（基础数学专业论文）几类泛函方程的有界振动.pdf

摘要 本篇论文由两章组成，分别讨论了下面几类泛函方程的 有界振动性： a 2 ，e x ( t ) 一c ( t ) x ( t r ) l = p ( t ) x ( t 一盯1 ( i ) 蟹【工( r ) 一c x ( t f ) 】= p ( t ) x ( t 一 ( 1 1 ) 芷瞰f ) 一c 砌一) 】= p ( f ) m c r ) ，m 2 是偶数 ( i i i ) 在第一章里，我们获得了方程( i ) 有界振动的几个充分条 件，并进一步讨论了方程( i i ) 的有界解振动，获得了更好的有界 振动的充分条件 第二章将第一章关于方程( i i ) 的有关结论推广到高阶方程 ( i i i ) 中 本文结果推广或改进了已有文献的相关结果 关键词：中立型差分方程：有界解：振动：非振动 a b s t r a c t t h i s p a p e r c o n s i s t so ft w o c h a p t e r s w er e s p e c t i v e l y d i s c u s st h eb o u n d e do s c i l l a t i o no ft h ef o l l o w i n gf u n c t i o n a l e q u a t l o n s ：【x 0 ) - c ( t ) x ( t 一力】= p ( t ) x ( t c r ) i x ( t ) 一c x ( t f ) 】_ p ( t ) x ( t - a ) ： x ( t ) - c x ( t - r ) = p ( t ) x ( t - 盯) ， ui se v e n ( 1 ) ( i i ) ( i i i ) i nc h a p t e rl ，w e i n v e s t i g a t e db o u n d e do s c i i f a t i o nf o r e q u a t i o n ( i ) ，a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d w ea l s os t u d i e db o u n d e do s c i l l a t i o nt oe q u a t i o n ( i i ) a n dg a i n as e to fs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rb o u n d e do s c i1l a ti o no ft h e e a u a t l o n i n c h a p t e r2 ， w ee x t e n d e dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so f c h a p t e r 1t oe q u a t i o n ( i i i ) t h er e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e re x t e n do ri m p r o v et h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t si nt h e1it e r a t u r e k e yw o r d s ：n e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ；b o u n d e ds o l u t i o n o s c i l f a t i o n ：n o n o s c i l l a t i o n i i 月i j吾 微分方程是现代数学的一个重要分支，它在几何学、力学、天 文学、电子技术、核物理、现代生物学、人工神经网络动力学以 及经济学等科学技术领域中有着广泛的应用，已经受到人们的高 度重视然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往 