（基础数学专业论文）一些关于混合边界条件下boltzmann方程边界层问题的数学理论.pdf

摘要 摘要 本文是关于硬球模型下具有物理边界条件的b o l t z m a n n 方程边界层解的 数学理沦 自从b o l t z m a n n 方程被建立以来 对该方程的研究迅速成为数学 理论中最重要和具有挑战性的领域之一 这一方面是由丁该领域存在众 多有待解决的问题 另 方面是由于该领域具有丰富的物理背景和实际应 用 当用b o l t z m a n n 方程描述带有边界的物理问题的时候 通常会出现厚度约 为k n u d s e n 数的边界层 因此 对于边界层问题的研究在数学上和物理上都具 有非常重要的意义 在第二章中 我们分别研究了带有不同混合边界条件的b o l t z m a n n 方程 边界层解的存在性 该章分为两部分 第一部分研究散射混合边界条件 下 b o l t z m a n n 方程边界层解的存在性 亦即 粒子与边界碰撞之后的速度为 随机的 假设解在无穷远时趋向于 个全局m a x w e l l i a n 我们可以得到解的存 在性 更近一步 我们发现解的存在性依赖于无穷远处m a x w e l l i a n 状态所对应 的m a c h 数 在第二部分 我们分别研究了镜面反射和逆反射情况下解的存在 性 对于正的m a c h 数 我们得到了类似第一部分的结论 在第三章中 我们研究散射混合边界条件下b o l t z m a n n 方程边界层解的稳 定性 当无穷远处m a x w e l l i a n 状态所对应的m a c h 数小于一l 的时候 我们证明 线性化算子关于时间足指数收敛的 最后 基于这个指数收敛性质 我们得到 了非线性边界层问题的稳定性 关键词 b o l t z m a n n 方程 边界层 混合边界条件 能量方法 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h em a t h e m a t i c a lt h e o r i e so nt h eb o u n d a r yl a y e rs o l u t i o nt ot h eb o l t z m a n ne q u a t i o nw i t hp h y s i c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rh a r ds p h e r e m o d e l s i n c et h eb o l t z m a n ne q u a t i o nw a sf o u n d e d t h er e s e a r c hi nt h i sa r e ah a sb e e n o n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta n dc h a l l e n g i n gf i e l d si nm a t h e m a t i c sn o to n l yb e c a u s eo f m a n yu n s o l v e dm a t h e m a t i c a lp r o b l e m s b u ta l s ob e c a u s eo fi t sr i c hp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s w h e nt h eb o l t z m a n ne q u a t i o ni su s e dt os t u d ya p h y s i c a lp r o b l e mw i t hb o u n d a r y t h e r eu s u a l l ye x i s t sal a y e ro fw i d t hi nt h eo r d e ro f t h ek n u d s e nn u m b e ra l o n gt h eb o u n d a r y h e n c e t h er e s e a r c ho nt h eb o u n d a r yl a y e r p r o b l e mi si m p o r t a n tb o t hi nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s i nc h a p t e r2 t h ee x i s t e n c eo fb o u n d a r yl a y e rs o l u t i o n st ot h eb o l t z m a n ne q u a t i o n w i t hd i f f e r e n tp h y s i c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n si sp r e s e n t e d i ti sd i v i d e di n t ot w op a r t s t h ef i r s tp a r to ft h i sc h a p t e ri sf o c u s e do nt h ee x i s t e n c eo