易验证 是s 上的偏序关系 我们把这种用s 的乘法运算定义的偏序关系叫做 自然偏序关系 用e s 记s 上的等价关系的全体 令p 芎 s 称s 满足p 优化 如果 a b c s a b a c b 口c 则b c 4 西南大学硕士学位论文 第2 章市h 关概念和引理 定义1 2 7 定义i i 9 3 罗型非空代数类k 称为簇 如果它关于子代数 同 态象和直积封闭 定理1 3 1 定理 b r i k h o f f 1 8 9 一个代数类是簇当且仅当它是一个等式 类 对任意代数簇少 记少的子簇集合为乡 定理1 4 1 命题1 8 1 0 令少是一代数簇 则乡 少 关于包含关系形成完 完全正则半群是一类同型代数 它关于子代数 同态象和直积封闭 用馓记 完全正则半群簇 用2 绷 记够留的完全格 且 馏 a a a a a a 1 一 a a a l a 本文将涉及到多个完全正则半群簇的子簇 行文遇到时再具体说明 2 1问题的背景 2 相关概念和引理 1 9 9 9 年 p e t r i c h 和r e i l l y 提出一个这样一个公开问题 1 第1 0 1 页 问题i i 8 9 o 铝圆v 毋露 溺留f l 2 0 0 6 年 刘国新和张建刚利用 3 中的密码群并半群的结构定理证明了该等式成 立 本文的主要目的是给出一个自我封闭的证明 即在证明的过程中不借助于密码 群并半群的结构定理 2 2相关概念 记完全正则半群簇的子簇集为彤 够纺 称一个完全正则半群s 是中心的 如果s 中的任何两个幂等元的乘积都落在含它的极大子群的中心 中心完全正 则半群类形成一个簇 记作够 称s 为一个纯正群并半群 如果幂等元集e s 形成一个带 对于一个完全正则半群s 称由e s 生成的s 的子半群为s 的核 记作c s 如果s y 是一个完全正则半群 那么c s u 0 y c 1 p r o p o s i t i o ni i 6 2 称完全正则半群s 为密码群并半群 如果格林关系彤是s 上 的一个同余 密码群并半群是群的带 密码群并半群类形成一个簇 记作留够 对于 少 p 够勿 定义算子h f 1 1 h 少 s 馓i v e e s h e 少 5 西南大学硕士学位论文2 3 相关引理 能够证明h y 是完全正则半群簇的子簇 记阿贝尔群形成的簇为 称完全正 则半群 s 是过阿贝尔的如果s h 过阿贝尔的密码群并半群s 叫做阿贝尔 群的带 把所有过阿贝尔的密码群并半群类记作历 我们有留 h dn 勿够 因此留 是完全正则半群簇的子簇 记中心密码群并半群类为够绍够 我们有 够留够 够n 留够 它是完全正则半群簇的子簇 一个纯正的密码群并半群叫做纯 正密码群并半群 所有纯正密码群并半群形成一个簇 记作汐留汐 它是完全正则 半群簇的子簇 1 1 中给出了半群的强半格的定义 令y 是一个半格 对于每一个q 令 是一个半群 并且 n 昂 0 如果q p 对于每一对q p y 且q p 令 卢 一昂是一个同态 并满足 i 口 也 其中也是 上的恒等映射 i i x 口 a x a 1 x a y 如果o t 卢 一y 在s u 口 y 上定义乘法 a 木b a x p 6 x 卢 咽 a s 么 b s 矗 根据该乘法 s 成为半群 的一个强半格 并记s 夕 y 卢 特别地 如果 每一个 都是一个群 那么s 就叫做群的强半格 1 第1 7 2 页 定 里i v 2 4 一个 半群s 是c l i f f o r d 半群当且仅当s 是群的强半格 记箩为群类 夕够为c l i f f o r d 半群类 2 3相关引理 引理2 1 1 引理i i 2 2 0 令s 为一个完全正则半群 则对于任何整数k 都 有a 0 口6 知 a b 七 0 6 七b o 引理2 2 或见 1 引理i i 4 4 令s 为一个完全正则半群 则对于任何e e s a s e a e o e a e o e a o e 证明 由引理2 1 e a o e e a 一1 e a e e a 一1 e a e e a e o e a o e e a e o e o e a e o e a e o 对偶地 我们可以得到另外一边的结果 口 引理2 3 1 1 引理i i 4 4 令s 为一个完全正则半群 则对于任何e e s e 1 e 1 o e o e o 引理2 4 1 推论i i 4 3 今s y 鼠 是一个完全正则半群 a b 岛 其中o t p 则 qa 彩b a 觑曲 一砂a o a b a o 6 西南大学硕士学位论文 第3 章问题的证明 引理2 5 1 引理i i 8 1 和练 j i i 8 8 i 舀够 z y o x o y o o z z y z o x y x o z 令s 为一个完全正则半群 对于任何a s 1 4 三口 r a 表示包含a 的 乡纩一 乡一 留一 类 引理2 6 1 引理i i 6 3 令a c s 对于i 1 2 几 存在e i e r 口 e l 口 且e i f i 1 1 使得a n 1 e 矗对于适当的矗 l 1 成 立 引理2 7 令s 为一个中心完全正则半群 对于i 1 2 死 a s e t e s 并且o 纩 兀 1e 则口 兀 1e i 兀 1e o 证明 令b 兀 1e i c s 由引理2 6 对于i 1 2 m 存在g i e r b e l b 使得g i f i h b 并且b 兀饕1 吼五 矗对于适当的岛 1 1 成 立 又在完全正则半群中 