习题课——2011_作业解答.pdf

作业题 作业题 2 5 q 上边界受均布荷载上边界受均布荷载q作用 按材料力学方法算得作用 按材料力学方法算得 222 2 x q lxyAyBx y J 22 2 12 q hy CB 2 3 82 xy qy xCxBy x h 试问其是否满足平衡微分方程及应力边界条件试问其是否满足平衡微分方程及应力边界条件 2 并求出并求出 y 作业题 2 5作业题 2 5 对平衡微分方程的理解 2222 qqq lxyl yx y 2222 333 222 121212 8282 x xy lxyl yx y JJJ q hyq hq y xxx hhh 将应力表达式带入将应力表达式带入 平微分方程平微分方程 333 8282 y hhh 0 xy x X 平平衡衡微分方程微分方程 0 xy x X 第一个平衡 微分方程 第一个平衡 微分方程 0 0 yyx X xy Y 0X xy 3 12 0 qqh J 3 yx 3 0 12 qq xyxyJ Jh 作业题 作业题 2 5 对平衡微分方程的理解 第二个平衡微分方程第二个平衡微分方程 22 1212 0 y q hq y 0 yyx Y 33 22 33 0 82 1212 y yhh q hq y 0Y yx 33 82yhh 22 1212q hq y 33 233 333 82 121232 862 y y y hh q hq yqqy yCyC hhhh 333 862 y yy hhhh 2 3 442 h y y qqq CqC 4 2 33 33 3234 1 222 y qqqyqy yy hhhh 作业题 作业题 2 7 试求所示线弹性梁的弯曲应变能试求所示线弹性梁的弯曲应变能 1 表示为杆端力偶 的函数表示为杆端力偶 的函数 AB M BA M AB BA 2 表示为杆端转角 的函数表示为杆端转角 的函数 222 2 11 LL d wd wEJ d w dd 2 222 00 11 22 d wd wEJ d w UEJdxdx dxdxdx 5 作业题 作业题 2 7 22 1 Ld EJ d 22 22 0 1 2 Ld wEJ d w Udx dxdx x M xMMM 1 表示为杆端力偶 的函数表示为杆端力偶 的函数 AB M BA M BABAAB M xMMM l 2 1 BABAAB L x MMM l Udx 0 2 Udx EJ 2 2 2 2 2 00 2 111 222 BAABBABAAB LL BA xx MMMMM Ml ll dxdx EJEJEJ 222EJEJEJ 2 2 2 111 226 BAABBA BA BAAB MMMl MlMMl EJEJEJ 6 22 6 BAABBAAB MMMM l EJ 作业题 作业题 2 7 22 1 Ld EJ d 22 22 0 1 2 Ld wEJ d w Udx dxdx 22 MMMM AB BA 2 表示为杆端转角 的函数表示为杆端转角 的函数 6 BAABBAAB MMMM Ul EJ 找出找出与与的系的系做等量代换做等量代换找出找出 与与 的的关关系系 做等量代换做等量代换 AB M BA M AB BA 利用挠度公式利用挠度公式 2 2 w xM x xEJ 7 23 26 BABAAB x M xxx w xMMMCxD EJl 作业题 作业题 2 7 22 1 Ld EJ d 22 22 0 1 2 Ld wEJ d w Udx dxdx AB BA 2 表示为杆端转角 的函数表示为杆端转角 的函数 代入边界条件代入边界条件 23 0 0 0 26 BABAAB x x xx w xMMMCxDD l 22 22 0 26 BABAAB x l x l ll w xMMMCl 2 6 BAAB MlMl C 23 ll 8 23 2 266 BAAB BABAAB MlMlxx w xMMMx l 作业题 作业题 2 7 22 1 Ld EJ d 22 22 0 1 2 Ld wEJ d w Udx dxdx AB BA 2 表示为杆端转角 的函数表示为杆端转角 的函数 w x AB x w x x x 0 AB x BA x l x x 2 0 0 2 26 2 BAAB BABAABAB x x MlMlx xMxMM l MlMl 2 6 BAAB AB MlMl 2 2 26 BAAB BABAABBA x l MlMlx xMxMM l 9 26 