（应用数学专业论文）模糊决策系统下的数据包络分析.pdf

摘要 摘要 数据包络分析 d e a 是使用数学规划模型评价具有多个输入和多个输出的一 系列同类 部门 或 单位 称为决策单元 简记d m u 间相对有效性的有力工具 在现实问题中 由于测量误差和数据噪声 各决策单元的输入数据和输出数据往往 具有模糊性 这时我们就需要使用一套处理模糊不确定性的理论工具来研究数据包 络分析 本文正是基于可信性理论对模糊决策系统下的数据包络分析进行了研究 本文首先建立了输入倾向和输出倾向的可信性d e a 模型 当模糊输入和输出数 据为相互独立的梯形模糊变量时 可信性d e a 模型可以转化为确定的等价问题 此外我们还研究了模型的一些基本性质 并且通过数值例子对决策单元进行有效性 分析 然后 本文建立了输入倾向和输出倾向的期望值d e a 模型 当模糊输入和 模糊输出数据为相互独立的梯形模糊变量时 模型中的可信性约束可以转化为其确 定的等价约束 另外我们还讨论了模型的一些基本性质 设计了基于逼近方法 神 经网络 n n 和模拟退火 s a 算法的混合s a 算法 并且通过数值例子来验证算 法的有效性 以及通过求解结果分析了决策单元的有效性 本文的主要工作可以概括为以下三个方面 1 建立了两类可信性d e a 模型 推导了特殊情形下的确定等价模型 研究了 模型的基本性质 并且通过数值例子对决策单元进行有效性分析 2 建立了两类期望值d e a 模型 在某些情形下 将可信性约束转化为其确定 的等价约束 研究了模型的一些基本性质 3 设计了基于逼近方法 神经网络和模拟退火的混合s a 算法 通过数值例 子验证了算法的有效性 以及分析了决策单元的有效性 关键词数据包络分析 可信性理论 模糊机会约束规划 模拟退火 混合s a 算 法 效率分析 a b s t r a c t a b s t r a c t b yu s i n gm a t h e m a t i c a lp r o g r 锄m i n gm o d e l d a t ae n v e l o p m e n ta n a l y 8 话 d e a i sa v e 珂p 鸭r f u lt e c h n i q u ef o re v a l u a t i n gt h er e l a t i v ee m c i e n c yo fa s e r i e 8o fh o m m g e n e o u sd 印a r t m e n t s0 ru n i t s w h i c ha r ec a l l e dd e c i s i o n m a 虹n gu n i t s d m u 8 a 1 1 d u s u a u yh a l v en m l t i p l ei n p u t sa n dm u l t i p l eo u p u t 8 i nr e a l w r o r dp r o b l e 加略 t h ei n p u t d a t aa n dt h eo u t p u td a t af o re a u c hd m uh a ef u z z i n e s sb e c a l l s eo fm e a s u r ee r r o r 8 a n dd a t a n o i 耐 i nt h i st h e s i 8 w ee n l p 埘c r e d i b i l i t yt h e 0 巧t os t u d yt h ed e ai i l f u z z yd e c i s i o nm a k i n gs y s t e n 培 f i r s t0 fa u t h i sp 印e rp r e s e n t st h ei n p u t o r i e n t e da n dt h eo u t p u t o r i 印t e dc r e d i b i l i t yd e am o d e k i nt h ec a s et h a tt h ef u z z yi n p u t sa n dt h e 向z z yo u t p u t 8a r e i n d e p e n d e n tt r a p e z o i d a lf u z z yv a r i a b l e 8 t h ec r e d i b i l 时d e am o d e l sc a nb et u m e d i i l t ot h e i rc r i s pe 1 u i v d e n tm o d e l s s 玎舱b 豁i cp r o p e r t i e sa b o u t 址l ed e am o d e l s 解e d i s c u s s e da n dan u m e r i c a le x a m p l ekg i v e nt 0a d l a l y z et h ee m c i e n c yo ft h ed m u s t h e n w ep r o p o s et h ei n p u 乞 o r i e n t e da n dt h eo u t p u t 0 r i e n t e de 印e c t e d 砌u ed e a m o d e k w