fb o u n d a r yl a y e rs o l u t i o n st o t h eb o l t z m a n ne q u a t i o nw i t hd i f f u s eb o u n d a r yc o n d i t i o nw h i c hm e a n st h ev e l o c i t yo fa p a r t i c l ea f t e rr e f l e c t i o ni sr a n d o m a ne x i s t e n c er e s u l ti so b t a i n e du n d e rt h ea s s u m p t i o n t h a tt h es o l u t i o nt e n d st oag l o b a lm a x w e l l i a ni nt h ef a rf i e l d m o r e o v e r t h ee x i s t e n c e i ss h o w nt od e p e n do nt h em a c hn u m b e ro ft h ef a rf i e l dm a x w e l l i a n i nt h es e c o n d p a r t w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fb o u n d a r yl a y e rs o l u t i o n st ot h eb o l t z m a n ne q u a t i o n w i t hs p e c u l a rr e f l e c t i o na n dr e v e r s er e f l e c t i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n sr e s p e c t i v e l y i n t h e s ec a s e s t h es i m i l a rr e s u l t sa r eo b t a i n e df o rt h ep o s i t i v em a c hn u m b e r i nc h a p t e r3 t h es t a b i l i t yo fb o u n d a r yl a y e rs o l u t i o n st ot h eb o l t z m a n ne q u a t i o n w i t hd i f f u s i v ee f f e c ta tt h eb o u n d a r yi sc o n s i d e r e d w h e nt h em a c hn u m b e ro ft h e f a rf i e l di sl e s st h a n 1 t h ee x p o n e n t i a ld e c a yi nt i m ei sp r o v e nf o rl i n e a r i z e do p e r a t o r f i r s t t h e n b a s e do nt h i sp r o p e r t y n o n l i n e a rs t a b i l i t yo ft h eb o u n d a r yl a y e r si so b t a i n e d b yb o o t s t r a pa r g u m e n t k e y w o r d s b o l t z m a n ne q u a t i o n b o u n d a r yl a y e r m i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n s e n e r g y m e t h o d i i i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文 是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果 除已特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果 与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明 作者签名 j 噼 签字日期 上巫盟声 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一 学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权 即 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 可以将学位论文编入有关数据 库进行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 日公开口保密 年 作者签名 丑丝盘 导师签名 勉丝 签字日期 童 堡掣签字日期 2 竺丝 三z 第l 章绪言 第1 章绪言 1 1研究背景 自从b o l t z m a n n 方程被建市以来 