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囚禁少离子与激光相互作用系统的量子运动特征 摘要 离子阱已被广泛应用于科学和技术研究的各个领域尤其是近年来，离子 阱作为一种强有力的工具，被大量应用于量子逻辑操作，量子计算，量子 信息以及量子态的制备等方面的研究，使人们对离子阱中囚禁离子的动 力学特征越来越感兴趣但是由于囚禁离子的运动对外加参数和初始条 件有很强的敏感性，两者的微小改变都可导致离子运动轨迹发生较大偏 移，甚至使离子运动失去稳定，从而使其运动状态难以控制另外，p a u l 囚禁离子的量子态由薛定格方程支配，人们一般从求解此方程入手，但 是在很多系统中此方程很难精确求解，因此人们开始运用微扰理论和很 多的近似方法来解决问题本文应用新的微扰方法对单个囚禁离子的动 力学特征以及两库仑关联囚禁离子的量子态进行了更加深入的研究主 要内容如下： 第一章主要介绍了p a u l 阱的基本原理和囚禁少离子研究的历史和现 状 在第二章中，我们研究单个囚禁离子与强共振激光驻波相互作用系 统在经典异宿点附近的量子运动，我们运用文献p h y s r e v a7 20 1 2 1 1 6 中的 方法将系统分离为经典参考系和量子子系统运用常数变易法和h u s i m i 试探解法，我们得到了量子子系统的一组精确相干态 当经典参考系固定在异宿点时，经典一般解和量子期待轨道表明微 观子系统的运动是规则但不稳定的，经典解的不稳定性导致量子波包在 时间足够长时发生塌缩现象我们计算了期待能量并且发现相邻能级差 将随时间趋向零而总能量趋向无穷，但是坐标，动量和能量期待值的这 种非物理无穷大可以通过调节系统的参数和初始条件来得到抑制，相应 的控制条件在下已被得到 在经典参考系是沿着异宿轨道绝热地趋向异宿点的情形下，坐标和 动量的量子期待值与经典混沌轨道对应，当且仅当初始条件和系统参数 满足一定的关系时，它们才会有界，而这些关系将使m e l n i k o v 函数变为 零，也就意味着量子混沌的存在，运用量子混沌波函数，我们解释了量子 i i硕士学位论文 波包塌缩的特征，计算了能量期待值，发现能级交叉和量子共振现象，指 数形式递增的能量期待值和海森堡不确定关系，表明量子系统的不稳定 性然而，量子混沌系统的渐近行为将为规则运动，因此，对于渐进系统， 上面提到的控制条件对于抑制混沌运动的不稳定性提供了很好的理论方 法 在第三章中，我们用精确的哈密顿量来分析囚禁在含时p a u l 阱中的 两库仑相关离子的量子运动通过将质心运动和相对运动分离，我们发 现质心运动系统可以看作具有两倍离子质量的单个p a u l 囚禁离子系统， 其量子运动是精确可解的，它的精确解描述离子的相干波包振荡就象频 率是变化着的经典谐振子本文我们通过运用截断方法，得到在弱驱动 下的相对运动的近似解，其描述的波包链，具有类相干态的特征我们计 算了在这种相干态下的两离子间的量子期待距离，结果表明相干振动围 绕经典平衡位置，并且与相对运动的经典轨道对应 第四章是对本论文研究工作的总结，并对p a u l 阱中囚禁离子的动力 学研究作了一个展望 关键词：激光驻波，周期驱动，囚禁离子，精确解，稳定性，能量期 待值 囚禁少离子与激光相互作用系统的量子运动特征 i i i a b s t r a c t i o nt r a p sh a v eb e e nw i d e l yu s e di nr e s e a r c h e so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y e s p e c i a u y , i nr e c e n ty e a r s ，柏ap o w e r f u lm e t h o d ，i o nt r a p sg e tm a n ye x t e n s i v e 印p l i c a - t i o n si nt h eq u a n t u ml o g i co p e r a t i o n ，q u a n t u mc a l e l l l a t i o n ，q u a n t u mi n f o r m a t i o n ， a n dt h ep r e p a r n t i o no fq u a n t u ms t a t e s ，w h i c hl e a d st om o r ea n dm o r ea t t e n t i o n s f o c u s e d o n t h e d y n a m i c s o f t r a p p e d i o n s h o w e v e r ，t h e m o t i o n s o f t r a p p e d i o n ss e n s i - t i v e l yd e p e n do nt h es y s t e mp a r a m e t e r sa n di n i t i a lc o n d i t i o n s v e r ys m a l lv a r