大学物理 第8章例题2011-03-05.pdf

1 第八章例题第八章例题 例题例题 1 半径为 R 的薄圆盘均匀带正电 电荷面密度为 以角速度 绕中 心轴线转动 求轴线上一点 P 的磁感应强度 B 解 解 如右图 令 P 点到圆盘中心的距离为 z 在圆盘上取半 径为 r 宽为 dr 的圆环 圆环带电量为2dqdsrdr 此圆环中的电流为 dq dI T T为转一周所需的时间 2 T 2 2 dq dIr drrdr T 由 8 25 式有 2 0 3 2 22 2 r dI dB rz 322 00 3 2 2200 22 2 2 22 RR r drRz BdBz Rzrz 方向向上 当z 0时 即圆盘中心处的磁感应强度为 0 2 R B 若圆盘带电量为q 则 2 q R 此时 0 2 q B R 与课本中习题8 19一致 注 积分 3 3 2 022 R r dr rz 的计算 令 222 rzu rdrudu 22 0ruz 222 rRuRz 上述积分 22 2222 22 22 32 1 Rz RzRz zz z uzu du zz duu uuu 2222222 22 222222 2 22 zzRzzRz Rzzzz z RzRzRz 2 例题例题 2 一无限长的导线载有电流I 导线为抛物线形状 设焦点到顶点的 距离为a 试求焦点处的磁感应强度 解 解 在右图中 抛物线的方程为 2 4xay L为准 线 PE垂直于准线 交x轴于P 点 所以有 PFPEPPP E 0 3 4 Idlr dB r 0 2 sin 4 Idl dB r 222 4 44 xxa rPFPEPPP E yaa aa 过P点作切线交y轴于T点 可以证明FTFP 设P点坐标为 00 xy TP 的斜率为 0 2 4 xdy k dxa 这样可以写出直线TP的方程 由此可求出T点的坐标 再求FT的长度为ayr 令TPF sinsin sindldldldx 00 22 22 44 4 4 IIdxdx dB r xa a 22 00 22 0222 2 000 22 0 48 4 2 11 arctan0 2242 24 a Ia Idxdx BdB xa xa IIIxax aaxaaa 磁场的方向 垂直黑板向外 3 例题例题 3 书上8 26题 解 解 大的圆柱体中挖去一个小圆柱体 通均匀分布电流I 电流密度为 22 I Rr 利用补偿法 设想空心圆柱 体中 通电流方向相反的两个电流 电流密 度都为 22 I Rr 则总体结果是一样的 这样 可将问题看成由两个通电圆柱体组 成 一是半径为R的圆柱体 通过的电流为 22 1 22 I IRR Rr 另一个是半径为r 的圆柱体 通过的电流方向相反 大小为 22 2 22 I Irr Rr 我们知道 对于大的圆柱体 O点是它的轴线上的一点 所以 1 I在O点产生 的磁感为0 下面求 2 I在O点产生的磁感 以 O 点为圆心 以 OO 的长度为半径 作一个圆周回路 1 L 根据安培环路定理 O点处的磁感为 1 1002 L B dlII 即只有I2对O处的磁感有贡献 所以 1 2 11020 22 2 L Ir B dlBdI Rr 2 0 1 22 2 Ir B d Rr 方向为垂直向下 同理 对于 O 点的磁感 I2对它无贡献 只有I1对它有贡献 2 20 L BdlI L2是以O为圆心 d为半径的圆周 2 222 L BdlBd 2 2 22 Id Ijd Rr 2 0 2 22 2 Id Bd Rr 0 2 22 2 Id B Rr 方向为垂直向下 4 例题例题 4 书上8 36题 证明任意形状导线AB在均匀磁场中所受的力 等于 AB为直导线所受的力 证明方法一 证明方法一 如图 建立直角坐标 系 取电流元dl 它受的力为 dFIdlB 由 于dlB dFIdlB 方向为dFdl dF 可分解为x方向的 x dF和y方向的 y dF sin x dFIBdl cos y dFIBdl 是dl 与x轴的夹角 