很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，因此，人 们通过对微分方程进行离散化，其离散化后所得的差分方程往往 更具有实际应用价值随着电子计算技术的蓬勃发展，差分方程已 经成为计算机、信息系统、工程控制、生态平衡和社会经济学中 的重要理论基础之一又由于医学、生物数学、现代物理等自然科 学和边缘学科的迅速发展，提出了许多由差分方程描述的具体数 学模型，这更加加深了人们对差分方程的研究兴趣，有关差分方程 的专著，如【4 ，1 9 ，3 7 1 ，关于离散变量的差分方程的振动性研究已 有了很长历史 近年来，对具有连续变量的差分方程振动性的研究也有了一些 结果，如文 4 3 4 8 而对具有连续变量的中立型差分方程解的振 动性研究还不多，见文 4 9 5 1 关于具有连续变量的二阶或任意 偶数阶中立型差分方程解的振动性研究在已有的文献中还很少见 到 本论文主要讨论几类泛函方程的有界振动性 第一章研究具变系数的二阶中立型差分方程 a 。2 k ( r ) 一c ( t ) x ( t f ) 】= p o h ( f 一盯lt t 。 0 ( 1 ) 及其它的特殊形式 ，2 x o ) 一c x ( t f ) 】= p ( f h o 一盯xt f 。 o ，( 2 ) 给出方程( 1 ) 当口c ( f ) l ( a 为某一常数且0 口 1 ) 和c ( f ) 0 时一 切有界解振动的充分条件，并且进一步讨论了方程( 2 ) 在0 c t 。 o ( 1 1 ) 及其它的特殊形式 ，2 i x ( t ) 一c x ( t f ) = p 0 扛( f c r lf 气 o ( 1 2 ) 其中( 圩) ：c 为实数，f f 0 是给定的非负实数， 盯= k t ，k 为某个正 整数，p ( f ) c 眠，+ 一x 尺+ l ，x ( r ) = 工( r + f ) 一x o l 缱工( f ) = ，( ，工( f ) ) 一个连续函数x ( f ) 称为方程( 1 1 ) 满足初始条件 工( ) = 垂( f ) ，一p t o ，其中巾( r ) c ( 卜p ，o 】，贾) ，p = m a x r ，盯 的解，若当 t t o 时x ( # ) 满足( 1 1 ) 式若( 1 1 ) 中的c ( f ) ，p ( r ) 为连续函数，则由分步 法知方程( 1 1 ) 有唯一解j ( f ) 满足工( f ) = e a ( t ) ，一p s t 0 本章的目的是讨论方程( 1 1 ) 的有界振动，并且利用新的技巧， 进一步研究方程( 1 2 ) ，获得了保证方程( 1 2 ) 一切有界解振动的更 好的充分条件 1 2主要结果 定理1 1 设( h ) 成立，如果存在常数a ( 0 口 o , x ( t 一盯) o ，t f i t o 设 y ( t ) = x ( f ) 一c ( t ) x ( t f ) ， ( 1 4 ) 则由( 1 i1 ) ，得 ，2 y o ) = p ( f h ( f 一盯) 0 ，t t 。 ( 1 5 ) 所以 ，y ( f ) ，y 0 + f ) ，( 1 6 ) 且可以证明 ，y o ) 冬o ，y ( f ) 0 ，t f ：f ， ( 1 7 ) 否则，存在常数i t ：，有a ，) ，( 磊) 0 ，因此，当i l 时，由( 1 6 ) ，有 ，y ( r o + f f ) ，y 瓴) 将上式两边对i 从1 到自然数m 求和，得 y 瓴+ ( m + 1 ) ) 一y 佤+ f ) m a ，y ( 磊) 因此 y ( 琵+ ( m + 1 ) r ) 一y ( 磊+ f ) r n a ，y ( r o ) 1 1 毋y 瓴+ ( m + 1 ) r ) = + o o ， 这与x ( r ) 的有界性不符，所以，y o ) s o 又若y ( f ) o 不最终成立，则必存在i f ：， 0 ，使得 从而 y ( i ) 一， y ( i + ，l f ) 一， n = 1 ，2 ， 由口c ( f ) o 记砸) = 孚 ，这里 指最大整数部分，则 x ( f ) = y ( f ) + c o ) x o f ) y ( f ) + 甜工( f f ) y 如) + 缈( f f ) + 口2 y ( t 一2 f ) + + 甜嘶卜1 y ( t 一积( f ) 一1 ) ) + 口6 x o 一，i ( f ) ) ，t t 2 + f 由，y ( t ) 0 ，有 y ( t ) y ( t t ) y ( t 2 r ) - y ( t 一( h ( t ) 一1 ) f ) 咄 q：芰训 胍啦 + n 佃啊当 由条件( 1 3 ) ，对充分小的正数p ( 0 t 3 ( 1 1 0 ) 对充分大的t 。 f 3 + 以令忙t 。+ i t ，i 是自然数，由( 1 1 ) 和( 1 4 ) 及 盯= t f ，得 a ，y ( t 4 + ( f + 1 ) f ) 一a ，y ( t 4 + i f ) = p ( t 4 + f f ) 工( f 4 + “一七) f ) 对 二式从i l + 9 ， ( 1 1 3 ) 则方程( 1 1 ) 的一切有界解振动 证明设z ( f ) 是( 1 1 ) 的最终有界正解，令) ，( f ) = 上( f ) 一c ( t ) x ( t f ) ， 由定理1 1 的证明，知存在t 。t 。，使得 y o ) 0 ，y ( f ) o ，y ( f ) o ，f t 1 由( 1 1 3 ) ，知对某一个常数 l ，仍然有 l i m 叩。圭。( i - n + k 胍f + 拓) 1 + 舻， ( 1 1 4 ) 对此2 ，由( 1 1 2 ) 式，必存在t ：f ，使得 - c ( ) 羔p ( t s 胪， 一f j 由( 1 1 ) 手口) ，( t ) = 工( f ) 一c ( t ) x ( t f ) ，有 洲帕卜篙蜘r 一力 _ p ( 蝴卅叫m ) 篇肌卅工( t - - t - 盯p t t ) 一f ) = p ( f ) 【工( f 一口r ) 一c ( t 一盯) p ( f ) 土( f t o r ) 】= p ( t ) y ( t 一口) ，t r 2 将( 1 1 5 ) 代入上式，得 。2 y ( t ) + t 2 f l a r 2 y ( t f ) p ( t ) y ( t - c r ) t f 2 令z ( f ) = y ( f ) + 2 f l y ( t f ) ，则有 帆且易得 ( 1 1 5 ) ，2 z ( f ) p ( t ) y ( t - t r ) , t t 2 ， ( 1 1 6 ) ，2 z ( f ) o ，z ( f ) 0 ，z ( t ) 0 ，f f 2 另一方面，由，y ( f ) s0 ，有 即有 z 9 ) = y o ) + y ( t f ) s ( 1 + f l f l ) y ( t f ) ， 代入( 1 1 6 ) ，得 y ( f ) 。而1 z ( f + f ) ，t - t 2 + r = t 3 ，2 z ( f ) p 瞅f 训 p ( f ) 南z o 一盯+ - r l ，慨( 1 1 7 ) 取充分大的f 。 + 盯。令t = f 。+ i t , i 是自然数，且由盯= k r ，得 ，2 z ( t 4 + i t ) 而1 p ( t 4 + i t ) z ( f 4 + ( i + l - k ) f ) 对上式从i 到n ( n f ) 求和，得 f z ( f m + l m “z ( 川啦南喜地竹) z ( 川川州) 再对上式的i 从刀+ 1 一k 到n 求和，有 于是，得 咒r z ( 1 4 十l 订十l j f j z ( t 4 + 【，l + l j f ) + z ( t 4 + ( n + 1 一七) f ) 而1 ；：萎。丢p ( t 4 协) z ( f 4 + ( 川“ 2 南。戮- n + k 巾( 川砷“f 4 + ( i + l - k ) ) 而1z ( f 4 + ( n + l - k m 。：娶- n + k 职州n 砸峋删讹帕小咖， 南，：錾愀。