63322 66 x l BAABBABAABBAAB BA l MlMlMlMlMlMlMl 作业题 作业题 2 7 22 1 Ld EJ d 22 22 0 1 2 Ld wEJ d w Udx dxdx AB BA 2 表示为杆端转角 的函数表示为杆端转角 的函数 26 26 BAABAB BAABBA MlMl MlMl 42 ABBA M 4212 26 BAABBA BAABAB BAABBA MlMl MlMl 42 ABBA BA BAAB AB M l M l 42 26 ABBA ABBA lMl l l 10 作业题 作业题 2 7 22 1 Ld EJ d 22 22 0 1 2 Ld wEJ d w Udx dxdx AB BA 2 表示为杆端转角 的函数表示为杆端转角 的函数 22 MMMM 22 6 42424242 BAABBAAB MMMM Ul EJ 222222 42424242 6 481616844162016 ABBAABBABAABBAAB BABABAABABABBAABBAABBAAB EJ 22 6 121212 6 BABABAABABABBAABBAABBAAB BAABBAAB EJ EJ 11 22 6 2 BAAB EJ BAAB EJ 作业题 作业题 2 9 结点荷载结点荷载Fp 设各杆截面面积设各杆截面面积A相同相同结点荷载结点荷载Fp 设各杆截面面积设各杆截面面积A相同相同 试用最小势能原理求桁架各杆内力 试用最小势能原理求桁架各杆内力 1 各杆信息 各杆信息 杆长杆变形杆长杆变形 1 1 2a 22 22 xy uu 2a 3a 2a 3a x u u 12 y u 作业题 作业题 2 9 2 总势能总势能 2 1 2 n yy EA UlF u l 2 总势能总势能 1 2 yy i l 222 1122 2222 xyxyyy EA UuuuuF u l 2222 1111 22 22 22 xyxyxyyy EA uuu uuuF u l 0U 111UEA 3 最小势能原理 最小势能原理 111 20 222 111 xyx x UEA uuu ul UEA 13 111 20 222 yxyy y UEA uuuF ul 作业题 作业题 2 9 1 2 20 UEA 1 2 20 2 2 2 xyx x xxy UEA uuu ul uuu 111 20 222 yxyy y UEA uuuF ul EA 2 242 xy EA uF l 4 移表达移表达 242 21212 2 22 yyyp x F lF lF lF l u EAEAEAEA 4 位位移表达移表达式式 22 2 2442 242 2 1232 1 2 212 2 x pp EAEAEAEA F lF l uu 14 1 2 212 2 22 yx uu EAEA 作业题 作业题 2 9 5 内力与变形关系 内力与变形关系 EA Nl l 1 2223 222 22 22442222 p pp xy F F lF l EAEAEA Nauu EAEAaaa 2 22442222 1212 22 p p EAEAaaa F F l EAEA Na aaEA 3 22 3232 22 p p aaEA F F l EAEA Na aaEA 15 作业题 作业题 2 11 试用最小势能原理求刚架试用最小势能原理求刚架B点的水平位移点的水平位移试用最小势能原理求刚架试用最小势能原理求刚架B点的水平位移点的水平位移 222 2 11 LL d wd wEJ d w 2 222 00 11 22 d wd wEJ d w UEJdxdx dxdxdx 假设挠度方程假设挠度方程 0 00 x w x w x 32 w xAxBxCxD 利用边界条件利用边界条件 16 0 0 0 x x x l x l x w x w xu x 利用边界条件利用边界条件 作业题 作业题 2 11 2 320 3 x l w x AlBl x 32 33 3 2 3 x l w xAxAlxu AlAl 3 2 AlB 33 3 3 2 2 AlAlu u A l 3 l 32 33 23 uu w xxlx 33 ll 17 作业题 作业题 2 11 2 33 0 612 L p uu UEJlxdxF u ll 612612 222 3333 0 22 32 612612 2 61 12612 L p uuuu UEJlxlxdxF u