i a t i o n s o ft h e mc o nl e a dt ol a r g ed e v i a t i o n so ft h et r a j e c t o r i e so ft h ei o n sa n de v e nf o r c et h e i o n si n t ol o s so ft h es t a b i l i t y , w h i c hm a k e st h em o t i o n so ft h ei o n su n c o n t r o l l a b l e q u a n t u ms t a t e so ft h ep a u lt r a p p e di o n sa r eg o v e r n e db yt h es c h r i k i i n g e re q u a - t i o n ，w h i c hi sn o te x a c t l ys o l u b l ef o ram a n y - i o ns y s t e m f o r 印p l i c a b l ep u r p o s e s l o t so fa p p r o x i m a t i o nm e t h o d sa n dp e r t u r b a t i o nt h e o r i e sw e r ed e v e l o p e d i nt h i s t h e s i s ，t h ed y n a m i c so fat r a p p e di o na n dt h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t u m - m e c h a n i c a l t r e a t m e n ta r ei n v e s t i g a t e dm o r ee x t e n s i v e l y , a n dw er e p o r tt h e ”c o h e r e n c e - l i k es t a t es o l u t i o n so ft w oc o u l o m b - c o r r e l a t e dt r a p p e di o n sa r er e p o r t e d t h em a i n c o n t e n t si sp r e s e n t e d f o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eb a s i cp r i n c i p l eo ft h ep a u lt r a pi sb r i e f l yi n t r o d u c e d ， a n dt h eh i s t o r ya n dp r o g r e s so nt h er e s e a r c h e so ff e wt r a p p e di o n si sp r e s e n t e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yq u a n t u mm o t i o n sa r o u n dac l a s s i c a lh e t e r o c l i n i cp o i n to fa s i n g l et r a p p e di o ni n t e r a c t i n gw i t has t r o n gl a s e rs t a n d i n gw a v e w ec o n s t r u c tas e to fe x a c tc o h e r e n ts t a t e so ft h eq u a n t u ms y s t e m w h e nt h ec l a s s i c a lr e f e r e n c ef r a m ei sf i x e da tt h eh e t e r o c l i n i cp o i n t ，t h ec l a s s i c a l g e n e r a ls o l u t i o na n dq u a n t u me x p e c t a t i o no r b i ts h o wt h a tt h em o t i o no fm i c r o s c o p i c s u b s y s t e mi sr e g u l a ra n dm a yb eu n s t a b l e t h ei n s t a b i l i t yo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o n l e a d st ot h ec o l l a p s eo f q u a n t u mw a v e p a c k e t sf o rs u f f i c i e n t l yg r e a