sin0 B A By xxAB Ay FdFIBdlIBdyIB yy 0 cos BL yy A FdFIBdlIBdxIBL LAB 故曲线AB所受的力的大小与直线AB所受力的大小一样 方向都是 沿y轴方向 即垂直AB直线 证明方法二 证明方法二 闭合载流线圈 在均匀磁场中所受合力为0 故可假定另有一段直 导线BA与曲线AB相连 则有 F 合 ABBA0 FF ABBAAB FFF 问 题得证 例题例题 5 U形导线 两端放在水银槽中 利用导线跳起所达到的高度h 计 算电流脉冲的电荷量 解 解 设导线中的瞬时电流为i 安培力为FBil 在电脉冲作用的时间内 力的冲量为 0000 tttq FdtBildtBlidtBldqBlq 根据动量定理 0 0 t Fdtmv qBlmv 2 2vgh 2qBlmgh 2mgh q Bl 5 例题例题 6 一多层密绕螺线管 内半径为R1 外半径为R2 长为l 设总匝数 为N 通电流I 求管内中心O点的磁感强度 解 解 在螺线管中取一厚为dr的密绕导线薄层 由书上 8 31 式可知 此 薄层在O点产生的磁感为 0 1201 coscoscos 2 dBnini 其中n为单位长度的匝数 21 N ndr RR l 21 N RR 为r方向上单位厚度的匝数 则 21 N dr RR 为dr厚度内长为l的螺线 管的匝数 厚为dr的薄层单位长度内的匝数为 21 N ndr RR l 1 2 2 2 cos 2 l rl 0 2 2 21 2 2 NIdrl dB l RR rl O点的磁感为 22 11 2 2 22 00 22 21 22 2111 2 ln 2 2 22 RR RR l RR NIdrNI BdB RR ll RRrRR 方向向右 例题例题 7 书上8 42题 解 解 求受到的力矩 sin 2 mmm MPBP BkP BkISBk 2 2 R S 2 2 7 85 10 2 R MIBN m 方向向上 6 磁力矩所做的功为 2 2 0 07 85 10 2 t R AIII B SIBSIBJ 例题例题 8 书上8 18题的解答 情况1 认为导线是沿圆弧方向均匀绕制的 如右图 沿球面取长为dlRd 的 一 段 圆 弧 该 圆 弧 上 的 导 线 有dN匝 2 2 NN dNdld R 电流为dIIdN 圆环的半 径为x 圆环中心到O点的距离为y OOy 根据8 25式可得 2 2 00 3 23 22 2 22 dI xN dBx Id R xy sinxR 222 00 222 3 000 000 2 0 2 sinsin 2 1 cos21 22 24 I NNI BdBRdd RR NININI d RRR 情况2 认为导线是沿半径方向均匀绕制 的 NNI dIIdNIdydy RR 22 00 3 24 22 22 NIx dydI x dB R xy 2223 0000 444 000 2 22233 RRR NINININI BdBx dyRydyR RRRR 方向沿y轴 向上 可以看出 两种情况结果不一样 第二种方法计算的结果要大 这是因为第 一种方法的绕制 在顶部绕的比较多 此处离O点较远 故O点的磁感小 7 例题例题 9 试计算氢原子中的电子绕核运动时 当外磁场B 与 0 同向或反向时 它的进动角速度的大小和方向 解 解 当未加外磁场时 设电子绕核运动的圆半径为r 角速度 0 电子运动 形成的圆电流 其强度为 0 0 2 2 eee I T 1 此电流形成的磁矩为 22 2 0 00 222 m nn eerer PISree 2 根据力学可知 库仑力 向心力 即 2 2 0 2 0 4 e e m r r 3 情况1 施加外磁场 当B 与 0 同方向时 电子受到洛仑兹力 m fevB 其大小为 m fer B 4 方向指向圆心 假定此时轨道半径r不变 角动量发生变化 由 0 变为 且 与 0 在同一直线上 0 此时 满足的力学方程为 2 2 2 0 4 e e er