h e nt h ef u z z yi n p u t 8a n df u z z yo u t p u t sa r ei n d e p e n d e n tt r a p e z o i d a l f u z z y a r i a b l i e s w et r a n s f o r mt h ec r e d i b i l i t yc o n s t r a i n t 8t ot h e i rc r i s pe q u i v m e n t c o n s t r a i n t sa n dd i s c u 胬s o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h em o d e l s w bd e s i g nah y b r i d s aa l g o r i t h mw h i c hi n t e g r a t e st h ea p p r o 姬m a t i o n 印p r o 砌1 n e u r a ln e 钿帕r k n n a n ds i m l a t e da j l n e a h n g s a a l g o r i t h mt os o l v et h ep r o p o s e dd e an l o d e l s an u m e r i c a l le x a m p l ei sg i v e nt oi 1 1 u s t r a t et h ee f f t i v e n e s so ft h ed e s i g n e dh y b r i ds a a l g o r i t h ma n dt h er e l a t i v ee m c i e n yi sa l s oa n a l y z e d t h em 撕nw 0 r ko ft h i st h e s 遮c a nb es u 玎眦撕z e d 踞f o l l a w 8 1 t w ok i i l d 8o f c r e d i b i l i t yd e a m o d e l sa r eb u n t t h e i rc r 卸e q m a l e n tm o d e l sa r eg i v e n a n ds o m e b 8 u s i cp r o p e r t i e s0 ft h em o d e l sa r ed i s c u s s e d 2 t w ol i n d so fe x p e c t e dv a l u ed e a m o d e l sa r ee s t a b l i 8 h e d a n ds o m eb a s i cp r o p e r t 溉a r ed 波u 豁e d 3 ah y b r i ds a a l g o r i t h mi sd e s i g n e db yi n t e g r a t i n gt h ea p p r o 对m a t i o na p p r o g u c h n na n ds at o s o l v et h ep r o p o s e dd e am o d e l s an 姗e r i c 虹e x 鼬p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h e e 圩醯t i v e n e 瞄0 ft h ed e s i g n e da l g o r i t h m a n dt h er e l a t i v ee 伍c i e n c yi sa l s 0a n a b 亿e d k e y w o r d s d a t ae n v 如p i n e i i l t8 n a l y s i s c r e d i b i l i 匆t h e 0 巧 f i t l z z yc h a n c ec o n s t r a i n e dp r o g r a m m i n g s i i 肌l a t e da n n e a l i n g h y b r i ds aa 岵o r i t h m e m c i e n c ya n a l y 8 i 8 i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文 中不包含其他入已经发表或撰写的研究成果 也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做酌任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢 作者签名 盎亟呈金日期 立巫年 厶月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 学校可以公布论文的全部或部分内容 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存 论文 本学位论文属于 l 保密口 在 年 月 日解密后适用本授权声明 2 不保密日 请在以上相应方格内打 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为 