tt i m e w ec a l c u l a t e t h ee x p e c t n t i o ne n e r g ya n df i n dt h a tt h ea d j a c e n te n e r g yl e v e ls p a c i n gw i l lt e n dt o z e r ob u tt h ew h o l ee n e r g ym a yt e n dt oi n f m i t ya st i m ei n c r e a s i n g h o w e v e r ，t h e n o n p h y s i c a li n f i n i t yo ft h ee x p e c t a t i o nv a l u e so ft h ep o s i t i o n ，m o m e n t u ma n de n e r g y c a nb es u p p r e s s e db ya d j n s t i n gt h es y s t e mp a r a m e t e r sa n di n i t i a lc o n d i t i o n s t h e c o r r e s p o n d i n gc o n t r o lc o n d i t i o ni se s t a b l i s h e d i v硕士学位论文 i nt h ec a s ew h e r et h ec l a s s i c a lr e f e r e n c ef l a m ei n i t i a l l yn e a r sa n da d i a b a t i c a l l y t e n d st ot h eh e t e r o c l i n i cp o i n ta l o n gah e t e r o c l i n i co r b i t i ti ss h o w nt h a tt h eq u a i l - r u me x p e c t a t i o np o s i t i o na n dm o m e n t u ma g r e ew i t ht h ec l a s s i c a l l yc h a o t i cs o l u t i o n s t h e ya r eb o u n d e di fa n do n l yi fs o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s a n ds y s t e mp a r a m e t e r sa r es a t i s f i e d t h e s er e l a t i o n s h i p sl e a dm e l n i k o vf u n c t i o n t os i m p l ez e r o ，i n d i c a t i n gt h ee x i s t e n c eo fq u a n t u mc h a o s b yu s i n gt h eq u a n t u m c h a o t i cw a v e f u n c t i o a ，w ei h u s t r a t et h ec o l l a p s ep r o p e r t yo fq u a n t u mw a v e p a c k e t s a n dt h ee x p e c t a t i o ne n e r g y , a n df i n dt h el e v e lc r o s s i n ga n dq u a n t u mr e s o n a n c ei n t i m ee v o l u t i o na n a l y t i c a l l ya n dn u m e r i c a l l y t h ee x p o n e n t i a l l yr a p i dg r o w t h so ft h e q u a n t u me x p e c t a t i o ne n e r g ya n dt h eh e i s e n b e r gu n c e r t a i n t ya r ee x h i b i t e dt h a ti m - p l yt h ei n s t a b i l i t yo ft h eq u a n t u ms y s t e m h o w e v e r ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h e q u a n t u mc h a o t i cs y s t e mi sr e s i d e di nt h er e g u l a rm o t i o no fi t sa s y m p t o t i cs y s t e m t h e r e f o r et h ea b o v e - m e n