如果 澎6 那么a 与b 可交换意味着a 1 与b 可交换 于是我们有 e t g i s d 日 i 1 1 仇五 日 口 i 1 n e t n t 1 因此结论成立 口 引理2 8 2 引理2 3 汐掰v 留 夕够v 历 3问题的证明 由于一个过阿贝尔的密码群并半群s 的每一个彤一类都是一个阿贝尔群 于是s 中的任何两个幂等元的乘积都落在包含它的极大子群的中心 因此 留 够留箩 而对于纯正密码群并半群s 任何两个幂等元的乘积还是一个幂等 元 显然落在包含它的极大子群的中心 因此 汐留够 够留箩 于是我们得到 6 国gv 国盛暑 国g 在接下来的行文中 我们总是令s y 鼠 够留够 对于任何q y 固定 e a e 现在定义映射x a z n p 日e 叫h e 日 口he p a e e 卢 o 7 引理3 1 卢是一个从皿 到i i 口的同态 证明 对于任何a b 1 t a o b o e 口 因此 结论得证 于是 a b x 口 卢 e 卢a b e a e p o e z a e z e a 0 6 印 o 由于e 卢彩纩 e 口 o e p a e 口e 卢e n o b e 口e p o 由引理2 2 e b a e e p o 6 e a e p o 由引理2 2 e t a e a e p o b e a e p o e 卢a e a 印 o e p b e q e 卢 o 由引理2 1 a x 卢6 x a 声 引理3 2 y i t x a a 是一个a 伽瓜半群 证明 我们只需证明 y 1 t 卢 是也 的强半格 i 令a 1 i 则o x a a e a n e e a o o i i 对于任何o 皿 由于s 是一个密码群并半群 由引理2 4 i i e 卢e y o e p a e a e p o o e p e 7 e 口 o e 卢e 1 o e 7 e 口e a e 卢 o e 卢e 1 o e p a e e 卢 o 乡纩 e 口e 7 o e t e 卢e q e p a x 口 口x 口 1 e a a e q e 卢 o x 卢 7 e 7 e 卢n e a e 卢 o e 口e 1 o e 7 e p n e q e 卢 o e l e p o e 卢e 7 o 由于e l e 卢口 e e p o 乡纩 e e 卢 o e 印o e 口e p o e y e y e 卢 o e 卢e 1 o 由引理2 1 e y e 卢 o e 卢e 7 o e r e z a e 口e p o e 7 因为唧e 解 e 0 印 o e l 绕9 e 7 印 o e p e l o 和引理2 7 e l e p o e p e 7 o e 芦a e 口e p o e l 由引理2 1 e 7 e e o e 卢e 7 e p o a e n e p o e l 由引理2 2 e 7 e p o 口 e 口e p o e 7 由 j i n 2 4 i e 7 e p 0 2 e p e y 印 o e y e 卢 o n e 口e 口 o e l e 卢e n e r o 由引理2 4 i i e 7 e 卢 o o e q e 口 o e l e 卢 e 口e 7 e l e p e 口e 1 一1 e y e 口 e 7 e p o a e q e 卢 o e a e l e l e 口e q e l 一1 由 e y e 口 o n e e 卢 o 形e l e 卢 和引理2 7 q e 口口 e q e 口 o e a e 7 e l e 口e a e t 1 e 7 e p a e a e 口e q o e 7e l e 卢e q e l 1 由引理2 2 8 口 e t e l e a e l 3 e a o o q 唧e 卢e 口q 1 由引理2 5 e 7 e p e 口 e z e a o a e 7 e y 即e 口e 7 1 由引理2 2 唧e 口e 口a e 7 e e b e q e r 一1 e r e p a e y e 7 e 口e q e r 一1 e 7 e p e a 唧 o l e y e 7 印 唧 1 由于 e 口e 1 o 屠9 0 e 1 唧印 唧 oe r a e r e 口e a q 1 由引理2 1 e 7 n 唧e p e 口q 一1 e z e 口e 7 o 由e 1 印 e a q o j 纩e o e 7 印e 口e 7 一1 和引理2 7 e 7 a e 7 e b e 口e r 一1 e l e p e 口e 1e q e 一1 e t a e l e a e 一1 e 7 口 e 口唧 o 由于口唧么口 8 a q 1 2 a x a 7 在q u 口 y 玩上定义乘法 木b a x a 卵 卵 a b 皿 爨提苷乘法 q 是群月 e 的强半格 因此 它是一个c l i f f o r d 半群 记作q y 也 x a p 口 引理3 3 1 1 命题i i 7 2 i 日 a x a o x a a z a x a o 引理3 4 令s 够勿够 则c s 历 a x a o x a a 2 7 a x a o x a a x a x a a x a x a 一1 t a a x a x a a x a x a 一1 x a a x a x a x a 1 a x a z 吐 a x a x a x a o a x a x a o 这就得到c s 且 