对该方程的研究迅速成为数学理论中最 重要和具有挑战性的领域之一 这 一方面是由于该领域存在众多有待解决 的问题 另一方面是由于该领域具有丰富的物理背景和实际应用 在物理 上 m a x w e l l i a n 是一个在气体达到平衡状态时的分布函数 这个m a x w e u i a n 状 态恰好就是不带外力情况下b o l t z m a n n 方程的一个解 然而 对于有外力情况 下的b o l t z m a n n 方程来说 将会有t l z m a x w e l l i a n 状态解存在 外力可能是由多种 因素引起的 比如气体所在的边界 外力场 外部气体源等等 本文中 我们 考虑带有边界条件的b o l t z m a n n 方程 即外力是由边界所引起的 当b o l t z m a n n 方程用于描述有边界的物理问题的时候 通常会出现厚度约为k n u d s e n 数的边 界层 因此 对于边界层问题的研究在数学卜和物理卜都具有非常重要的意 义 在十九世纪早期 很多数学家和物理学家研究了b o l t z m a n n 方程逼近解 的问题 h i l b e r t t 2 3 j c h a p m a n l 川和e n s k o g t l 5j 分别提出t h i l b e r t 展开和c h a p m a n e n s k o g 展开 1 9 3 3 年 c a r l e m a n l 8 首先给出了空问齐次情况下硬球模型解的 全局存在性和唯一性 1 9 4 9 年 为了研究b o l t z m a n n 方程有效性 g r a d l 2 0 j 提出 了m o m e n t 方法和b o l t z m a n n g r a d 极限 然而 直到1 9 7 5 年 才开始了对于b o l t z m a n n 方程有效性进行严格数学证明 的研究工作 1 9 7 5 年 l a n f o r d 2 7 j 对一个充分短的时间区间证明了b o l t z m a n n 方 程有效性 1 9 8 6 年 i l l n e r 和p u l v i r e n t i 2 4 j 证明了大时间情况下b o l t z m a n n 方程有 效性 1 9 7 4 年 u k a i l 3 6 率先解决了t 0 r u s 上面完全非线性b o l z t m a n n 方程的c a u c h y 问 题 自此之后 数学家和物理学家们作出了很多相关的工作 参见1 2 2 2 8 2 9 3 2 j 及 其中的参考文献 读者也可以参考著作 7 9 1 0 1 2 1 7 j 本文自始至终将会嗣绕b o l t z m a n n 方程边界层问题展开讨论 进向 解决 些非常有趣的混合边界条件下半空间问题解的存在性和稳定性 边界层问题最初产生于物理中的蒸发 冷凝问题 对该问题的研究不管 1 第1 章绪言 从数学的观点还是物理观点米看都非常重要 在文献i 6 j 中 作者总结了半空 间问题最新的数学结果 关于半空间线性化b o l t z m a n n 方程及其相关课题 已 经有了很多结果 参见1 5 8 1 4 1 9 3 lj 及其参考文献 在文献 2 5 2 6 3 0 中 作者研究 了离散b o l t z m a n n 方程半空间问题 文献1 4 0 j 提出了边界层问题中常用的四种 边界条件 对d i r i c h l e t 边界条件下非线性边界层问题 文献 1 3 3 8 4 2 1 分别对h a r d s p h e r e h a r dp o t e n t i a l 和s o f tp o t e n t i a l 给出了解的存在性 更进 步 文献1 3 9 4 1 删 分别给出了m a c h 数小 y 一1 时解的稳定性 对境面反射边界条件 文献1 4 3 1 研究 了h a r ds p h e r e 和h a r dp o t e n t i a l 模型下b o l t z m a n n 方程稀疏波的稳定性 文献 1 8 考虑了当m a c h 数等于0 时的镜面反射边界条件下的半空间问题 文献1 1 6 3 研 究了逆反射情况下的外问题 在此 我们还要提及关于其它形式的稳定态问题 的一系列的工作进展i 卜4 j 然而 对于混合边界条件的研究结果还非常有限 1 2 b o l t z m a n n 方程 区域qcr n 内的单原子气体的b o l t z m a n n 方程可表示为 筹 v z 去e v 三q s 硝 r q 舭 1 1 其中 e e x 是外力 s s t z 是源 m 是气体粒子的质量 像通常一 样 f f t z 是未知函数 表示在时f u l t r 具有位置z z 1 i z n q 和 速度f f l 厶 r n 的气体粒子的质量密度分布函数 k 0 是k n u d s e n 数 表示平均自由程与气体所在空间特征长度的比值 碰撞算子q 是一个双线性积分算子 具有如下形式 q f g 丢 b o i f 一已1 7 夕 夕7 一f g 一 夕 必 幽 1 2 二 r n s t i 一1 其中 f f t z f 7 y t z 7 丘 f t z f f t z 1 3 夕的符号有类似的含义 f 7 f 一 一 叫 u g 已一 