虚位移原理习题解答.pdf

7 1 在图示机构中 曲柄 OA 上作用一力偶 其矩为 M 另在滑块 D 上作用 水平力F 机构尺寸如图所示 求当机构平衡时 力F与力偶矩 M 的关系 解 设 OA 杆虚位移为 则 A B C D 各点虚位移如图 cos2cos cos2cos DB AB A rr rr ar 由上述各式和虚功方程 0 D rFM 解出 2tanFaM 7 2 图示桁架中 已知 AD DB 6m CD 3m 节点 D 处载荷为P 试用虚 位移原理求杆 3 的内力 解 B C D 各点虚位移如图所示 cos 2sincos CD cB rr rr 代入虚功方程 0 3 BD rFrP 解得杆 3 的内力 P P F cot 2 3 7 3 组合梁由铰链C铰接AC和CE而成 载荷分布如图所示 已知跨度l 8m P 4900N 均布力q 2450N m 力偶矩M 4900N m 求支座反力 N2450N14700N2450 EBA FFF 7 4 组合梁由水平梁AC CD组成 如图所 已知 F1 20kN F2 12kN q 4kN m M 2kN m 不计梁自重 试求 固定端A和支座B处的约束力 组合梁由水平梁 AC CD 组成 如图 12 16a 所 已知 F1 20kN F2 12kN q 4kN m M 2kN m 不计梁自重 试求 固定端 A 和支座 B 处的约束力 a b F1 A E C M F2 D 1m 1m 1m 0 5m 0 5m q B 60 F1 FNB rD A E C M F2 D H FH K B rB rK FK c F1 A E C M F2 D FH FK HKB M A rE rH rC rK rD FAx F1 A E C M F2 D H FH FNB K B FK rAx rE rH rK rD d e 图 12 16 例题 12 5 图 解解 组合梁为静定结构 其自由度为零 不可能发生虚位移 为能应用虚位移原理确 定 A B 二处的约束力 可逐次解除一个约束 代之以作用力 使系统具有一个自由度 并 解除约束处的正应力视为主动力 分析系统各主动力作用点的虚位移以及相应的虚功 应用 虚位移原理建立求解约束力的方程 为方便计算 可事先算出分布载荷合力大小及作用点 对于本例 kN41 qFF KH 各作用点如图 12 16b 所示 且 HC CK 0 5m 1 计算支座B处的约束力 解除支座 B 代之以作用力 FNB 并将其视为主动力 此时 梁 CD 绕点 C 转动 系统具有一个自由度 设梁 CD 的虚位移为 则各主动 力作用点的虚位移如图 12 16b 所示 应用虚位移原理 有 0 F W 0 30sin 2N DBBKK rFMrFrF a 图 12 16b 中的几何关系 2 5 0 DBK rrr 将上述各式代入虚位移原理表达式 a 有 0 5 0 2N FMFF BK b 因为0 于是 由式 b 求得支座 B 的约束力为 kN125 0 2N MFFF KB c 2 求固定端 A 处的约束力偶 F1 AE C M F2 D H FH K B rD rE rK FK rC rH rAy FAy 解除 A 端的转动约束 使之成为允许转动的固定铰支座 并代之以约束力偶 MA 将 MA视为主动力偶 图 12 16c 这时 梁 AC 和 CD 可分别绕点 A B 转动 系统具有一个 自由度 设梁 AC 有一虚位移 则梁 AC CD 上各主动力作用点相应的虚位移如图 12 16c 所示 根据虚位移原理 0 F W 可得下述方程 0 60cos 21 MrFrFrFrFM DKKHHEA d 根据图 12 6c 中所示之几何关系 各主动力作用点的虚位移分别为 2 5 0 2 5 1 5 0 DK HE rr rr 代入式 d 得到 0 25 15 0 21 MFFFFM KHA e 由于 0 所以 mkN1225 15 0 21 MFFFFM KHA 逆时针转向 f 3 求固定端 A 处的水平约束力 解除 A 端的水平约束 使之变为只能水平移动 而不能铅直移动和自由转动的新约束 图 12 16d 视水平约束力 FAx为主动力 这时系统具有一个自由度 使梁 AC 和 CD 只 能沿水平方向平动 设 A 点有一水平虚位移 xA 则其他主动力作用点 将产生如图 12 16d 所示的虚位移 应用虚位移原理 写出 060sin 2 DAAx rFxF g 