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全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 1 页页 高等数学公式 导数公式 导数公式 基本积分表 基本积分表 三角函数的有理式积分 三角函数的有理式积分 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 log ln csc csc sec sec csc sec 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 arccos 1 1 arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x ln ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 ln 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 2 页页 一些初等函数 一些初等函数 两个重要极限 两个重要极限 三角函数公式 三角函数公式 诱导公式 诱导公式 函数 角 A sin cos tg ctg sin cos tg ctg 90 cos sin ctg tg 90 cos sin ctg tg 180 sin cos tg ctg 180 sin cos tg ctg 270 cos sin ctg tg 270 cos sin ctg tg 360 sin cos tg ctg 360 sin cos tg ctg 和差角公式 和差角公式 和差化积公式 和差化积公式 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 1 sinsincoscos cos sincoscossin sin x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 1ln 1ln 2 2 2 2 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 590457182818284 2 1 1 lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 3 页页 倍角公式 倍角公式 半角公式 半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理 余弦定理 Cabbaccos2 222 反三角函数性质 反三角函数性质 arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式高阶导数公式 莱布尼兹 莱布尼兹 LeibnizLeibniz 公式 公式 2 1 0 1 1 2 1 nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理与导数应用 中值定理与导数应用 拉格朗日中值定理 时 柯西中值定理就是当 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 xx F f aFbF afbf abfafbf F 曲率 曲率 1 0 1 limM sMM 1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆 半径为 直线 点的曲率 弧长 化量 点 切线斜率的倾角变点到从平均曲率 其中弧微分公式 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 4 页页 定积分的近似计算 定积分的近似计算 b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf 4 2 3 2 1 1312420 110 110 抛物线法 梯形法 矩形法 定积分应用相关公式 定积分应用相关公式 b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW 1 1 2 2 21 均方根 函数的平均值 为引力系数引力 水压力 功 空间解析几何和向量代数 空间解析几何和向量代数 代表平行六面体的体积 为锐角时 向量的混合积 例 线速度 两向量之间的夹角 是一个数量 轴的夹角 与是向量在轴上的投影 点的距离 空间 cos sin cos cos PrPr Pr cosPr 2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 5 页页 马鞍面 双叶双曲面 单叶双曲面 双曲面 同号 抛物面 椭球面 二次曲面 参数方程 其中空间直线的方程 面的距离 平面外任意一点到该平 截距世方程 一般方程 其中 点法式 平面的方程 1 1 3 22 2 11 13 02 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz 隐函数 隐函数 隐函数的求导公式 时 当 多元复合函数的求导法 全微分的近似计算 全微分 0 0 2 2 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 6 页页 1 1 1 1 0 0 yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组 微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 3 0 2 1 0 0 0 0 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 过此点的法线方程 过此点的切平面方程 过此点的法向量 则 上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为 处的法平面方程 在点 处的切线方程 在点空间曲线 方向导数与梯度 方向导数与梯度 上的投影 在是 单位向量 方向上的 为 其中 它与方向导数的关系是 的梯度 在一点函数 的转角 轴到方向为其中 的方向导数为 沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz grad