Bm r r 5 将 3 代入 5 式可得 22 0ee m rer Bm r 即 00e m rer B 6 当B不是太大时 0 0 2 8 0 2 e eB m 7 0 说明 的方向与 0 的方向一致 即 与B 的方向一致 附加磁矩与 B 方向相反 2 e eB m 8 即为进动的角速度 情况2 当 0 与B 的方向相反时 洛仑兹力的方向是背离圆心 此时 5 式变为 2 2 2 0 4 e e er Bm r r 9 即 0e m rer B 2 e eB m 10 即 的方向与 0 的方向相反 但与B 的方向仍然相同 2 e eB m 11 9 例题例题 10 书上8 50题 磁导率为 1 和 2 的两种磁介质 半径分别为 1 R和 2 R 内圆柱体通以电流I 求 H和B 半径为 1 R和 2 R处表面上的磁化面电流线密度 解 解 当 1 rR 时 2 2 11 2 1 2 r HdlHrIrI R 2 1 22 11 22 rIIr H rRR 1 111 2 1 2 Ir BH R 1 rR 当 12 RrR 时 222 HdlHrI 2 2 I H r 2 222 2 I BH r 12 RrR 当 2 rR 时 332 HdlHrI 3 2 I H r 0 303 2 I BH r 2 rR 根据边界条件 2112snMMMMn 当 1 rR 时 1 1 11 2 01 1 2 r IrB MH R 1 rR 方向同1B 2 2 22 0 1 2 r IB MH r 12 RrR 方向同2B 21 21 212121 01 2 srnMMn eMMeeMMkMMIk R 其中re 为柱坐标系中沿径向的单位矢量 e 为柱坐标系中转角 方向的单位矢 量 方向沿切线方向 k 为长度方向的单位矢量 若 21 则与传导电流同向 当 2 rR 时 2 20 322 22 202 1 0 22 r s I nMMnMn eMkMkIk RR 与传导电流反方向 磁化面电流面密度 s M 10 例题例题 11 如图 一根细长的永久磁棒 沿轴向均匀磁化 磁化强度为M 求各点的磁感应强度B 和磁场强度H 解 解 根据磁化理论 所有内部的分子电流彼此 抵消 只在表面出现磁化面电流 磁化面电流 的线密度为 S M 且磁化面电流产生的B 与一细长螺线管产生的磁场等效 1000SS BnIM 23 0BB 01 4567 22 MB BBBB 又根据 0 B HM 可得 1 0H 23 0HH 47 2 M HH 56 2 M HH 表明H线不连续 另外 也可用安培环路定理可知 10 C H dlI 1 0H 然后根据 1 1 0 B HM 可知 10 BM 11 例题例题 12 计算半径为a 磁化强度为M 的均匀磁化介质 球 它的磁化电流在轴线上 球外 所产生的磁场 解 解 考虑一半径为a的磁介质球 因为均匀磁化 磁化强 度M 为恒量 如图 令M 向上 则有如图所示的面电流 分布 面电流线密度为 sin SnznMeMeeMe e 的方向垂直纸面向 里 在球的右边 如右图 求P点的磁感应强度 取 处宽为ad 的球带 球带的电流为 sin SS IadMad 令P到O的距离为z 则P到O 的距离为 PO PO OO cosza A 根据书上 11 12 式可得 所取的圆环在P点产生的磁感 为 2 2 00 3 23 2 22 222 sinsin 2 sincos2PO S MadaI R dB azaR 整个介质球在P点产生的磁感为 33 0 3 2 0022 sin 2 2cos Mad BdB azaz 令cosu sindud 2 33 1 0 03 2 3 122 1 2 23 2 udu MaMa B z azazu B 以上积分可以令 22 2zazauy 积出来 3 3 0 2 3 BMa H z 当P点在球内时 PO cosza 或PO cosaz P点在O 的上面或 下面 PO cosza 从而 A 式仍然成立 根据 B 式可以计算得到 