t i o n e dc o n t r o lc o n d i t i o nf o ri t sa s y m p t o t i cs y s t e mi sag o o d t h e o r e t i c a ls c h e m ef o rs u p p r e s s i n gt h ei n s t a b i l i t yo fc h a o t i cm o t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r w er e p o r tt h en n tc o h e r e n c e - l i k es t a t es o l u t i o n sf o r n ，= 1 ，2 ，a n do ft w oc o u l o m b - c o r r e l a t e di o n sc o n f i n e di nao n e - d i m e n s i o n a l p a u lt r a pw i t hat i m e - d e p e n d e n th a r m o n i cp o t e n t i a l a n yo n eo ft h e e x a c ts o l u - t i o n so ft h ec e n t e r - o f - m a s sm o t i o nd e s c r i b e sag e n e r a l i z e dc o h e r e n ts t a t e f o ras m a l l d r i v i n gs t r e n g t ht h e 礼a p p r o x i m a t es o l u t i o n so fr e l a t i v em o t i o na r ec o n s t r u c t e d w h i c hd e s c r i b et h eh a r m o n i co s c i l l a t i o n so ft h et w oi o n sa r o u n dt h ec l a s s i c a le q u i - l i b r i u mp o s i t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，s o m ec o n c l u s i v er e m a r k so nt h ew o r kp r e s e n t e di nt h i s t h e s i sa n dt h eo u t l o o ko nt h ep r o s p e c tf o rt h ed y n a m i c so ft r a p p e di o n sa r eg i v e n k e yw o r d s ：l a s e rs t a n d i n gw a v e ，p e r i o d i c a l l yd r i v e n ，l “r a p p e di o n s ，e x a c t s o l u t i o n ，s t a b i l i t y , e n e r g ye x p e c t a t i o nv a l u e ，f l a s h i n gr a t c h e tp o t e n t i a l 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 - rj 0 学位论文作者签名：亨主辟 胴年占月，e l 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密囤 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名：毋埠日期：扣却年z 月l 歹日 导师签名3 蚴日期细7 年易月日 囚禁少离子与激光相互作用系统的量子运动特征 1 第一章绪论 1 1引言 自原子的发现以来，人们就一直非常渴望观测到单个粒子的行为，探 索物质的基本结构和运动规律为了探索和研究分子，原子和离子等微 观粒子的内部结构和运动规律，操纵和控制单个微观粒子( 分子，原子或 离子) 就成了物理学家长期以来所追求的目标这需要一个与外界隔绝 的环境，以使微观粒子的运动不受任何外来影响随着用于离子囚禁的 离子阱和激光冷却技术的不断发展，使实现这种隔离环境成为可能离 子阱在光谱学、量子光学以及频标等研究领域的应用上取得了重大的进 展，不仅使光谱学的某些领域发生了革命性的变化，而且为多种形式的 原子体系量子态的制备和精密测量创造了条件，同时在检测物理学基本 定律测量物理常数等基础研究和高性能频标研制等应用方面取得了令人 瞩目的成就 量子信息是物理学界最近相当热门的一个领域。在这个融合了信息 科学与量子物理的新兴领域中，尤其以量子计算更是吸引了众多的物理 学家全力投入研究行列的一个课题。