（基础数学专业论文）分拆函数等式的推广及超几何函数恒等式的新证明.pdf

摘要 分拆函数最早由e u l e r 提出，它是q - 级数中的一个重要部分随着q - 级数的 不断发展，人们对分拆函数的研究也在不断的深入提到分拆函数，大家会联想到 由e u l e r 最早给出的尸( 力，) 的生成函数( 或称为母函数) 函p ( n ) 口n = n 嚣o ( 1 一口n ) ， 解释一下p ( 礼) 的含义：首先将正整数n 写成j 下整数和的形式，共有k 种写法，若两种 写法数字相同只是顺序不同记为一种写法，我们记：p ( n ) = k 例如：3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 ，p ( 3 ) = 3 ；5 = 5 = 1 + 4 = 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 3 ，p ( 5 ) = 7 上述生成函数恒等式的推广形式是本文的重点内容，本文主要内容有四部分： 一，引进了新的分拆函数p m + 。( n ) ，d p m + 。( n ) ，p v m ( n ) 和d 民m ( n ) 的定义 二，给出并证明了新定义分拆函数的生成函数恒等式： 薹p m + c m ) g n2 赢， 薹p v m ( 咖n = 丽丽哥击1 两两， d 岛仇( 礼) 矿= ( 叫矿) ( 一9 2 ；矿) ( 一q m - 1 ；口m ) 三，给出了上述恒等式的一些应用和性质 四，本文最后采用了符号代替复杂式子的方法给出了f n ( 1 一唔哥) = f ( 1 一 为瓣) 的新证明 关键词：牛级数，分拆函数，t h e t a 函数，超几何函数恒等式 m g旷 一 = n g n “+ m艮d 脚 a bs t r a c t p a r t i t i o nf i u n c t i o ni so n ei l p o r t a n tp a r to f 午s e r i e s w i t ht h ed e v e l o p m e n to f q - s e r i 鹤，p e o p l eh 8 v eg o n ed e e pt 0t h es t u d y0 fp a r t i t i o nf u n c t i o n ( i fni sap o s i t i 、，e i n t e g e r ，l e t 尸( n ) d e n o t et h en u m b e ro fu 1 1 r e s t r i c t e dr e p r e s e n t a t i o i l so fna sas u mo f p o s i t i v ei n t e g e r s ，w h e r er e p r e s e n t a t i o n sw i t hd i 伍e r e n to r d e r so ft h es 锄es u m m a n d s a r en o tr e g a r d e d 勰缸t i n c t w ec a l l lp ( n ) t h ep a n i t i o nm n c t i o n ) w h e nr e f e r r i n gt o p a r t i t i o n 劬c t i o n ，p e o p l ew i ua s s o c i a 乞e dg e n e r a l i z e df u n c t i o n 甚op ( n ) 矿= n 墨o ( 1 一 口n ) _ 1 o fp a r t i t i o nf u n c t i o np ( n ) w h i c hw a s 缸s t l yp u tf o r w a r db ye u l e r f 0 re ) c 锄p l e ：3 = 3 = 2 + l = 1 + 1 + 1 ，尸( 3 ) = 3 ；5 = 5 = 1 + 4 = 1 + 1 + 3 = 1 + l + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 3 ，j p ( 5 ) - - 7 t h i sa r t i c l ec o n t a j l l sf o u rc h i e fs e c t i o 璐： i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ed e 6 n ef b u rp a r t i t i o nf i l n c t i o n s ： p m + 。