sincos grad grad sincos 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值及其求法 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 7 页页 不确定时 值时 无极 为极小值 为极大值 时 则 令 设 0 0 0 0 0 0 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用 重积分及其应用 D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 0 0 0 1 sin cos 其中 的引力 轴上质点平面 对平面薄片 位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量 平面薄片的重心 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标 柱面坐标和球面坐标 dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r 1 1 1 sin sin sinsin cos sinsin cossin sin cos sin cos 222222 2 00 0 22 2 转动惯量 其中 重心 球面坐标 其中 柱面坐标 曲线积分 曲线积分 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 8 页页 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L 特殊情况 则 的参数方程为 上连续 在设 长的曲线积分 第一类曲线积分 对弧 通常设 的全微分 其中 才是二元函数时 在 二元函数的全微分求积 注意方向相反 减去对此奇点的积分 应 注意奇点 如 且内具有一阶连续偏导数在 是一个单连通区域 无关的条件 平面上曲线积分与路径 的面积 时 得到 即 当 格林公式 格林公式 的方向角 上积分起止点处切向量 分别为和 其中系 两类曲线积分之间的关 则 的参数方程为设 标的曲线积分 第二类曲线积分 对坐 0 0 0 2 1 2 1 2 coscos 00 00 yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L 曲面积分 曲面积分 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 9 页页 dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx coscoscos 1 22 系 两类曲面积分之间的关 号 取曲面的右侧时取正 号 取曲面的前侧时取正 号 取曲面的上侧时取正 其中 对坐标的曲面积分 对面积的曲面积分 高斯公式 高斯公式 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 10 页页 dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n div coscoscos 0div div coscoscos 成 因此 高斯公式又可写 通量 则为消失的流体质量 若即 单位体积内所产生散度 通量与散度 高斯公式的物理意义 斯托克斯公式斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系 曲线积分与曲面积分的关系 dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 的环流量 沿有向闭曲线向量场 旋度 关的条件 空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成 kji rot coscoscos 常数项级数 常数项级数 是发散的调和级数 等差数列 等比数列 n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 1 321 1 1 1 12 级数审敛法 级数审敛法 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 11 页页 散 存在 则收敛 否则发 定义法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 比值审敛法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 别法 根植审敛法 柯西判 正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 的绝对值其余项 那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理 的审敛法或交错级数 11 1 3214321 0lim 0 nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 时收敛 时发散 级数 收敛 级数 收敛 发散 而调和级数 为条件收敛级数 收敛 则称发散 而如果 收敛级数 肯定收敛 且称为绝对收敛 则如果 为任意实数 其中 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数 幂级数 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 12 页页 0 0 1 0 3 lim 3 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时 时 时 的系数 则是 其中求收敛半径的方法 设 称为收敛半径 其中 时不定 时发散 时收敛 使在数轴上都收敛 则必存 收敛 也不是在全 如果它不是仅在原点 对于级数 时 发散 时 收敛于 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf 0 2 0 0 0 0 0lim 1 2 2 0 1 0 1 0 0 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式 充要条件是 可以展开成泰勒级数的余项 