量子计算的概念最早由i b m 的科学 家r l a n d a u e r 及c b e n n e t t 于7 0 年代提出他们主要探讨的是计算过程 中诸如自由能、信息与可逆性之间的关系8 0 年代初期，阿岗国家实验室 的pb e n i o f f 首先提出二能阶的量子系统可以用来仿真数字计算；稍后费 因曼也对这个问题产生兴趣而着手研究，并在1 9 8 1 年于麻省理工学院举 行的f i r s tc o n f e r e n c eo i lp h y s i c so fc o m p u t a t i o n 中给了一场演讲，勾勒出以 量子现象实现计算的愿景1 9 8 5 年，牛津大学的d d e u t s c h 提出量子图林 机的概念，量子计算才开始具备了数学的基本型式然而上述的量子计 算研究多半局限于探讨计算的物理本质，还停留在相当抽象的层次，尚 未进一步跨入发展算法的阶段1 9 9 4 年，贝尔实验室的应用数学家p s h o r 指出，相对于传统电子计算器，利用量子计算可以在更短的时间内将一 个很大的整数分解成质因子的乘积这个结论开启量子计算的一个新阶 段：有别于传统计算法则的量子算法确实有其实用性，绝非科学家口袋 2硕士学位论文 中的戏法自此之后，新的量子算法陆续的被提出来，而物理学家接下来 所面临的重要的课题之一，就是如何去建造一部真正的量子计算器，来 执行这些量子算法许多量子系统都曾被点名作为量子计算器的基础架 构，例如光子的偏振、空腔量子电动力学、离子阱以及核磁共振等等以 目前的技术来看，离子阱量子计算方案是最具可行性的方案之一离子 阱是一个非常有趣而值得认识的物理系统，在这里面牵涉到许多量子光 学的应用。1 9 9 5 年，奥地利茵斯布鲁克大学的j i c i r a c 及pz o l l e r 提出了 利用离子阱来建造量子计算器的构想，这个模型的基本构想是利用所谓 的线性阱将许多的离子排成一直线，形成一维的量子位数组，再藉由操 控个别离子( 量子位) 的状态或是不同离子间的纠缠态，以达成量子计算 的目的离子阱在今后的科学研究中必将发挥很大的作用 在众多的离子阱中，p a u l 阱1 1 由于其优良的特性和先进的功能，在 科学和技术研究的各个领域得到了广泛的应用，极大地促进了相关学科 的发展，成为了研究量子物理学的一个强有力的工具。目前利用p a u l 阱 在量子逻辑操作【2 ，3 】，量子计算【4 ，5 】，量子信息( 6 ，7 】，量子态的制备 8 和 原子精确谱【9 - 1 1 】等方面的研究都取得了巨大的成功，极大地促进了这 些领域的研究 1 2p a u l 阱的原理 p a u l 阱的基本原理是用多极电磁势构成一个三维势阱把离子囚禁在 阱内一个特定区域其结构和剖面分别如图1 - 1 和1 - 2 所示典型p a u l 阱 阱体的内表面是旋转对称的共轭双曲面，通常称之为环极和帽极，环极 上加直流电压u ，帽极上加交流电压v c o s ( w t ) ，这样，在p a u l 阱中就产生 了一个周期含时四极电势 1 】 垂= 错( x 2 + y 2 - 2 2 2 ) 其中，u 为交流电压角频率，r o 为p a u l 阱环极最小半径，2 z o 为p a u l 阱两 帽极间最短距离，离子在空间的坐标为( z ，y ，z ) 一个电量为q ，质量为 囚禁少离子与激光相互作用系统的量子运动特征 x , y z 蓊二翼 图1 1 ：p a u l 阱结构 图1 2 ：p a u l 阱阱体构造剖面图 硕士学位论文 m 的粒子在方程( 1 1 ) 所不的囚禁势中的经典运动方程为 m l = - 7 a 西u = 一2 q 旦糟n ( 1 | 2 ) 咖一q 筹趔糟z ( 1 s ) 其中，“为z 或y 7 1 进无量纲参数 r = 争= =顽石-1研6qu,qz=-2=而再-8q瓦v-2au - - 2 q , , 驴 ( 1 4 ) 7 2 弘52 顽石研。而雨研 0 1 4 j 由方程( 1 2 ) ，( 1 3 ) 可以得到标准的m a t h i e u 方程 1 2 一【1 4 】 西+ ( a 。+ 2 c o s 2 r ) v = 0( 1 5 ) 式中v 代表z ，口或z 根据f l o q u e t 定理，方程( 1 5 1 具有如下形式的解 4 - + 。 ( r ) = a e ”c 2 。e “7 + b e 一c 2 e 。”， ( 1 6 ) n = - - 0 0n 上式中，一的值决定于参数a 。和q v x 的取值将决定方程( 1 5 ) 的解是否 稳定，即囚禁离子的运动是否稳定文献 1 ，1 2 1 4 】详细地研究了( 1 6 ) 式 的稳定性与参数s 的关系 1 当一的值是不为0 的实数时，”随时间的增大而增大，解是不稳定 的 2 当一的值是实部不为0 的复数时，解是不稳定的 3 当一= i z ，z = 整数时，”具有周期性，但仍不稳定 4 当一= i z ，z 是不为整数的实数时，u 具有周期性且是稳定的 为了能长时间地研究囚禁于p a u l 阱中的离子，就必须使离子作稳定 运动，即m a t h i e u 方程的解( 1 6 ) 式必须取如下形式： + o o 4 - o o ( r ) = a c 2 , ，c o s ( 2 n + f 1 ) r + b c 2 。