llll uuuu UEJlllllF u 3333 222 333 3 111 364872 p p UEJlllllF u llll UEJuuuF u lll 2 3 12 p lll EJ UuF u l 3 F l 最小势能原理最小势能原理 18 3 24 p EJ UuF l 3 24 p F l u EJ OA边作用分布力矩边作用分布力矩M写出边界条件写出边界条件OA边作用分布力矩边作用分布力矩M 写出边界条件写出边界条件 解解 解解 对于 对于BC边有 边有 22 000 22 0 xxxx MDM 对于对于OA边有 边有 0 0 x a x ax 对于对于OC边有边有 000 22 2 0 2 0 0 xxxx x x xy M xD 2 0 2 0 0 0 y y y 对于对于OC边有边有 0 xxD 对于对于AB边有 边有 19 0y y 0 0 0 y bxy y bxy y b MMQ 已知矩形板挠曲线方程已知矩形板挠曲线方程 Axy xayb 试确定它对应怎样的几何 静力边界条件及怎样的载荷试确定它对应怎样的几何 静力边界条件及怎样的载荷 A位移之常数 位移之常数 边界上状态边界上状态 0 0 x 0 x a 0 0 y 0 y b 边界上状态边界上状态 0Ay yba 0Ax xab 一阶偏微分一阶偏微分 0 x y y x 0Ay yb a 0 0 y x xab y 0Ax xa b 20 x a x y b y 可知结构为简支边界条件可知结构为简支边界条件边界条件就三种边界条件就三种 22 2 MDDAb 边界载荷为边界载荷为 220 0 2 x x x MDDAy yb xy 22 2 MDDAy yb 22 2 x x a x a MDDAy yb xy 22 22 2 y MDDAx xa 22 0 0 y y y x xa yx 22 22 2 y y b MDDAx xa yx y b y b yx 444 板上有均布载荷板上有均布载荷 444 4224 28PDDA xx yy 四边简支矩形薄板 边长为四边简支矩形薄板 边长为a和和b 受横向分布载荷 受横向分布载荷 0 sinsin xy qq ab sinsin xy m ab 试证挠函数 试证挠函数 是该板的解是该板的解并求挠度弯矩及反力并求挠度弯矩及反力是该板的解是该板的解 并求挠度弯矩及反力并求挠度弯矩及反力 证明证明 思路思路需要满足边界条件需要满足边界条件满足平衡方程满足平衡方程 证明证明 0 0 sinsin0 x y m ab 0 0 sinsin0 y x m ab 思路思路 需要满足边界条件需要满足边界条件 满足平衡方程满足平衡方程 sinsin0 x a ay m ab sinsin0 y a xb m ab 22 22 ii ii xyxy MDD 22 0 22 0 0 222 0 sinsin sinsin 11 sinsin0 yx x x x xyxy MDD mm xyaabbab xy Dm abab 0 x 22 22 22 sinsin sinsin yx a x a x a xyxy MDD mm xyaabbab 222 11 sinsin0 x a x a x a y xy Dm abab 22 22 0 22 0 0 sinsin sinsin 11 xy y y xyxy MDDmm xyaabbab xy 222 0 11 sinsin0 y xy Dm abab 22 22 22 22 222 sinsin sinsin 11 sinsin0 xy b y b y b xyxy MDDmm xyaabbab xy Dm bb y b abab 故挠度函数满足简支边界条件故挠度函数满足简支边界条件 将其带将其带入入弯弯曲曲微分方程微分方程 444 4224 2 q xxyyD 将其带弯微分方程将其带弯微分方程 xxyyD 444 mmmxy 得到得到 4224 2sinsin mmmxy qD aa bbab 444 0 0 4224 444 4224 2 2 qmmm Dqm aa bb D aa bb 所以所以 位移解为位移解为 0 444 4224 sinsin 2 qxy ab D aa bb 位移解为位移解为 22 0 11 11 q b 将位移解带入力矩 力的求解公式 得到力矩 力的解将位移解带入力矩 力的求解公式 得到力矩 力的解 0 222 222 4224 11 sinsinsinsin 2 y