因此c s 口 n 留够 纺 引理3 5 令r 是q 和c s 过半格y 的织积 定义映射 妒 t s a b h b e 口 o a b 其中o 风 b c s 则妒是一个从 到s 的满同态 9 口 爿s 是 獠q 汗 子证汜 晰甄 日蹦襁舭侑肭跏 例 倒 蹴现p 理徊污以引 由由据炉臻勰裂罂器嚣薪糍 胁牌勰罐 群化m 础删龇时麓跽 荔臻 鞴一 一 z m 鞍簪 明是何 证也任嗍 雪一一一 西南大学硕士学位论文 第3 章问题的证明 证明 对于任何z 令口 e r x x e o h e b z o c s 由引 n 2 2 和引理2 4 i i 妒 e a x z e 口 o 护 x o e n o e q z z e n o 扩 x o e 口 o z z e q z o o x o e 口z o o t a r o t c o x z 于是妒是满的 令o 风 c h e 口 6 c d c 昂 妒 n 6 c d 妒 e 口a a e a e a p o e a 口c e 口e q 卢 o b d 6 d e 卢 o e d 卢口 e q e 口卢 o e a p c e p e 口p o b d b d e q 口 o a e a e a 口 o c e 卢e 口口 o b d 由引理2 1 b d e 口卢 o a e q e q p o e a e l 3 e 口卢 o c e o e 口 o e 卢e a e 口口 0 6 d 由引理2 4 i e e q p o 卫 e 口e p e a 卢 o e 卢e 口卢 o p e 口e a e a 口 o b d e q 口 o 口 e a e a 口 o e 口 e a e l s e a p o c e 口e 口口 o e p e p e e a 卢 o b d 由 j i n 2 1 b d e a 口 o n e a e a p e 口 o e e l s e a 口 o c e p e q r 3 e 1 3 o e p e 口e 口卢 o b d 由引理2 2 b d e 口p oe a e 口卢e o o e a e p e a p o e 口e q p e p o c e o e 口e a 口 o b d 由引理2 5 b d e a p o e a e 口口 o e 口 e e 卢e p o e 卢e a 卢 o e p c e p e q e 口口 o b d 由引理2 2 b d e 口p o a e 口e 口e a p o c e t e q e a 卢 o b d 由弓f 理2 4 i b d e n 卢 o 汐 e q e 口卢 o e o e 1 3 e a p o 彩 e 卢e n p o b d e a 口 o 口 e q e 口6 d o e 理e 口e a p o c e 口e q 6 d o e p e a e 理p o b d 由引理2 4 i e 口e 口6 d o 叨 e a e 口e a 口 o e p e n 6 d o 历 e p e 口e a 卢 o b d e a 卢 o a e a e 卢b d e q o e 口e p e 口卢 o c e 卢e b d e p o e 卢e a e a 卢 o b d 由引理2 1a n dl e m m a2 2 b d e 口口 o e 口e p b d e 口 o a e q e 口e q p o e 口e 口6 d e 口 o c e p e 口e 口卢 o b d 由 jin 2 5 b d e q p o e 口e 口b d o n e e 卢e 口p o e 口e 口6 d o c e 口e 口e q p o b d 托j in 2 2 b d e 卢 o e q e p b d o h a o a e a e o e 卢 o e 卢e 口6 d oc e p e e 卢 o b d 由引理2 1 6 d o a e 口印e 口卢 o 即e q 配 o b d e p o 气e p 6 d oc e 口e a e a 口 0 6 d 由于 厶d o 口 e o e 卢e n 卢 o e p e a o 么9 6 d e a p o e e p 6 d o 和引理2 7 配 o a e 口e 卢e 口p o e p e 口6 d o b a l e q p o e a e 卢6 d o c e p e e n 口 0 6 d e p d o o d 由引理2 4 i i 6 d o a e a e 口e q 口 o e 胪 b d o b d e a p o e e 卢b d o c e 卢e 曲d o e p e a e n 卢 0 6 d e 卢d o o d 由引理2 4 i 即e q 碱 o 勿 e 口e a e a p u o n e a e 口e 卢 o e p e b d o b a l e a 卢 o e n e 卢b d o c e 口e a m o e 口 e q p 0 6 d e 卢 o d 胡j i n 2 2 b d o a e q e 口e 口卢 o e p e q 6 d o e 口e 口e a p 0 6 d e p o e p e q h a o b a l e a 卢 o e e 卢6 d o c d 由于 e 口e a 配 o 6 d e 口口 o e a e p b a o c 绕口 e o e a 6 d o e p e a e a 口 0 6 d e 口 