8 i n ( 2 n + f i ) f ( 1 7 ) n = - * 囚禁少离子与激光相互作用系统的量子运动特征 其中，p 是不为整数的实数为了使大家对( 1 7 ) 式有一个更清晰地认识， 我们把( 1 7 ) 式中的物理量的量纲转换为原来的量纲，得 + 0 0+ ( ) = a c 2 。c o s ( m + 岫) + b c 2 。s i n ( n w + w o ) t ( 1 8 ) 胆- - 0 0 n = - - 上式中 疗 w o = 云u( 1 9 ) 被称为离子运动的久期频率 通常囚禁离子的运动都被分为两部分来研究： 以交流电频率u 为振动频率的很快的微运动 以久期频率w o 为振动频率的慢运动， 通常被称久期运动微运动由加在p a u l 阱两个帽极上的交流电压决定， 是阱本身固有的久期运动才反映了离子在阱中运动的主要特征因此， 到目前为止，大多数研究工作都是针对久期运动的为了能方便地研究 久期运动，却又不被微运动影响，研究者通常采用一种叫“赝势模型”的 方法把微运动。平均掉”，使囚禁势近似等于一个三维谐振子势 圣= 暴( 记舻+ 曰2 + z 。2 ) ( 1 1 0 ) 其中 风 2 虿。 成一+ 譬 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 用“赝势模型”的方法来代替原来的囚禁势又常常称为赝势近似对于研 究p a u l 阱中囚禁离子的运动，这是一种非常有效的方法，因此被广泛应 用于研究中 1 3p a u l 阱中囚禁少离子研究的历史与现状 p a u l 阱的特点是没有外加磁场所引起的塞曼效应的影响，因此常用 于研究与离子内部结构有关的物理问题在过去数十年内，p a t t i 阱中囚 6硕士学位论文 禁离子系统的研究取得了巨大的成功1 9 8 0 年，n e u h a u s e r 等人在室温下 实现了单个b a + 离子在p a u l 阱中的囚禁 1 5 】，这是历史上首次实现单离 子囚禁的实验，是离子阱物理研究的一个重大突破。此后，囚禁离子系统 的研究受到了广泛的关注，相关的实验与理论研究报道越来越多 1 9 8 6 年，有三个研究小组分别报道了在实验中观察到量子跃迁现象 是又一个重大突破【1 6 】一【1 8 】一原子体系由基态1 分别通过强跃迁到共振 态2 和非常弱的跃迁到亚稳态3 如果激光对准强跃迁，可观察到2 1 的 共振萤光信号出现“亮”周期；一旦弱激发使离子激发到亚稳态3 ，共振 态2 一基态1 的萤光就消失了，从而出现一个暗周期，此现象一直到离子 由亚稳态3 通过自发辐射回到基态1 时才结束。在这样的情况下观察到 的现象包含了交替的“暗”和“亮”周期，分别反映了离子进入和跃出亚 稳态的量子跃迁( 见图1 3 ) 量子跃迁实验为研究囚禁离子与辐射场( 电 图1 3 ：描述量子跃迁的原子三能级示意图 磁场或激光) 的相互作用提供了一种可靠的方法 1 9 8 8 年，d i e d r i c h 等人利用量子跃迁成功地测定了囚禁单离子的一系 列超精细结构【1 9 】，这为单离子频标的研究打下了坚实的基础；囚禁单离 子还是一个非常理想的量子光学系统，它为量子光学研究提供了一个很 好的实验例证在量子光学中，如果是单模辐射与一个两能级原子体系 相互耦合，可用著名的j a y n e s - c u m m i n g s 模型的哈密顿描述 2 0 ，2 1 】 1 h = w l a + n + 言岫口：+ g ( a + a + a + a 一)( 1 r 1 3 ) 其中，矿，n 分别为辐射场光子的产生与湮灭算符，u ，为光子频率，一+ 与 囚禁少离子与激光相互作用系统的量子运动特征 一为p a u l i 矩阵，t s ) 0 为两能级间的跃迁频率，g 为耦合因子如果该囚禁 离子处于一个谐振势阱中，并且是与激光驻波相互作用，则其哈密顿变 换为 日= m + 。+ ；以+ 罢q ( 叶n + 。+ 盯一) ( 1 - 4 ) 其中，v 为p a u l 阱频率，是激光频率与跃迁频率之差，n 是激光的r a b i 频率，田是l a m b - d i c k e 参数 1 9 9 6 年，m e c k h o f 等人率先利用p a u l 阱中的囚禁单离子对各种非经典 态进行了研究 8 ，2 2 】，通过不同的方法分别获得了一系列f o c k 态，相干态， 压缩真空态以及s c h r s d i n g e r 猫态从这些态入手，m e c k h o f 等人研究了非 经典态的特点以及演化动力学过程此后，众多的物理学家对囚禁单离 子系统的各种量子态进行了广泛而深入的研究，取得了一系列令人瞩目 的成果【2 3 】 2 5 】对量子态的研究有助于揭示光场的量子本质，并且有可 能在光通讯，微信号检测等方面获得重大的应用近年，囚禁离子又被广 泛应用于量子计算机的研究如果量子计算机研制成功，那么现在的计 算机无法解决的许多难题都将迎刃而解，因此，1 9 