戏说直线和平面中的公理及其推论.doc

戏说直线和平面中的公理及其推论浙江省宁波市北仑中学（315800）吴文尧第一回：众明星闪亮登场，展雄姿尽显风流话说猴A（系某中学高二年级学生）在数学王国中漫游十载有余，前段时间，在现任数学老师阿姚的陪同下，和数学王国中的著名景点圆锥曲线作了零距离接触。虽然圆锥曲线有时唠叨得象个“九斤老太”，但阿姚是位称职的“导游”，在他的悉心指导下，猴A也乐在其中。前几日，阿姚又带领大家游览了数学王国中的另一重要景点直线和平面。不想今日阿姚老师又爆出一大好消息，称他已把直线和平面中的公理及推论做成了类似“传奇”的游戏软件。同学们只须进入“阿姚网站”即可进行游戏。好家伙，猴A一听就来了精神，回家后马上联线上网，点击“阿姚网站”，进入直线和平面的游戏主页。游戏页面倒精彩绝伦，只是阿姚老师未曾介绍具体玩法，这可如何是好？不过，此等小“case”，难不倒精明的猴A，他马上点击 “帮助”，荧屏上出现了下列附件。游戏规则及提示：本游戏中把直线和平面中的四个公理及三个推论都看成虚拟的人物。游戏前你可在他们七人中任选一个，作为你的“化身”，一旦选定则其他六人均必须无条件服从你的“化身”的指挥；点击每个人物的名称或称呼，则虚拟人物会自我介绍有关自己的信息，帮助玩家加深对他们的了解；作者简介：吴文尧（1963），男，浙江嵊州人，宁波市北仑中学特级教师，学士。正式进入游戏前，你须通过点击各个人物，填写各个人物信息一览表（如：普通语言、符号语言、图形语言、功能和用途等），完成一个人物信息各栏目的的填写，可得250分，总计：7250=1750分；进入实战游戏后，你可调动任何一个虚拟人物参加“战斗”，攻克一关（依次为共面关、共线关、共点关、平行关四大关）可得分2000分；攻克四关后，你可以再和虚拟人物进行交流，表现好者可再得附加分250分。猴A选择公理3的推论3作为自己的“化身”，取名小山（真够谦虚的，以后就要小鬼当家了！）。猴A点击公理1后，屏幕上即出现了公理1的自我介绍（如下）：首先，请允许我介绍一下我们的家族。我是第一个出生的公理，是当然的老大。公理2是我的二弟，我和二弟都没有后代。公理3即为我的三弟，他有三个儿子，即推论13。你选择的“化身”即为我三弟的小儿子，我现在就是你的大伯了。推论1、推论2、便是为你的大哥和二哥，公理4是我的小妹，即是你的小姑了。我们一家个个都身怀绝技，极具明星风范，每人都会三种语言普通语言、符号语言、图形语言。我的绝技是能把直线拉到平面内，当然也能把点拉到平面内，因为点是可以长在直线上的，只要把这直线拉到平面内，则点也自然在平面内了，这正如毛长在皮上，皮又贴在身上，则毛也长在身上了。我的三种语言，阿姚老师已在课堂上作了介绍，若已遗忘可点击“下一页”。谢谢！猴A依次点击和阅读了二伯、爸爸、大哥、二哥、小姑及自己的“化身”小山的有关信息。在基本掌握上述人物的各种语言形式及主要功能和用途后，猴A逐一完成各人物信息一览表中的填写（见下表）：人物称呼普 通语 言图 形语 言符 号语 言功能或用 途公理1大伯如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，即直线在平面内。证明直线在平面内。证明点在平面内。公理2二伯如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线。证明两平面相交证明若干点共线公理3父亲经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。A、B、C三点不共线存在唯一平面，使确定平面推论1大哥经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。确定平面推论2二哥经过两条相交直线有且只有一个平面。确定平面推论3小山经过两条平行直线有且只有一个平面。确定平面公理4小姑平行于同一条直线的两直线互相平行。