圳一- 卜 这与( 1 1 7 ) 矛盾，故得证 将定理1 2 应用于方程( 1 2 ) ，则得 9 推论1 2设( h ) 成立，其中c 1 ，若 l 攀i m u p 篇r l 钳( 0 ，) 卜灿 i ，一f 、 且对t t 。，有 恕s u d ，墅- n + k m 川咖1 圳， ( 1 1 8 ) 则方程( 1 2 ) 的每个有界解振动 定理1 3 设( h ) 成立，若o s c 1 _ c j ( 1 1 9 ) 则方程( 1 2 ) 的每个有界解振动 证明 采用反证法假设( 1 2 ) 存在有界的非振动解4 t ) ，不妨 设其最终为正令 由方程( 1 2 ) ，得 所以 且可以证明 ，2 y ( f ) = p ( f h o 一盯) 0 ，t t 。 ( 1 2 1 ) ，y ( 0 - 0 ，因此，当f l 时，由( 1 2 2 ) ，有 ，y ( r o + f r ) ，y ( r o ) 将上式两边对i 从l 到自然数m 求和，得 y 瓴+ ( 辨+ l 弦) 一t o + f ) m 。y ( r j 因此 坚y 瓴+ + 1 ) ) = 佃 这与x ( f ) 的有界性不符，所以，) r ( f ) o 又若y ( f ) o 不最终成立，则必存在i i f ：。弘 o ，使得 y ( i ) 一， 从而 y ( + n 曲一2 ， n = l ，2 ， 由0 c 1 和( 1 2 0 ) ，有 x 瓴+ n f ) o 记a o ) = 孚 ，这里 指最大整数部分，则 由，y ( f ) 0 ，有 = y ( t ) + c y ( t f ) + c 2 y 0 2 f ) + + c “o 工o 一 和mt f 2 + f 片( f ) ( 1 十c + + c 砟p 1 ) y ( r ) = 菩_ ) ( f ) ，囱：忆( 1 2 4 ) 由条件( 1 1 9 ) ，对充分小的正数f ( 0 坐 1 一c 一1 一c x ( f ) 菩1c 如) 篝y o x 囱，一i c ( 1 2 5 ) a 2 ，y ( r ) 篝p ( f ) y ( f 刊 ( 1 2 6 ) 满足 a 2 ，y ( t ) o ，y ( f ) o 和y ( f ) o 对充分大的t 。 t ，+ 盯，令t = f 。+ r t ，n 是自然数，由( 1 2 6 ) 式及盯：k z ， 得 a 2 r y ( t 4 + ，l f ) _ 1 - 一p ( f 4 + n f ) y 0 4 + r t f - _ f ) 1 一c 将上式两边从n 到n + k 求和，得 所以 a ，y ( t 4 + ( n + k + 1 ) r ) 一a ，y ( t 4 + n t ) 篝砉| 口( f 4 帕+ f ) m 以+ ( n + i - k m 2 劬( t 4 + r t z ) + 篝妻加。m 删地+ ( n + i - k m l ， ( 1 1 9 ) + 热s u p 丢( ) p ( 州州) ) 1 _ c ， 缱( 加) 一等加) = ) m _ 2 ) ， ( 1 2 7 ) 其中f = l ，仃= 2 ，叫弘：女= 2 ，c 一2 2 7 0 1 c = 而7 ，且对f 。，有 【三， 2 n s 2 h + l ， p 。，2 ； + 击。i 。：等， 三：，：，+ ：，。：。，：， 畴+ 万8 1 旷了 2 1 1 - c 口， ( 1 2 9 ) 则方程( 1 2 ) 的每个有界解振动 证明 设石( f ) 是( 1 _ 2 ) 的最终有界正解，令y ( f ) ：z ( r ) 一似( 卜z ) ， 由定理1 3 的证明，知存在f ，t 。，使得 a 2 f y ( t ) o ， ，y o ) s o ，y ( f ) o ， f ， 由( 1 2 9 ) 式，对某一个常数 1 ，仍然有 ! i m 。s u p f p ( f + ( n + f ) _ ) l t z c o r ， ( 1 3 0 ) 对此，由( 1 2 8 ) 式，必存在f ：f 。，使得 吖篙9 觚( 1 3 1 )p u f ) 2 、。 