一6 u 1 4 其中u 铲一 表示爬 中的内积 第1 章绪言 这里 我们指出b 口 l 一 i 是仅仅依赖于睡一 i 和c o s 口的碰撞核 并且 c o s 9 等 5 其中 f 是碰撞前粒子的速度 7 g 碰撞后粒子的速度 碰撞核有下面几种常 见的情形 h a r ds p h e r e b o l 一 q o i 一钏c so l o 0 其中 是粒子的表面积 h a r dp o t e n t i a l b o 水吨忙肛卯 c o so i 叫q o o 舻1 一掣 1 了n 1 其中q o o 是有界非负函数 且在0 7 r 2 附近不为0 s 2 咒 1 s o f tp o t e n t i a l b o 水吒忙肛引小 so l y q o o 舻1 一掣 1 了n 1 其中咖 护 是有界非负函数 且在0 7 r 2 附近不为o 0 8 2 一1 贯穿本文 我们将讨论的问题限制在h a r ds p h e r e 情形下 并且假设碰撞 核b 满足下面g r a d sa n g u l a rc u t o 仟假设 b 口 i 一6 i 幽 0 块速度 t t l u 2 t t n 时以及温度t 0 的气体 衡态的速度分布 如果参数 j d u t 取 常值 m 被称为全局m a x w e l l i a n 如果参数 p t 是空间和时间变 量 z t 的函数 则称m 为局部m a x w e l l i a n 性质3 1 0 9 f q f 0对任何f c 矿 啦 r 十 成立 从性质i 我们可以推出非常莺要的结果 i t p b o l t z m a n n 方程满足一些守恒 律方程 这些守恒律方程联系了基于气体k i n e t i c 理论的微观描述和流体动力学 的宏观描述 由于方程 1 1 中 t z f 是 z f 空问中的质量密度 亦即单粒 了相空间中的微观质量密度 z f 关于 的积分即为通常物理空间中的宏 观变量 相应的宏观量为 4 p o f t z p u i 也 f t x i 1 2 n 1 1 1 p e 1 f t z 第1 章绪言 这里 能量e 与温度丁和压强p 有如下关系式 e 昙l u l 2 百n 丁 p j d r 丁 1 1 2 其中r 是气体常数 本文中通常假设r 为1 当维数n 3 时 由性质2 我们取 诋 m p u 瓦1 其中 0 铭 缸 l 0 0 2 u o o 3 r 3 和瓦 o 取常值 通过一个垂直于2 7 坐 标轴的变量代换 不失一般性 我们可以假设u 2 u o 3 0 此时 坻 m p 礼 咒 兰茄 唧 一蛀学 并且声速和无穷远处m a x w e l l i a n 所对应的m a c h 数m o 分别表示为 c o o2 v 缸m 0 0 等 见1 1 0 注意到如果朋o 0 气体在无穷远处是流入的 反之 如果朋 0 则 为流出 1 4 线性化算子l 像通常一样 我们分别定义下而的线性化算子及其相应的非线性算子 l m 1 2 q 础2 q 皑2 1 1 5 r 屹1 2 q 础2 六础2 删 1 1 6 这里 是 个 1 1 3 巾定义的全局m a x w e l l i a n 令仃 3 记n k e r l 即算了l 的零空间 可以证明 满足r 面性质 n s p a n 础2 也 f 忙o l 4 1 1 7 其中以由 1 9 定义 这样 可以看成乓嘤3 中的一个5 维子窄间 记 的正交补 为 上 并定义下面关于l 的正交映射 p o l r 3 一 尸l l 豫3 一n 上 1 1 8 其中乓 扩 r 喝 l r 14 口必 我们首先回顾一下文献1 3 9 1 中给 出的正交映射的性质 5 第1 章绪言 命题1 1 对h a r ds p h e r e 模型 下面性质成立 其中u o l k o k l 如为仅依赖 于p 咒的正常数 f f jl 具有如下分解 l 一 车 k 其中 是一个满足下式的正函数 v o f v 0 1 1 十i i r 3 这e k 是一个积分算子 k k 7 7 必7 j r a 积分核满足如下估计式 l k i i 一 l i 一f 7 i 一1 e k i 一 p 似jl 是l 空间上的自伴算子 定义域为 d l l l v l l 2 f l a i i i k 具有某些正则性质 即k 作为如下算子是有界的 k l 昂一l 昂 l 及 k l l f 对所有p 0 成立 1 5 边界条件 截止到目前 对于描述粒子与边界碰撞性质的边界条件的研究已经有很 长一段历史了 然而 我们仍然无法精确写出符合物理情况的边界条件 这 方面是由丁我们对边界表面的细节结构知之其少 另一方面由丁我们对粒子 与边界表面的有效碰撞势能也不完全清楚 因此 目前常用的边界条件都是 近似意义 卜的 这里 我们给出几个半空间中经典的边界条件 读者可以在文 献 4 0 j 中找到更多的细节 6 第1 章绪言 p e r f e c ta b s o r p t i o n 撞向边界的粒子被墙面完全吸收 e l o r r 辜 1 1 9 s p e c u l a rr e f l e c t i o n 撞向边界的粒子被墙面按照镜面反射的规律反射同 来 f i 霉 o f o 一 l 乓3 r 晕 1 2 0 r e v e r s er e f l e