最后的结果为 0 2 3 BM 12 例题例题 13 相对磁导率为 1r 和 2r 的两种均匀磁 介质 分别充满0 x 和0 x 的两个半空间 一细导 线 位于交界面 其中通以电流I 求空间各点的B 和H M 解 解 由于导线很细 所以除了导线所在处之外 分 界面其它地点的磁感应强度与界面垂直 根据边界 条件 两介质的分界面处 B 的法向分量连续 所 以同一圆周上磁感应强度应该是大小相等 方向与 电流I符合右手螺旋法则 所以 12 BBB 以导线为圆心 以r为半径作一积 分回路 根据安培环路定理 12 H dlHrHrI 1 又 1 1 0101rr BB H 2 2 02r B H 3 解 1 2 3 得 012 12 12 rr rr I BBB r 2 1 0112 r rrr IB H r 1 2 0212 r rrr IB H r 根据 0 B MH 可得 21 11 012 1 rr rr IB MH r 12 22 012 1 rr rr IB MH r B H M 三者在各点方向相同 与电流组成右手螺旋关系 选自胡盘新 大学物理题典 13 第八章补充材料 第八章补充材料 核磁共振CT 贾起民书 核磁 我们知道 原子或分子是由原子核和核外电子组成 电子做轨道运动 绕核 运动 具有轨道角动量L 从而产生轨道磁矩 同时电子还有自旋量子现象 具有自旋角动量 2 S 从而轨道角动量与自旋角动量合成起来 成为电子总 的角动量J 带电粒子的运动便会产生磁矩 电子轨道角动量大小为 1Ll l 0 1 2 l 自旋角动量大小为 2 总的角动量 JLS 自旋产生的磁矩为 sssB n g 1 2 s n 2 s g 朗德g因子 24 9 274 10J T 2 B e e m 称为玻尔磁子 除此之外 原子核中含有质子和中子 质子具有角动量 因此也有磁矩 这 样原子核也就有了磁矩 IIIN n g 1 I nI II I为整数 与核的角动量相联系 1 I LI I 27 5 04 10J T 2 N p e m I g为核的朗德g因子 由实验测定 对于氢核 5 58 I g 可以看出 核磁矩比电子自旋磁矩小三个数量级 共振吸收 对于水这类物质 所有电子产生的磁矩总和为0 故水的磁矩只剩下核磁矩 且这个核磁矩主要来源于氢核 氢核只有一个质子 自旋角动量为 2 在很强 的外磁场的作用下 B 1T 产生 1 21212 2 s 个附加能级 一个是能级较低 的核磁矩与磁场平行 另一个是能级较高的 反平行 这时 当将水放入高频 线圈中 高频线圈的频率为42 58 MHz 产生电磁波 于是处于低能级的氢核便 吸收能量 转为高能级状态 从而产生共振吸收 为什么是42 58 MHz 两条能级为 111IIIN WBn gB 222IIIN WBn gB 1 1 2 I n 2 1 2 I n 能级差为 21IN WWWgB 又吸收电磁波的条件为Whv 42 58 W vMHz h 因此在强磁场的作用下 核磁矩产生附加能级 当外界电磁波的频率满足一定的 14 条件时 就会产生共振吸收 核磁共振CT 在医学上的应用 特例是用于脑部疾病诊断 当上面的线圈中的高频电流突 然撤去以后 则处于高能级状态的氢核会放出能量W 而跃迁到低能状态 氢核 跃迁有两种方式 一是放出能量为hvW 的光子 放出光子的多少可以由检测 器检测 检测的信号与处于高能状态的氢核数量有关 而高能状态的氢核数量又 与样品中氢核的密度有关 即与脑组织中含水的多少有关 从而可以了解脑内部 的情况 氢核从高能态到低能态的第二种方式是与其周围其它核或晶格相互作 用 把能量传递出去 从而回到低能状态 这种过程称为驰豫过程 可以测量驰 豫过程的驰豫时间 人体不同组织因含水量不同 氢核密度和核磁矩密度就不同 人体正常组织 中的氢核密度和病变组织中的氢核密度也不同 病变组织中氢核的驰豫时间大于 正常组织中氢核的驰豫时间 这样通过测量人体各部分的核磁共振的有关参数的 分布情况 并通过计算机数据处理 可将人体各部分分层图像显示在屏幕