模糊决策系统下的数据包络分 析 的学位论文 是我个人在导师 刘彦奎教授 指导并与导师合作下取得的研 究成果 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研 究经费资助下完成的 本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权 所制定的各项法律 行政法规以及河北大学的相关规定 本人声明如下 本论文的成果归河北大学所有 未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权 本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容 如果违反本声明 本人愿意承担相应法律责任 声明人 互亟至玺日期 上巫年 厶月上日 作者签名 量亟至叁 导师签名 刨壅奎日期 嫁 月 二 日 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 问题的提出及研究现状 在人们的生产活动和社会活动中常常会遇到这样的问题 经过一段时间之后 需要对一系列具有相同类型的 部门 或 单位 称为决策单元 d e c i s i o n m a k i n g u n i t 简记为d m u 进行评价 其评价的依据是决策单元的 输入 和 输出 数据 输入 数据是指决策单元在某种活动中对 资源 的耗费 而 输出 数 据是指决策单元在消耗了 资源 之后 表明该活动 成效 的一些指标 例如 在评价某城市的高等学校时 输入可以是学校的全年资金投入 教职员工总人数 教学用房总面积 各类职称的教师人数等等 输出可以是培养的博士研究生人数 硕士研究生人数 大学生人数 学生质量 德 智 体 教师的教学工作量 学校 科研成果等等 根据输入数据和输出数据来评价决策单元的优劣 即所谓评价 部 门 或 单位 问的相对有效性 数据包络分析 d a t ae n v e l o p m e n ta n a l y s i s 简记为d e a 是以相对效率概念为 基础发展起来的一种用于评价或测量具有多个输入和多个输出的一系列同类 部 门 或 单位 d m u 间相对有效性的有力工具 d e a 是运筹学 管理科学和数 理经济学交叉研究的一个新的领域 它是c h a m 豁 c 0 0 p e r r h o d e si l l 于1 9 7 8 年开始发展起来的一种系统分析方法 它把单输入单输出下的科学一工程效率概 念推广到多输入多输出复杂系统下的相对有效性评价中 启第一个d e a 模型一 c c r 模型 1 l 问世以来 经过国内外众多学者3 0 年的努力 目前这一学科无论在理 论研究还是在实际应用方面都已取得长足进展 已经成为数理经济学 管理科学 系统工程 决策分析 对策论 评价技术等诸多领域中一种常用和重要的工具和手 段 使用d e a 对d m u 进行相对效率评价时 可以得到许多在经济学中具有深刻 经济背景和意义的管理信息 因此 d e a 领域的研究吸引了众多的国内外学者 继c c r 模型 1 之后 许多国外学者发展了c c r 模型 例如b a n k e re ta 1 2 给出了一个被称为b c c 的模型 胁e g r o s s k o p f 3 l 在使用非参数的费用方法 研究规模效益时 建立了f g 模型 s e i f 6 r d t h r a uf 4 l 使用数学规划方法提出了 s t 模型 p e t e r s e n 5 j 建立了f d h 行e ed i s p o s a lh u u 模型 t o n e1 6 给出了s b m s l a c k 8 b a s e dm e a s u r e0 fe m c i e n c y 模型 中国学者从事d e a 的研究始于1 9 8 6 年 河北大学理学硕士学位论文 他们在d e a 的模型 理论 计算 软件以及应用方面的许多研究成果在国际上受到 好评 魏权龄1 7 于1 9 8 8 年公开出版了d e a 领域的第 本专著鬈评价相对有效性 的d e a 方法一运筹学的新领 严格系统地论述了d e a 的方法 模型和理论框 架 促使d e a 方法和理论在国内迅速发展和应用领域不断扩大 近几年来 国内 学者关于数据包络分析模型的研究和应用日渐增多 并取得多方面的成果 因此 d e a 模型和方法一定会为我国的经济发展 为管理的科学化和现代化发挥巨大的 作用 传统的d e a 模型要求使用精确的输入数据和输出数据来评价决策单元 d m u 的相对有效性 属于确定性的分析方法 然而 正如一些学者所指出 该方法在现 实经济活动中并不总是可行的 由于测量误差 数据噪声等原因 各决策单元的输 入和输出数据往往带有不确定性 因此 传统的d e a 模型在分析和处理此类问题 时就显得束手无策 基于这种考虑 一些学者开始在随机或者模糊环境下处理这种 带有不确定输入和输出数据的d e a 模型 伴随着随机规划地迅速发展 许多学者已经把随机规划理论应用到数据包络分 析模型中 进一步得到了许多具有理论和现实意义的d e a 模型 例如s e n g u p t a 8 在 随机机会约束下 通过最大化带有权重的输出和输入的效率比的期望值推广了c