c t i o n 撞向边界的粒子被墙面按照原来路径反射回来 f i z o r o 一 1 一f 2 一 3 r 辜 1 2 1 d i f f u s er e f l e c t i o n 撞向边界的粒子的反射是随机的 亦即粒子与边界发 牛碰撞后的速度是不确定的 e l z o m 7 f o 7 武7 r 辜 1 2 2 t i o 豫3 f i z o s 1 5 d 节中的某一边界条件 r r 辜 s 0 if m 矗 z 一 o r 3 1 2 7 其中s 是一止数 8 第2 章混合边界条件f 边界层问题解的存在性 第2 章混合边界条件下边界层问题解的存在性 2 1引言 本章中 我们分别给出散射边界条件 与镜面反射和逆反射边界条件下 半空间问题 1 2 7 的解的存在性结果 在下一个小节中 我们考虑散射边 界条件下的b o l t z m a n n 方程 假设解在无穷远时趋向于一个全局m a x w e l l i a n 我们叮以得到解的存在性 更近一步 我们发现解的存在性依赖于无穷远 处m a x w e l l i a n 状态所对应的m a c h 数 在本章最后一个小节中 我们分别研究了 镜面反射和逆反射情况下解的存在性 对于正的m a c h 数 我们得到了类似散 射边界条件的结论 我们定义如下宏观量算子 a 局f 1 p o 2 1 这里 r 足 1 1 8 中定义的映射 可以证明a 足一个5 维线性有界的自伴算子 如果假设m a c h 数m 4 1 或者0 我们可以得到算子a 局 1 昂的矩阵在空 间r a n g e p o 卜为可逆的 且有如下具体表示形式 u 1 们 0 00 佤乱刚oo 厄 00 i z o o 1 0 0 000 u o o 1 0 o 厄o 0 u 刚 易知a 在空间 上有如下特征值 a 1 u 1 一c o o 九 乱o o 1 t 2 3 4 入5 乱o o 1 c o o 2 2 令 j 捌 o 厂 捌 0 r 3 卜一s 矾 0 2 6 i f 一地 z o o 瓞3 其中8 0 充分小 我们将会看至l j m a c h 数m o 决定了上面问题可解性条件的个数 事实上 我们将会证明容许边界数据的余维将随着m a c h 数m o o 的取值而变化 更精确 的 设n 是可解性条件的个数 则有如下关系成立 f 佗十 三 注意到n 恰好是n 在给出本节的丰要定理之前 我们首先引入如下权函数 该权函数在研 究c a u c h y l 题时经常被用到 1 一卢 m 1 u 咒 1 2 2 8 其中口 r 现在 我们给出本节中存在性定理 1 0 72 一 呱邶耽酬 一 一 q l m m m m 第2 章混合边界条件卜 边界层问题解的存在性 定理2 1 假设m 0 1 日 f l 5 2 如果s 0 1 5 分小且死 2 咒 则存在 正数 o d r c o 及c 1 映射 皿 l 2 酞 酞r 皿 o 0 2 9 f f j 对任何f o 如果满足 l 昂c s 矾c f 吃 l 坻c 朝必 一 c f l 鲕 c a 略 皿 昂c s 矾c 正 0 r 3 2 1 0 2 1 1 2 1 2 m j 满足条件f 2 1 0 和f 2 1 1 的r 的集合构成一个余维是n 的 局部 c 1 流形 注1 类似1 3 引 该结论不包括 a 4 0 0 士l 的情况 耄二嚣戮知眦小呲饿 水羔 o z o 写为 和 第2 章混合边界条件下边界层问题解的存在性 州f 盱1 c rc f s 也c 嗄 通过增加一个 2 3 中构造的d a m p i 力g 项 我们分别将方程 2 6 和 2 1 3 改 善1 b q 只f 一 y 对 1 w o 1 f 一 z o r 3 f i z o s 正乙 i u i f 0 f 7 必7 r f 瓞 s 0 2 1 4 j 0 则问题 2 1 5 变形为 其中 f 1 鲰一盯f l g l 9 h 一 y 尸矿f 1 夕 x 0 9 o s w o 1 矾 蚓 加 o 7 必7 o o 1 0 2 1 6 t 毒 0 g 0 z h e a z r 夕 2 1 7 我们将方程 2 1 6 d p 的非线性项e o x r 9 替换为一个给定的函数 z 毒 从而 考虑如下问题 其中h 满足 1 2 g 0 z 0 3 p o 1 9 蚓 加 o f 7 蜓7 n o 2 1 8 0 昂 0 l i h l i o 矗 k 础喊 高一 一砒 帅 1 九 炉玩 l 9 细 崂 盯 s 一 如9 一 o 烈 第2 章混合边界条件下边界层问题解的存在性 其中 现在 我们引入一个定义在空问w 上的线性泛函 p x 危 f l o o o 2 1 9 w 兰 1 一善1 也一盯 l 7 尸矿 1 一l v 2 2 0 v 三 咖 c 铲 o o o 毫3 f 矽 o s w o o 蚓崂1 7 成 w o 7 蜓7 l o 对于h a r ds p h e r e 模型 我们有下面关于微观量的估计式 c f 1 5 3 1 1 读者可 以在文献1 3 8 j 中找到下面引理的证明 引理2 2 存在c 0 0 使得对任何f n 上 有如下不等式成立 c 0 1 i i 一 l 基于 卜面的引理2 2 我们可以得到如f 关于线性算子p 的定理 定理2 3 如果7 盯 0 充分小 则方程 2 1 