由( 1 2 ) 币口y ( f ) = 工o ) 一c x ( t z ) ，有 ，2 ( t ) - c pip卜(t)fja ：y ( 卜f ) p u f j _ p ( 咖”咖c 篇p ( f 卅j ( t - - g - - g r ) = p o ) 【工( f 一盯) 一c x ( t f 一口) 】 = p ( t ) y ( t 一盯) ，t t 洲r ) 一c 篇蜘h 却她卅，囱： 将( 1 3 1 ) 代入上式，得 a 2 ) ，o ) 一y c o 缸2 y o f ) p ( t ) y ( t 一盯x 令z ( f ) = y ( f ) 一“c a y ( t 吖) ，则有 而且易得 ，2 z ( f ) p ( t ) y ( t 一盯xr t ： ，2 z ( r ) o ，z o ) o ，z ( f ) 0 另一方面，由，) ，( f ) o ，有 即 z ( f ) = y ( f ) 一t t c a y ( t f ) ( 1 - l l c o t ) y ( t f ) ， 代入( 1 3 2 ) ，得 y ( f ) i 1 磊如+ f l t - t 2 + t = t 3 ( 1 3 2 ) ，2 ( f ) 丁面1p ( f ) z ( f 一仃+ f ) = t 丽1 d ( f ) z ( f t f + f ) ，f 屯+ 仃( 1 3 3 ) 取充分大的f 。 t ，+ 盯，令r = t 。+ r u g ，n 是自然数，得 ，o ( f 4 + n f ) _ p ( t 4 + n r ) z t 4 + ( n 一( t 1 ) ) f 1 一地口 对上式从n 到n + ( t 一1 ) 求和，得 a ，z ( t 4 十( n + t ) f ) 一a ，z ( t 4 + n r ) i 1 磊荟k - i 加。m + f ) 班( m + f _ ( ) ) f ) 1 6 a ，z ( t 4 + n f ) + 再对上式 于是，有 z ( t 4 - i - n s r ) 由此，得 p ( f 。+ ( 以十i ) r ) z ( t 。+ ( n + i 一( 七一1 ) ) r ) 0 ( 1 3 4 ) p ( t 4 + ( j + f ) 力z ( f 4 + ( j + f 一( 女一1 ) ) f ) j = n + ( t l l i p ( t 。+ ( j + f ) f ) z ( f 4 + ( j + f 一( 一1 ) ) f ) 币1 砸一栅f ) 荟( 1 抛m “m t l 对上式两边取极限，有 l i m s u p 丢“坝t 4 + ( 肼妒) 一 力：以 v 白 砼 南 口 肛 一l + ( 础 注2 很明显条件( 1 1 8 ) 可以化为 ! 蜒s u p 蕃愀| + ( 川功 1 喇， 因而条件( 1 2 9 ) 改进了条件( 1 1 8 ) 此外，当取方程( 1 - 2 ) 中的f 为自 然数时，本文定理1 4 也改进了文 5 2 的相应结果 例2 考虑差分方程 ( 加) + 圭巾叫) = 加) 加删， ( 1 3 5 ) 其中r = l ，盯= 3 ，卅f = 女= 3 ，c = 一三且对r o ，有 p ( t ) 2 n t 2 n + 1 2 n + 1 f l - c 口 ( 1 3 8 ) 由式( 1 3 7 ) ，( 1 3 8 ) ，根据定理1 4 ，知方程( 1 3 5 ) 的每个有界解 振动 定理1 5 设( h ) 成立，若o c m 瑚， 则方程( 1 2 ) 的每个有界解振动 满足 证明 反设( 1 2 ) 存在有界的非振动解工( f ) ，不妨设其最终为正， 石o 一_ f ) o ，x ( f o ) o ， 设 y o ) = 算( f ) 一c x ( t f ) ， 则由( t 2 ) ，得 所以 且易知 ( 1 4 0 ) a r 2 y o ) = p ( t ) x ( t 一盯) o ，t f ( 1 4 1 ) ，y ( t ) ，y ( t + f x( 1 4 2 ) ，y ( ) 兰0 ， y o ) 0 ，t t 2 f 1 ( 1 4 3 ) 记 ( r ) = i 导l ，这里 指最大整数部分，则 lfl 石( f ) = y ( t ) + c x ( t f ) 由，y o ) - 0 ，有 = y ( t ) + c y ( t - r ) + c 2 y ( t 一2 f ) + + c 聃1 y ( t 一( ( f ) 一l 弦) + c 6 ( 。