c r 模型 b a i l k e rf 9 在随机环境下 发展了一种非参数效率估计技术 l a j l de ta l l 1 0 把p a r e t 加k o o p m a n s 有效性推广到随机d e a 模型中 c 0 0 p e re ta 1 1 1 c 0 0 p e r e ta 1 1 2 1 c o o p e re ta 1 13 l d e 8 a ie t 龃 1 4 l o l e s e na n dp e t e r s e n 1 5 1 和s e n g u p t af 1 6 1 分别建立了随机机会约束d e a 模型 自1 9 6 5 年美国控制论专家z a d e h 1 7 提出模糊集概念以来 模糊集理论发展非 常迅速且在现实生活中起着十分重要的作用 1 9 7 8 年 z a d e h 1 8 j 又提出了可能 性理论 使得模糊理论更加完善和坚实 随后 许多学者如n a m i a s 1 9 l 和d u b o i s p r a d e 2 0 2 1 j 进一步发展了这套理论 于是 许多研究学者把模糊集理论运用于 数据包络分析模型中来处理模糊输入数据和输出数据 例如k a 0 l i u 2 2 通过 截集和z a d e h 扩展原理方法来求解模糊d e a 模型 基于模糊分类方法 g u o t a n a l a 2 3 和l e o ne ta 1 2 4 使用了可能性规划来求解d e a 模型 s e n g u p t a 2 5 l 采用了容差法来求解d e a 模型 l e r t w 0 r 戚r i k u l 2 6 采用了解模糊化方法 首先 将模糊输入和输出数据解模糊化为清晰值 然后采用线性求解软件求解 w 如ge t a 1 矧建立了 类新的区间d e a 模型 s a w a n e ee ta 1 2 8 基于可能性测度建立了 一类模糊机会约束规划d e a 模型 第1 章绪论 l i u l i u 2 9 于2 0 0 2 年提出了一种自对偶的非可加测度一可信性测度 并通 过可信性测度和c h o q u e t 积分定义了期望值算子 随后 l i u 例于2 0 0 4 年提出 和完善的可信性理论 形成了研究模糊现象的公理化数学体系 这标志着可信性理 论已成为处理模糊不确定性的有利的数学工具 作为可能性理论的发展 可信性理 论已经在模糊优化领域得到了广泛的应用 3 1 刮 以可信性理论为基础的不确定规 划f 3 1 3 2 为我们解决模糊决策系统下的d e a 提供了理论基础 并给出了建模的新 思路和新方法 这正是本文的主要研究动机 1 2本文主要内容 随着模糊理论的发展和完善 模糊d e a 问题正在吸引着越来越多的学者 使 得模糊环境下的d e a 问题迅速发展起来 最近 l i u 例提出和完善的可信性理 论 也为模糊d e a 的研究提供了 个更为优越的理论平台 本文正是基于可信性 理论和模糊机会约束规划模型 提出了两类新的模糊d e a 模型一可信性d e a 模 型和期望值d e a 模型 根据所建立的两类模型 分别定义了决策单元的有效性 研究了模型的基本性质 设计了求解模糊d e a 模型的算法 并通过数值例子来验 证算法的合理性和有效性 以及通过求解结果对决策单元进行有效性分析 本文主要内容及结构安排如下 第二章首先介绍了可信性理论的一些基本概念 把它们作为模糊d e a 问题建 模和求解的理论基础 然后回顾确定环境下的d e a 模型及其目标决策单元的有效 性定义 第三章首先建立了输入倾向和输出倾向的可信性d e a 模型 定义了目标决策 单元的有效性 然后 在某些情形下 例如模糊输入数据和模糊输出数据为相互独 立的梯形模糊变量 我们把所建立的可信性d e a 模型转化为其确定的等价模型 其次 我们讨论了可信性d e a 模型的一些性质 最后 我们通过一个数值例子的 求解结果对决策单元进行了有效性分析 第四章主要建立了另一类新的期望值d e a 模型 首先 我们建立了输入倾向 和输出倾向的期望值d e a 模型 定义了目标决策单元的有效性 其次 当模糊输 入数据和模糊输出数据是相互独立的梯形模糊变量时 我们将模型的可信性约束转 化为其确定的等价约束 再次 讨论了所建立模型的基本性质 然后 为了求解这 些模型 我们引入了逼近方法 神经网络和模拟退火算法 进而设计了一种混合s a 算法来求解所建立的期望值d e a 模型 最后 我们给出一个数值例子来验证算法 河北大学理学硕士学位论文 的可行性和有效性 并且分析了决策单元的有效性 在结论部分 我们对文章的工作进行了总结 简要地介绍了本文的一些创新点 并对下一步可以继续开展的工作进行了展望 4 第2 章预备知识 第2 章预备知识 可信性理论是建立在可信性测度基础之上的 它是可能性理论的进一步延伸和 发展 为了进一步增强本文的易读性 本章首先介绍可信性理论的一些基本概念 它们作为建立模型和讨论模型性质的理论基础 然后介绍确定环境下的d e a 模型 以及决策单元有效性的定义 2 1可信性理论基本知识 自1 9 6 5 年美国控制论专家z a d e h 1 7 1 提出模糊集的概念 模糊集理论已经得到 长足发展 模糊技术几乎渗透到了所有领域 可能性理论由z a d e h 1 8 提出 许多 学者如n a 戚a