( n ) ，d 艮。+ 。( n ) ，岛m ( n ) 和口 p v m ( n ) i nt h es e c o n ds e c t i o n ，r ep r o v ef 6 u rp a r t i t i o nf u n c t i o n si d e n t i t i e s ： 几( n ) 矿= 几= 0 ( 口。；g f n ) o o d p ( n ) 矿= ( 一g 。；矿) ， 薹吲咖n = 丽繇丽士可呵两， ( 一g ；g m ) ( 一9 2 ；g m ) ( 一g m 一1 ；口m ) i nt h et h i r ds e c t i o n ，w eg i v es o m ea p p n c a t i o 璐a n dq u a l i t i e so ft h e s ei d e n t i t i 鹤 a b o v e f i n a l l y ，r eg i v ean e wp r o o ft ot h eh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o 璐i d e n t i t yf n ( 1 一 = f ( 1 k e yw o r d s ：q - s e r i e s ，p a r t i t i o nf u n c t i o n ，t h e t af u n c t i o n ，h y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n si d e n t i t y 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：至金盍墓日期：塑2 墨：墨：z 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：狳去墓 日期： 导师签名：掣 第一章引言弟一早ji 苗 人们对于基本超几何级数( q 一超几何级数或简称q 级数) 的研究始于1 7 4 8 年，其标 志是e u l e r 提出了分拆函数p ( n ) ，并给出了其生成函数( g ；g ) ：= 芒o ( 1 一g k + 1 ) 分拆函数p ( 佗) 指的是首先将正整数n 写成j 下整数的和的形式，如n = 礼1 + n 2 + n 3 + + n 七，( 七，啦( i = l ，2 ，3 ，七) 为j 下整数) ，若两种写法中只是数字的顺序不同，将 其记为同一种写法，则n 的写法就有p ( 礼) 种如：2 = 2 = 1 + 1 ，p ( 2 ) = 2 ；3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 ，p ( 3 ) = 3 ；5 = 5 = 1 + 4 = 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 3 ，p ( 5 ) = 7 等在这之后不到1 0 0 年的时间，q 一级数这个数学分支在数学 界已开始显现出其重要性了，其标志是2 妒1 级数的h e i n e 变换以及g a u s s s2 n ( 1 ) 求 和公式的q 一模拟受到了许多数学家的重视 到了十九世纪，对q 一级数做出重大贡献的有j t h o m a u e ，l j r o g e r s 和f h j a c k o n ，其中f h j a u c k o n 对q 级数理论作了系统的研究，他所给出的重要结果是：8 7 级 数的求和公式例如，q 级数求和以及转换公式中的q 一微分，q 一积分，q 一模拟等而这些 研究q - 级数的思想是由a c d i x o n ，j d o u g a u ，l 孓a a l s c h 证t z ，f j w 。