函数展开成泰勒级数 一些函数展开成幂级数 一些函数展开成幂级数 12 1 5 3 sin 11 1 1 2 1 1 1 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 欧拉公式 欧拉公式 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数 三角级数 上的积分 在任意两个不同项的乘积正交性 其中 0 cos sin2cos 2sin cos sin 1 cossin sincos 2 sin 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数 傅立叶级数 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 13 页页 是偶函数 余弦级数 是奇函数 正弦级数 相减 相加 其中 周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 2 1 0cos 2 0 sin 3 2 1nsin 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 2 sincos 2 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 周期为周期为l 2的周期函数的傅立叶级数 的周期函数的傅立叶级数 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 14 页页 l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 2 sincos 2 1 0 其中 周期 微分方程的相关概念 微分方程的相关概念 即得齐次方程通解 代替分离变量 积分后将 则设 的函数 解法 即写成程可以写成齐次方程 一阶微分方 称为隐式通解 得 的形式 解法 为 一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程 u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy 0 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 1 0 2 0 0 1 nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP 贝努力方程 时 为非齐次方程 当 为齐次方程 时当 一阶线性微分方程 全微分方程 全微分方程 通解 应该是该全微分方程的 其中 分方程 即 中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP 0 0 二阶微分方程 二阶微分方程 时为非齐次 时为齐次 0 0 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 21 22 2 0 1 0 rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根 求出 的系数 式中的系数及常数项恰好是 其中 写出特征方程 求解步骤 为常数 其中 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 15 页页 式的通解 出的不同情况 按下表写 根据 3 21 rr 的形式 21 rr 式的通解 两个不相等实根 04 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根 04 2 qp xr exccy 1 21 一对共轭复根 04 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir sincos 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数 型 为常数 sin cos xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 概率论与数理统计概率论与数理统计 1 随机事件及其概率 吸收律 AABA AA A ABAA A AA ABABABA 反演律 BABA BAAB n i i n i i AA 11 n i i n i i AA 11 2 概率的定义及其计算 1 APAP 若BA APBPABP 对任意两个事件A B 有 ABPBPABP 加法公式 对任意两个事件A B 有 ABPBPAPBAP 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 16 页页 BPAPBAP 1 21 1 1111 n n n nkji kji nji ji n i i n i i AAAPAAAPAAPAPAP 3 条件概率 ABP AP ABP 乘法公式 0 APABPAPABP 0 121 12112121 n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP 全概率公式 n i i ABPAP 1 1 i n i i BAPBP Bayes 公式 ABP k AP ABP k n i ii kk BAPBP BAPBP 1 4 随机变量及其分布 分布函数计算 aFbF aXPbXPbXaP 5 离散型随机变量 1 0 1 分布 1 0 1 1 kppkXP kk 2 二项分布 pnB 若P A p nkppCkXP knkk n 1 0 1 Possion 定理 0lim n n np 有 2 1 0 1 lim k k eppC k kn n k n k n n 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 17 页页 3 Poisson 分布 P 2 1 0 k k ekXP k 6 连续型随机变量 1 均匀分布 baU 其他 0 1 bxa abxf 1 0 ab ax xF 2 指数分布 E 其他 0 0 xe xf x 0 1 0 0 xe x xF x 3 正态分布 N 2 xexf x 2 2 2 2 1 x t texFd 2 1 2 2 2 N 0 1 标准正态分布 xex