9 中定义的线性算子在空间w 上 是有界的 且满足 l e x e 1 l h l i 1 0 0 a o g l l g c l l 此外 存在 的一个定义在空间l 上的延拓反使得 且俱有与粤相同的界 司 c l l x l l 对任何x l f 证明 我们考虑 w 和咖 v 的内积 x 一 1 丸 盯 1 咖 矽 7 户才 l 矽 2 2 2 1 3 第2 章混合边界条什卜 边界层问题解的存在性 对 2 2 2 中的第一项 我们有下面的估计式 一f l 九 一 厶 0 溅 1 2 s 2 d i 2 扩 扩 0 必 2 2 3 由于死 2 咒 我们记 雩 j 矧 盱埝勺矾c 2 必7 5 c 2 文献1 3 8 j 给出了 2 2 2 中第二和第三项的估计 在此 我们仅给出其结果而 忽略其证明 一盯 l y f 才f l 妒 c 口l 咖o 1 2 一c 3 仃1 1 1 1 1 2 一口 l 1 1 2 2 5 这里 也 只 i o 1 这里及其下文中 我们用c 表示一个一般意义上的常 数 其表示的具体数值可能会有所不同 由 l 三 l 1 2 2 2 2 2 3 2 2 5 及其引理2 2 如果盯 0 和s 0 充分小 我们有 c 2 矽o o 因此 我们有 m i 扩 扩 主 c l l x l l 上式意味着 1 4 e x l i h 驴 i n o 扩 士 c 俐 汛 0 0 1 1 1 1 1 c 1 l h l i f l o o a o 覃 l l x l l 扩 罩1 2 2 6 必 嵫 忙萨 州舻 恳奄如一 厂厶 妒 0 第2 章混合边界条件r 边界层问题解的存在性 因此 是有界的 并且这个界依赖于边界值a o 及其给定的函数h 通过与上面类 似的能量方法 我们易知 对任何给定的x w 都存在一个唯一的 v 使得 一 1 咖z 一盯 1 咖 7 只产f l 一l 咖 因此 我们可以在空间y 的闭包上定义一个线性泛函粤 日 具有相同的界 吏进 一 步 由h a h n b a n a c h 定理 我们知道存在它的一个定义在厶 f 上的延拓万 使得 i 司 c l l x l l 对任何 l 且具有相同的界 口 对于空间l 2 上的泛函互 基于上面的定理2 3 以及r i e s z 表示定理 我们可以 证明存在唯一的 9 l f 使得 e x g 2 2 7 上式意味着g 是线性方程 2 1 8 的弱解 令 7 7 z 7 f 如7 其中7 7 满剧 7 7 z 7 如7 o 对任何f 成立 把这个试探函数应用到方程 2 1 8 得 到 肛嘶 礤f t g l g h 蹦慨即 一o 通过选择试探函数7 7 我们有 z a l g y 对 1 夕一l g h d x 7 1 夕 6 0 对几乎所有 z 成立 其中6 是仅依赖于 的函数 因此 我们证明 j g z e 乎所有的 z 是有定义的 并且9 在z o 的迹也是有定义的 现在我们证明夕的唯一性 我们选择一个光滑的截断函数曰 使其满足 口 0 对矧 m 目 荨 1 对 m 一1 2 2 8 且在m 一1 吲 m 是单调的 1 5 第2 章混合边界条件 卜 边界层问题解的存在性 命题2 4 存在一个不依赖于方程 2 2 8 中m 转 正常数g 1 使得 i j 引川艇 9 埏l g l 钏引眠 夕 必i 2 2 9 把目夕应用于方程 2 1 8 并对 z 进行秋分 我们有 必1 如夕如必一a 0 6 9 夕 7 o p o f 1 9 夕 一 o l 9 夕 o h 9 2 3 0 为了估计第 项 注意到死 2 瓦g o 口 1 我们有 o l g z g d x d s 1 2 必1 9 2 睫铲必 2 1 2 厶夕 s 盱k 成 荆毗 夕 蜓 以 必 一1 2 氏l 夕 o 2 诞 f l o t 专l u 2 独2 g 厶黪煽 崂埝胁f 2 蜓 厶 黪 矧毗加 0 掣 一 氏1 0 必 1 2 p 矧9 2 o f 必 膏g 厶黪健 盱1c 矾c 2 蜓7 黪引矧孵c 武 必t 武 1 2 z p 旧炉 西 一2 s 2 d g 口 1 夕2 o 必一 口 1 0 3 d l 2 0 1 61 9 2 o d f l 0 l 0 1 2 1 4 s 2 d 2 1 u 2 1 0i f ll 夕2 o 武一 徙l 口0 q o j l o 这里 我们利用了命题2 4 第2 章混合边界条件下边界层问题解的存在性 由于 一 e l g 夕 6 v g g 一 o k g 9 方程 2 3 0 意味着 1 2 1 4 s 2 d 2 l u 2 1 9l f li9 2 o f 蜒一仃 口f l g 9 y 口付 l g 夕 e v g 夕 1 0 充分小 我们有 臼i 1g 9 z o f o a o l g 夕 7 p 对f l 夕 g o v g 夕 c i l 夕1 1 2 i 尼j 1 2 f l o o o o 2 3 1 注意到l 一1 且仃 y 充分小 我们有 9i 1 i 夕 夕 p1 5 1 1 夕 夕 z o 矗 0j e l 0 g o s 蚓盱1 7 m w w o 7 蜓7 f l o l g o 西 o 张 j l 0 一 s w 0 1 f 耽 f o f 蚓夕 o f f 7 d e 7 必 l oj i 0 厶f 们矧 夕 0 沪s k k 矾 f 则 们 一s