由于系统水平平动 所以 xA rD 故上式为 0 60sin 2 AAx xFF h 因为 xA 0 所以 kN3660sin 2 FFAx i 4 求固定端 A 处的铅垂约束力 解除 A 端的铅直约束 使之变成只能铅直移动 而不能水平移动和自由转动的新约束 图 12 16e 并视铅垂约束力 FAy为主动力 这时 梁 AB 平动 梁 CD 绕点 B 转动 系 统具有一个自由度 设点 A 有一铅垂虚位移 yA 其余各主动力作用点及梁 CD 的虚位移如图 12 16e 所示 应用虚位移原理 有 0 30sin 21 MrFrFrFrFyF DKKHHEAAy j 由于梁 AC 铅垂平动 梁 CD 绕点 B 转动 于是 由图 12 16e 得到 A C AK ACHE y CB r yr yrrr 5 0 将上述各式代入式 j 得 0 30sin5 0 21 AKHAy yMFFFFF k 因为 0 A y 故有 kN225 05 0 21 MFFFFF KHAy 7 5 试求图示梁 桁架组合结构中1 2两杆的内力 已知 kN4 1 F kN5 2 F 1 求杆1内力 给图 a 虚位移 虚功表达式为 0cos cos 1N1N21 GFED rFrFyFyF 因为 3 D y 2 E y 5 F r 5 G r 所以 0 5 3 5 5 3 5 2 3 1N1N21 FFFF 211N 236FFF 3 11 32 21 1N FF F kN 受拉 F r D y EDC G N1 F N1 F 2 F E y B G r F A 1 F 5m 3m 2 求杆 2 内力 给图 b 虚位移 则 4 H r 3 D r 2 E r 5 G r F r G r 在 FG 方向投影响相等 即 cos cos GF rr GF rr 虚功式 0sin N222N1 FEHD rFrFrFrF 即 0 5 4 524 3 N222N1 F F F F 22238 21N2 FFF kN 4 11 2N F kN F r F D r C 2 F E r H r 1 F B A N2 F G r N2 F 5m DH G E 7 6 在图示结构中 已知F 4kN q 3kN m M 2kN m BD CD AC CB 4m 30 试求固定端A处的约束力偶MA与铅垂方向的约束力FAy 解 解 解除 A 处约束力偶 系统的虚位移如图 a 0 sin 2 DA rFrqM 1 其中 1 r 4 BDC rrr 代入式 1 得 0 sin42 FqMA mkN22sin4 qFMA 解除 A 处铅垂方向位移的 约束 系统的虚位移如图 b 应用虚位移原理 0 2cos BCDAAy MrFrF 2 其中 BCCA rr cos4 BCD r 2 代入式 2 得 0 22coscos4 BCAy MFF kN577 0 30cos4 1 MF FAy 7 7 图示结构由三个刚体组成 已知F 3kN M 1kN m l 1m 试求支 座B处的约束力 解 解 解除 B 处约束 系统的虚位移如图 a 应用虚位移原理 A B C D M F q A B C D M F q MA rC rD rB r BC rC rA FAy rB O a b rD A B C D F 3l l E 2l l l l M A B C D F 3l l E 2l l l l M CE rB rC rE rF a O FB 0 sin FCEBB rFMrF 1 其中 10 1 sin CEFE lrr 4 2 CEC lr 23 CE CB l r l r 23 10 代入式 1 得 0 2 CEB lFMlF kN52 lFMFB 7 8 在图示刚架中 已知F 18kN M 4 5kN m l1 9m l2 12m 自重 不计 试求支座B处的约束力 解 解 解除 B 处水平方向位移的约束 系统的 虚位移如图 a 应用虚位移原理 0 FBxBx rFrF 1 其中 DBDBBx lOBr 2 2 DBD ODr DB D F ll AD r r 22 代入式 1 得 0 2 22 DBBx lFlF kN9 2 F FBx 解除 B 处铅垂方向位移的约束 系统的 虚位移如图 b 应用虚位移原理 0 CEFByBy MrFrF 2 其中 DBDBBy lABr 2 1 DBD ODr DB D F ll AD r r 22 CEDBE OEAEr DBCE OE