xyxyab MDm ababab aa bb 22 0 222 11 11 sinsinsinsin q xyxyab MDm 222 4224 sinsinsinsin 2 x MDm ababab aa bb z 0 q 如图如图3 2所示的矩形薄板 四边固支 受横向均匀载荷所示的矩形薄板 四边固支 受横向均匀载荷 21 21 1 cos 1 cos mn mn mxmy C ab 作用现有以下作用现有以下8种试探位移函数 种试探位移函数 1 11 1 cos 1cos xy C ab 1 cos 1 cos mn mn xy C ab 2 3 mn ab sinsin mn mn m xn y C ab 22 C xayb 4 5 1 C xayb 222222 1 C xayb xy 5 6 图图3 2 1 cos 1 cos mn mn xy C ab 2222 1 C xaybxy 7 8 1 yy 1 试问哪些位移函数可用于里兹法 哪些可用于伽辽金法 哪些 函数这两种方法都适用 试问哪些位移函数可用于里兹法 哪些可用于伽辽金法 哪些 函数这两种方法都适用 2 用哪些试探函数有可能用里兹法求出精确解 为什么 如将板面 载荷改为 用哪些试探函数有可能用里兹法求出精确解 为什么 如将板面 载荷改为 0 sin x qq a 哪些函数有可能求出精确解 哪些函数有可能求出精确解 解题思路 解题思路 当位移函数满足位移边界条件时 里兹法适用 继续当位移函 数满足力边界条件时 里兹法适用 当位移函数满足位移边界条件时 里兹法适用 继续当位移函 数满足力边界条件时 里兹法适用 只有位移边界条件 只有位移边界条件 0 xaya 0 xa ya xy 21 21 1 cos 1 cos xamn mxmy C ab 1 解 解 21 21 1 cos 1 cos 0 1 mn xa mn mn ab mmy C b 21 21 1 cos 1 cos yamn mn ya mxmy C ab 21 21 1 cos 1 cos 0 1 mn ya mn mn mxm C a 21 21 21 mmxny 21 21 21 sin 1cos 0 mn xa mn xa mmxny C xaab 21 21 21 1 cos sin 0 mn mxnny C bb mn mn yaya yabb 两种方法都适用 两种方法都适用 2 解解 11 1 cos 1 cos 0 xa xa xy C ab xy 解解 11 1 cos 1 cos 0 yb yb xy C ab i 1 0 xy C 11 11 sin 1 cos 0 1 cos sin0 xa xa xy C xaab xy C bb yb yb xabb 两种方法都适用 两种方法都适用 3 解解 1 cos 1 cos 0 xamn mn xy C ab 解解 两种方法都不适用 两种方法都不适用 4解解 sinsin0 xamn mn m xn y C ab 4 解解 sinsin0 ybmn mn m xn y C ab cossin0 sincos0 mn xa mn mm xn y C xaab nm xn y C sincos0 mn mn yb C ybab 两种方法都不适用 两种方法都不适用 5解解 22 1 0 xa C xayb 5 解解 两种方法都不适用两种方法都不适用两种方法都不适用两种方法都不适用 6解解 222222 1 222222 0 0 xa C xayb C xayb 6 解解 1 0 yb C xayb 22222 12 0Cx xayb 22222 1 2 0 xa yb x C xay yb x 两种方法都适用 两种方法都适用 7解解 1 cos 1 cos 0 1 cos 1 cos 0 xamn mn xy C ab xy C 7 解解 1 cos 1 cos 0 ybmn mn C ab sin 1 cos 0 xy C sin 1 cos 0 1 cos sin 0 mn xa mn mn mn yb C xaab xy C yabb yb 两种方法都适用 两种方法都适用 8 解解 2222 1 2222 1 0 0 xa yb C xaybxy C xaybxy 8 解解 222222 11 222222 2 0 xa Cx ybxyC xayby x 222222 11 2 0 yb Cx ybxyC xayby y 两种方法都不适用 两种方法都不适用 