证明直线和直线平行当猴A输入小姑的功能及作用“证明直线和直线平行”后，屏幕上出现了下列字符：“恭喜你完成人物信息一览表的填写，你现在的积分为1750分，要进入下一项游戏，可点击下一关”。猴A点击“下一关”后，屏幕上出现一个关隘，名曰：“共面关”，把守这道关的是大将A“问题1”：已知a、b、c、d是空间不共点且两两相交的四条直线。求证：a、b、c、d在同一平面内。欲知小山将定下何种妙计，降服大将A，攻克“共面关”，且听下回分解。第二回：证共面老将出马，父子兵竞当先锋。话说小山首战面临“共面关”，立刻召集众人商议对策。小山分析道：“共面的证明通常是用平面吸附法解决的，即把这些直线吸附到某一个平面内即可，要把直线拉到平面内乃是大伯的绝招，我们就请大伯这位老将出马，不知大伯意下如何？”大伯笑曰：“把直线拉到某一平面内，确实是我的拿手好戏，但首先要有一个基本的平面，不然叫我把直线拉到何处去？”小山这才想起，使用“平面吸附法”的第一步是首先要构造一个基本平面，而构造平面是我家父子四人的本职工作。“问题1”中有的是相交直线，由二哥做先锋最为合适。于是小山说道：“由我二哥为大伯做开路先锋，如何？”大伯道：“善哉，善哉。”大伯和二哥两人得令而去。二哥负责先用a、b构造一个基本平面，然后由大伯把直线c、d吸附到基本平面上，形成如下证明过程。证明：设直线a和b确定的平面为,则Aa,Bb而a,b，A，B，Ac，Bc，c.同理d，故a、b、c、d共面于平面。猴A输入上述证明过程后，按“Enter”键，屏幕马上显示：“很遗憾，你不能过关，输入的证明过程有问题。若有困难可再点击帮助。”猴A上看下看，左看右看，没有发现证明过程有什么问题，会不会是姚公的软件有毛病，无奈之下点击了“帮助”。屏幕上提示：“请再仔细审题。”猴A这才发现，题设条件中的四条直线a、b、c、d不共点，并未说a、b、c、d任何三条直线不共点，若a、b、c三条直线共点，则上述由大伯和二哥联手给出的证明中，A和B两点重合，其过程显然不合法了。小山再次召开家庭“诸葛亮会议”。还是大伯老谋深算，他说道：“我们可以用分类讨论的方法对付这个问题，当a、b、c、d任何三条不共点时，仍然由二侄子当先锋；当a、b、c、d中有三条直线共点时，可由大侄子当先锋，拉直线到平面上的事仍然包在我身上。”大伙觉得大伯的想法挺不错，于是按大伯制定的方针，由大伯、大哥、二哥联诀演出了一台好戏，由此给出以下完整的证明过程。证明：a、b、c、d中任何三条直线不共点时，设，直线a和b确定的平面为，则Aa，Bb，而，Aa，Ba.Ac，Bc.又a、c、b不共点，A、B不重合.，同理.a、b、c、d共面。a、b、c、d中其中有三条直线共点时.不妨设，则设直线d和点P确定的平面为，设，则Ad，A，而，且Aa，同理，a、b、c、d共面.猴A把上述证明过程输入电脑后，屏幕显示：“恭喜你！已通过这一关，你现在的积分为3750分，若要进入下一项游戏，请点击下一关”。猴A点击“下一关”后，屏幕上又出现了一个关隘，名曰：“共线关”，把守该关的是大将B “问题2”：在四面体ABCD中，作截面PQR，P、Q、R分别在AC、AB、AD上，PQ和CB的延长线相交于点M，RQ和BD的延长线相交于点N，RP和DC的延长线交于点K（如图3）求证：M、N、K在同一直线上.欲知猴A能否顺利通过“共线关”，且听下回分解。第三回：证共线二伯挂帅，大伯父辅佐有方话说上回，众人来到“共线关”前，召开了一个敌情分析会。小山说道：“根据阿姚老师的教导，共线的证明通常可以使用面面相交法对付之；若两个平面有公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线，即两个平面的公共点均集中在一条直线上了，故要证明若干点共线，只须证明这些点均是某两已知平面的公共点即可。其实这都是对二伯的用普通语言的描述，众所周知，证明共线是二伯父的绝活，要过这一关，请二伯挂帅是众望所归了。”