x 2 2 2 1 xtex x t d 2 1 2 2 7 多维随机变量及其分布 二维随机变量 X Y 的分布函数 xy dvduvufyxF 边缘分布函数与边缘密度函数 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 18 页页 x X dvduvufxF dvvxfxfX y Y dudvvufyF duyufyfY 8 连续型二维随机变量 1 区域G 上的均匀分布 U G 其他 0 1 Gyx A yxf 2 二维正态分布 yx eyxf y yxx 12 1 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 21 9 二维随机变量的 条件分布 0 xfxyfxfyxf XXYX 0 yfyxfyf YYXY dyyfyxfdyyxfxf YYXX dxxfxyfdxyxfyf XXYY yxf YX yf yxf Y yf xfxyf Y XXY xyf XY xf yxf X xf yfyxf X YYX 10 随机变量的数字特征 数学期望 1 k kkp xXE dxxxfXE 随机变量函数的数学期望 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 19 页页 X 的 k 阶原点矩 k XE X 的 k 阶绝对原点矩 k XE X 的 k 阶中心矩 k XEXE X 的 方差 2 XDXEXE X Y 的 k l 阶混合原点矩 lkY XE X Y 的 k l 阶混合中心矩 lk YEYXEXE X Y 的 二阶混合原点矩 XYE X Y 的二阶混合中心矩 X Y 的协方差 YEYXEXE X Y 的相关系数 XY YDXD YEYXEX E X 的方差 D X E X E X 2 22 XEXEXD 协方差 cov YEYXEXEYX YEXEXYE 2 1 YDXDYXD 相关系数 cov YDXD YX XY 简单整理了一下 中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出 线性代数线性代数 行列式行列式 n行列式共有 2 n个元素 展开后有 n项项 可分解为2n行列式 代数余子式的性质 ij A和 ij a的大小无关 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 20 页页 某行 列 的元素乘以其它行 列 元素的代数余子式为 0 某行 列 的元素乘以该行 列 元素的代数余子式为A 代数余子式和余子式的关系 1 1 ijij ijijijij MAAM 设n行列式D 将D上 下翻转或左右翻转 所得行列式为 1 D 则 1 2 1 1 n n DD 将D顺时针或逆时针旋转90 所得行列式为 2 D 则 1 2 2 1 n n DD 将D主对角线翻转后 转置 所得行列式为 3 D 则 3 DD 将D主副角线翻转后 所得行列式为 4 D 则 4 DD 行列式的重要公式 主对角行列式 主对角元素的乘积 副对角行列式 副对角元素的乘积 1 2 1 n n 上 下三角行列式 主对角元素的乘积 和 副对角元素的乘积 1 2 1 n n 拉普拉斯展开式 AOAC A B CBOB 1 m n CAOA A B BOBC 范德蒙行列式 大指标减小指标的连乘积 特征值 对于n阶行列式A 恒有 1 1 n nkn k k k EAS 其中 k S为k阶主子式 证明0A 的方法 AA 反证法 构造齐次方程组0Ax 证明其有非零解 利用秩 证明 r An 证明 0 是其特征值 矩阵 A是n阶可逆矩阵 0A 是非奇异矩阵 r An 是满秩矩阵 A的行 列 向量组线性无关 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 21 页页 齐次方程组0Ax 有非零解 n bR Axb 总有唯一解 A与E等价 A可表示成若干个初等矩阵的乘积 A的特征值全不为 0 T A A是正定矩阵 A的行 列 向量组是 n R的一组基 A是 n R中某两组基的过渡矩阵 对于n阶矩阵A AAA AA E 无条件恒无条件恒成立 1 111 TTTT AAAAAA 111 TTT ABB AABB AABB A 矩阵是表格 推导符号为波浪号或箭头 行列式是数值 可求代数和 关于分块矩阵的重要结论 其中均A B可逆 若 1 2 s A A A A 则 12s AA AA 1 1 1 12 1 s A A A A 1 1 1 AOAO OBOB 主对角分块 1 1 1 OAOB BOAO 副对角分块 1 111 1 ACAA CB OBOB 拉普拉斯 1 1 111 AOAO CBB CAB 拉普拉斯 矩阵的初等变换与线性方程组 一个mn 矩阵A 总可经过初等变换化为标准形 其标准形是唯一确定的 r m n EO F OO 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 22 页页 等价类 所有与A等价的矩阵组成的一个集合 称为一个等价类 标准形为其形状最简单的矩阵 对于同型矩阵A B 若 r Ar BAB 行最简形矩阵 只能通过初等行变换获得 每行首个非 0 元素必须为 1 每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0 初等行变换的应用 初等列变换类似 或转置后采用初等行变换 若 r A EE X 则A可逆 且 1 XA 对矩阵 A B做初等行变化 当A变为E时 B就变成 1 A B 即 1 c A BE A B 求解线形方程组 对于n个未知数n个方程Axb 如果 r A bE x 则A可逆 且 1 xA b 初等矩阵和对角矩阵的概念 初等矩阵是行变换还是列变换 由其位置决定 左乘为初等行矩阵 右乘为初等列矩阵 1 2 n 左乘矩阵A i 乘A的各行元素 右乘 i 乘A的各列元素 对调两行或两列 符号 E i j 且 1 E i jE i j 例如 1 11 11 11 倍乘某行或某列 符号 E i k 且 1 1 E i kE i k 例如 11 1 1 0 1 1 kk k 倍加某行或某列 符号 E ij k 且 1 E ij kE ijk 如 1 11 11 0 11 kk k 矩阵秩的基本性质 0 min m n r Am n T r Ar A 若AB 