w h j p p l e 等 发现的 在1 9 3 0 s 和1 9 4 0 s 期间，w n b a i l y 在超几何以及基本超几何级数方面得出 了很多重要的结论，一些数学家把b a i l y 的伟大贡献归功于他的b a i l y 变换方面， 如j a c l 【s o n s8 加的求和公式的非终止形式，关于y e r 可一，e f f p 抚s e d8 咖级数 和6 0 f o n c e d4 九级数的w a t s o n 转换公式 而在1 9 5 0 s ，d b s e a r s ，l c a r l i t z ，w h a h n 和l j s 1 a t e r 对q 一级数的贡献比 较大，其中s e a r s 给出了3 2 ，6 0 地几c e d4 3 和y e 聊一叫e f f p 扰s e dn + 1 等的转换公 式而b a r n e 8 首先在1 9 0 7 年提出了围线积分的思想之后，g n w _ a t s o n 和s l a t e r 用 围线积分的观点发展了q 一级数理论，在1 9 6 0 sr p a g a r w a l 和s l a t e r 还各自出版了 一本有关q 一级数理论的书籍，与此同时g e a n d r e w s 也开始了致力于数论的研究， 他指出q 级数中的求和和转换公式在分拆理论中也起着很重要的作用 1 第一章 引言 q 一级数发展至今已经形成了一套比较完整的理论，它被应用到数论、根系 ( m a c d o n a l d 恒等式) 、超越数理论、计算代数、组合学、差分方程、李代数和李 群、物理学、统计学、代数几何、h a u r d h e x a g o n 模等方面 说到分拆函数，众所周知的印度数学家s r a m a n j a n 经常被人们称为是数论专家， 尽管他对分析以及数学的其他很多领域都有杰出的贡献，但每当人们提到他时，大家 都会很自然的关注到他的分拆函数一数论和组合论中的一个重要内容s r a m a n u j a n 是从e u l e r 提出分拆函数之后对分拆函数贡献最大的一位数学家，值得提到的是他 给出并证明了分拆函数的三个重要结论p ( 5 n + 4 ) 兰0 ( m o d5 ) ，p ( 仇+ 5 ) 兰0 ( m o d 7 ) 【3 】， 6 ，p p 2 1 m 2 1 3 】和p ( 1 1 n + 6 ) 三o ( m o d1 1 ) 【4 】，【6 ，p 3 0 】后来s m 珊a i l u j a n 又发明 了一种新的证明方法，在s r 锄a n u j a n 的手稿中，他用字母j 代替多项式的方法给出 了p ( n ) = 1 1 7 - ( n ) ( m o d1 3 ) 的简单证明 而这些内容在b c b e r n d t 写的关于s r a m a n u j a n 一生贡献简单介绍的书中都 有说明，b e r n d t 用了很多的笔墨去写s 弛m a l l u j a n 和分拆函数，受s r a m a l l u j a i l 的启 发，b c b e r n d t 用s r a m a n u j a n 的字母j 代替多项式的思想给出了s r a m a i l u j a n 的 上面提到的三个结论的简单证明 5 】刘治国教授也写了一篇名为a ni d e n t i t yo f r a m a l l u j a na n dt h er e p r e s e n t a t i o no fi n t e g e r sa ss u i 璐o ft r i a n g l l l a r 肌m b e r s 6 1 的文 章，这都说明了现在有越来越多的数学家开始重视分拆函数的研究了 通过研究生期间的学习我也开始慢慢认识了分拆函数，开始知道了自然界中的数 字之间原来有着千丝万缕的联系在此，我写了一篇简短而又易理解的文章，旨在把我 近阶段感觉比较有乐趣的的心得记录下来而已 本文一共分四部分：第一章对q 一级数的历史做了一下简单的介绍；在第二章中对 一些基本符号如：q 一升阶数，分拆函数，以及新引进的分拆函数的定义等作了一些简单 的介绍；第三章我们给出分拆函数恒等式的推广形式，根据这些推广形式我们给出了 一些结论的简单证明，并给出了推广恒等式的一些性质；第四章为了证明一个超几何 函数恒等式，我们先给出一个引理，然后采用简单的符号代替复杂式子的方式重新给 出了超几何函数恒等式的证明 最后说明一下，我的这篇文章虽然经过数次修改并查阅核实了许多知识点，但仍 不免有错误和纰漏之处，敬请读者谅解，并希望您能给我多提宝贵意见和建议，谢谢1 2 第二章分拆函数定义的引进 2 1基本符号 在本文中遇到( o ；q ) n ，我们读作：a 的n 阶q - 升阶乘，并统一定义为： ( o ；q ) n = ( 1 一o ) ( 1 一n q ) ( 1 一n q 2 ) ( 1 一口g n 一1 ) ，( 2 1 1 ) ( 凸；q ) = ( 1 一o ) ( 1 一n q ) ( 1 一n 口2 ) ( 1 一n 口n ) ( 2 1 2 ) 当n = o 时，( n ；g ) o = 1 ， 其中a 为任意复数，n 为正整数， 1 特别地，当o = g 时，我们记 ( g ；g ) o ：=1 ， ( g ；g ) n ：= ( 1 一q ) ( 1 一9 2 ) ( 1 q n ) ， ( g ；q ) ：= ( 1 一g ) ( 1 一9 2 ) ( 1 口n ) 以后在其他地方我们还可能遇到n 为负整数的情况，此时： ( 口g ) n = 面毛 2 2分拆函数的定义 为了行文方便，在本文中我们称p ( n ) 和后面提到的疡( n ) 为原始分拆函数，解释 下p ( 几) 的含义：首先将正整数n 写成正整数和的形式，共有后种写法，若两种写法 第二章分拆函数定义的引进 数字相同只是顺序不同记为一种写法，我们汜：p ( n ) = 后 例如：3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 ，p ( 3 ) = 3 ；5 = 5 = 1 + 4 = 1 + 1 十3 = 1 + 1 + 1 + 2 = l + l + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 3 ，尸( 5 ) = 7 这些都是很容易手算出来的，但当n 不 断增大如n = 2 0 0 时，p ( 2 0 0 ) = 3 ，9 7 2 ，9 9 9 ，0 2 9 ，3 8 8 再用手算已经基本不太可行了也就 是尸( n ) 随着n 的增大上升的很快于是人们开始不断地努力寻找有关p ( 九) 的恒等 式来研究p ( 几) 的性质 在此值得一提的是：e u l e r 最早给出了分拆函数p ( n ) ( 其中p ( 0 ) = 1 ，原始分拆函 数p ( 钆) 中的p 为小写字母，为行文方便在本文中我们统一用大写字母p ，即：p ( n ) ) ，而 且还提出了分拆函数p ( 佗) 的生成函数： 薹即) q n2 志巾l “ ( 2 2 1 ) g h h a r d y 和s r a m a l l u j a n 【7 】，f 1 9 2 ，p p 2 7 昏3 0 9 】给出当n _ o 。时， 跏) 一赤e x p ( 丌 孚) ， ( 2 2 2 ) 也就是说( 2 2 2 ) 左右两边的比值在n _ 时趋于1 在本章中我们并不是讨论p ( 佗) 随着n 的增大而上升的问题，而是在看 了b c b e r n d t 写的一本书中对分拆函数尸( n ) 和e ? z e r 给出的p ( n ) 的生成函 数恒等式后受到启发而给出了其推广形式 下面我们给出四种新的分拆函数的定义，定义中的仇，c 均为正整数 定义1 分拆函数p m + c ( 佗) ：首先将正整数凡写成正整数和的形式，如：n = n 1 + n 2 + n 3 + + n ，共有七种写法，且每一种写法中的每一个数字必须满足：啦= c ( m o d 仇) ，t = 1 ，2 ，3 ，t ，其中c m ，若两种写法数字相同只是顺序不同记为一种 写法，我们记? p m + 。( n ) = 七 例如：取m = 2 ，c = 1 时则，3 = 3 = 1 + 1 + 1 ，p 2 + l ( 3 ) = 2 ；5 = 3 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ，p 2 + l ( 5 ) = 3 ；取m = 4 ，c = 1 时则，5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ，p 4 + l ( 5 ) = 2 ；因 为5 在写成模3 余2 的形式的数字之和时只有写成自己本身，所以p 3 + 2 ( 5 ) = 1 定义2 分拆函数d p m + c ( n ) ? 首先将正整数n 写成正整数和的形式如二n = 礼1 + n 2 + n 3 + + m ，共有七种写法，且每一种写法中的每一个数字必须满 4 第二章分拆函数定义的引进 足? 