工( f 一 ( r ”t t 2 + f x ( r ) ( 1 + 。+ 。：+ 一+ 。柞h ) y ( f ) ：与坐y ( | lf ”f ( 1 4 4 ) l c 由( 1 3 9 ) ，知对充分小的正数f ( o f ，+ 盯，令t = r 。+ n t ，n 是自然数，由( 1 4 6 ) 及盯：虹得 ，2 y “+ n f ) 等p 0 。+ 训_ ) ，( f 。+ 0 咖) 1 一c 将上式从n 到n + k + l 求和，得 r y o + ( n + k + 2 弦) 一，) ，( ”n f ) 生1 - c 爹i - o 所以 p ( f 。+ 如+ i 瑚y ( r 。+ ( n + i 一咖) 一 拣 幽小 爵 “ p s m 忡 l n y 8 + r t ) + 百1 , - - e 丢k + l 由上式，有 p ( f 。+ ( h + f ) f ) y ( f 。+ ( ，l + f 一咖) o ( 1 4 7 ) y ( t 4 + ( n + 1 弦) 一y ( t 4 + ，l f ) + 二三p ( t 。+ ( ，l + f ) ) y ( f 4 + + f 一弦) o ，o s i - 一 二lm p 姐 m 扣r n n 即 黔u p 萎“丢+ k - id 拦鬻等 幢+ 。兰尚黼 - 与( 1 。4 5 ) 矛盾，证毕。 当c = 0 时，从定理1 5 可得 推论1 4设( 圩) 成立，如果对t r 。，有 一, i m s u p 。( 面篁n 蓦+ k - 碟苏巅j - k + 。浅譬岛 “瑚咿 则方程( 1 2 ) + 的每个有界解振动 注3 条件( 1 1 1 ) 等价于 ! 塑s u p i = 0 ( + 1 ) p ( h ( 摊+ 渊 1 - c ， ( 1 1 1 ) + 定理t 5 改进了推论1 1 例3 考虑方程 缱( 工( f ) 一i 1x ( 卜1 ) ) ；p ( t ) x ( t 一2 ) 这里f = l ，口；2 ，卅f = t = 2 ，卜c = 砉，且对f o ，有 p ( t ) = 设d = ；，可算得 1 3 0 ， 0 ， 3 n s t 3 n + 1 - 3 n + 1 t l ，若 以及对t 靠，有 l i m s u p p i p f ( 一t ) f j = 口( o ，一) “掣1p ( f 十( j + f ) f ) 惫( 1 一c 口) + p o + ( j ；女f j 器磐锱k - 2 k ) ，( 1 一c 口) 一p ( f + 扛+j ，1 则方程( 1 2 ) 的每一个有界解振动 证明 设z ( f ) 是( 1 2 ) 的最终有界正解，令y ( f ) ：上( f ) 一。w ( r f ) ，由定 p 肌 m 忡 l n 盟州 十一七 小f “一十 p 一0+ 一p c 一一生吖 川m p s m 枷l 目 生呦 十一十 k ，| 0虹加 + 一一c c二一 川n 卅两 n 丛+ 止“万 以if m v 白 、1 必呦 + 一十 0 0 + 一十 出以 + 一一 c c二一l l ：三丌u q ，l 一羚 一3 一+ l一，韭“雨 比f +一一一l m y 篇 h p s m 归l 州n m o ，t f 由( 1 5 1 ) ，知必存在一个常数 1 ，对t - 2 _ f 。