s 1 9 l 和d u b o i 8 p r a d e 2 0 2 1 l 对其发展起了重要作用 定义2 1 3 5 l 假设r 为非空集合 p r 是r 的幂集 p 0 s 是定义在p r 上 的一个集函数 p o s 称为可能性测度 如果它满足下面的条件 p o s l p o s 谚 o p o s r 1 p o s2 对任意a p r 都有p 0 8 u 埏 a s u p 吲p 0 8 a 其中 是任意的指 标集 称三元组 r 尹 r p 0 8 为 个可能性空间 n a d l i n i a u s 1 9 称之为模式空间 p a t t e m 8 p a c e 尽管可能性测度已经被广泛地应用 但是它没有自对偶性 最近 基于可能性 测度 l i u l i u 2 9 提出了具有自对偶性的可信性测度 定义2 2 2 9 设 f p r p 0 s 是 个可能性空间 c r 是定义在p r 上的一 个集函数 称它是一个可信性测度 如果对任意的以 尹 r 有 c r a 去 1 p 0 8 a 一 a c 2 1 其中a 表示集合a 的补集 三元组 r p r c r 称为可信性空间 驺j 容易验证 c r 具有如下性质删t 河北大学理学硕士学位论文 c r l c r d o 且c r r 1 c r 2 单调性 对任意的a b p r 有c r 4 c r b c r 3 自对偶性 对任意a p r 有c r a c r a 1 c r 4 次可加性 对任意a b p r 有c r aub c r a c r b 模糊变量是可信性理论中的一个重要概念 其定义如下 定义2 3mn 一维模糊向量定义为一个从可信性空间 r 尹 f c r 到n 一维 实向量的函数 如果n 1 则称它为模糊变量 设f 为模糊变量 如果对任意的7 r 有f y o 则称 为正模糊变量 定义2 4 3 7 设 1 已 厶为定义在可信性空间 r p r c r 上的模糊变 量 若对实数集贝上的任意子集b 1 岛 鼠 有 c r 7 l f l 一y b l 厶 7 b i l 蝉璺c r y i 已 一y 鼠 2 2 1 l n 则称6 已 厶为相互独立的模糊变量 定义2 5 3 1 设 为模糊变量 且q o 1 则称 已u p q s u p r l c r r q 2 3 为 的q 一乐观值 定义2 6 3 1 1 设 为模糊变量 且a o 1 则称 为f 的q 一悲观值 6 n f q i n f 7 l c r r q 2 4 定义2 7 3 6 设专为定义在可信性空间 r p r c r 上的n 一维模糊向量 则 它的联合隶属函数由下式给出 p 2 c r y r i y z 八1 z 舻 2 5 基于可信性测度 l i u l i u 2 9 定义了模糊变量的期望值 第2 章预备知识 定义2 8 例设 为定义在可信性空间 r 尹 r c r 上的模糊变量 则定义 的期望值为 o o o e 喀 c r f r d r 一 c r r d r 2 6 0 其中m i i l 伊c r d r c r r d r o m 雌1 地 1 不失一般性 假设已 i 1 2 佗满足 已 蠢 则模糊变量f 的期望值为 其中权重姚 i 1 2 n 为 1 t 一1 1 n 1 毗 互 粤野心一粤野心 互 1 警心一拦嚣心 且 肛叶1 o 容易证明 毗 o 且 叁1 毗 m 锻墨1 胁 1 2 2 确定d e a 模型 2 7 1 9 7 8 年 c h a m e s c 0 0 p e r r h o d e s 1 l 给出了第 个评价决策单元相对有效 性的d e a 模型一c c r 模型 假设有n 个决策单元 且这n 个决策单元都具有可 比性 每个决策单元都具有仇种类型的输入和r 种类型的输出 所有决策单元的 输出都是非负的 但至少有一种输入和一种输出是正的 为了介绍c c r 模型 我们采用下面的符号 d m u i 第i 个决策单元 d m u 彬 n l 匿 b 河北大学理学硕士学位论文 d m u o 目标决策单元 它是这n 个决策单元之一 如 第i 个决策单元 d m u 所消耗的输入列向量 z o 目标决策单元 d m u o 所消耗的输入列向量 玑 第i 个决策单元 d m u i 所产出的输出列向量 珈 目标决策单元 d m u 0 所产出的输出歹 i 向量 心 f p 输入权重列向量 口 形 输出权重列向量 在c c r 模型中 以d m u o 的效率评价指数为目标 以所有的决策单元的效率 指数 包括d m u o 为约束 构成如下分式规划形式c c r 模型 毪铲 e a 麓 8 t 麓 1 江1 n 2 8 t 正 0 t 0 t 0 u 0 通过c h a m e 卜乇0 0 p e r 变换删 令t l 矿z o 执 p 幻 c c r 模型的 分式规划形式可以等价地转化为如下线性规划形式 m a x 蟛甜 弘t 跏 w p 8 t u 1z o 1 一u t 鼢 玑 o t 1 n 2 9 q 留 0 p 0 p 0 为了便于叙述 我们仍采用上面所介绍的符号 于是模型 2 9 可以转化为如 下模型 m a x 嵋e a 矿珈 m s t u 1z o31 一矿鼢 玑 o l 1 n 2 1 0 u 0 u 0 口 0 t 0 8 第2 章预备知识 