o 和 3 1 理2 7 1 6 d o a e q e 口e a 卢 o e o e n e n 卢 0 6 d e 卢 o e p e q b d o b a l e a 口 o e a e 卢6 d o c d 由引理2 4 i e p e n 础 o 勿 e 口e e 卢 o 6 l d o a e q e 口e q 卢 o 6 d e j b o e 口e 6 d o b d e p oe 口e 口6 d o c c l 1 0 西南大学硕士学位论文第3 章问题的证明 由 jin 2 4 i e a e b e q 口 o 乡 e 卢e a e a 口 o o 口 e 口e o e a p o 娥q 口 o e a 印6 d o b d e 口 o 即e 口猁 o 础 由于 b d e q 口 o e 口e p b d o 澎6 如p o e p e q 6 d o 和引理2 7 6 d o n e 口e 口e q 卢 o e 口e 口b d 0 6 d e p o e p e a o 冽 由引理2 4 i e 口e 卢e 口卢 0 2 b d e q 卢 o 6 d o o e 口e 口b d 0 6 d e 口 o e p e 口碱 o c d 由i jin 2 4 i e a e p e q 卢 o 纫 e n e 口b d o 6 d o 口 e 口e p b d o e o e q 6 d 0 6 d e 口 o e 卢e 口6 d o e 口 c d 由引理2 4 i e 口e 芦b d o j 汐 印e 口磁 o 配 o o e 口印6 d o e 口e a 6 d o e 口 e 卢e 6 d o b d e 卢 o c d 由于 e 卢e n 磁 o e 口乡垆 e 卢e 6 d 0 6 d e 卢 o 和引理2 7 6 d o o e n e p 6 d o e 口e 0 6 d 0 6 d e p o c d 由弓i 理2 1 配 o o e a e 口b d 0 6 d e 口 o c d 由引理2 4 i e 口e 卢b a o 夕 e 卢e 配 o 6 d o o e a e p b d o e q 6 d 0 6 如p o 以 由引理2 4 i e 口印6 d o p e n 6 d o 6 d o a e 口e 卢b d e o e n 6 d 0 6 d e 口 o c d 由引理2 1 和引理2 2 o e a e p b d e q o a e w 0 6 d e p o c d 由引理2 5 b e 口6 0 o 配 o e 卢b d o e a 口 e 6 d 0 6 d e 卢 o c d 由引理2 4 i i 和引理2 2 b e a o 6 d o a e q 6 d 0 6 d e 口 o c d 由引理2 4 i 6 d o p e 口e 卢b d o b e 口 o e 口 6 d oa e n 6 d o 6 d e 卢 o c d 扪j i n 2 1 b e o o e 口6 d o e 口 6 d o b d e 口 o c d 由于e a 6 d o 乡纩o e a 6 d o 和引理2 7 b e 口 o a b d o b d e 卢 o c d 由于e a 磁 o 澎9 e a 6 d o b e q o 口6 d e 口 o c d 由于 6 d o 篪9b c l e 口 o c d 妒 o 6 妒 c d 于是我们证明了妒是一个从 到s 的满同态 口 引理3 6 1 引理i 8 1 1 令 2 够历 w 够历 则w 斯v 当且仅当存在 巧和k 使得w 是次直积 xk 的同态象 由引理3 6 和引理3 5 我们有够铅够 留v 留 再由引理2 8 得到够留够 侧v 勿 因为反包含关系显然成立 所以我们得到 定理3 7 汐留够v 留 够勿够 西南大学硕士学位论文 结语 结语 本文在以下两个方面得到了一些有意义的结果 1 从正面回答了这个公开问题 2 证明过程中未涉及密码群并半群的结构定理 本文的证明给以下两个问题的证明提供了一个新的思路 m 0 2 哟v 兰国刃 髻2 璺圆飞 2 1 第9 7 页 问题i i 7 8 i i i 秒vh d 够 1 2 西南大学硕士学位沦文 参考文献 i i i i i i m m 宣i i i i i i 宣 i i i i i i 宣i i i i i i i i i i i i i i i i i 参考文献 1 p e t r i c h m a n dr e i l l y n c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s j o h nw i l e y s o n s n e wy o r k 1 9 9 9 2 l i u g x a n dz h a n g j g ap r o b l e mo nc e n t r a lc r y p t o g r o u p s s e m i g r o u p f o r u m7 3 2 0 0 4 2 6 1 2 6 6 3 s o n g g t l i u g x a n dz h a n g j g ac o n s t r u c t i o no fc r y p t o g r o u p s a c t a m a t h e m a t i c as i n i c a e n g l i s hs