啦= c ( m o dm ) ，i = 1 ，2 ，3 ，其中c m ，且仇码( i j i ) ，若两种写法数字 相f 可只是顺序不同记为一种写法，我们记? d f ) m + 。( n ) = 七 例如：3 写成模2 余1 的数字之和且两两不同时只有本身一种写法，所以 d p 2 + l ( 3 ) = l ；同理，d 尸2 + l ( 5 ) = 1 ；因为9 = l + 3 + 5 ，所以d 几2 + l ( 9 ) = 2 ；而将9 写 成模7 余1 的形式的数字之和只有一种写法8 + 1 ，所以d 玩7 + 1 ( 9 ) = 1 定义3 分拆函数岛m ( n ) ：首先将正整数n 写成正整数和的形式，如：n = n 1 + 他2 + 佗3 + + n ，_ 共有七种写法，且每一种写法中的每一个数字都不能被m 整 除，即7 o ( m o dr n ) ，t = 1 ，2 ，亡若两种写法数字相同只是顺序不同记为一种写 法，我们记：r m ( n ) = 七 例如：取m = 2 时，3 = 3 = 1 + 1 + 1 ，民2 ( 3 ) = 2 ；4 = 3 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 ，民2 ( 4 ) = 2 ；5 = 5 = 3 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ，岛2 ( 5 ) = 3 又l 习 为5 = 5 = 4 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ，所以岛3 ( 5 ) = 5 定义4 分拆函数d p v m ( 几) ：首先将正整数死写成正整数和的形式，如：n = n l + n 2 + 佗3 + + m ，共有七种写法，且每一种写法中的每一个数字必须满足：m 0 ( m o dm ) ，t = 1 ，2 ，3 ，且( i 歹) ，若两种写法数字褶周只是顺序不同记 为一种写法，我们记d 岛m ( n ) = 后 例如：取m = 2 时，4 = 3 + 1 ，d 岛2 ( 4 ) = 1 ；取m = 3 时，4 = 4 ，有d 岛3 ( 4 ) = l ；而 取m = 5 时，4 = 4 = 3 + l ，我们有d 岛5 ( 4 ) = 2 ；同理，取m = 2 时，因为5 = 5 ，所 以有d 岛2 ( 5 ) = l ；下面的读者可以自己验证d 民3 ( 5 ) = 2 ；d 岛4 ( 5 ) = 2 ；d 民5 ( 5 ) = 2 ；d 民6 ( 5 ) = 3 5 第三章分拆函数恒等式的推广 在第一章中我们已经简单介绍了原始分拆函数尸( 礼) ，以及其生成函数的表达式 薹肭n = 赤， ( p ( 0 ) ：1 ) ( 3 0 1 ) 在本章中我们将给出( 3 o 1 ) 的推广形式，以及甚or ( n ) 口n = ( 一q ；g ) 的推广 形式也即本文的主要结果： 薹如矽= 熹，n = 0 、1 71 ， d p m + 。( 礼) q n = ( 一q 。；q m ) 。， n = 0 ( 3 o 2 ) ( 3 o 3 ) 蚤) g n2 丽砥丽圭瓦呵两， ( 3 0 4 ) 乏二d p v m ( 礼) 口n = ( 一g ；g m ) ( 一9 2 ；口m ) ( 一g m 一1 ；g m ) ( 3 o 5 ) 这里解释一下，r ( n ) 与p ( n ) 不同的是：在将正整数礼写成正整数的和的形式 时，每种分法中的数字都两两不同根据该推广形式可以很容易给出一些小结论的证 明，最后给出了推广形式的一些性质，或者称为结论 3 1原始分拆函数的推广 下面将要给出原始分拆函数恒等式的四个推广形式，也即是文中新定义的分拆函 数的生成函数恒等式和它们的证明 第三章分拆函数恒等式的推广 定理1 对于任意正整数m ，c ，csm 我们有 三+ c m ) q n2 捌毛， ( 3 1 1 ) n = 0 、171 ， 成立特别地，当仇= j ，c = j 时p m + 。( n ) 一p + ( 扎) = p ( 竹) ，则似_ f 砂将成为原始 分拆函数等式： 薹咖舻= 志n = 0 、”1 ，“ 证明? 