模型 2 8 也称为是输入倾向 i n p u t 一0 r i e n t e d 的c c r 模型 因为决策者追求 的倾向是输入的减少 另外 如果决策者追求的倾向是输出的增大 我们可以将分 式规划模型 2 8 改写为下面的形式 u n u 口 s t 鞣 m 痃 1 江l n 2 1 1 牡 0 牡 o o u 0 对应地 该模型被称为是输出倾向 o u t p u t 一嘶e n t e d 的c c r 模型 通过c h a m e s 一 c o o p e r 变换 则可化为如下的等价线性规划 粤粤嗌a 跏 t t j 8 t t 珈 l u t z i t 玑 o i 1 n 2 1 2 一u 1z i 1 玑 o i 1 n 2 1 2 仳芝0 牡 0 t 0 u 0 在模型 2 1 0 中 当凡个决策单元的输入数据和输出数据给出时 由约束条 件乱r z o 1 和一心r u t 玑 o i 1 n 容易得出目标决策单元d m u o 的效率值 e a o 1 中 类似地 在模型 2 1 2 中 由约束条件矿珈 1 和 一u t 鼢 u t 纨 o i 1 n 我们可以得出目标决策单元d m u o 的效率值 嘬a21 因此 根据目标决策单元d m u o 的效率值和模型的最优解 心 t 我 们可以得到如下d e a 弱 有效的定义 定义2 9 3 9 若线性规划 2 1 0 和 2 1 2 的最优目标值 e a l 隘a l 则称目标决策单元d m u o 为弱d e a 有效 定义2 1 0 3 9 若线性规划 2 1 0 和 2 1 2 存在最优解 让 矿 满足u o 矿 o 锃 o 意味着向量锃 的每个元素大于零 并且最优目标值 1 笛e a 1 v 葛笛 l 河北大学理学硕士学位论文 则称目标决策单元d m u o 为d e a 有效 否则 称目标决策单元d m u o 为d e a 无 效 1 0 第3 章可信性d e a 模型 第3 章可信性d e a 模型 本章首先建立一类新的模糊d e a 模型一可信性d e a 模型 由于确定c c r 模型有两种类型一输入倾向和输出倾向c c r 模型 对应地 我们也建立了输入 倾向和输出倾向的可信性d e a 模型 其次 在某些情况下 譬如模糊输入数据和 模糊输出数据为相互独立的梯形模糊变量时 可信性d e a 模型可以转化为其清晰 的等价模型 然后 讨论了可信性d e a 模型的一些性质 最后 我们通过数值实 验来检验所建立模型的可行性并分析决策单元的有效性 本章部分内容已发表于文 献 4 0 1 3 1 模型的建立 d e a 模型是用来测量或评价一系列具有多个输入 多个输出的同类 部门 或 单位 间相对有效性的一种方法 其输入数据和输出数据都是清晰值 然而 在现实世界中 譬如生产系统和服务部门 其输入数据和输出数据往往带有不确定 性 近几年来 模糊集理论得到了长足发展 并且作为一种度量不确定数据的手段 被广泛地应用于现实问题中 与传统的d e a 模型相比 带有模糊输入数据和模糊 输出数据的d e a 模型 简称模糊d e a 模型 能够更加实际地描述现实生活中的评 价相对有效性问题 因此 当模型 2 8 和 2 1 1 中的输入数据和输出数据具有模 糊性时 我们可以分别建立如下规划问题 学 a 鞣 s t 一 t 磊 u t 承 0 l n 0 钆 o u 0 u 0 3 1 毋喁旷鞣 8 t 一t 正t 磊 u r 玩5o i 1 n 3 2 茁 o 氍 0 u 0 u 0 1 1 河北大学理学硕士学位论文 其中 牙o 目标决策单元 d m u o 所消耗的模糊输入列向量 磊 第i 个决策单元 d m u i 所消耗的模糊输入列向量 乳 目标决策单元 d m u o 所产出的模糊输出列向量 级 第1 个决策单元 d m u i 所产出的模糊输出列向量 在规划问题 3 1 和 3 2 中 当输入数据和输出数据是模糊变量时 由于约束 函数中融入了模糊变量 因而不可能像经典的约束条件那样 给出 个确定的可行 集 且目标函数也变得不明确 在模糊环境下 为了得到数学上意义明确的d e a 模型 容差法 2 引 解模糊化法 2 引 q 一截集法 2 刭 模糊分类法 2 3 2 4 和可能 性方法 2 8 已经被提出 在本文中 为了建立有意义的模糊d e a 模型 我们采用 了一种新的方法一可信性方法 因此 根据模糊机会约束规划 c c p 4 1 4 2 1 的建 模思想 我们采用可信性测度 分别建立如下的输入倾向和输出倾向可信性d e a 模型 1 学甲 s t c r 一 l 一 o 矿 o 并且最优目标值 1 定义3 1 2 模型 3 3 中的d m u o 称为p 一可信性弱有效 如果存在最优解 矿 矿 其中至少 个元素为o 并且最优目标值厂 1 否则 d m u o 称为p 一可 信性无效 对于输出倾向可信性d e a 模型 3 4 我们给出 弱 有效性定义如下 定义3 1 3 模型 3 4 中的d m u 0 称为p 一可信性有效 如果存在最优解 让 矿 满足u o 矿 o 并且最优目标值 1 定义3 1 4 模型 3 4 中的d m u o 称为p 一可信性弱有效 如果存在最优解 u 矿 其中至少一个元素为o 并且最优目标值 1 否则 d m u o 称为p 一可 信性无效 注3 1 定义3 