e r i e s 2 3 2 0 0 7 7 8 9 7 9 8 4 p e t r i c h m l e c t u r e si ns e m i g r o u p s j o h nw i l e y s o n s n e wy o r k 1 9 7 7 5 s o n g g t l i u g x a n dz h a n g j g ac o n s t r u c t i o no fr e g u l a rc r y p t o g r o u p s s e m i g r o u pf o r u m6 9 2 0 0 4 4 0 9 4 2 2 6 s o n g g t m e n g x q a n dl i u g x o nt h es t r u c t i o no fc r y p t o g r o u p s s e m i g r o u pf o r u m7 3 2 0 0 6 3 9 5 4 0 3 7 b u r r i s s a n dh p s a n k a p p a n a v a r ac o u r s ei nu n i v e r s a la l g e b r a s p r i n g e r n e wy o r k 1 9 8 1 i s e v a n s t t h el a t t i c eo fs e m i g r o u pv a r i e t i e s s e m i g r o u pf o r u m2 1 9 7 1 1 4 3 9 g e r h a r d j a a n dm p e t r i c h a l lv a r i e t i e so fr e g u l a ro r t h o g r o u p s s e m i g r o u p f o r u m3 1 1 9 8 5 3 1 1 3 5 1 1 0 g e r h a r d j a a n dm p e t r i c h v a r i e t i e so fb a n d sr e v i s i t e d p r o c l o n d o n m a t h s o c 3 5 8 1 9 8 9 3 2 3 3 5 0 11 g u o x i nl i u g u a n g t i a ns o n ga n dj i a n g a n gz h a n g a ni d e n t i t yo fl o c a l l yl e f tr e g u l a ro r t h o d o xc r y p t o g r o u p s a d v a n c e si nm a t h e m a t i c s c h i n a 3 7 2 2 0 0 8 2 0 昏2 0 1 2 h a l l t e a n dp r j o n e s o nt h el a t t i c eo fv a r i e t i e so fb a n d so fg r o u p s p a c i f i cj m a t h 9 1 1 9 8 0 3 2 3 3 7 1 3 h o w i e j m a ni n t r o d u c t i o nt os e m i g r o u pt h e o r y a c a d e m i cp r e s s l o n d o n 1 9 7 6 西南大学硕士学位论文参考文献 1 4 j o n e s p r o nt h el a t t i c eo fv a r i e t i e so fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s j a u s t r a l m a t h s o c 3 5a 1 9 8 3 2 2 7 2 3 5 1 5 n e u m a n n h v a r i e t i e so fg r o u p s s p r i n g e r n e wy o r k 1 9 6 7 1 6 p a s t i j n f j t h el a t t i c eo fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u pv a r i e t i e s j a u s t r a l m a t h s o c 4 9a 1 9 9 0 2 4 4 2 1 7 p a s t i j n f j p s e u d o v a r i e t i e so fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s s e m i g r o u p f o r u m4 2 1 9 9 1 1 4 6 1 8 p a s t i j n f j a n dp g t r o t t e r l a t t i c e so fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p v a r i e t i e s p a c i f i cj m a t h 1 1 9 1 9 8 5 1 9 1 2 1 4 1 9 p e t r i c h m i n t r o d u c t i o nt os