k lc f 矾c 0 a e 总之 我们对具有d a m p i n g 项的线性化方程 得到如下存在性结果 定理2 5 假设朋 0 t 1 咒 0 充分小 如果边界条件a o 和给定 的函数 满足 l a o n o 十l i h l i 则 线性化方程 2 1 8 有唯一解g 且满足 c 0 1 1 f 1 1 n i l l h l l 2 2 2 非线性存在性 本小节中 基于线性问题 2 1 8 l 筝j 解的估计式 我们转而研究非线性问题 2 1 6 主要工具为不动点定理 首先引入下面在讨论c a u c h y 问题经常用到的 范数 i l f l l p l l 1 1 口i i l 最2z 豫s u p r 1 l i p z 2 3 6 对所有使得上面范数有限的函数t 厂 z 类似于对d i r i c h l e t j 2 1 2 界条件的讨论 为了得到解夕关于上面 口范数的估计 我们利用如下定义的权函数埘一口 从线 性问题的l 2 估计推导出非线性问题解的 8 范数估计 令 叫一a c 鬟 一 l 二 1 c 2 3 7 第2 章混合边界条件卜 边界层问题解的存在性 命题2 6 对任意o q 1 2 存在一个不依赖于方程 2 2 8 中q 和m 的正常 数g 2 使得下面不等式成立 f 剧 9 o d g f 0 充分小 对z 0 f 1 0 和z 0 f l 0 两种情况 都 有心 z o 威2 立 因此 夕可以形式上改写为 g a 4 u k g 2 4 0 第2 章混合边界条件下边界层问题解的存在性 其中 s w 0 1 觑 止i 0 0 f 1 0 2 4 1 且 吣 5 絮篡矬妊 喋 亿4 2 算了u 具有下面的性质 读者可以在文献1 3 8 1 找到该性质的证明 引理2 8 算子u 有如下两个性质 j i u h x 恢 c i i h x 酬醒 2 4 3 i lu h x l l l l sc i 一1 危 z 专 i ll l 2 4 4 其中l p r 为了得到 9 的l 最估汁 基ft 小节得到的带有d a m p i n g 项的线性b o l t z m a n n 方程 2 1 8 的能晕估计式 我们给出下面的引理 引理2 9 如果0 o l o 充分小 则带有d a m p i n g 项的线性肋舷脚 2 甩方 程 2 1 8 的解满足 i i 伽 n 夕l i iw l b 一 9 l c e o 2 4 5 其中 e o i 1 w 一 a o l i i h l l 1 1 w a h l l 证明 首先 由带d a m p i n g 项的b o l t z m a n n 方程 2 1 6 的能量估计 我们有 i l g i l 2 c i l 1 1 2 l q o n 瑶 2 4 6 我们利用权函数 一q 做如下能量估计 令0 是一个光滑的截断函数 且满 足 2 2 8 方程 2 1 6 f 5 i 边同时乘上p 2 叫三a g 并对z 和 积分 我们有 l 啦 0 2 叫2 一q g 一 盯 夕 0 2 伽兰a g 一 l 9 口2 叫三 g h 口2 叫三口g 一 y 对 g 0 2 伽三 g 2 4 7 2 0 第2 章混合边界条件下边界层问题解的存在性 我们首先估计上面不等式左端的第一项 f l g x 0 2 w 2 a g l 夕乳口2 叫苎口如必 一1 2 l 毋2 叫三q 9 2 o 蜓 一1 2 厶 2 比专t s 町k 嘲 捌咪 9 0 灿0 0 卜 一l 2 p 2 叫苎n 1 9 2 o 必 独2 船啪 刚眺 2 必 矧吣们 心 2 一 p 2 砌三口 谣 必 1 2 护2 叫苎口i i9 2 o 磁 独2 g 2 2 厶夕2 以 盱k 嘲f 2 吠 ow o k 嘲 2 必 夕2 础 嗍溅 9 2 叫三 l 11 9 2 o 一 p 2 叫三口喜1 0 f 必 专 p 2 叫三 i 芒t9 2 o d 专 l o 二i 专l o 一s 2 d g p 2 硼三ai 荨1l9 2 o 莓 d 专 e l 0 一 1 0 2 叫三口咖 o o l 2 口2 w 三ni ll9 2 o 必 j 1 0 1 2 1 4 s 2 d 2 2 u 2 2 i 专tl 铲训三a g o g o 一一 1 8 2 三口口o o o 雩 厶 w 2 筇 崂 c 矾c 莓 2 5 w 2 纠钊崂c 刚 5 c 2 粥 其中口 0 则d 2 d 1 2 1 第2 章混合边界条件下边界层问题解的存在性 注意到 l 一 k 霞 k 一7 对 1 由于盯和s 都充分小 我们有 1 1 e w 一 g o 巴 j 1 护似一q 圳2 c 1 1 0 w 一口k g li l o w q g l l i l o w a h l li l o w n g l l p 2 w l a o a o 注意到 对o z 1 产 掣 c k i 丽i 当口 1 2 算t y w 一口露和露叫一 都足从卒问l 到卒间l 的有界算子 因 此 他们也是从空间l 到空间l 的有界算子 这样 令p f 一1 由c a u c h y 不 等式以及估计式 2 4 6 我们有 ll j 1 一q 圳 c e o 2 4 9 再次对方程 2 1 6 应用定理2 5 中的能量估计 我们有 利用方程 2 16 和 2 5 0 我们有 由 2 4 