1 1 和3 1 3 是确定环境下d e a 有效性的推广 3 2 模型的等价形式 求解可信性d e a 模型的关键问题在于如何处理机会约束函数 本节主要以梯 形模糊变量为例来讨论如何将可信性d e a 模型转化为其清晰等价形式 假设f 口l n 2 口3 0 4 和叩 6 1 6 2 6 3 6 4 是两个梯形模糊变量 由z a d e h 扩 展原理 对任意入 p o 我们有 叩 n l 6 1 眈 6 2 0 3 6 3 n 4 6 4 a f 矽7 7 a 口1 p 6 l 入n 2 p 6 2 入口3 p 6 3 a n 4 p 定理3 1 假设 1 f 2 厶是相互独立的梯形模糊变量 且已 r i r 以 以 o i 1 2 n 则对任意给定的置信水平q o 1 有 1 若q o i 1 2 n b o 但至少有一个 o0 1 2 m 且6 o 则对任意给定的 置信水平q o 1 有 1 若q o 5 则 c r 冬 觑已 跺 吻仍 吣 q 当且仅当慧趱煮磁 6 c r 垒 磊 跺 仍 舛 口当且仅当箸麓舞澎 6 2 若q o 5 则 c r 警 已 跺 吻仍 6 q 当且仅当篙邂瑚蒜鞘 6 c r 冬 已 跺t 仍 6 q 当且仅当器遐糍蒜鞘 6 证明我们只证明第一种情形 其它可以类似证明 若q o m 吼 m 0 j 1 2 m 七 1 2 r 此时由表1 给出如下输入倾向的可信性d e a 模型 m a xm 娶 t t j 8 t c r 麟 p c r o 第3 章可信性d e a 模型 表2 模糊输入和输出数据变化 兰1 2 n 因此 我们可以得出如下输入倾向的可信性d e a 模型 m a x m 豁 让 钉 s t c r 渊 扯p 伍 c r 一t 正t 磊 r m 骁 o 2q i l 1 n 0 仳 0 0 t o 其中p o 1 q o 1 t l 2 n 是预先给定的置信水平 因此 我们有 如下定理 定理3 4 模型 3 3 中d m u o 是p 一可信性 弱 有效的充要条件是模型 3 1 0 中d m u o 是p 一可信性 弱 有效的 证明假设u o 和护是模型 3 3 的最优解 由于 贝 m o i 1 2 n 容易得知 模型 3 1 0 等价于如下模型 m a x m a x t 口 s t c r o 矿 o 并且最优目标值嵋刍e a 1 定义4 1 6 模型 4 1 中的d m u o 称为期望弱有效 如果存在最优解 u u 其中至少 个元素为o 并且最优目标值蟛刍e a 1 否则 d m u o 称为期望无效 对于输出倾向模糊期望值d e a 模型 4 2 我们给出 弱 有效性定义如下 定义4 1 7 模型 4 2 中的d m u o 称为期望有效 如果存在最优解 矿 满 足 o 矿 o 并且最优目标值嗡e a 1 定义4 1 8 模型 4 2 中的d m u o 称为期望弱有效 如果存在最优解 u 矿 其中至少 个元素为o 并且最优目标值唾 朋 1 否则 d m u o 称为期望无效 注4 2 定义4 1 5 和4 1 7 是确定环境下d e a 有效性的推广 在模型 4 1 和 4 2 中 输入数据和输出数据为模糊变量 为了求解模型的最 优解和最优值 我们需要计算模糊事件的期望值和可信性测度 如果模糊变量比较 2 二 第4 章期望值d e a 模型 复杂 那么约束检验是一个耗费时间的过程 因此在某些情况下 把模型的可信性 约束转化为它们的清晰等价约束可以大大减少计算的时间复杂度 我们仅以梯形模 糊变量为例来解释这一思想 为简单起见记z z z z 2 z 乏 驴 翟 磁 识 l 1 2 n j 1 2 3 4 当叱 o 5o 1 2 钆 由定理3 1 模型 4 1 和 4 2 分别等价 于模型 4 3 和 4 4 咒铲k 易e a ep t 玩 u r 矛 s t 2 q i 一1 t 正t z 1 一t t 卵 2 1 一q u t z 2 一口t 卵 o l 1 2 n u 0 u 0 t 正 0 t o 4 3 孪唱e a e 阻r 铂 u t 鲫 s t 2 q t 一1 t z 1 一矿 2 1 一啦 u t z 2 一u t 孵s o i 1 2 几 u o o 4 4 t 0 移 0 其中锄 1 2 n 为决策者预先给定的置信水平 4 2 模型的性质 在这一节 我们主要讨论所建立期望值d e a 模型的两个基本性质 我们仅以 梯形模糊变量为例给出输入倾向模糊期望值d e a 模型的基本性质 对于输出倾向 模糊期望值d e a 模型的基本性质 我们可以类似讨论 在输入倾向模糊期望值d e a 模型中 假设模糊输入数据和模糊输出数据为梯 形模糊变量 考虑由表1 给出的模糊输入数据和模糊输出数据 我们可以得到如下 输入倾向模糊期望值d e a 模型 警畦 e 唧肌 羔 呦响o s t c r o 移o o 令卺 讲 啦 戳2 现 以 r 移 砖 尹l 谴 以 谚 办 t 则砬 o 移 o 因此 u o 和护是模型 4 1 的最优解当且仅当砬和0 是模型 4 5 的最优解 因此 模型 4 1 和模型 4 5 有相同的最优值 即模型 4 5 是期 望有效的 定理证毕 口 考虑由表2 给出的模糊输入数据和模糊输出数据 我们可以得到如下输入倾向 模糊期望值d e a 模型 铲 e a 2 e 卜 伽彘 戗t 拍奶 8 t