众人均表示赞同。小姑补充道：“要证明某个点是两已知平面公共点，即要证明这个点同时在两个平面内，还是要把这个点拉到两已知平面内，这个活只有我大哥会干，要顺利过关，还需大哥辅佐。”大伯答道：“责无旁贷，一定配合。”两位老将联手，给出了下面的证明，顺利拿下了“问题2”。证明： 同理K .猴A输入上述证明过程，使他的积分增加到5750分，猴A真是喜上眉稍，迫不及待地点击“下一关”。屏幕上又出现了一个关隘，名曰：“共点关”，把守这一关的是大将C“问题三”。已知：四面体ABCD中，E、G分别为BC、BA的中点，F、H 分别在CD、DA上，且（如图4）求证：直线EF、GH、BD相交于一点。欲知小山能否动员全家族力量，攻下“共点关”，且听下回分解。第四回：证共点分解转化，众将士同舟共济上回说到小山和他的长辈及兄长们来到“共点关”前。觉得“大将C”不是很好对付。小山自言自语道：“空间两条直线不一定相交，而要证明空间中的三条直线相交于一点更加不容易了。”言者无心，听者有意，小姑听了很受启发，寻思是否可以先证明两条直线相交于一点，再证明另一条直线也经过这个交点，即把“问题三”分解成两个问题来解决呢？她把自己的想法告诉了大家，小山恍然大悟，这就是阿姚老师曾经介绍过的“交点等待法”。经过仔细的研究，大家一致认为，先证明直线GH和EF相交于一点P（因为直线BD比较特殊，而直线GH和EF的地位相同），即证明直线GH和EF共面但不平行，这项工作由小山协助小姑完成；再由P点等待直线BD的到来，即证明B、D、P三点共线，这项工作仍然由二伯挂帅、大伯协助，按照这个方案给出了解决“问题三”的如下证明过程。证明： 同理、GH、BD相交于一点P.猴A迅速输入上述证题过程，顺利通过了“共点关”，使自己的积分上升到7750分。他毫不犹豫地点击“下一关”，屏幕上马上出现了一个雄伟的关隘，名曰“平行关”，城墙上出现了把守这一关的大将D“问题四”：已知，求证：.欲知众将如何攻下“平行关”，且听下回分解。第五回：证平行重视传递，小姑母本是媒婆话说众将来到“平行关”前，大伯、二伯由于连续征战，感到身心疲惫，且对攻战“平行关”专业不对口，力不从心，提出暂时退居二线。小山便安排二位伯父在帐中休息，小山寻思，证明平行应该是小姑的绝活，何不请小姑做主帅，于是把自己的想法告诉了小姑；不料小姑马上推辞说：“我一个妇道人家，永远也成不了主角，在攻克“共点关”中确实做过一点贡献，也至不过做了一回媒婆罢了，在问题四中，要把平行关系从传到a，我是干不了这大事的。”小山问道：“要拿下平行关要请谁出马呢？”小姑答道：“要解决这个问题必须请到直线和平面平行的判定定理和性质定理这两位大侠，他们和我私交甚深，马上发个E-mail，请他们过来。”两位大侠以最快的速度赶到“平行关”前，向小姑报到，并对小姑说：“要使我们有用武之地，必须要作出有关的平面，你们有构造平面的专家吗？”小姑笑道：“我三哥一家父子四人都是构造平面的专家。”如此这般，由大哥构造辅助平面，两位大侠相助，小姑仍然做她的媒婆，终于给出了下面的证明过程。证明：在上取一点，则，设点P和确定的平面，在上取点，则，设点Q和确定的平面同理 猴A飞速输入上述证明过程，屏幕出现“恭喜你，成功过关，你的积分为9750，你还想和几位明星聊几句吗？你将有机会获得附加分250分，若愿意，请点击继续。”尾声：惜离别语重心长，展未来任重道远猴A点击“继续”，发现自己的“化身”小山正神气活现地在玲珑阁召开庆功大会，并慷慨激昂地发表了一番肺腑之言：“此次过四关，斩四将，非我一人之功也，实乃众长辈之鼎力相助，才获全胜。恩情于心永难忘怀，来日我将加倍努力，结交更多良师益友，力争游遍数学王国，为社会作出巨大贡献。”最后请各位长辈讲一句最想说且最重要的话，并由小山记录存在数据库中以传后人。大伯：证明若干点和若干线共面，一般可用“平面吸附法”解决，碰到这