2用哪些试探函数有可能用里兹法求出精确解用哪些试探函数有可能用里兹法求出精确解 为什么为什么 如将如将 0sin x qq a 2 用哪些试探函数有可能用里兹法求出精确解用哪些试探函数有可能用里兹法求出精确解 为什么为什么 如将如将 板面载荷改为 由哪些函数有可能求出精确解 板面载荷改为 由哪些函数有可能求出精确解 思路是 分别将思路是 分别将1 2 6 带入薄板弯曲微分方程 带入薄板弯曲微分方程 444 4224 2 P xx yyD 方程两边相等或无穷级数下相等 方程两边相等或无穷级数下相等 求下图空间桁架结构各杆内力求下图空间桁架结构各杆内力求下图空间桁架结构各杆内力求下图空间桁架结构各杆内力 零力杆有零力杆有 51 0N 13 0N 34 0N 零力杆有零力杆有 12 0N 84 0N 42 0N 去掉零力杆后结构形式如图去掉零力杆后结构形式如图去掉零力杆后结构形式如图去掉零力杆后结构形式如图 在节点处在节点处268平面内平面内在在68方向上没有外载荷方向上没有外载荷仅有仅有28杆在杆在 82 0N 在节点处在节点处268平面内平面内 在在68方向上没有外载荷方向上没有外载荷 仅有仅有28杆在杆在 此方向上有分量 所以 此方向上有分量 所以 进步去掉零力杆后结构形式如图进步去掉零力杆后结构形式如图 结构力路线 结构力路线 由节点由节点3处在处在378平面内受力图 平面内受力图 cos 383 cos cos NP 1 373 cossin cos NP 可知可知 由节由节点点3处处在在357平平面面内内受受力力图图 sin 由节由节在在面受图面受图 i 353 sin cos NP 2 373 sinsin cos NP 可知 可知 3733 sincos sinsin coscos NPP 5 由节点由节点2处在处在256平面内受力图 平面内受力图 6 2 P2 2 25 cos P N 2 26 sin cos P N 可知 可知 求求下下图空间桁图空间桁架结构架结构各杆各杆内力内力 求图空间桁各杆求图空间桁各杆 37 0N 48 0N 42 0N 零力杆有 零力杆有 去掉零力杆后结构式如图去掉零力杆后结构式如图 结构结构传传路路线线 传线传线 由节点由节点3处在处在1234平面内受力图平面内受力图 由节点由节点3处在处在1234平面内受力图平面内受力图 NP 2NP 可知 可知 13 NP 23 2NP 1 由节由节点点2处处在在123平平面面内内受受力力图图 1 2 由节由节在在面受图面受图 2 23 2 2 可知 可知 2 12 NP 由节点由节点2处在处在268平面内受力图平面内受力图 由节点由节点2处在处在268平面内受力图平面内受力图 2 2 可知可知 26 NP 28 2NP 可知可知 由节点由节点1处在处在156平面内受力图 平面内受力图 2 2 可知可知 1517 2 2 NNP 16 2NP 可知可知 由节点由节点1处在处在157平面内受力图平面内受力图由节点由节点1处在处在157平面内受力图平面内受力图 2 2 17 2NP 1516 2 2 NNP 可知 可知 17 2NP 1516 2 15 2NP 综合得 综合得 15 试对下列图示系统做几何分析试对下列图示系统做几何分析指明该系统属于指明该系统属于试对下列图示系统做几何分析试对下列图示系统做几何分析 指明该系统属于指明该系统属于 几何可变系统几何可变系统 具有最少约束的几何不变系统具有最少约束的几何不变系统 具有多余约束的几何不变系统 多余约束具有多余约束的几何不变系统 多余约束K为多少 为多少 瞬变系统瞬变系统 40 千万别抄错题 考试别看错题 千万别抄错题 考试别看错题 试对下列图示系统做几何分析试对下列图示系统做几何分析指明该系统属于指明该系统属于试对下列图示系统做几何分析试对下列图示系统做几何分析 指明该系统属于指明该系统属于 几何可变系统几何可变系统 具有最少约束的几何不变系统具有最少约束的几何不变系统 具有多余约束的几何不变系统 多余约束具有多余约束的几何不变系统 多余约束K为多少 为多少 瞬变系统瞬变系统 41 作业题 作业题 3 1 组成法 42 系统为几何不变系统系统为几何不变系统 作业题 作业题 3 2 理论力学瞬心概念 A B B 43 系统为瞬变系统系统为瞬变系统 作业题 作业题 3 3 理论力学瞬心概念 杆数杆数m 13 节点数 节点数n 8 m 2n 3 0 瞬心在无穷远瞬心在无穷远 系统为瞬变系统系统为瞬变系统 44 作业题 作业题 3 4