9 5 年，c i r a c 和z o l l e r 提 出了利用囚禁离子系统进行量子计算的方案后 4 】，这一领域的研究立即 引起了广泛关注，此后不久，m o n r o e 等人利用冷却到零点能的单个囚禁 离子b a + 成功地演示了量子逻辑门的实验【3 】，为量子计算机的研究展示 了美好前景 1 9 9 9 年，s c o t t 等人分别从经典和量子力学两个方面研究了膺势近似 条件下单个囚禁离子的动力学特征，发现在高斯型激光脉冲作用下囚禁 离子在一定的参数范围内存在经典混沌和量子混沌的性质【2 6 】离子的混 沌运动对离子阱量子计算的研究来说是一大障碍有必要对囚禁离子的 动力学特征进行更加深入的研究 2 0 0 0 年，q a t t t r c h e t t e 等人研究了激光冷却的囚禁b e + 离子的运动加 热，他们在多种不同的几何形状，电极材料和特征的阱中测量加热率结 果表明加热是由于来自阱电极的电场噪音施加在离子上的随机波动力而 造成的 2 0 0 4 年，d a n i e lr o t t e r 等人研究了单个囚禁b a + 离子在多普勒极限下 的通过零差式的反馈控制的机电冷却，演示了单个囚禁离子运动的实时 8硕士学位论文 反馈冷却，不像激光冷却，这个方法允许冷却离子的一种运动的模式不 加热其他两个，我们的程序能容易的被延伸到冷却的所有运动的模式。囚 禁冷离子被认为是实现量子态可控制操作较方便的系统，有必要对囚禁 冷离子系统的动力学特征做进一步的研究 1 4 本文主要内容 本文分两章分别考虑激光驻波作用下的单个囚禁离子和双囚离子系 统。对于单个囚禁离子与强激光驻波相互作用系统，我们研究了系统在 经典异宿点附近的量子运动特征。我们构建了一系列量子系统相干态，并 且通过分析得出囚禁离子和激光驻波问的绝热相互作用能导致混沌的结 论，此时坐标和动蜒的的量子期待值与经典混沌轨道对应。另一方面，我 们也讨论了能量期待值，发现了能级交叉和量子共振现象，找到了指数 递增的海森堡不确定关系。我们的结论在理论上提供了控制不稳定的规 则运动和混沌运动的方法。 对于受到与时间有关的简谐囚禁势作用的库仑相关两离子系统，我们 用精确的哈密顿量来分析两离子的量子运动。通过将质心运动和相对运 动分离，我们发现质心运动系统可以看作具有两倍离子质量的单个p a u l 囚禁离子系统，这个系统已经被精确求解，其精确解描述离子的相干波 包振荡就象频率是变化着的经典谐振子本文我们通过运用截断方法，得 到在弱驱动下的相对运动的近似解，其描述的波包链，具有类相干态的 特征。我们计算了在这种相干态下的两离子间的量子期待距离，结果表 明相干振动围绕经典平衡位置，并且与相对运动的经典轨道对应 囚禁少离子与激光相互作用系统的量子运动特征 9 第二章p a u l 囚禁单离子与激光驻波间的绝热作用导致量子 混沌 2 1引言 原子分子系统中的混沌运动是一种有趣的现象，引起了很多研究者 的兴趣近年来，人们对玻色爱因斯坦凝聚系统【2 7 】一 3 2 j 和p a u l 囚禁离子 与外场相互作用系统【3 3 】【3 6 】作了大量的研究单个囚禁离子与激光驻 波相互作用系统是简单的混沌系统，人们利用m e l n i k o v 混沌判据研究其 经典混沌，讨论异宿轨道受到含时弱场扰动时的混沌运动【3 5 ，3 6 】未受扰 动的异宿轨道将指数递增至异宿点，因此经典混沌运动即为异宿点附近 发生的微位移，异宿点是鞍形不稳定定点，混沌运动具有动力学不稳定 性我们小组在之前已经在周期驱动波色爱因斯坦凝聚系统 37 】【3 9 和 p a u l 囚禁单离子系统【3 6 】中得到了一些混沌轨道 经典混沌系统的量子动力学开始成为人们感兴趣的问题但是，完全 运用量子力学方法f 4 0 ，4 1 】处理一维周期扰动系统，人们发现经典混沌的 随机性将被抑制，这被称之为混沌系统对应原理的破缺【4 2 ，4 3 】为了找到 量子混沌，我们应该了解与前面提到的经典混沌有关的异宿点附近的量 子运动特征，我们需要把单个离子系统看成经典一量子耦合系统，这 样未受微扰的异宿轨道可以看作经典参考系，而受扰动的微位移则可以 看作是量子子系统 经典量子偶合系统在近些年受到了很多的关注4 5 】我们可以利 用变纷原理和连续量子测量理论来描述准经典变量和量子变量间的偶合 ( 4 6 ，4 7 】经典量子混合处理方法在很多不同系统里被运用 勰】对于p a u l 囚禁离子系统来说，不同运动尺度可以分别运用经典 3 5 ，3 6 】或量子力 学阻，4 9 】来处理，尤其对于单个囚禁离子可以处在激光驻波任意位置的 系统【5 0 1 在l a m b - d i c k e 3 5 1 近似下，离子晶格系统等于一个经典一量子 偶合系统，这里的量子振荡参考系可以为经典的稳定平衡位置如果我 们把经典不稳定异宿点或异宿轨道作为量子运动的参考系，那么量子运 动是否会变为量子混沌运动呢? 硕士学位论文 由于囚禁离子的运动对外加参数和初始条件有很敏感的依赖性，两 者的微小改变都可导致离子运动轨迹发生较大偏移，甚至使离子产生混 沌运动，从而使其运动状态难以控制。