，仍然有 ! i r a s u p 善菁而鞘 对此，由( 1 5 0 ) ，知一定存在t ：f l ，有 一c 鹩一肛吼： 由( 1 2 ) 和y o ) = z o ) 一c x ( t f l 有 y ”c 鹩2 ) 嘲) y ( ) 将( 1 5 3 ) 代入上式，得 ，2 y o ) 一l i c t o r 2 y ( t z ) p ( t ) y ( t 一盯l 令z o ) = y o ) 一肛鲫( r f x 则有 而且易得 ( 1 5 2 ) ( 1 5 3 ) ，2 z ( 0 - p ( t ) y ( t 一仃lt 2 ，2 ，( 1 5 4 ) ，2 z ( f ) o ，z ( f ) o ，z o ) o 另一方面，由，y o ) s o ，有 即 z ) = y ( f ) 一，犯( 秒( r f ) sy ( t f ) 一，把c 秒o f ) = ( 1 一d l c 口) y ( t f ) y ( f ) i 1 瓦z o 十r l t t z + r = t 3 卜 盟糊 生卜 再虹加 + 一一卷 ，一j 州n 一 f ，+ d ，令f = t 。+ 柞f ，n 是自然数，则 ，2 zt + n t ) i 1 磊p ( f 。+ 叫z o 。+ 0 一 对上式从n 到n + 仅一1 ) + 1 求和，得 咏1 4 + n t ) + 面1 委k 迸一步有 z ( r 。十n + 1 弦) 故 ( k 1 ) 弦) p ( f + 如+ f ) f k o + 如+ j 一也一1 ) ) r ) 0 ， ( 1 5 6 ) p ( f 。+ ( n + i ) r ) z ( t 。+ ( n + i 一( k 一1 加) 0 ，o i s k p ( t 4 + 如+ f 弦) z ( f 。+ 如+ f 一( 一1 归) o ，o f k - 1 z t + n i t ) + 而1 p ( t 。十0 + f ) r ) z 0 4 + n f ) 0 ，o s f k 一1 ， o z ( f 。+ 0 + 1 弦) 1 - 。c o _ t - = p ( t = , + 一( n + i k ) z o 。+ h f l o 0 ，0 f k 一1 南 去 + + 订 力 阼 h + + 谁 是 砸 以 & 于 包 所 另一方面，南( 1 5 6 ) ，知必存在一个正整数n k ，使得 z ( f 。+ ( n + t ) ) 一! i ! ：i ； ；黼z ( f 。+ n r ) + t 二j ；：i i ；i 云1 _ 丽 k - 2 x i = 0 p 0 。+ ( ，l + i ) f ) z ( f 。+ 0 + i 一( t l 舫) 0 ， ，l n n + l 上式两边同乘以f l 卢 ! 二丝竺旦血垒! 二! 墟 1 一肛口一p o 。+ ( f + t 一2 弦) w ( t 。+ n f ) = z ( t 。+ n r ) i - i j - wi 4 - n 2 ) 十i 磊巧币1 硼刍k - 2f 有 1 一肛口+ p ( f 。十( j + k 1 ) ) 1 。1 一雄窿一p 0 。+ ( j + 女- 2 ) r ) j x p ( t 。十( 挖+ f p ) j ( f 。+ ( n + i 一( 七一1 ) ) r ) 0 ( 1 5 7 ) 由( 1 5 7 ) ，有，w ( f 。+ n f ) o ，n n 对上式从到* 求和，得 w ( t 4 + n r ) n 芝= n 再而1 k - 2 i 向 l 一a c a + p ( t 。+ ( ，+ t l 弦) f 品i 百巧确j x p ( t 。+ ( n + f ) ) w ( f 。+ b + f 一( 女一1 ) ) f ) 荟k - 2 ”+ 白k - l - i 再示鬲1 而砑 ( ， x p ( 1 4 十( n + i ) r ) w ( t 4 + ( n + i 一( k 1 ) ) f ) w ( t 4 + j v f ) “+ 警hp o 。+ 0 + f ) f ) 垂：l l t c c e + p o 。+ o + 女) f ) 1-tlc口+p(t4+(j+k-lk)、1 1 一l t c o t p ( t 。+ ( j + 女一2 弦) j 盟纠 一| l 一女 + 一十 o o + 一+ 血地 + 一一 丝衅 二一 蛆纠 二一 坦 + 一+ 比鬲等 生卜 n 叶 吖 因而 p 如。+ ( n + f 弦) 1 一p - c 甜+ p ( t 。+ ( 凡+ t ) r ) 取上极限，得 即 ，n “ in l 卢n 一扯一i 卜- 州 + ，篇1 筹k s -+ l 一肛口一p (