利用 击= 口饥， ( i 口i 佗时我们有： 性质6 性质7 尸b m ( n ) = p ( 礼) d 岛m ( n ) = b ( n ) 氏m ( n ) = 尸m + ( n ) p m + z ( 几。) p m + ( m _ 1 ) ( n m 一) p ( n ) = p m + ( n ) 凡m + z ( n z ) 玩m + m ( 礼m ) 1 2 第三章分拆函数恒等式的推广 性质8 d 岛m ( n ) = d p m + - ( n t ) d p m + 。( n 2 ) dp m + ( m 1 ) ( n m t ) n l + n 2 + + n m 1 2 n 性质9 局( n ) = d p m + ( n - ) d p m + 2 ( 几z ) dp m + m ( 凡m ) n 1 + n 2 + + t i m = n 下面给出性质1 ，性质5 和性质6 的证明，其余的可类似的给出证明，希望有兴趣 的读者自己来验证 性质l 的证明： 根据分拆函数的定义，如果正整数礼有一种分法，它里面的数字模m 得c ，且两两不 同，则它肯定也是p m + 。中的一个分法，所以性质1 成立 性质5 的证明： 若m n ，则我们将正整数几写成任意几个正整数和的形式如：几= n 1 + n 2 + + 仇时，则都有啦 m ( i = 1 ，2 ，t ) ，所以n 的每一种分法的每一部分都不能 被m 整除，所以有岛m ( n ) = p ( n ) 性质5 的另一个结论同理可证 性质6 的证明： 因为， o 。 岛m ( n ) 矿= n = 0 1 ( 口；q m ) ( q 2 ；口m ) ( g ；g m ) 薹“咖n = 赢， n = o 、7 1111 面万积再万i _ _ 丽2 丽甭历丽万i 历瓦 所以， o 。o 。o 。 岛m ( n ) g n = p 州( n ) 矿仫m + 2 ( n ) 矿p 州一) ( 凡) 矿 n = o n = 0n = 0n = o _ 比较上面等式两边口n 的系数，我们有： p v m ( 礼) = 尸m + t ( n ) p m + 2 ( 礼2 ) p m + ( m 一) ( n m 一) 1 3 第四章超几何函数恒等式的证明 在本章中，我们采用了符号代替复杂式子的方法给出了p ( 1 一号妄孚) = f ( 1 一毛妄暑) 的新证明而且材料的组织也进行了加工，从而使读者容易理解最 后给出了该恒等式的应用 4 1 t h e t a 函数的介绍 定义5 o 位移算子 ( o ) 。：= n ( o + 1 ) ( 口+ 2 ) ( o + 3 ) ( n + 礼一1 ) ( n ) ：= n ( n + 1 ) ( 口+ 2 ) ( n + 3 ) ( n + 礼一1 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 定义6 高斯超，乙何函数： 我们假设o 、6 、c 是任意的负魏其中c 不能为负整数和零在h l 的情况f 高 颠( 一般) 超几伺函数： z w ；c ；小钔：= 薹锗少 ( 4 鹕) 很容易验证“j 剀中的级数在 1 的情况下是收敛的 我们定义： 晰一( 一丌瓮黼) ， 定义7 仇m n n 可口n 的般丁 e 口函数，( o ，厶) 定义为： m ，6 ) ：= 口嘶川7 2 6 咖。1 脾， i 。6 i 1 ( 4 1 5 ) 1 4 l = h 口 ，- 时 0 = n 当 第四章超几何函数恒等式的证明 其中一种特殊的形式定义为： 妒( 口) ：= m ，g ) = 口矿 ( 4 1 6 ) n = 一 4 2 恒等式的证明及应用 数恒等式肿一帮) 叫l 一帮) 的砜 定理8 如果礼= 2 m ，其中m 是一个非负整数，则我们可以得到 f ( 1 一帮) = 肿一帮) ( 4 2 1 ) 定理9 如果佗= 2 m ，其中m 是一个非负整数，则我们可以得到 州1 一帮) 叫1 一帮) ( 4 2 2 ) 证明? 由f ( z ) 的定义( 4 1 4 ) ，令f ( z ) = e ，其中定义为： 一丌错锹鬻宁， 2 渤 则由的形式可知： 在( 4 1 4 ) 中我们令 则 出( 4 2 1 ) 知 所以 f ( 帮) = e v ， 即一帮一坍， 州帮m ( 帮) ， f ( 帮旧跏， ( 4 2 4 ) 1 5 第四章超几何函数恒等式的证明 则有： 即一帮) - e 跏， 由( 4 2 3 ) 和( 4 2 5 ) 我们可得到 邢一帮m ( 1 一帮) 矽( 口) 定义为 缈( g ) ：= m ；9 3 ) = 旷州m ， n = 0 下面我们要用到的结论有 妒4 ( g ) 一妒4 ( 一g ) = 1 6 q 矽4 ( 9 2 ) 定理1 0 根据定义4 2 2 我们有 7 r 2 r ( 1 2 ，1 2 ；1 ；1 一z ) = l o gz + c + o ( 1 ) ， 其中o ( 1 ) 表示一个函数，它在z _ 0 + 时趋于d 证明：根据( 4 2 6 ) 和定义( 4 2 o ) 我们有 f ( z ) = e l o g z c + 。