则 r Ar B 若P Q可逆 则 r Ar PAr AQr PAQ 可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩 max r A r Br A Br Ar B r ABr Ar B 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 23 页页 min r ABr A r B 如果A是mn 矩阵 B是ns 矩阵 且0AB 则 B的列列向量全部是齐次 方程组0AX 解 转置运算后的结论 r Ar Bn 若A B均为n阶方阵 则 r ABr Ar Bn 三种特殊矩阵的方幂 秩为 1 的矩阵 一定可以分解为列矩阵 向量 列矩阵 向量 行矩阵 向量 行矩阵 向量 的形式 再采用结合律 型如 1 01 001 ac b 的矩阵 利用二项展开式 二项展开式 0111111 0 n nnnmn mmnnnnmmn m nnnnnn m abC aC abC abCa bC bC a b 注 nab 展开后有 1n 项 0 1 1 1 1 2 3 mn nnn n nnmn CCC mm nm 组合的性质 11 11 0 2 n mn mmmmrnrr nnnnnnnn r CCCCCCrCnC 利用特征值和相似对角化 伴随矩阵 伴随矩阵的秩 1 1 0 1 nr An r Ar An r An 伴随矩阵的特征值 1 AA AXX AA AA XX 1 AA A 1 n AA 关于A矩阵秩的描述 r An A中有n阶子式不为 0 1n 阶子式全部为 0 两句话 r An A中有n阶子式全部为 0 r An A中有n阶子式不为 0 线性方程组 Axb 其中A为mn 矩阵 则 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 24 页页 m与方程的个数相同 即方程组Axb 有m个方程 n与方程组得未知数个数相同 方程组Axb 为n元方程 线性方程组Axb 的求解 对增广矩阵B进行初等行变换 只能使用初等行变换只能使用初等行变换 齐次解为对应齐次方程组的解 特解 自由变量赋初值后求得 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程 11112211 21122222 1122 nn nn mmnmnn a xa xa xb a xa xaxb axaxaxb 1112111 2122222 12 n n mmmnmm aaaxb aaaxb Axb aaaxb 向量方程 A为mn 矩阵 m个方程 n个未知数 1 2 12n n x x aaa x 全部按列分块 其中 1 2 n b b b 1122nn a xa xa x 线性表出 有解的充要条件 r Ar An n为未知数的个数或维数 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 m个n维列向量所组成的向量组A 12 m 构成nm 矩阵 12 m A m个n维行向量所组成的向量组B 12 TTT m 构成mn 矩阵 1 2 T T T m B 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 向量组的线性相关 无关 0Ax 有 无非零解 齐次线性方程组 向量的线性表出 Axb 是否有解 线性方程组 向量组的相互线性表示 AXB 是否有解 矩阵方程 矩阵 m n A 与 l n B 行向量组等价的充分必要条件是 齐次方程组0Ax 和0Bx 同解 101 P例 14 T r A Ar A 101 P例 15 n维向量线性相关的几何意义 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 25 页页 线性相关 0 线性相关 坐标成比例或共线 平行 线性相关 共面 线性相关与无关的两套定理 若 12 s 线性相关 则 121 ss 必线性相关 若 12 s 线性无关 则 121 s 必线性无关 向量的个数加加减减 二者为对偶 若r维向量组A的每个向量上添上nr 个分量 构成n维向量组B 若A线性无关 则B也线性无关 反之若B线性相关 则A也线性相关 向量组的维数加加减减 简言之 无关组延长后仍无关 反之 不确定 向量组A 个数为r 能由向量组B 个数为s 线性表示 且A线性无关 则rs 二版 74 P定理定理 7 7 向量组A能由向量组B线性表示 则 r Ar B 86 P定理定理 3 3 向量组A能由向量组B线性表示 AXB 有解 r Ar A B 85 P定理定理 2 2 向量组A能由向量组B等价 r Ar Br A B 85 P定理定理 2 2 推论推论 方阵A可逆 存在有限个初等矩阵 12 l P PP 使 12l APPP 矩阵行等价 r ABPAB 左乘 P可逆 0Ax 与0Bx 同解 矩阵列等价 c ABAQB 右乘 Q可逆 矩阵等价 ABPAQB P Q可逆 对于矩阵 m n A 与 l n B 若A与B行等价 则A与B的行秩相等 若A与B行等价 则0Ax 与0Bx 同解 且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 矩阵A的行秩等于列秩 若 m ss nm n ABC 则 C的列向量组能由A的列向量组线性表示 B为系数矩阵 C的行向量组能由B的行向量组线性表示 T A为系数矩阵 转置 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 26 页页 齐次方程组0Bx 的解一定是0ABx 的解 考试中可以直接作为定理使用 而无需证明考试中可以直接作为定理使用 而无需证明 0ABx 只有零解0Bx 只有零解 0Bx 有非零解0ABx 一定存在非零解 设向量组 12 n rr Bb bb 可由向量组 12 n ss Aa aa 线性表示为 110 P题题 1919 结论结论 1212 rs b bba aa K BAK 其中K为sr 且A线性无关 则B组线性无关 r Kr B与与K的列向量组具有相同线性相的列向量组具有相同线性相 关性关性 必要性 rr Br AKr K r Krr Kr 充分性 反证法 注 当rs 时 K为方阵 可当作定理使用 对矩阵 m n A 存在 n m Q m AQE r Am Q的列向量线性无关 87 