c r 矿 m 磊 一 m 玩 o q i i 1 2 n 4 6 0 u o t 0 o 其中q t 1 2 几 为决策者预先给定的对应第t 个可信性约束的置信水平 因此 我们有如下定理 定理4 6 模型 4 1 中d m u o 是期望 弱 有效的充要条件是模型 4 6 中 d m u o 是期望 弱 有效的 证明假设模型 4 1 中d m u o 是期望有效的 且护和护是模型 4 1 的最 优解 则u o o o o 由于 败 m o i 1 2 n 容易得知模型 4 6 等价于模型 4 7 吧铲皑 e a2 e r 伽蜘 乱t 伽面 s t c r 伽 t 正t 规一u t 识 o q i i 1 2 n 4 7 珏 0 仳 o 0 u 0 一2 4 第4 章期望值d e a 模型 令砬 铲 伽 o u o 伽 则砬 o o o 因此 u o 和护是模型 4 1 的最优解的 充要条件是色和番是模型 4 7 的最优解 故模型 4 1 和模型 4 7 有相同的最优 值 即模型 4 1 和模型 4 6 有相同的最优解和最优值 所以模型 4 6 中d m u o 是期望有效的 对于期望弱有效的情形 我们可以类似证明 定理证毕 口 4 3 混合s a 算法 在模型 4 1 和 4 2 中 当模糊输入数据和模糊输出数据为离散模糊变量或 连续模糊变量时 我们可以采取不同的方法来求解模型 当模糊输入数据和模糊输 出数据为离散模糊变量时 我们可以把目标函数和可信性约束转化为它们的清晰等 价形式 另一方面 当模糊输入数据和模糊输出数据为连续模糊变量时 不可能把 模型的目标函数转化为其清晰等价形式 然而 在某些情况下 我们可以将可信性 约束转化为其清晰等价约束 因此 我们设计了一种基于逼近算法 神经网络和模 拟退火的混合s a 算法来求解所建立的期望值d e a 模型 当模糊输入数据和模糊输出数据是离散模糊变量时 我们将给出计算目标函数 和模糊事件u t 圣 一u t 玩 0 的可信性的方法 假设模糊向量 瑶 鼯 孟l o 孟2 o 牙m o 赫 1 o 纵 2 o 魏 r o 的可能 性分布函数为 瑶 菇 f 锯 菇 锯 鳃 2 瑶 鳃 k l p 1比 弘k 其中 罐 鼯 詹 姥 t 结 7 o 硅o 金袅 0 娩 l o 旃 2 0 一 旃 r o 蹰咿扣是 童万 琚 的第后个实现值 其可能性舭 p 0 s 错 菇 罐 琚 七 i n i n 器lp o s 奶 o 谚o 血i 弓骞 1p 0 8 易 o 鲢o o m a x 筵1 m 1 记 泸结 u 砧 忌 1 2 k 不失一般性 假设 s 厶 厶 则目标函 数由e 卜t 蜘 童o 怎1 镏老 给出 其中蛾 1 2 m 艇1 班一m a 旨他 1 2 m a 三七p i m a 錾辜1p i 且p o 肛耳 1 o 模糊事件t t 面 一u t 蜘 o 的可信性可由下式来计算 c r 一 舶 o 丢 1 r 磐 肌l u t 岔3 一 结 o 一 磐 肌i 乱t 岔 一 t 璐 o 下面 我们通过 个简单的数值例子来帮助我们理解上面所介绍的计算方法 河北大学理学硕士学位论文 fo 7 如果z 1fo 5 如果 2 童 z 1 如果z 3 面 纱 1 如果 4 lo 其它 io 其它 ro 7 如果t t fo 5 如果s 2 p 俯 t 1 如果t 3 u 地如 s 1 如果s 4 i o 其它 l o 其它 因此 模糊向量 u 面o u 蜘 的可能性分布为 乱面 u 舶 一 气 笋 3 艺 詈u 3 4 秒 从而 蜘 u 奶 的期望值为 e 一o 2 5 兰州 o 等 o 3 5 等 瓮 c r u 孟 一u 蜘 o 如果u 4 u 6 5 如果2 u 仳 4 t 6 5 如果 u 2 2 5 如果 u 吾u 如果仳 弘 在模型 4 1 和 4 2 中 当模糊输入数据和模糊输出数据为连续模糊变量时 我们可以通过文献 3 3 提出的逼近方法来计算目标函数的期望值函数 假设 瑶 菇 孟l o 亳2 0 童m 1 0 赫 1 o 孰 2 o 赫 r o 为连续模糊向 量 且有有限支撑三 翁h 幻1 其中h 屯 是奶 o 1 歹 m 或易 o m 1 歹 m r 的支撑 则我们可用一列离散模糊向量 孟 鳢 的可能性分布函数来逼 近 罐 格 的可能性分布函数 逼近方法嘲描述如下 对于每个整数t 我们定义如下离散模糊向量 矛 霸 孟t 1 矛t 2 牙t m 1 7 t m 1 玩 m 2 玩 m r 第4 章期望值d e a 模型 对于每 个歹 1 2 m 定义模糊变量童幻 m j 奶 o 对于每 个歹 m 1 m 2 m r 定义模糊变量玩j 9 t j 坊 o t 1 2 其中 m j 8 u p 幻 z 是整数集 注意到模糊变量奶 o 和易 o 取值于区间h b 矛幻和玩j 的取值是如 t 其中 磅 芒 p 1 毛 h 表示不超过7 的最大整数 例如 2 8 1 2 一3 6 一4 另外 对于每一个向 当奶 o 和弦 o 在区间 如 t 幻 1 亡 取值时 模糊变量 孟t j 和尻 j 仅取值奶 t 因此 模糊变量孟幻和玩j 的可能性分布分别定义如下 吲譬 叫砖骗舯 川 2 m 等 p o s 等鲡秆 华 歹 m m 2 n 其中b p 陋 1 鳓 这样 对每个7 r 有 奶 o y 一 磊j 7 奶 o y 歹 1 2 m 奶 o