因此，有必要对囚禁离子的动力学 特征进行更加深入的研究。本章我们研究单个囚禁离子与强共振激光驻 波相互作用系统在经典异宿点的量子运动，我们运用文献f 4 4 】中的方法 将系统分离为经典参考系和量子子系统，运用常数变易法f 5 1 1 和h u s i m i 试探解法，我们得到了量子子系统的一组精确相干态。从精确解我们看 到当经典参考系是固定的异宿点时，量子系统的发生不稳定但规则的运 动。但是当经典参考系绝热的趋向异宿点，量子系统发生混沌运动，并且 我们发现了一些有趣的现象，如经典一量子对应，能级交叉和量子共振现 象，以及指数递增的海森堡不确定关系。我们在理论上提供了控制不稳 定规则运动和混沌运动的方法 2 2 系统的量子力学精确解 我们考虑囚禁在射频阱中的单离子，该离子受到沿x 方向的强激光 驻波作用，单个囚禁两能级离子系统的运动方程为 3 5 】 士= v 0 = - f ts i n z + q h l h t = 2 c o s ( 2 r ) ( 外；一卢) ， ( 2 1 ) 式中的曩v 分别代表离子质心的位置和速度，参数n 描述激光作用的强 度，与r a b i 频率和缓冲能量成正比，与微位移频率的平方成反比，q 依赖 于阱的特殊形状和所运用的电势，卢是激光的初始位相，r = w t 2 为无量 纲时间，这里的u 是驱动频率对于强激光势和弱囚禁势的情形，参数 满足q i q l 1 ，我们可以将系统看作由离子激光非微扰系统和含正 比于q 的修正项的微扰系统组成在l a m b - d i c k e 极限下，离子以微小的 幅度在固定位置x 0 的周围振动，这里的3 ：0 是非微扰系统的一个定点可 以看作经典参考系将非微扰系统的常数解蜘推广为非常数解后，我们 便可以利用文献阻1 中提供的方法将系统分离成经典子系统和量子子系 统，设定z = 。o + 并且满足吲蚓1 ，定义经典子系统和量子子 囚禁少离子与激光相互作用系统的量子运动特征 1 1 系统分别为零级和一级子系统，它们的经典动力学方程分别为f 3 6 】 一n s i n 知， - ( ( i c o x o ) z , + q h l ( r ，x o ) 对应的哈密顿量分别为 熹一f l c o s z o ， 嘉+ 萼q c * 跏一a ，c r ，拗，z 。 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 经典参考系的哈密顿量矾与微扰微位移无关，它描述离子和强激光驻波 间的相互作用，我们都知道经典子系统有多种不同形式的解，例如定态 解( 稳定定点x o = 0 ，+ 2 1 r ，士4 7 r ，和不稳定异宿点x o = 士，r ，+ 3 7 r ，) ，周 期解，以及以指数形式递增趋向于异宿点的异宿轨道 微观子系统的经典运动由方程( 2 3 ) 支配，利用常数变易法【5 l 】，我 们可以得到方程( 2 3 ) 的的一般解形式 z - c = 妒- p a 0 7 也h - ( r ，。) 叫+ 咖 b + 口0 7 咖- h t z 。) d 刁， ( 2 ，6 ) 这里的西。和也是方程( 2 3 ) 中q = 0 时的线性独立解，其中a 和b 是两 个由系统经典初始条件决定的任意的常数从方程( 2 5 ) 我们可以看到微 观子系统的哈密顿量直接依赖于经典解x 0 ，当x 0 取为稳定的定点时，岛 描述的是受迫简谐振子的哈密顿量，人们已经运用l a m b - d i c k e 近似研究 其量子运动这里我们感兴趣的是与不稳定异宿点有关的量子混沌因 此我们可以讨论两种不同的情形：1 ) 经典参考系固定在不稳定异宿点的 情形；2 ) 经典参考系沿着异宿轨道绝热的趋向异宿点的情形 方程( 2 5 ) 所描述的微观子系统的量子动力学由下面的s c h r s d i n g e r 方 程支配 i h o 皿( 。z + x , t ) ：盘皿( z l ，r ) 们 ( 2 7 ) 1 2硕士学位论文 为了方便，我们采用自然单位m = = 1 注意到方程( 2 1 ) 中z 和r 的单 位，我们知道能量和动量的自然单位意味着分别由反冲能量日= h k z ( 2 m ) 和”w ( 2 ) 归一化运用h u s i m i 试探解法，我们设定方程( 2 7 ) 的解的形 式为 皿。( z l ，r ) = ( r ) 巩( ) e 吣) z l - c ( ) 。i 一尸( f ) 1 2 1 = e ( t ) z l 一r ( r ) ， n = 0 ，1 ，2 ，3 ， ( 2 8 ) 这里0 ，l ( r ) ，6 ( f ) ，c ( r ) 是时间的复函数，e ( r ) ，( r ) 则是实函数，巩( ) 是变量 f 的h e r m i t i a n 多项式将方程( 2 5 ) 和( 2 8 ) 运用到方程( 2 7 ) ，并且注意 到h e r m i t i a n 多项式必须遵循h e r m i t i a n 方程 可a 2 y , , 一警+ 2 n 巩_ o ) 我们得到下面一组方程 证= 2 c 2 一i 1 q c 。s z 。，i 6 = 2 c e