( 1 ) = a z e 。( 1 ) = a z ( 1 + o ( 1 ) ) ， 当z 一0 + 时，a = e 令： 引= 帮， 我们可以得到当礼_ 。o 时z n 趋于1 取z n 为( 4 2 2 ) 的几次单位根 由( 4 2 9 ) 和( 4 2 1 0 ) 我们有 ( 4 2 5 ) 口 ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) ( 4 2 1 0 ) 第四章超几何函数恒等式的证明 f ( 1 一帮) = 恕丽 = f i m 舡耵j 两矿万丽 = f i m 们f i 利用( 4 2 7 ) 我们得到结论 =屁m n = 鳃霈 1 7 口 参考文献 【1 】c a d i g a ，b c b e l l l d t ，s b h a r g a _ v ea n dg n w a t s o n ，r a 皿a n u j a 刀，ss e c 0 j 】dn b 亡e _ b o o k ：1 强e t 8 - 如n c j d n sa n dq s e r j e s ，m e m a i i l e r m a t h s o c ，n o 3 1 5 ，5 3 ( 1 9 8 5 ) ， a i n e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y p r o v i d e n c e ，r i ，( 1 9 8 5 ) 2 】z g l i u ，s o m eo p e r a o r 埘印洲e sa n dq s e r j 留r a n s 南肋a j o nf o 肋u a s ，d i s c r e t e m a t h 2 6 5 ( 2 0 0 3 ) ，1 1 皿1 3 9 【3 】s r 唧a n 枷a n ，s o m ep r 印e n j e so f p 阳) ，曲en u m b e r0 f p a r 打t j o n s0 f n ，p r o c c a m - b r i 咄ep h i l o s s o c 1 9 ( 1 9 1 9 ) ，2 0 7 2 1 0 4 】s r a m a i l u j a n ，c i o n 矿u e n c ep r o p e n j e so fp a r 钉j o n s ， p r o c l o n d o n m a t h s o c 1 8 ( 1 9 2 0 ) ，x 政 【5 】b c b e r n d t ，纯唧a n 町a n ，sc o n g r u 印c e s 五) r 如ep a r t j j o n m c t j o n ，m o d u j o5 ，乃 a 1 1 d 】，s u b m i t t e df o rp u b l i c a t i o n 【6 】b c b e r n d t ，s h c h a n ，z 一g l i u ，a n dh i l y u r t ，an e wj d 印t j 妙矗”( g ；q ) 罂 矸d 如a 口a p 础c a j o nt oj h 皿a n u j a n ，sp a r 廿t j o 皿c o n g r u 印c em o d u j o 姐，q u a r t j m a t h ( o x f o r d ) 5 5 ( 2 0 0 4 ) ，1 3 3 0 7 】s a h l g r e n a n dm b o y l a n ，a r j 五埘e t j cp p e r t j e sd f 如p a r “j o nf u 丑c j o n ，i n v e n t m a t h ，t oa p p e 盯 【8 】b c b e r n d t ，r 锄a 1 1 可a n ，s 0 e b o o j c s ，p a r ti