9 和 2 5 1 引理得证 v 9 1 i c e o 叫1 如i i c e o 2 5 0 2 5 1 口 利用引理2 7 2 8 和2 9 我们可以得到如f 关于9 的 范数的引理 引理2 1 0 假设o q s 2 则问题r 2 j c i j 的解满足 其中 夕l l p c 1 l h l l p l i i l h l i i 1 1 w n h i i i l a o l 口 2 5 2 n o h 5 嚣b 1 i r 3 e 1 0 2 5 3 第2 章混合边界条什t 边界层问题解的存在性 证明 利用 2 4 0 引理2 8 以及霞的性质 并注意到死 0 r 3 x o r x s o 苌 l 1 吲 口 s 盱飞嘲 剧毗矽 硒州 0 乏 r l i o r 王x o r 3 s u p l 1 l 引 口o o l cs u p l 1 i i 口u k g i x o r 王x o r l a o i 卢 c 1 1 一1 詹9 l i 口 i l h i t p i o o f p c 1 l g l l 卢一l i 一1 h l l 卢 2 5 4 迭代 2 5 4 可得 其中 1 1 9 1 1 p c 1 a o l 口 1 1 9 1 1 0 l i l h l l l 2 5 5 忍j j l i i 一1 允j i 矽 i l 一1 尼j 1 2 i i 一1 h l l c i i 一1 尼i i 卢 r b 1 为z 1 0 2 5 2 我们需要估计怕l l o 怕 l l 纛 a 拿l i 4 房 v 2 亦即o 1 2 p 1 2 由引理2 7 和引理2 9 我们有 f 伽p g i l 至字 l l l 叫p 夕 至 l 字 夕伽和 1 1 如 l 审讹 引1 呱 i l 审嵌 c 瑶 2 5 6 下面 我们将给出 l l 的估计 主要利用引理2 8 以及碰撞核和厅的性质 2 3 第2 章混合边界条件卜 边界层问题解的存在性 为此 我们需要首先估计吲l l 2 l 笋 由夕的表达式 2 4 0 及 2 5 6 我们有 g l l l l r 2 怕 u k g h l l l l r i i a l i l l 笋 i i u 曩g h l l l 3 l r 1 1 8 w 0 1 m w 蚓 7 u r g 九 o 7 必 i i l l 字 j 0 l l a o f f l l l l 笋 c 1 il 一1 露叫一a 即a l l l l 笋 i i l h l l l l 爹 i l a l i c 1 1 w g l l l l 于 1 1 1 h l l l l l a o l 卢 c 易 琏 i i z h l l l l 笋 2 5 7 最后 通过再次利用g 的表达式并注意到露是从空间l l 字 到空间l 綦的 有界算子 我们有 圳l 最 i l a i u k g h l l l t e i i a i f l 最 i i u k g 九 i i 工象 i t s w o 1 砒 蚓 7 u r g o 7 鹾 l 飘 l 字 t 5 2 时 我们有 g l l 卢 c 1 a o p 易 g 十l i l h l l p i i h l l l l n l 器 c 1 0 0 l 郴 l l h l l 磋 1 1 w q h l l i i l h l b i i 1 h l l 昭l 铲 n l 燕 c 1 a o l 口 i i l h l l p l i i i 叫一口九l i 2 5 9 至此 我们完成了引理的证明 口 现在 我们可以给出带d a m p i n g 项的非线性b o l t z m a n n 方程 2 1 6 的解的存 在性结果 在此之前 我们首先给出一个y 汗r g 的性质的引理 该引理的 证明可在文献 8 1 中找到 2 4 第2 章混合边界条件下边界层问题解的存在性 引理2 1 1 r o 在 的零空间上的投影是空集 并且存在一个正常数徽得 2 6 0 其中 0 因此 如果p 5 2 我们有 眇 h l b i l e x p a x v r o l b c l l g l l l le x p 一o z r o l l c 吲l 而且 对0 o l s 2 如果s 0 充分小 且死 2 咒 则存 在正数e o o c o 对任何满足下式的n o 带如 印f l g 项的非线性b d f f z 眦m l 方程f 2 j 6 j 存在唯一解9 且满足 川口 g 也就是说 如果f o 满足 卜m 成 0 q 石3 并且对所有的 f o 表示 一f o f 的映射 类似的 定义如下非线性解算 子刀 了1 n 0 兰f o 2 6 4 其中 z e x g l 扫下面非线性方程确定 i j u 厶w l 一1 跗f r 沁沪s w 0 1 矾 v 船 v 脒小吣蚺州a 娆 q 我们首先给 n 如下关于解算y p 和歹一r 的引理 该引理主要利用了 带d a m p i n g 项的线性和非线性b o l t z m a n n 方程解的能量估计 引理2 1 3 解算子 和了1 具有如下性质 j 驴 印 l 一驴 o o l 丧 l 是有界的 了一r n o l 一歹1 n o l 丧 i 是有界的 其中o o 充分小 该引理可以直接由前面线性和非线性方程解的能量估计得出 我在