P 对矩阵 m n A 存在 n m P n PAE r An P的行向量线性无关 12 s 线性相关 存在一组不全为 0 的数 12 s k kk 使得 1122 0 ss kkk 成立 定义 1 2 12 0 s s x x x 有非零解 即0Ax 有非零解 12 s rs 系数矩阵的秩小于未知数的个数 设mn 的矩阵A的秩为r 则n元齐次线性方程组0Ax 的解集S的秩为 r Snr 若 为Axb 的一个解 12 n r 为0Ax 的一个基础解系 则 12 n r 线性无关 111 P题题 3333 结论结论 相似矩阵和二次型相似矩阵和二次型 正交矩阵 T A AE 或 1T AA 定义 性质 A的列向量都是单位向量 且两两正交 即 1 1 2 0 T ij ij a ai jn ij 若A为正交矩阵 则 1T AA 也为正交阵 且1A 若A B正交阵 则AB也是正交阵 注意 求解正交阵 千万不要忘记施密特正交化施密特正交化和单位化单位化 施密特正交化 12 r a aa 11 ba 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 27 页页 12 221 11 b a bab b b 121 121 112211 rrrr rrr rr b ab aba babbb b bb bbb 对于普通方阵 不同特征值对应的特征向量线性无关 对于实对称阵实对称阵 不同特征值对应的特征向量正交 A与B等价 A经过初等变换得到B PAQB P Q可逆 r Ar B A B同型 A与B合同 T C ACB 其中可逆 T x Ax与 T x Bx有相同的正 负惯性指数 A与B相似 1 P APB 相似一定合同 合同未必相似 若C为正交矩阵 则 T C ACB AB 合同 相似的约束条件不同 相似的更严格 A为对称阵 则A为二次型矩阵 n元二次型 T x Ax为正定 A 的正惯性指数为n A 与E合同 即存在可逆矩阵C 使 T C ACE A 的所有特征值均为正数 A 的各阶顺序主子式均大于 0 0 0 ii aA 必要条件必要条件 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 28 页页 初等初等数学常用公式数学常用公式 乘法公式与二项式定理 1 222222 2 2abaabbabaabb 2 3322333223 33 33abaa babbabaa babb 3 01122211 n nnnkn kknnnn nnnnnn abC aC abC abC abCabC b 4 abccbabcacabcbacba3 333222 5 2 222 222abcabcabacbc 二 因式分解 1 22 abab ab 2 33223322 abab aabbabab aabb 3 121 nnnnn ababaabb 三 分式裂项 1 111 1 1x xxx 2 1111 xa xbba xaxb 四 指数运算 1 1 0 n n aa a 2 0 1 1 aa 3 0 m nm n aaa 4 mnm n a aa 5 mnm n aaa 6 mnmn aa 7 0 n n n bb a aa 8 n nn aba b 9 2 aa 五 对数运算 1 logN a aN 2 loglog n bb aa n 3 1 loglog nb b a a n 4 log1 a a 5 1 log0 a 6 logloglog MNMN a aa 7 logloglog N M M N a aa 8 1 log log b a a b 9 10 lglog lnlog aa e aa 六 排列组合 1 1 1 m n n Pn nnm nm 约定0 1 2 m m n n Pn C mm nm 3 mn m nn CC 4 1 1 mmm nnn CCC 5 012 2 nn nnnn CCCC 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 29 页页 常见函数的图像 常见函数的图像 k0 y kx b o y x a0 y ax2 bx c o y x 0 a1 1 y ax o y x 0 a1 1 y logax o y x 分数指数幂与根式的性质分数指数幂与根式的性质 1 1 m nm n aa 0 am nN 且1n 2 2 11 m n m nm n a a a 0 am nN 且1n 3 3 n n aa 4 4 当 当n为奇数时 为奇数时 nn aa 当 当n为偶数时 为偶数时 0 0 nn a a aa a a 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 指数性质 指数性质 1 1 1 1 p p a a 2 2 0 1a 0a 3 3 mnmn aa 4 4 0 rsr s aaaar sQ 5 5 m nm n aa 指数函数 指数函数 1 1 1 x yaa 在定义域内是单调递增函数 2 2 01 x yaa 在定义域内是单调递减函数 注 注 指数指数函数图象都恒过点 0 1 对数性质 对数性质 1 1 logloglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog m aa bmb 4 4 loglog m n a a n bb m 5 5 log 10 a 6 6 log1 aa 7 7 l o g ab ab 对数函数 对数函数 1 1 log 1 a yx a 在定义域内是单调递增函数 2 2 log 01 a yxa 在定义域内是单调递减函数 注 注 对数对数函数图象都恒过点 1 0 3 3 lo g0 0 1 1 a xa xa x 或 4 4 log0 0 1 1 ax ax 则 或 1 0 1 ax 则 全国考研数学一公式手册全国考研数学一公式手册 第第 30 页页 对数的换底公式对数的换底公式 log log log m a m N N a 0a 且且1a 0m 且且1m 0N 对数恒等式 对数恒等式 logaN aN 0a 且且1a 0N 推论推论 loglog m n a a n bb m 0a 且且1a 0N 对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a a 1 1 M M 0 0 N N 0 0